MATEMÁTICA - 5TO GRADO - UNIDAD 3.pdf

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Competencias Capacidades Indicadores de desempeño
Unidad
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• Emplea estrategias al resolver
problemas relacionados con la
potencia cuadrada y cúbica.
• Emplea las estrategias del MCD y el
MCM para resolver problemas simples
de múltiplos y divisores con números
naturales.
• Actúa y piensa
matemáticamente en
situaciones de cantidad.
• Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
regularidad, equivalencia
y cambio.
• Elabora y usa
estrategias
matemáticas.
• Comunica y
representa ideas
matemáticas.
Trabajamos con
números de
diferentes maneras
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• Usa y explica los múltiplos, divisores y criterios de
divisibilidad de un número.
• Describe los números primos y compuestos, y la
descomposición de un número en sus factores primos.
• Explica el procedimiento para hallar el MCM y el MCD de
2 o más números.
• Aplica diversas estrategias para resolver situaciones
problemáticas con ecuaciones e inecuaciones.
Aprendizajes de esta unidad
A
Ambiental
Enfoque transversal
E
Solidaridad planetaria y naturaleza
Valor
V
Trabajamos
con números
de diferentes
maneras
3
Unidad
¿Qué difícil sería
escribir con esos
signos? No es muy
práctico.
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Ficha de trabajo
Unidad 3
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Nivel 1
Nivel 1 Múltiplos
1) Escribe los cinco primeros múltiplos de cada
número:
• 4
° = ; ; ; ;
• 5
° = ; ; ; ;
• 6
° = ; ; ; ;
• 7
° = ; ; ; ;
• 8
° = ; ; ; ;
• 9
° = ; ; ; ;
• 10
° = ; ; ; ;
• 11
° = ; ; ; ;
2) Relaciona con flechas los números con sus
respectivos múltiplos.
3) Escribe V si es verdadero o F si es falso según
corresponda.
• 4
° = 48 ( )
• 9
° = 92 ( )
• 7
° = 63 ( )
• 5
° = 60 ( )
• 3
° = 17 ( )
• 2
° = 124 ( )
• 8
° = 68 ( )
• 10
° = 1000 ( )
• 12
° = 144 ( )
• 15
° = 90 ( )
• 6
° = 96 ( )
• 13
° = 168 ( )
4) Marca con un aspa (X) las casillas que contienen
múltiplos del número ubicado en la parte superior.
a)
b)
c)
5) Determina por extensión los siguientes conjuntos
y escribe los múltiplos que se indican.
a) A = {x/x ∈ N, x es múltiplo de 2 ∧ x < 20}
Elementos múltiplos de 4:
b) B = {x/x ∈ N, x es múltiplo de 4 ∧ x < 32}
c) C = {x/x ∈ N, x es múltiplo de 8 ∧ x < 52}
6) En la siguiente tabla de doble entrada, marca
con un check () si el número es múltiplo de los
encabezados y con un aspa (X) en el caso contrario.
2 3 5 7
343 74 93 115
5
25 82 64 150 82
32 75 200 90 144
8
55 84 48 56 126
120 24 54 108 96
12
26 49 192 72 38
36 27 120 190 144
2
° 3
° 5
° 7
° 11
°
14
12
10
27
100
96
22
0
0
0
0
0
0
0
0
4
5
6
7
8
9
10
11
8
10
12
14
16
18
20
22
12
15
18
21
24
27
30
33
16
20
24
28
32
36
40
44 A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18}
0; 4; 8; 12 y 16
0; 8; 16 y 24
0; 16; 32 y 48
B = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}
C = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48}
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F  X X  X
  X X X
 X  X X
X  X X X
 X  X X
  X X X
 X X X 
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Relación entre conjuntos
Ficha de trabajo
Unidad 3
93
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Nivel 2
Nivel 2 Múltiplos
1) En el siguiente grupo de números, marca con un
aspa (X) aquellos que son múltiplos de 4 y 7 a la
vez.
2) Dados los conjuntos:
A = {x/x ∈ N, x es múltiplo de 9 ∧ 35 < x < 73}
B = {x/x ∈ N, x es múltiplo de 12 ∧ 30 < x < 109}
C = {x/x ∈ N, x es múltiplo de 18 ∧ 32 < x < 129}
Calcula la suma de los 5 primeros múltiplos de
n(A ∩ B ∩ C).
3) Halla, en cada caso, el número que corresponde a
cada enunciado.
a) El mayor número múltiplo de 3 de dos cifras
b) El mayor número múltiplo de 5 de dos cifras
c) El menor número múltiplo de 4 de tres cifras
d) El menor número múltiplo de 9 de tres cifras
4) Resuelve y responde. Si se tiene el conjunto:
S = {135; 140; 150; 175; 180; 210; 225}
¿Cuántos de sus elementos son múltiplos de 15?
5) Une con flechas según corresponda.
• 343 • • 11
°
• 729 • • 13
°
• 34 • • 5
°
• 76 • • 7
°
• 121 • • 3
°
• 169 • • 19
°
• 100 • • 17
°
56
4
7
140
26
18
28
112
16
45 36
84
0
12
54
De los conjuntos:
A = {36; 45; 54; 63; 72}
B = {36; 48; 60; 72; 84; 96; 108}
C = {36; 54; 72; 90; 108; 126}
A ∩ B ∩ C = {36; 72}
n(A ∩ B ∩ C) = 2
Suma de los 5 primeros múltiplos de 2:
0 × 2 + 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + 4 × 2 = 20
Rpta.: 20
Para ver qué elementos son múltiplos de 15, se
tiene que dividir cada uno entre dicho número
y verificar que sea una división exacta:
135 ÷ 15 = 9; r = 0
140 ÷ 15 = 9; r = 5
150 ÷ 15 = 10; r = 0
175 ÷ 15 = 11; r = 10
180 ÷ 15 = 12; r = 0
210 ÷ 15 = 14; r = 0
225 ÷ 15 = 15; r = 0
Los elementos del conjunto S múltiplos de 15
son 135; 150; 180; 210 y 225.
Rpta.: 5 de sus elementos son múltiplos de 15.
Números múltiplos de 3 de dos cifras:
12; 15; 18; …; 90; 93; 96 y 99
El mayor de ellos es 99.
Rpta.: 99
Números múltiplos de 4 de tres cifras:
100; 104; 108; …; 988; 992 y 996
El menor de ellos es 100.
Rpta.: 100
Números múltiplos de 9 de tres cifras:
108; 117; 126; …; 981; 990 y 999
El menor de ellos es 108.
Rpta.: 108
Números múltiplos de 5 de dos cifras:
10; 15; 20; …; 80; 85; 90 y 95
El mayor de ellos es 95.
Rpta.: 95
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Unidad 3
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Nivel 1 Múltiplos
4) Dadas las siguientes condiciones:
8
° = 8a
9
° = 99b
Si se sabe que «a» y «b» son números distintos de
cero, calcula el valor de (a + b).
5) Encuentra los tres primeros múltiplos comunes de
los números que aparecen en la imagen.
Nivel 3
8
24
4
12
3
6
1) Desarrolla las operaciones, escribe el resultado
y coloca V si es verdadero o F si es falso según
corresponda.
• 72 + 5 = es 4.
° ( )
• 351 – 198 = es 9.
° ( )
• 112 – 72 = es 8.
° ( )
• 42 × 3 = es 6.
° ( )
• 17 + 93 = es 7.
° ( )
• 47 + 74 = es 11.
° ( )
• 3 × (9 + 4) = es 13.
° ( )
2) Si el número 2a es un múltiplo de 6, y bb es múltiplo
de 3, halla el mayor valor de (a + b).
3) Resuelve y responde. Si la edad de Carlos es un
múltiplo de 7, y además se sabe que es de la forma
3a, ¿qué edad tiene Carlos?
Datos:
• 2a es múltiplo de 6.
• bb es múltiplo de 3.
Como el único múltiplo de 6 de la forma 2a es
24 → 2a = 24 → a = 4
Como bb es múltiplo de 3, entonces, los
posibles valores son 33; 66 y 99. Pero se busca
el mayor valor de estos, por lo tanto, b = 9.
Sumando: a + b = 4 + 9 = 13
Rpta.: 13
Datos:
• 8
° = 8a
• 9
° = 99b
Los múltiplos de 8 de la forma 8a son 80 y 88,
pero como a ≠ 0 → a = 8
Los múltiplos de 9 de la forma 99b son 990 y
999, pero como b ≠ 0 → b = 9
Por lo tanto, a + b = 8 + 9 = 17
Rpta.: 17
Hallando los múltiplos de cada número:
8
° = 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; …
4
° = 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; …
3
° = 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36;
39; 42; 45; 48; …
6
° = 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; …
12
° = 0; 12; 24; 36; 48; …
24
° = 0; 24; 48; …
Tres primeros múltiplos comunes: 0; 24 y 48.
Rpta.: 0; 24 y 48
Datos:
• Edad de Carlos: 3a
• 3a es un múltiplo de 7.
Como el único múltiplo de 7 de la forma 3a
es 35 → 3a = 35 → a = 5
Por lo tanto, la edad de Carlos es 35 años.
Rpta.: Carlos tiene 35 años.
F
V
V
V
F
V
V
54
153
72
48
110
121
39
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Círculo matemático
Múltiplos
1) Si «A» es el mayor número de dos cifras, múltiplo
de 4; «B», el mayor número múltiplo de 5 de la
forma 6a, y «C», el mayor número múltiplo de 3 de
la forma bb, calcula el valor de (A + B – C).
2) Hallalossieteprimerosnúmerosimparesmúltiplos
de9.Dacomorespuestalasumadeestosnúmeros.
3) Desarrolla y responde. «M» es la suma de 6 con
el mayor número de una cifra múltiplo de 8, y «N»
es la suma de 8 con el mayor número de dos cifras
múltiplo de 10. Según lo anterior, ¿«N» es múltiplo
de «M»?
4) Manuel y Sebastián son padre e hijo cuyas edades
son 33 y 6 años, respectivamente. Calcula la edad
del abuelo de Sebastián si dicha edad corresponde
al menor múltiplo en común, distinto de cero, de
las edades de Manuel y Sebastián.
5) Resuelve y responde. El profesor del curso de
Comunicación dejó la tarea de que cada estudiante
escogiera un libro para el taller de lectura, y uno
de ellos eligió la Ilíada, que tiene una cantidad
de páginas correspondiente a un múltiplo de 8. Si
dicho número está comprendido entre 479 y 485,
¿cuántas páginas tiene el libro?
6) Sean los conjuntos:
A = {25; 32; 42; 48; 58; 64}
B = {12; 28; 36; 40; 48; 54; 60}
Si «m» es la suma de los elementos múltiplos de
8 del conjunto A, y «n», la suma de los elementos
del conjunto B que no son múltiplos de 6, halla el
valor de (m – n).
De los datos:
Mayor número de dos cifras, múltiplo de 4: 96
Luego, A = 96
Mayor número múltiplo de 5 de la forma 6a:
Hay dos posibilidades, 60 y 65, pero como
piden el mayor, B = 65.
Mayor número múltiplo de 3 de la forma bb:
Los números múltiplos de 3 con esa forma son:
33; 66 y 99, como piden el mayor; entonces,
C = 99.
Operando: A + B – C = 96 + 65 – 99 = 62
Rpta.: 62
Edad de Manuel (Padre): 33 = 27
Edad de Sebastián (Hijo): 6
Hallando los múltiplos:
27
° = 0; 27; 54; …
6
° = 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54;...
Menor múltiplo en común distinto de 0: 54
Rpta.: 54 años
Datos del número:
• Múltiplo de 8
• Comprendido entre 479 y 485
Números entre 479 y 485: 480; 481; 482; 483 y 484
Entre estos, el único múltiplo de 8 es 480.
Rpta.: Tiene 480 páginas.
Elementos múltiplos de 8 del conjunto A: 32; 48
y 64
Entonces, m = 32 + 48 + 64 = 144
Elementos del conjunto B que no son múltiplos de
6: 28 y 40
Entonces, n = 28 + 40 = 68
Calculando: m – n = 144 – 68 = 76
Rpta.: 76
Múltiplos de 9: 0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72;
81; 90; 99; 108; 117; …
Siete primeros números impares múltiplos de
9: 9; 27; 45; 63; 81; 99 y 117
Sumando:
9 + 27 + 45 + 63 + 81 + 99 + 117 = 441
Rpta.: 441
De los datos:
Mayor número de una cifra múltiplo de 8: 8
Entonces: M = 6 + 8 = 14
Mayor número de dos cifras múltiplo de 10: 90
Entonces: N = 8 + 90 = 98
Por lo tanto: M = 14 ∧ N = 98
Además, es claro que 14 × 7 = 98 → «N» es
múltiplo de «M».
Rpta.: Sí, lo es.
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Unidad 3
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Múltiplos
corresponda.
• 65 = 5
° ( )
• 22 = 4
° ( )
• 72 = 6
° ( )
• 96 = 8
° ( )
• 15 = 2
° ( )
• 24 = 3
° ( )
• 36 = 4
° ( )
• 48 = 4
° ( )
• 83 = 2
° ( )
• 30 = 6
° ( )
• 57 = 7
° ( )
• 56 = 8
° ( )
• 16 = 4
° ( )
• 26 = 5
° ( )
2) Escribe los cinco primeros múltiplos de cada
número:
• 3 = ; ; ; ;
• 20 = ; ; ; ;
• 15 = ; ; ; ;
• 12 = ; ; ; ;
3) Dado el siguiente conjunto:
A = {12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42}
Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Qué elemento es un múltiplo de 13?
b) ¿Cuál es el mayor elemento múltiplo de 12?
c) ¿Cuáles son los elementos múltiplos de 7?
d) ¿Qué elemento es un múltiplo de 5 y 6 a la vez?
e) ¿Qué elemento es múltiplo de 11?
f) ¿Qué elemento es múltiplo de 10?
4) Si «M» es un número natural múltiplo de 6 de la
forma aa; «N», múltiplo de 5 de la forma bb, y
«P» el mayor número natural múltiplo de 8 de dos
cifras, calcula (M + N + P).
con un check () si el número es múltiplo de los
encabezados y con un aspa (X) en el caso contrario.
6) Halla la suma de cifras del cuadrado del mayor
número de dos cifras diferentes, múltiplo de 3.
5
° 4
° 10
° 6
° 9
°
200
304
300
502
1000
108
540
°
°
°
°
Datos:
• M = aa = 6
°
• N = bb = 5
°
• «P» es el mayor número natural múltiplo de
8 de dos cifras.
Se tiene:
El único número múltiplo de 6 de la forma aa
es 66. → M = 66
El único número múltiplo de 5 de la forma bb
es 55. → N = 55
El mayor número múltiplo de 8 de dos cifras es
96. → P = 96
Sumando: 66 + 55 + 96 = 217
Rpta.: 217
Mayor número de dos cifras diferentes que sea
múltiplo de 3: 96
Operando: 962 = 9216
Suma de cifras: 9 + 2 + 1 + 6 = 18
Rpta.: 18
El único elemento múltiplo de 11 es 33.
El mayor elemento múltiplo de 12 es 36.
Los elementos múltiplos de 7 son 21 y 42.
El elemento múltiplo de 5 y 6 a la vez es 30.
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
0
0
0
0
3
20
15
12
6
40
30
24
9
60
45
36
12
80
60
48
   X X
X  X X X
    X
X X X X X
   X X
X  X  
    
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Preparándonos para PISA
Múltiplos
1) Desarrolla los siguientes problemas con múltiplos y responde.
d) Un metro de tela cuesta S/.8. Si por todo un
paquete de tela se paga una cantidad de dinero
cuyo valor es múltiplo de 8, comprendido entre
115 y 122, ¿cuál es el monto pagado por el
paquete de tela?, ¿cuántos metros de tela se
compró?
e) Ricardo le dice a Eduardo: «Tengo un número
de canicas que es un múltiplo de 12, además de
ser un número de tres cifras de la forma 15a».
¿Cuántas canicas tiene Ricardo?
a) Un agricultor tiene un terreno de forma cuadrada,
cuyoladomide12m.¿Elvalordeláreadelterreno
es un múltiplo del triple de la medida del lado?
b) Las edades de tres hermanos son como sigue:
Pepe tiene 32 años; Marcelo, 23, y Joaquín, 42.
¿La suma de las edades de los tres hermanos es
un múltiplo de 11?
c) La mamá de María compra un libro de cocina,
cuya cantidad de páginas es un número
múltiplo de 4 de tres cifras diferentes. Además,
dicho número es el menor posible. ¿Cuál es el
número de páginas?
Datos:
• Lado (L) = 12 m
• Área (A) = L2
Área del terreno: L2 = 122 = 144 m2
Triple de la medida del lado del terreno:
3 × 12 = 36 m
Además, es claro que 36 × 4 = 144, por ende,
el valor del área del terreno es un múltiplo
del triple del lado de este.
Rpta.: Sí, lo es.
Datos
Costo de un metro de tela: S/.8
Cantidad pagada por el paquete de tela:
• Número múltiplo de 8
• Comprendido entre 115 y 122
Números comprendidos entre 115 y 122:
116; 117; 118; 119; 120 y 121
Entre estos números, el único múltiplo de
8 es 120.
Metros de tela comprada: 120 ÷ 8 = 15 m
Rpta.: Pagó S/.120 y compró 15 m de tela.
Datos
Canicas:
• Múltiplo de 12
• Número de tres cifras de la forma 15a
Los números de esa forma son 150; 151; 152;
153; 154; 155; 156; 157; 158 y 159.
Entre estos, el único que es múltiplo de 12 es
156, pues 13 × 12 = 156.
Rpta.: Ricardo tiene 156 canicas.
Datos:
• Pepe: 32 años
• Marcelo: 23 años
• Joaquín: 42 años
Sumando las edades:
32 + 23 + 42 = 9 + 8 + 16 = 33
Es claro que 3 × 11 = 33, por ende, la suma
de las edades de los tres hermanos es
múltiplo de 11.
Rpta.: Sí, lo es.
Datos: número de páginas de un libro
• Múltiplo de 4
• Tres cifras diferentes
• Menor posible
Múltiplos de 4 de tres cifras: 100; 104; 108; ...
Como se busca el menor de 3 cifras diferentes;
entonces, el número es 104.
Rpta.: El número de páginas es 104.
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Ficha de trabajo
Unidad 3
98
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medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
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Editorial.
Nivel 1 Divisores o factores
Nivel 1
1) Encierra con un círculo los divisores de los números indicados.
a) D(4) b) D(8) c) D(5)
2) En los siguientes enunciados, escribe V si es verdadero o F si es falso según corresponda.
• 5 es divisor de 15. ( )
• 4 es factor de 24. ( )
8
1
12
2
4
4
2
16
1
8
10
1
15
20
5
3) Encuentra los divisores de los números señalados
y escríbelos.
a) Divisores de 18

b) Divisores de 30

c) Divisores de 36

d) Divisores de 45

4) Halla los divisores de los números indicados y
encierra con un círculo aquellos que son comunes
y mayores que 3.
a) D(35) = { }
b) D(40) = { }
c) D(50) = { }
d) D(55) = { }
e) D(70) = { }
5) Halla los divisores de cada grupo de números y
encierra la alternativa que represente el mayor
divisor común de dicho grupo.
• 44; 88; 99
a) 5 b) 8 c) 9 d) 11
• 25; 60; 65
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20
V
V
F
F
F
D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
D(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
D(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}
1; 5; 7; 35
1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40
1; 2; 5; 10; 25; 50
1; 5; 11; 55
1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70
Hallando divisores:
D(44) = {1; 2; 4; 11; 22; 44}
D(88) = {1; 2; 4; 8; 11; 22; 44; 88}
D(99) = {1; 3; 9; 11; 33; 99}
Divisores comunes: 1 y 11
Mayor divisor común: 11
Hallando divisores:
D(25) = {1; 5; 25}
D(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}
D(65) = {1; 5; 13; 65}
Divisores comunes: 1 y 5
Mayor divisor común: 5
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Unidad 3
99
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total
o
parcial
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libro
por
cualquier
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o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Nivel 2
1) Escribe V si es verdadero o F si es falso en cada
caso.
2) Determina por extensión cada conjunto.
a) A = {x/x ∈ N, 25 x 65 ∧ 5 es divisor de x}
b) B = {x/x ∈ N, 56 x 120 ∧ 11 es divisor de x}
c) C = {x/x ∈ N, 32 x 100 ∧ 9 es divisor de x}
3) Halla y encierra con un círculo los divisores
comunes de cada grupo de números.
a) DC(78; 52)
3 2 13 1 26
b) DC(81; 99)
1 2 9 6 3
4) Encierra con un círculo la proposición correcta
según cada enunciado.
• El 1...
a) es divisor de cualquier número natural.
b) solo tiene por divisores a sí mismo y al cero.
c) es divisor de todos los números, pero no de
sí mismo.
d) no tienen divisores.
• El 0...
a) es divisor de cualquier número.
b) no es divisor de ningún número.
c) solo es divisor de sí mismo.
d) solo es divisor de 1.
5) Encuentra los divisores de los números 30 y 42, y
da como respuesta la suma de todos los divisores
comunes menores que 6.
6) Resuelve y responde la pregunta. Rosa quiere
guardar 32 libros colocando la misma cantidad de
libros por caja. Si Rosa tiene 5 cajas, ¿podrá realizar
lo que quiere?
A = {30; 35; 40; 45; 50; 55; 60}
Hallando divisores:
D(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
D(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}
DC(30; 42) = {1; 2; 3; 6}
Suma de divisores comunes menores que 6:
1 + 2 + 3 = 6
Rpta.: 6
Para que Rosa pueda guardar los 32 libros en las
5 cajas, el número 5 debe ser un divisor de 32.
Hallando los divisores de 32:
D(32) = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
Como 5 no es divisor de 32, Rosa no podrá
realizar lo que quiere.
Rpta.: No podrá.
B = {66; 77; 88; 99; 110}
C = {36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99}
Hallando divisores:
D(78) = {1; 2; 3; 6; 13; 26; 39; 78}
D(52) = {1; 2; 4; 13; 26; 52}
DC(78; 52) = {1; 2; 13; 26}
Hallando divisores:
D(81) = {1; 3; 9; 27; 81}
D(99) = {1; 3; 9; 11; 33; 99}
DC(81; 99) = {1; 3; 9}
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Unidad 3
100
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o
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Editorial.
Nivel 1
a) En el aula de Josué hay 48 lápices sueltos y
varios tipos de estuches que pueden contener
hasta 6; 7; 9 y 10 lápices cada uno. ¿En qué tipo
de estuches puede guardar Josué los lápices sin
que sobre ni falte ninguno?
b) ¿Cuál es la cantidad máxima de cuadrados, de
más de 1 cm de lado, que se puede obtener de
un rectángulo de 42 cm de largo por 28 cm de
ancho?
c) Victoria quiere colocar en una o más filas sus
24 muñequitas de porcelana, de manera que
en cada fila haya el mismo número de muñecas.
¿De cuántas maneras puede hacerlo?
d) Se disponen de 54 barras de turrón de la clase
A y 36 de la clase B que van a formar parte de
las canastas de Navidad. ¿Cuántas canastas se
podrán elaborar si se sabe que debe haber más
de una y las canastas deben tener el número
máximo de turrones? ¿Cuántos turrones habrá
por cada canasta?
1) Resuelve los siguientes problemas y responde las preguntas.
Se trata de ver cuál de los siguientes
números: 6; 7; 9 o 10 son divisores de 48.
D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}
Luego, el único divisor de 48 de los números
mencionados es 6.
Rpta.: En los estuches que tienen capacidad
para 6 lápices.
El número de maneras posibles corresponde
a la cantidad de divisores de 24.
D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
Rpta.: De 8 maneras.
Hallando divisores:
D(54) = {1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54}
D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
Hallando divisores comunes:
DC(36; 54) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Como debe haber más de una canasta, no se
toma en cuenta el primer divisor en común.
Veamos todas las posibilidades:
Rpta.: Se podrán elaborar 2 canastas con 45
turrones cada una.
Hallando divisores:
D(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}
D(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}
Hallando divisores comunes:
DC(42; 28) = {1; 2; 7; 14}
Como debe tener más de 1 cm de lado, no se
toma en cuenta el primer divisor común.
Como se observa, la cantidad máxima de
cuadrados que se puede obtener es 294.
Rpta.: La cantidad máxima de cuadrados es
294.
Lado
del
cuadrado
N.o de
divisiones
(largo)
N.o de
divisiones
(ancho)
Total de
cuadrados
2 cm 21 14 294
7 cm 6 4 24
14 cm 3 2 6
N.o de
canastas
N.o de
turrón A
N.o de
turrón B
Total de
turrones
2 27 18 45
3 18 12 30
6 9 6 15
9 6 4 10
18 3 2 5
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Unidad 3
101
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Divisores o factores
1) Rosa tiene para su fiesta 20 sombreros, 40 globos,
30 silbatos y 10 caretas, que quiere repartirlos de
manera equitativa. Elabora un cuadro con la posible
cantidad de niños que recibirán estos objetos, si se
sabe que son más de uno, y cuántos elementos de
cada tipo le tocaría a cada niño.
2) Resuelve el problema.
Matías tiene un terreno rectangular de 42 m de
largo y 36 m de ancho, y quiere dividirlo en parcelas
cuadradas del mismo tamaño. ¿Cuántas parcelas
cuadradas obtendría como mínimo si quiere una
cantidad par en cada lado del terreno rectangular?
3) Calcula la suma de los divisores comunes de dos
números, cuyas características son: el primero es
el menor número mayor que 30, que tenga como
divisor a 19, y el segundo es el mayor número
impar de dos cifras múltiplo de 5.
4) Si el mayor divisor común de «A» y 36 es 18,
además, «A» es un número de dos cifras, calcula la
suma del mínimo y el máximo valor de «A».
5) Enuntallerdedanzade35estudiantes,lasextaparte
de los asistentes es igual a la cantidad de ausentes.
Halla la diferencia entre el número de asistentes y
ausentes.
Hallando los divisores:
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
D(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
D(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
D(10) = {1; 2; 5; 10}
DC(20; 40; 30; 10) = {1; 2; 5; 10}
Menor número mayor que 30 que tenga a 19
como divisor: 38
Mayor número impar de dos cifras
múltiplo de 5: 95
Hallando sus divisores:
D(38) = {1; 2; 19; 38}
D(95) = {1; 5; 19; 95}
Divisores comunes: DC(38; 95) = {1; 19}
Sumando: 1 + 19 = 20 Rpta.: 20
Hallando divisores:
D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
D(A) = {1; …; 18; …}
Como 18 es divisor de «A», entonces «A» es
igual a 18 multiplicado por un número natural
distinto de cero, de tal manera que «A» sea de
dos cifras, y teniendo en cuenta que 18 es el
mayor divisor común de «A» y 36, se tiene como
posibles valores de «A»: 18; 54 y 90.
Calculando la suma:
Mínimo valor de «A»: 18 +
Máximo valor de «A»: 90
Total: 108 Rpta.: 108
Asistentes: M Ausentes: N
6 es divisor de M → M = 6; 12; 18; 24; 30
Además, N = M ÷ 6 → N = 1; 2; 3; 4; 5
Como M + N = 35, los únicos valores que
cumplen son: M = 30, N = 5
Por lo tanto, M – N = 30 – 5 = 25 Rpta.: 25
Hallando los divisores:
D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
D(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}
DC(36; 42) = {1; 2; 3; 6}
1 m de lado → 36 × 42 parcelas
Además del dato, el número de parcelas de
cada lado del terreno rectangular debe ser
par, entonces, los valores que cumplen son las
parcelas de 1 m y 3 m de longitud.
Calculando el número total de parcelas:
1 m de lado → 36 × 42 = 1512
3 m de lado → 12 × 14 = 168
Rpta.: Obtendría 168 parcelas como mínimo.
N.ode
niños
Elementos
sombreros globos silbatos caretas
2 10 20 15 5
5 4 8 6 2
10 2 4 3 1
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Unidad 3
102
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Editorial.
corresponda.
2) Encierra con un círculo según lo indicado.
a) Son divisores de 5.
5 10 2 15 1
b) Son divisores de 8.
2 6 3 4 16
c) Son divisores de 12.
3 2 18 24 6
3) Halla los divisores de cada grupo de números y
luego encierra el mayor divisor común.
a) 18; 8; 12
D(18) = { }
D(8) = { }
D(12) = { }
b) 28; 35; 70
D(28) = { }
D(35) = { }
D(70) = { }
4) Representa cada conjunto por extensión.
a) A = {x/x ∈ N, 2 x 25 ∧ 3 es divisor de x}
b) B = {x/x ∈ N, 5 x 50 ∧ 7 es divisor de x}
5) Calcula la suma de todos los divisores comunes de
60 y 55.
6) ¿De cuántas maneras un profesor podrá agrupar
a 24 estudiantes en uno o más grupos de igual
cantidad? Ninguno debe quedarse sin grupo. Halla
la respuesta.
7) Sebastián quiere colocar en una o más filas a sus
30 soldaditos, de manera que en cada fila haya el
mismo número de muñecos. ¿De cuántas maneras
puede hacerlo? Resuelve y responde.
8) Tania tiene 21 alfajores de chocolate y 18 de dulce
de leche, y quiere repartir la misma cantidad de
cada uno de ellos entre sus amigos. ¿Para cuántos
amigos como máximo alcanzará? Halla la respuesta.
F
V
F
V
F
1; 2; 3; 6; 9; 18
1; 2; 4; 7; 14; 28
1; 2; 4; 8
1; 5; 7; 35
1; 2; 3; 4; 6; 12
1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70
A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}
D(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}
D(55) = {1; 5; 11; 55}
DC(60; 55) = {1; 5}
Suma de divisores comunes: 1 + 5 = 6
Rpta.: 6
D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
Como no puede haber grupos de una persona,
entonces se podrán agrupar de 7 maneras.
Rpta.: Puede hacerlo de 7 maneras.
El número de maneras posibles corresponde a
la cantidad de divisores de 30.
D(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Rpta.: Puede hacerlo de 8 maneras.
Hallando divisores:
D(21) = {1; 3; 7; 21}
D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Hallando el mayor divisor común:
DC(21; 18) = {1; 3}, el mayor es 3.
Número máximo de amigos a quienes
repartirá: 3
Rpta.: Le alcanzará para 3 amigos.
B = {7; 14; 21; 28; 35; 42; 49}
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Unidad 3
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Editorial.
1) Carlos y Héctor han observado que, en un canal
de televisión, el tiempo que duran los comerciales
es de 3 min. Después de ver toda la mañana
televisión, Hector afirmó: «Yo he calculado 2h y 3
min de comerciales», mientras que Carlos dijo: «Yo,
122 min». Si se sabe que alguien acertó, ¿quién
calculó correctamente el tiempo que duraron los
comerciales? Desarrolla y responde.
2) Lee atentamente los datos del siguiente problema
y responde correctamente.
Supongamos que tenemos 4 puertas cerradas.
Se realiza, para cada puerta, el cambio de estado
(A = abierta, C = cerrada) dependiendo de la
cantidad de divisores que tenga el número de la
puerta según su posición. Cada divisor significará
un cambio de estado.
Comencemos:
• Nos ponemos en la puerta 1:
D(1) = {1}, por lo tanto, la puerta 1 cambiará de
estado una sola vez, tendremos:
A C C C
• Nos ponemos en la puerta 2:
D(2) = {1; 2}, tiene dos divisores, entonces
la puerta 2 cambiará de estado 2 veces,
manteniéndose como está:
A C C C
• Nos colocamos en la puerta 3:
D(3) = {1; 3}, tiene dos divisores, entonces
la puerta 3 cambiará de estado 2 veces,
manteniéndose como está:
A C C C
• Nos colocamos en la puerta 4:
D(4) = {1; 2; 4}, tiene 3 divisores, entonces la
puerta 4 cambiará de estado 3 veces:
A C C A
En este ejemplo han quedado abiertas la puerta
1 y la puerta 4.
Con lo anterior, responde la siguiente pregunta:
Sifueran10puertas,¿quépuertasestaríanabiertas
al final?
C
C C C
Carlos:
D(122) = {1; 2; 61; 122}
Como 3 no es un divisor de 122, Carlos no pudo
haber calculado correctamente el tiempo.
Hector:
2 h y 3 min equivalen a 123 min.
D(123) = {1; 3; 41; 123}
Como 3 es divisor de 123, Hector calculó bien
el tiempo.
Rpta.: Hector calculó correctamente el tiempo.
Teniendo en cuenta los divisores de cada
número:
D(1) = {1}
D(2) = {1; 2}
D(3) = {1; 3}
D(4) = {1; 2; 4}
D(5) = {1; 5}
D(6) = {1; 2; 3; 6}
D(7) = {1; 7}
D(8) = {1; 2; 4; 8}
D(9) = {1; 3; 9}
D(10) = {1; 2; 5; 10}
Así, se tendrá:
A C C A C C C C A C
Rpta.: Quedan abiertas las puertas 1, 4 y 9.
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Unidad 3
104
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Nivel 1 Criterios de divisibilidad
Nivel 1
1) Completa las tablas escribiendo «sí» o «no» según las condiciones y justifica tu respuesta de acuerdo con los
criterios de divisibilidad.
a) Números divisibles entre 2
b) Números divisibles entre 3
c) Números divisibles entre 4
d) Números divisibles entre 5
e) Números divisibles entre 6
Número Respuesta Justificación
132
152
414
219
f) Números divisibles entre 8
3000
6321
6888
3641
g) Números divisibles entre 9
963
261
224
143
h) Números divisibles entre 10
5930
4700
4581
6985
3582
1357
6340
9459
351
621
211
224
4372
5455
1100
3449
5783
1344
4570
1545
Sí Su última cifra es par.
No Su última cifra es impar.
Sí Su última cifra es 0.
Sí 3 + 5 + 1 = 9 = 3
°
Sí 6 + 2 + 1 = 9 = 3
°
No 2 + 1 + 1 = 4 ≠ 3
°
No 2 + 2 + 4 = 8 ≠ 3
°
Sí 72 = 4
°
No 55 ≠ 4
°
Sí Acaba en 00.
No 49 ≠ 4
°
No No acaba en 0 ni en 5.
No No acaba en 0 ni en 5.
Sí Acaba en 0.
Sí Acaba en 5.
Sí Acaba en 0.
Sí Acaba en 0.
No No acaba en 0.
No No acaba en 0.
Sí 9 + 6 + 3 = 18 = 9
°
Sí 2 + 6 + 1 = 9 = 9
°
No 2 + 2 + 4 = 8 ≠ 9
°
No 1 + 4 + 3 = 8 ≠ 9
°
Sí Acaba en 000.
No 321 ≠ 8
°
Sí 888 = 8
°
No 641 ≠ 8
°
Sí
Última cifra par
1 + 3 + 2 = 6 = 3
°
No 1 + 5 + 2 = 8 ≠ 3
°
Sí
Última cifra par
4 + 1 + 4 = 9 = 3
°
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Editorial.
Nivel 2
345 008
148 024
793 194
217 000
1) Completa la tabla escribiendo sí o no si los números
son divisibles entre 8 y justifica tu respuesta de
acuerdo con el criterio de divisibilidad.
2) Observa el cuadro de doble entrada y marca con
un aspa (X) la casilla según la divisibilidad de cada
número.
3) De acuerdo con los criterios de divisibilidad, ¿por
qué número natural, mayor que 1 y menor que 7,
no es divisible 35 136? Encierra la respuesta.
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3
4) Si 45339b es divisible entre 4, halla el mayor
valor de «b» y marca con un aspa (X) la alternativa
correcta.
a) 4 b) 6 c) 8 d) 2
5) Encuentra el mayor valor de «a» para que 1a24 sea
divisible entre 6. Encierra la respuesta correcta.
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6
6) Halla el menor valor de «a» para que el número
343567aaa sea divisible entre 8. Marca con un
aspa (X) tu respuesta.
a) 8 b) 0 c) 4 d) 2
2 3 4 5 6 8 9
213 240
123 908
353 475
1032
35 415
Número: 35 136
Es divisible entre 2, ya que acaba en un número
par.
Es divisible entre 3, pues
3 + 5 + 1 + 3 + 6 = 18 = 3
°
Es divisible entre 4, pues 36 = 4
°
No es divisible entre 5, pues no acaba en 0 ni
en 5.
Es divisible entre 6, pues lo es entre 2 y 3 a la
vez.
Como 45339b es divisible entre 4, entonces,
según el criterio, 9b es múltiplo de 4.
Múltiplos de 4 de la forma 9b: 92 y 96
Como se busca el mayor valor de «b», se tiene:
9b = 96 → b = 6
El número 1a24 es divisible entre 2, pues acaba
en una cifra par. Para que sea divisible entre 3,
se debe cumplir:
1 + a + 2 + 4 = 3
°
7 + a = 3
°
Posibles valores de «a»: 2; 5 y 8
Como se busca el mayor valor, a = 8.
Para que 343567aaa sea divisible entre 8, el
número aaa debe ser un múltiplo de 8 o el
número 343567aaa debe acabar en 000.
Como se busca el menor valor de «a»,
entonces a = 0.
X X X X X X
X X
X X X
X X X X X
X X X
Sí 8 es múltiplo de 8.
Sí 24 es múltiplo de 8.
No 194 no es múltiplo de 8.
Sí Acaba en 000.
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Unidad 3
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Nivel 3
1) Según los siguientes números:
N = 532a , divisible entre 2
M = 1b413, divisible entre 3
Encuentra el mayor valor de «a» y «b» para que
cumpla la condición en cada caso, luego halla el
valor de (a + b) y encierra la respuesta correcta.
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17
2) Se tiene los siguientes números: 3154; 11 112 y
97 214. ¿Cuántos de ellos son divisibles entre 6?
Marca con un aspa (X) tu respuesta.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
3) Relaciona mediante flechas cada número con uno
o más divisores según corresponda.
4) El número a71b es divisible entre 30, donde la cifra
«a» es el mayor número posible. Halla el valor de
(a + b) y encierra la alternativa correcta.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
5) Escribe V si es verdadero o F si es falso de acuerdo
con las proposiciones, luego justifica y encierra la
alternativa correcta.
I) 1446 es divisible entre 6. ( )
II) 479 532 es divisible entre 4. ( )
III) 1 178 752 es divisible entre 8. ( )
a) VVF b) VFV c) FFF d) VVV
111
9
3074
5
2763
2
4565
8
232
3
De los datos:
N = 532a es divisible entre 2, por ende, «a» es
un número par o es igual a 0.
Como se quiere el mayor valor de «a», este
será 8.
M = 1b413 es divisible entre 3, luego:
1 + b + 4 + 1 + 3 = 9 + b = 3
°
Posibles valores de «b»: 0; 3; 6 y 9
Como se pide el mayor valor, entonces b = 9.
Sumando: a + b = 8 + 9 = 17
Como 30 = 3 × 10, entonces a71b debe ser un
número divisible entre 3 y 10 a la vez.
Para que sea divisible entre 10, el número a71b
debe acabar en 0, entonces b = 0.
Para que sea divisible entre 3, según el criterio:
a + 7 + 1 + 0 = a + 8 = 3
°
Luego, el mayor valor posible de «a» es 7.
Sumando: a + b = 7 + 0 = 7
Justificación:
I) Si la base es divisible entre un número,
entonces la potencia es divisible entre el
mismo número, en este caso, 144 es divisible
entre 6, por ende, 1446 también lo es.
II) 32 = 4
°
III) 752 = 8
°
V
V
V
Hallando la divisibilidad de cada número:
• 3154
Última cifra par → divisible entre 2
3 + 1 + 5 + 4 = 13 ≠ 3
° → no es divisible entre 3,
por lo tanto, no es divisible entre 6.
• 11 112
1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6 = 3
° → es divisible entre 3,
por lo tanto, es divisible entre 6.
• 97 214
9 + 7 + 2 + 1 + 4 = 23 ≠ 3
° → no es divisible
entre 3, por lo tanto, no es divisible entre 6.
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Unidad 3
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Criterios de divisibilidad
1) ¿Cuál es la diferencia entre 871 y el mayor número
divisible entre 9 menor que este? Resuelve y
encierra la respuesta.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
2) Determina qué cifra final, distinta de las otras tres,
se puede añadir al número 562 para formar un
número de cuatro cifras divisible entre 3.
3) Observa los siguientes números:
A = 1457n, divisible entre 5
B = 2m321, divisible entre 9
Si «n» es el mayor número posible, halla el valor de
(n2 + m2) y encierra tu respuesta.
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27
4) Aplicando el criterio de divisibilidad, ¿cuál es el
residuo de cada división? Completa la tabla, luego
marca con un aspa (X) la alternativa que indica la
suma de todos los residuos.
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17
5) Si a52b es divisible entre 36, halla los posibles
valores de (a + b).
División Aplicando criterios Residuo
95 ÷ 3
1246 ÷ 5
436 787 ÷ 4
986 547 ÷ 9
2345 ÷ 2
1046 ÷ 8
Hallando el mayor número divisible entre 9
menor que 871:
8 + 7 + 1 = 16 = 9 + 7 = 9
° + 7
Luego, para hallar dicho número, se le resta 7:
871 – 7 = 864
Verificando: 8 + 6 + 4 = 18 = 9
°
Diferencia: 871 – 864 = 7
Número: 562a
Datos:
• «a» distinto de 2; 5 y 6
• 562a divisible entre 3
Como 562a es divisible entre 3, entonces:
5 + 6 + 2 + a = 13 + a = 3
°
Pero por dato, «a» debe ser distinto de 5 y 2,
luego, el único valor que tomará «a» es 8.
Rpta.: 8
Como 36 = 4 × 9, entonces a52b debe ser
divisible entre 4 y 9 a la vez.
a52b divisible entre 4:
Se debe cumplir 2b = 4
° → b = 0; 4; 8
a52b divisible entre 9:
Si b = 0: a + 5 + 2 + 0 = a + 7 = 9
° → a = 2
Luego: a + b = 2 + 0 = 2
Si b = 4: a + 5 + 2 + 4 = a + 11 = 9
° → a = 7
Luego: a + b = 7 + 4 = 11
Si b = 8: a + 5 + 2 + 8 = a + 15 = 9
° → a = 3
Luego: a + b = 3 + 8 = 11
Por lo tanto, los posibles valores de (a + b)
son: 2 y 11
Rpta.: 2 y 11
1457n divisible entre 5:
Entonces, por criterio de divisibilidad, n = 0 o
n = 5, pero como «n» es el mayor número
posible, n = 5.
2m321 divisible entre 9:
2 + m + 3 + 2 + 1 = 8 + m = 9
° → m = 1
Calculando: n2 + m2 = 52 + 12 = 25 + 1 = 26
9 + 5 = 14 = 12 + 2 = 3
° + 2 2
6 = 5 + 1 = 5
° + 1 1
87 = 84 + 3 = 4
° + 3 3
9 + 8 + 6 + 5 + 4 + 7 = 39
= 36 + 3 = 9
° + 3
3
5 = 4 + 1 = 2
° + 1 1
46 = 40 + 6 = 8
° + 6 6
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1) Observa el cuadro de doble entrada y marca con
un aspa (X) la casilla según la divisibilidad de cada
número.
2) Observa los siguientes números y luego responde.
¿Cuántos números son divisibles entre…?
• 2: • 5:
• 3: • 6:
• 4: • 9:
3) Escribe un número de dos cifras que sea divisible
entre 2 y 4. ¿Por qué otros números es divisible?
Encuentra dos de ellos y menciónalos.
4) Resuelve el problema. Para hallar el mayor número
divisible entre 3, menor que 7345, ¿cuánto se le
debe disminuir a este número?
5) Completa con la cifra que falta para que se cumpla
cada situación.
• 452 es divisible entre 2.
• 57 2 es divisible entre 3.
6) Con las tarjetas mostradas, forma números de
cuatro cifras diferentes y escribe un ejemplo según
cada condición.
0 2 5 1 8 3
• Divisible entre 2:
2 3 4 5 6 8 9
232
550
1240
2391
3390
5040
9495
2748
2601
2700 4911
2505
4710
3475
5924
Número: 72
• 72 es divisible entre 2, pues acaba en cifra
par.
• 72 es divisible entre 4, pues 72 = 4
°.
Otros divisores: 6 y 9
Número: 7345
Aplicando criterio de divisibilidad entre 3:
7 + 3 + 4 + 5 = 19 = 18 + 1 = 3
° + 1
Luego, se le debe disminuir 1 para hallar el
mayor número divisible entre 3 menor que
7345. El número en cuestión sería 7344.
Rpta.: Se le debe disminuir 1.
4 4
6 3
3 2
5108
5082
2580
8105
3582
3512
2358
Respuesta
sugerida
Respuesta libre
Respuesta sugerida
X X X
X X
X X X X
X
X X X X
X X X X X X X
X X X
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Unidad 3
109
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Editorial.
1) Por su cumpleaños, Javier recibió un teléfono
celular, con el número 931904406, como regalo de
su tía Ana. Al preguntarle sobre las bondades que
tenía, ella le mencionó que la línea de saldo para
llamadas la podía calcular formando un número
con las cantidades halladas en las siguientes
condiciones:
• La primera cantidad corresponde a la diferencia
obtenida al restar el número divisible entre 8
más próximo al número de teléfono, y este.
• La segunda cantidad es el residuo que se
obtiene al dividir el número de teléfono entre 9.
Halla la cantidad de saldo en soles y marca con un
aspa (X) la alternativa correcta.
a) S/.10 b) S/.20 c) S/.39 d) S/.48
2) Al recibir el año nuevo del 2016, un niño del curso
de Matemática, del quinto de primaria, se dio
cuenta de que 2016 cumple con la mayoría de los
criterios de divisibilidad vistos. Halla la suma de
estos divisores.
3) Alberto tomó un taxi y se fijó rápidamente en la
placa del auto. Luego, quiso recordar el número,
el cual estaba compuesto por las letras ARI y del
mayor número de tres cifras divisible entre 8.
¿Cuál es la suma de las cifras de la placa del auto?
Encierra la respuesta.
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23
4) Pedro nació el 29 de febrero 1996. ¿Cuántas veces
ha celebrado su cumpleaños en dicha fecha?
Encierra la respuesta correcta.
a) 2 veces b) 3 veces c) 4 veces d) 5 veces
Para hallar el primer número:
Según la condición, el número divisible entre
8 más próximo a 931904406 es 931904408,
ya que cumple con el siguiente criterio: sus
últimas tres cifras deben ser un múltiplo de
8. Por lo tanto, la diferencia entre ambos
números es 2.
Para hallar el segundo número:
El residuo que resulta de la división de
931904406 entre 9 se puede determinar por el
criterio de divisibilidad:
9 + 3 + 1 + 9 + 0 + 4 + 4 + 0 + 6 = 36 = 9
°
Por lo tanto, el residuo es 0.
Finalmente, el saldo corresponde al número
20, ya que no puede ser 02.
Divisibilidad del número:
2
2016 3
4
6
8
9
La suma de los divisores es la siguiente:
2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 = 32
Rpta.: 32
Se busca el mayor número de tres cifras que
sea divisible entre 8:
Desde 999, se llega al 992, que corresponde al
número buscado.
Por lo tanto, la placa del auto es ARI-992.
Calculando la suma de cifras de la placa:
9 + 9 + 2 = 20
Los años bisiestos corresponden a números
divisibles entre 4. Por lo tanto, ha celebrado su
cumpleaños, en esa fecha, en los años 2000;
2004; 2008; 2012 y 2016.
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Unidad 3
110
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Nivel 1
Nivel 1 Números primos y compuestos
1) En el siguiente grupo de números, marca con un
aspa (X) los números primos.
2) Halla los 10 primeros números primos.
3) Marca con un aspa (X) en la celda correspondiente
para indicar si el número es primo o compuesto.
4) Colorea con rojo los números primos y con verde
los números compuestos.
5) Escribe los números que indican los enunciados.
a) Números primos entre 40 y 60
b) Números primos entre 60 y 80
corresponda.
• 29 es primo. ( )
• 83 es compuesto. ( )
• 52 es primo. ( )
• 59 es primo. ( )
7) Marca con un check () si los pares de números
son PESI y con un aspa (X) si no lo son.
8) Une con flechas, de izquierda a derecha, según sea
el caso.
número primo compuesto
54
37
72
41
61
87
90
17
15
9
2
7
11
14
4
3
16
Primo
Compuesto
13
10
8
5
12
6
37
25 17 19 16
84
63
97
53
31
55
76
29 73 36
67
89
26
42
43
Números PESI
3 y 5
4 y 9
10 y 15
25 y 24
16 y 64
32 y 65
17 y 18
17
15
18
23
49
61
82
41
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 y 29
41; 43; 47; 53 y 59
61; 67; 71; 73 y 79
V
F
V
F
V
V
R
R R
R
V V
V
V
V
V
V V
V
R
R
R
R
R R
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X
X
X
X
X
X
X
X
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Unidad 3
111
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Nivel 2
1) Completa los números con las cifras que faltan
para que se cumpla lo indicado.
• Primo : 8 ___
• Compuesto: 2 ___ 4
• Primo : 4 ___
• Compuesto : 15 ___
• Primo : ___ 3
• Primo : 1 ___ 7
• Compuesto : 30 ___
• Primo : 6 ___
2) Expresa cada conjunto por extensión.
a) A = {x/x ∈ N, x es número primo ∧ 10 x 20}
b) C={x/x∈N,xesnúmerocompuesto∧15x23}
3) De acuerdo a los datos, resuelve los siguientes
enunciados:
a) Encuentra un número primo de dos cifras, cuya
suma de cifras dé 14 y, además, la cifra de la
unidad sea 9.
b) Encuentra un número primo de dos cifras cuya
suma de cifras dé 10 y la cifra de la decena sea 7.
con un aspa (X) en la celda correspondiente para
indicar a las parejas de números que son primos
entre sí (PESI).
5) Determina cada conjunto por extensión y da
como respuesta la suma de todos los elementos
obtenidos.
A = {x/x ∈ N, x es primo ∧ 50 x 54}
B = {x/x ∈ N, x es primo ∧ 30 x 35}
C = {x/x ∈ N, x es primo ∧ 65 x 70}
6) Completa las siguientes igualdades con números
primos:
• – = 1
• + = 9
• + = 8
• × = 22
• × = 35
7) Completa la tabla según corresponda.
Primo
anterior
Número
Compuesto
posterior
12
25
36
49
58
62
3 5 8 9 10
13
35
24
16
17
A = {11; 13; 17; 19}
C = {16; 18; 20; 21; 22}
Los números primos de dos cifras, cuya cifra
de la unidad es 9, son 19; 29; 59; 79 y 89
Como 5 + 9 = 14, entonces, el número buscado
es 59.
Rpta.: 59
Los elementos de los conjuntos son:
A = {53} B = {31} C = {67}
Luego, la suma es 53 + 31 + 67 = 151
Rpta.: 151
3
2
3
2
7
5
2
5
11
7
Los números primos de dos cifras, cuya cifra
de la decena es 7, son 71; 73 y 79
Como 7 + 3 = 10, entonces, el número buscado
es 73.
Rpta.: 73
3
7
3
9
7
5
2
2
Respuesta sugerida
X X X X X
X X X
X
X X X
X X X X X
11 14
23 26
31 38
47 50
53 60
61 63
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Unidad 3
112
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Nivel 1
1) Halla la suma de todos los números primos
comprendidos entre 10 y 90, que terminan en 1.
¿Es un número primo la suma obtenida?
2) Dado el conjunto:
A = {63; 87; 127; 192; 204}
Halla la suma de cifras del único elemento primo
de A. Para esto, primero determina los divisores y
la cantidad de divisores de cada elemento.
3) En una división, el dividendo es 1928 y el divisor es
52. Analiza si el cociente y el residuo son números
primos o compuestos.
4) Halla el menor número primo capicúa de tres cifras
(un número capicúa es aquel número que al leer
de derecha a izquierda y de izquierda a derecha
dan el mismo resultado).
5) Si 2a; 2b; 6c; 6d son números primos y están
ordenados en forma creciente, halla el valor de
A = (a + b) – (c + d).
Los números primos indicados son:
11; 31; 41; 61; 71
La suma es 11 + 31 + 41 + 61 + 71 = 215
D(215) = {1; 5; 43; 215}
Entonces, no es un número primo.
Rpta.: La suma es 215 y no es número primo.
Dividiendo:
Rpta.:
El cociente es 37 y es un número primo.
El residuo es 4 y es un número compuesto.
Menor número capicúa de tres cifras: 101
Además, este número es primo, pues:
D(101) = {1; 101}
Por lo tanto, es el menor número primo capicúa
de tres cifras.
Rpta.: 101
Los números primos que tienen esa forma son
23; 29; 61 y 67, y están ordenados en forma
creciente.
Luego:
2a = 23 2b = 29
6c = 61 6d = 67
Por lo tanto: a = 3; b = 9; c = 1 y d = 7
Entonces:
A = (3 + 9) – (1 + 7) = 12 – 8 = 4
Rpta.: 4
Del conjunto dado:
63 es un número compuesto, tiene 6 divisores:
D(63) = {1; 3; 7; 9; 21; 63}
D(87) = {1; 3; 29; 87}
D(192) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 32; 48; 64;
96; 192}
204 es un número compuesto tiene 12 divisores:
D(204) = {1; 2; 3; 4; 6; 12; 17; 34; 51; 68; 102; 204}
127 es un número primo, tiene 2 divisores:
D(127) = {1; 127}
Por lo tanto, el único elemento primo es 127.
Suma de cifras: 1 + 2 + 7 = 10
Rpta.: 10
1 9 2 8 5 2
1 5 6 3 7
- 3 6 8
3 6 4
4
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Unidad 3
113
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Números primos y compuestos
1) Calcula la diferencia entre la suma de los tres
últimos números primos de dos cifras y la suma de
los cinco primeros números compuestos.
2) Si los siguientes números 4a, 16 y 18 son PESI,
calcula la suma de los posibles valores de «a».
3) Dados los siguientes conjuntos:
A = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
B = {12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19}
C = {16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23}
Halla el valor de (m + n – p), donde «m» es el
mayor número compuesto de los elementos del
conjunto A; «n», el menor número primo de los
elementos del conjunto B; y «p», el menor número
compuesto de los elementos del conjunto C.
4) Resuelve y responde. Rodolfo tiene por edad un
número de dos cifras consecutivas. Si la suma de
ambas cifras es 5, ¿cuántos años tiene Rodolfo?,
¿es primo este número?
5) Halla el producto de los números primos
comprendidos entre 40 y 60, cuyas cifras de las
unidades sean iguales.
6) En relación con los números primos 3a; 3b; 5c
y 5d, halla el valor de cada incógnita y da como
respuesta la suma de estas si se sabe, además, que
a b y c d.
Sea a(a + 1), la edad de Rodolfo, el número de
dos cifras consecutivas.
Por dato: a + (a + 1) = 5; entonces, a = 2.
Luego, el número buscado será 23.
Además, D(23) = {1; 23}
Rpta.: Tiene 23 años, y sí es un número primo.
Los números primos comprendidos entre 40 y
60 son 41; 43; 47; 53 y 59.
Los números primos que tienen las cifras de
las unidades iguales son 43 y 53.
Luego, su producto será:
43 × 53 = 2279
Rpta: 2279
Los números primos que tienen esa forma son
los siguientes: 31; 37; 53 y 59.
Ahora, igualando cada numeral con los
números primos obtenidos, y considerando
que a b y c d, se tiene:
3a = 31; entonces, a = 1
3b = 37; entonces, b = 7
5c = 53; entonces, c = 3
5d = 59; entonces, d = 9
Sumando: 1 + 7 + 3 + 9 = 20
Rpta.: 20
Los números que son PESI con 16 y 18, y además
tienen la forma 4a son 41; 43; 45; 47 y 49.
Luego, los posibles valores de «a» son:
1; 3; 5; 7 y 9
Suma de valores: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Rpta.: 25
De los datos:
m = 10 n = 13 p = 16
Operando:
m + n – p = 10 + 13 – 16 = 7
Rpta.: 7
Suma de los tres últimos números primos de
dos cifras:
83 + 89 + 97 = 269
Suma de los cinco primeros números
compuestos:
4 + 6 + 8 + 9 + 10 = 37
Operando:
269 – 37 = 232
Rpta.: 232
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1) En el siguiente conjunto, marca con un aspa (X) los
elementos que representan a números compuestos.
2) Halla los primeros 20 números compuestos.
3) Relaciona con flechas, de izquierda a derecha,
según sea el caso.
4) Completa los espacios en blanco con los números
que faltan y calcula la suma solo de los números
primos encontrados en los casilleros.
5) En una división el dividendo es 7108, el divisor es
134 y el residuo es 6. Halla el cociente e indica si el
número es primo o compuesto.
6) Calcula el menor número compuesto de la forma
abba.
7) Determina la suma del mayor número compuesto
de dos cifras con el mayor número primo de dos
crifras.
8) Halla tres números primos consecutivos de dos cifras
comprendidos entre 60 y 80 cuya suma sea 223.
.18
P
.2
.5
.11
.24
.4
.3
.16
.1
.13
.20
.6
.7
.12
Primo
Compuesto
43
36
55
29
21
59
96
89
1 2 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 28 29 30
32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 60
61 62 63 64 65 67 68 69 70
71 73 74 75 76 77 78 79 80
4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24;
25; 26; 27; 28; 30 y 32
Datos:
Dividendo = 7108
Divisor = 134
Residuo = 6
Cálculo del cociente:
Dividendo = divisor × cociente + residuo
7108 = 134 × cociente + 6
cociente = (7108 – 6) ÷ 134
cociente = 53
Además, D(53) = {1; 53}
Rpta.: El cociente es 53 y es un número primo.
El menor número de la forma abba es 1001.
Además, es un número compuesto, pues:
D(1001) = {1; 7; 11; 13; 77; 91; 143; 1001}
Rpta.: 1001
Mayor número compuesto de dos cifras: 99
Mayor número primo de dos cifras: 97
Por lo tanto, la suma de ellos será:
99 + 97 = 196
Rpta.: 196
Números primos entre 60 y 80: 61; 67; 71; 73 y 79
Los únicos tres números primos consecutivos
que cumplen con la condición son 71; 73 y 79,
ya que:
71 + 73 + 79 = 223
Rpta.: Los tres números primos consecutivos
son 71; 73 y 79.
Números primos: 3; 31; 43 y 59
La suma es 3 + 31 + 43 + 59 = 136.
Rpta.: 136
72
66
59
43
27
15
3
31
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1) Desarrolla y responde.
a) Pedro juega a las canicas, y en su colección, tiene
unacantidadqueesrepresentadaporunnúmero
primo de dos cifras consecutivas comprendida
entre 70 y 90. ¿Cuántas canicas tiene Pedro?
b) Patricio es dueño de 2 huertos. Si decide plantar
218 semillas de manera equitativa, ¿el número
de semillas por huerto será un número primo?
¿Por qué?
2) Si la edad de Eduardo es un número de dos cifras
consecutivas, cuya suma es 11, calcula dicha edad;
luego, determina si esta corresponde a un número
compuesto.
3) Resuelve y responde. Miguel es un estudiante
universitario que, al presentarse el primer día de
clases, fue abordado por algunos compañeros,
los cuales le preguntaron por su edad. Este les
respondió que era un número compuesto de dos
cifras cuya suma es 2. ¿Cuál es la edad de Miguel?
4) Javiertieneunagranjaconpatosygallinas.Endicha
granja, el número de patos es el mayor número
compuesto de una cifra, y el número de gallinas, el
menor número compuesto de la forma 3a. Según
lo anterior, calcula la cantidad de animales que
Javier tiene en su granja.
Características del número:
• Número primo
• Número entre 70 y 90
Posibilidades: 71; 73; 79; 83 y 89
Entre estos, el único número primo con cifras
consecutivas es 89.
Rpta.: Tiene 89 canicas.
Características del número:
• Compuesto de dos cifras: ab
• La suma de cifras es 2.
Posibilidades:
(a = 1 ∧ b = 1) ∨ (a = 2 ∧ b = 0)
Es decir, 11 o 20 años
Se deduce que es 20, ya que 11 es un número
primo.
Rpta.: La edad de Miguel es 20 años.
Datos:
Características de los números
Patos:
• Mayor número compuesto de una cifra
Gallinas:
• Menor número compuesto de la forma 3a
Los números que cumplen las condiciones son:
Patos: 9
Gallinas: 30
La cantidad de animales en la granja es:
9 + 30 = 39.
Rpta.: Javier tiene 39 animales
Datos:
• 218 semillas
• 2 huertos
Número de semillas por huerto: 218 ÷ 2 = 109
semillas
Divisores de 109: D(109) = {1; 109}
Rpta.: Sí es un número primo, porque solo tiene
dos divisores.
Características de la edad de Eduardo:
• Número de dos cifras consecutivas: a(a + 1)
• Suma de cifras igual a 11.
Operando:
a + (a + 1) = 11
2a + 1 = 11
2a = 10 → a = 5
Edad de Eduardo: 56 años
Además, 56 es compuesto.
Rpta.: La edad es 56, el cual es un número
compuesto.
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Nivel 1
Nivel 1 Descomposición de un número
en factores primos
1) Completa las tablas según el procedimiento de descomposición y escribe los factores obtenidos según
corresponda.
a)
68 = ×
b)
45 = ×
c)
539 = ×
2) Descompón los números de acuerdo con el diagrama de árbol y escribe los factores primos de cada uno.
a)
66 = ___ × ___ × ___
b)
114 = ___ × ___ × ___
c)
102 = ___ × ___ × ___
d)
130 = ___ × ___ × ___
3) Efectúa la descomposición en factores primos y escríbelos. Luego, indica cuáles son dichos factores.
a) b) c) d)
Número Descomposición
68
34
17
1
45 3
3
5
539 7
7
1
66 102
114 130
154 300 240 315
154 = ___ × ___ × ___
Factores primos:

300 = ___ × ___ × ___
Factores primos:

240 = ___ × ___ × ___
Factores primos:

29
23
11
7
17
13
5
3
2
315 = ___ × ___ × ___
Factores primos:

b) Une con una flecha cada número con su
respectiva descomposición.
• 160 • • 23 × 32 × 5
• 180 • • 22 × 52
• 360 • • 25 × 5
• 100 • • 22 × 32 × 5
• 120 • • 23 × 3 × 5
4) Marca con un aspa (X) los factores primos que
aparecen en la descomposición del número 2772.
22
2
2
17
15 77
11 11
5
1
32 72
17 5 11
3
2 3 11
2 7 11 32 5 7
24 3 5
22 3 52
2 3 19 2 3 17 2 5 13
3; 5 y 7
2; 3 y 5
2; 3 y 5
2; 7 y 11
3
3 5
2 2
2 2
11 17
19 13
33 51
57 65
2
77 7
11 11
1
2
150 2
75 3
25 5
5 5
1
2
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
3
105 3
35 5
7 7
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Nivel 2
1) Determina qué descomposición en factores primos es incorrecta, justifica por qué y corrígela.
a) b) c)
en factores primos
480 2
240 3
80 4
20 4
5 5
1
336 2
168 2
84 3
28 4
7 7
1
68 2
34 2
17 17
1
540 = ___ × ___ × ___ 600 = ___ × ___ × ___ 900 = ___ × ___ × ___
480 = 2 × 3 × 42 × 5 336 = 22 × 3 × 4 × 7 68 = 22 × 17
540 600 900
2) ¿Qué descomposición en factores primos
corresponde al número 432? Encierra y justifica tu
respuesta.
a) 23 × 32 b) 23 × 33 c) 24 × 32 d) 24 × 33
3) Al descomponer 640 en factores primos, se obtiene
una expresión de la forma 2a × 5b. Calcula el valor
de (a + b).
4) Realiza el diagrama de árbol para descomponer cada número y encontrar los factores primos; luego, completa.
a) b) c)
22 33 5 23 3 52 22 32 52
Incorrecto, pues 4
no es factor primo.
Lo correcto es
480 = 25 × 3 × 5.
Descomposición:
432 = 24 × 33
Descomposición:
640 = 27 × 5
Igualando:
27 × 5 = 2a × 5b
Entonces, a = 7 y b = 1
Sumando:
a + b = 7 + 1 = 8
Rpta.: 8
Incorrecto, pues 4
no es factor primo.
Lo correcto es
336 = 24 × 3 × 7.
La descomposición
es correcta.
432 2
216 2
108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1
640 2
320 2
160 2
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
2 2 2
2 2 2
3 2 3
3 3 3
3 5 5
270 300 450
135 150 225
45 75 75
15 25 25
5 5 5
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en factores primos
Nivel 3
1) Descompón 1500 en factores primos, halla el
producto de la suma de dichos factores y el
resultado de sumar los exponentes de estos.
Encierra la alternativa correcta.
a) 50 b) 55 c) 60 d) 65
2) Si a3 × 3a × bb = 225 000, halla el valor de (a + b) y
encierra la respuesta.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
3) Se compró cierta cantidad de polos, cuyo costo
por unidad es un número primo. Si el pago total
fue S/.143, tomando en cuenta que el precio por
unidad es un número mayor a la cantidad de polos
que se compró, ¿cuál es el precio de cada polo?
Resuelve y encierra tu respuesta.
a) S/.10 b) S/.11 c) S/.12 d) S/.13
4) Si N = 210 + 19 × 22, halla el mayor factor primo
de su descomposición y encierra la alternativa
correcta.
a) 7 b) 11 c) 13 d) 17
Descomponiendo:
1500 = 22 × 3 × 53
Suma de factores primos:
2 + 3 + 5 = 10
Suma de exponentes de
cada factor:
2 + 1 + 3 = 6
Multiplicando: 10 × 6 = 60
Descomponiendo:
143 = 11 × 13
Luego, el costo por unidad de cada polo puede
ser 11 o 13, pero como 11 13, el costo por
cada polo será S/.13.
Operando:
N = 210 + 19 × 22
N = 1024 + 19 × 4
N = 1024 + 76
N = 1100
Descomponiendo:
N = 1100 = 22 × 52 × 11
Mayor factor primo: 11
Descomponiendo:
225 000 = 23 × 32 × 55
Igualando: a3 × 3a × bb = 23 × 32 × 55
Por lo tanto, a = 2 y b = 5
Sumando: a + b = 2 + 5 = 7
1500 2
750 2
375 3
125 5
25 5
5 5
1
143 11
13 13
1
225 000 2
112 500 2
56 250 2
28 125 3
9375 3
3125 5
625 5
125 5
25 5
5 5
1
1100 2
550 2
275 5
55 5
11 11
1
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Unidad 3
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Descomposición de un número
en factores primos
1) De acuerdo a las siguientes descomposiciones en
factores primos:
A = 22 × 3 × 52
B = 22 × 3 × 5
C = 23 × 32 × 52 × 7
Halla el número por el que se debe multiplicar a
uno de los valores dados, para que cada enunciado
sea válido.
a) C es un múltiplo de A.
b) B es un divisor de A.
2) Calculaelmayorfactorprimodeladescomposición
del menor número de cifras distintas que se
puede formar con todos los números compuestos,
menores que 10.
3) Resuelve usando la descomposición en factores
primos y responde.
a) María desea distribuir el agua de un depósito
de 60 L en uno o más envases de manera que
contengan el mismo número de litros. ¿De
cuántas maneras podrá distribuirlas?
b) ¿De cuántas formas distintas se pueden envasar
80 botes de mermerlada en una o más cajas con
cantidades iguales?
C = 23 × 32 × 52 × 7 A = 22 × 3 × 52
Para que C sea un múltiplo de A, se debe
multiplicar a A los factores primos necesarios
para que ambas descomposiciones sean las
mismas, en este caso se multiplicará por 2 ×
3 × 7 = 42.
Así, C = 42 × A
Rpta.: 42
Se debe hallar los divisores de 60.
Descomposición:
60 = 22 × 3 × 5
Hallando divisores con ayuda de la
descomposición:
D(60) = {1; 2; 3; 5; 2 × 2; 2 × 3; 2 × 5; 3 × 5;
2 × 2 × 3; 2 × 2 × 5; 2 × 3 × 5; 2 × 2 × 3 × 5}
D(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}
El número de maneras posibles corresponde
a la cantidad de divisores de 60.
Rpta.: Podrá distribuirlas de 12 maneras.
Se debe hallar los divisores de 80.
Descomposición:
80 = 24 × 5
Hallando divisores con ayuda de la
descomposición:
D(80) = {1; 2; 5; 2 × 2; 2 × 5; 2 × 2 × 2; 2 × 2 × 5;
2 × 2 × 2 × 2; 2 × 2 × 2 × 5; 2 × 2 × 2 × 2 × 5}
D(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80}
La cantidad de formas distintas corresponde
al número de divisores de 80.
Rpta.:Puedenenvasarsede10formasdistintas.
B = 22 × 3 × 5 A = 22 × 3 × 52
Para que B sea un divisor de A, se debe
multiplicar a B los factores primos necesarios
para que ambas descomposiciones sean las
mismas, en este caso se multiplicará por 5.
Así, 5 × B = A.
Rpta.: 5
Números compuestos menores que 10: 4; 6; 8
y 9
Menor número con cifras distintas que se puede
formar: 4689
Descomponiendo:
Rpta.: 521
60 2
30 2
15 3
5 5
1
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
4689 3
1563 3
521 521
1
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120
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este
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por
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expreso
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2) Relaciona mediante una flecha cada descomposición
en factores primos con su respectivo número.
• 22 × 5 × 7 • • 1600
• 52 × 13 • • 198
• 2 × 32 × 11 • • 325
• 32 × 52 × 7 • • 195
• 3 × 5 × 13 • • 1575
• 26 × 52 • • 140
corresponda.
• Al descomponer 77, se tienen dos factores
primos.( )
• El resultado de sumar los factores primos de
105 es 15. ( )
• 44 es el producto de todos los factores primos
de 168. ( )
1) Realizaladescomposicióndelossiguientesnúmerosenfactoresprimosporcualquiermétodo;luego,completa.
a)
b) 225
c)
d) 1914
en factores primos
Factores primos:
Descomposición: ___ × ___
Factores primos:
Descomposición: ___ × ___ × ___
Factores primos:
Descomposición: ___ × ___ × ___
Factores primos:
Descomposición: ___ × ___ × ___ × ___
4) Halla la suma de los factores primos de los
siguientes números:
a) 1400
b) 1700
78 140
Descomposición:
1400 = 23 × 52 × 7
Factores primos:
2; 5 y 7
Sumando:
2 + 5 + 7 = 14
Rpta.: 14
Descomposición:
1700 = 22 × 52 × 17
Factores primos:
2; 5 y 17
Sumando:
2 + 5 + 17 = 24
Rpta.: 24
1400 2
700 2
350 2
175 5
35 5
7 7
1
1700 2
850 2
425 5
85 5
17 17
1
Respuesta
sugerida
2
39 3
13 13
1
2
70 2
35 5
7 7
1
3; 5
2; 3; 13 2; 5; 7
2; 3; 11; 29
2 3 13 22 5 7
32 52 2 3 11 29
V
V
F
2
3
11
957
319
29
3
3
5
75
25
5
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Unidad 3
121
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o
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procedimiento
sin
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expreso
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Editorial.
en factores primos
1) A Jorge, quien es ingeniero de profesión, le
preguntaron por las edades de sus tres hijos
y respondió sonriendo lo siguiente: «Si logras
descomponer en factores primos el número
148 225, encontrarás que las edades de mis hijos
son las bases de las potencias de dichos factores».
Calcula la suma de las edades de los tres hijos.
2) Resuelve y responde. Los estudiantes del quinto
grado de primaria salieron de paseo. Si el pasaje
que pagó cada escolar fue S/.24 (ida y vuelta), y el
número de estudiantes que viajaron es el mayor
factor primo de 1771, ¿cuánto se pagó en total?
3) Desarrolla y contesta. Pedro gastó cierto dinero
con la compra de un automóvil cuyo precio es el
valor de 25 × 53 × 7 en nuevos soles, y otro monto
por una moto cuyo valor corresponde al producto
de 250 por el mayor factor primo de 1938. ¿Cuánto
gastó Pedro en total?
4) Desarrolla y responde. Después de la clase de
Matemática, Luis le preguntó a Diego por la
dirección de su casa y este le contesta: «Vivo en
el pasaje Limatambo, pero la numeración de mi
casa corresponde al menor número que se puede
formar con los factores primos de 3600». ¿Cuál es
la dirección de Diego?
Descomponiendo:

148 225 = 52 × 72 × 112
Edades de los hijos: 5; 7 y 11 años
Sumando: 5 + 7 + 11 = 23
Rpta.: 23
Hallando el precio del automóvil:
25 × 53 × 7 = S/.28 000
Para calcular el valor de la moto, primero se
debe hallar el mayor factor primo de 1938.
Descomponiendo:
1938 = 2 × 3 × 17 × 19
Precio de la moto: 250 × 19 = S/.4750
Sumando: 28 000 + 4750 = 32 750
Rpta.: En total gastó S/.32 750.
Descomponiendo:
3600 = 24 × 32 × 52
Factores primos:
2; 3 y 5
Menor número que se puede
formar a partir de estos: 235
Rpta.: La dirección es pasaje
Limatambo n.° 235.
Pasaje por cada escolar: 24 = S/.16
Descomponiendo:
1771 = 7 × 11 × 23
Por lo tanto, el número de estudiantes que
viajaron es 23.
Operando: 23 × 16 = S/.368
Rpta.: En total se pagó S/.368.
148 225 5
29 645 5
5929 7
847 7
121 11
11 11
1
3600 2
1800 2
900 2
450 2
225 3
75 3
25 5
5 5
1
1938 2
969 3
323 17
19 19
1
1771 7
253 11
23 23
1
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Ficha de trabajo
Unidad 3
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o
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o
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expreso
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la
Editorial.
Nivel 1 Mínimo Común Múltiplo
Nivel 1
1) Halla el MCM en cada caso.
a)
2) Relaciona con flechas según corresponda.
• MCM(2; 9) • • 24
• MCM(3; 5) • • 45
• MCM(8; 3) • • 28
• MCM(9; 5) • • 72
• MCM(4; 7) • • 18
• MCM(36; 24) • • 15
3) En relación con las siguientes descomposiciones:
A = 2 × 32 × 5
B = 22 × 3 × 52
C = 22 × 32
D = 2 × 3
Halla el MCM de lo indicado aplicando el
procedimiento de la descomposición en factores
primos.
a) De A y B
b) De A y C
c) De B y C
d) De C y D
e) De A y D
4 - 12 - 24
7 - 42 - 14
25 - 50 - 75
5 - 10 - 30
12 - 18 - 20
30 - 60 - 120
b)
c)
d)
e)
f)
MCM(4; 12; 24) =
MCM(7; 42; 14) =
MCM(25; 50; 75) =
MCM(5; 10; 30) =
MCM(12; 18; 20) =
MCM(30; 60; 120) =
120
180
30
MCM(A; B) = 22 × 32 × 52 = 900
MCM(A; C) = 22 × 32 × 5 = 180
MCM(B; C) = 22 × 32 × 52 = 900
MCM(C; D) = 22 × 32 = 36
MCM(A; D) = 2 × 32 × 5 = 90
150
42
24
2
2 - 6 - 12 2
1 - 3 - 6 2
1 - 3 - 3 3
1 - 1 - 1
2
7 - 21 - 7 3
7 - 7 - 7 7
1 - 1 - 1
2
25 - 25 - 75 3
25 - 25 - 25 5
5 - 5 - 5 5
1 - 1 - 1
2
5 - 5 - 15 3
5 - 5 - 5 5
1 - 1 - 1
2
6 - 9 - 10 2
3 - 9 - 5 3
1 - 3 - 5 3
1 - 1 - 5 5
1 - 1 - 1
2
15 - 30 - 60 2
15 - 15 - 30 2
15 - 15 - 15 3
5 - 5 - 5 5
1 - 1 - 1
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Unidad 3
123
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o
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cualquier
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sin
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expreso
de
la
Editorial.
Nivel 2
1) Resuelve y responde. Si el producto de dos
números PESI es 105, ¿cuál será su MCM?
2) Halla, por descomposición en factores primos,
el MCM de 9 y 12. Luego, da como respuesta el
número de divisores de este.
3) Completa los casilleros en blanco y halla el MCM
en cada caso.
a)
b)
c)
6 - 15 - 90
- 15 - 3
1 - - 15 3
1 - 5 - 5
1 - 1 - 1
14 - 42 - 8 2
- 21 -
7 - 21 - 2 2
7 - - 1
7 - 7 - 1 7
1 - 1 - 1
6 - 8 - 24
- 4 - 2
3 - 2 - 2
3 - 1 - 3
1 - 1 - 1
4) Escribe V si es verdadero o F si es falso según sea
el caso.
Números Afirmación
• 25 y 40 Su MCM es 200. ( )
• 4; 5 y 8 Su MCM es 40. ( )
• 3; 6 y 15 Su MCM es 30. ( )
• 9; 12 y 21 Su MCM es 254. ( )
• 12; 14 y 21 Su MCM es 94. ( )
• 10; 15 y 20 Su MCM es 50. ( )
• 9; 18 y 36 Su MCM es 36. ( )
• 30; 60 y 80 Su MCM es 240. ( )
5) Desarrolla y contesta. Luis tiene un ejercicio de
matemáticas donde le piden calcular el MCM de
40 y 50, y él respondió 250. ¿El resultado de Luis es
correcto? ¿Por qué?
6) Halla el MCM de 45; 72 y 48. Da como respuesta la
suma de sus cifras.
MCM(6; 15; 90) =
MCM(6; 8; 24) =
MCM(14; 42; 8) =
Por propiedad, si dos números son PESI, el MCM
es el producto de ambos, en este caso, 105.
Rpta.: Será 105.
V
V
V
F
F
F
V
V
Descomposición en factores primos:
9 = 32
12 = 22 × 3
MCM(9; 12) = 22 × 32 = 36
D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
Rpta.: 9
40 = 23 × 5
50 = 2 × 52
MCM(40; 50) = 23 × 52 = 8 × 25 = 200
Rpta.: No, porque MCM(40; 50) = 200.
Hallando el MCM:
MCM(45; 72; 48) = 24 × 32 × 5 = 720
Suma de cifras: 7 + 2 + 0 = 9
Rpta.: 9
7 4
3 12
6
3
2
2
3
21
24
168
90
2
5
5
3 45
45 - 72 - 48 2
45 - 36 - 24 2
45 - 18 - 12 2
45 - 9 - 6 2
45 - 9 - 3 3
15 - 3 - 1 3
5 - 1 - 1 5
1 - 1 - 1
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Unidad 3
124
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total
o
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Nivel 3
1) Si el MCM de 3; 7 y 13 es un número de la forma
abc, halla (b + c)a.
2) Respecto a los siguientes números:
Calcula el MCM de las cantidades que tengan
raíz cuadrada y expresa el resultado por
descomposición en factores primos.
3) Resuelve y responde. Tres barcos salen del mismo
puerto. El primero sale cada 8 días; el segundo,
cada 9 días, y el tercero, cada 12 días. Si hoy
salieron juntos, ¿después de cuántos días volverán
a salir del puerto a la misma vez?
4) Resuelve los siguientes problemas y encierra la
alternativa correcta.
• Enrelaciónconlassiguientesdescomposiciones:
A = 22 × 32
B = 24 × 3 × 52
C = 23 × 33 × 5
Halla el MCM de A, B y C.
a) 10 500
b) 10 600
c) 10 700
d) 10 800
• Si «k» es un número natural y MCM(15k; 20k) =
180, determina el valor de «k».
(Usa la propiedad: MCM(kA; kB) = k × MCM(A; B))
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
5) Desarrolla y contesta. Las dimensiones de una
caja son 6 cm de alto, 10 cm de ancho y 15 cm
de largo. Si se quiere construir un cubo con cajas
de este tipo, ¿cuánto mediría como mínimo el lado
del cubo?
150 196 729
256 110
El único divisor en común de los números 3; 7 y
13 es la unidad, luego estos números son PESI.
Por propiedad, el MCM de 3; 7 y 13 coincide
con el producto de estos.
Se tiene:
MCM(3; 7; 13) = 3 × 7 × 13 = 273
Luego: a = 2 b = 7 c = 3
Por lo tanto, (b + c)a = (7 + 3)2 = 102 = 100
Rpta.: 100
Usandoelprocedimientopordescomposición
en factores primos:
MCM(A; B; C) = 24 × 33 × 52 = 16 × 27 × 25 =
10 800
Teniendo en cuenta la propiedad, se tiene:
MCM(15k; 20k) = k × MCM(15; 20) = 180
Pero MCM(15; 20) = 60
Entonces:
k × MCM(15; 20) = 180
k × 60 = 180
k = 3
Para hallar la mínima medida del lado del
cubo se debe hallar el MCM de 6; 10 y 15:
MCM(6; 10; 15) = 30
Rpta.: El lado del cubo mediría 30 cm.
Números con raíz cuadrada: 196; 256 y 729
196 = 22 × 72
256 = 28
729 = 36
MCM(196; 256; 729) = 28 × 36 × 72
Rpta.: 28 × 36 × 72
Se debe hallar el MCM de 8; 9 y 12.
Por descomposición en factores primos:
8 = 23
9 = 32
12 = 22 × 3
MCM(8; 9; 12) = 23 × 32 = 8 × 9 = 72
Rpta.: Después de 72 días
10 - 15 - 6 2
5 - 15 - 3 3
5 - 5 - 1 5
1 - 1 - 1
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Unidad 3
125
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Mínimo Común Múltiplo
1) Desarrolla y contesta. En un circuito de
carreras, dos autos parten del mismo punto.
Si el primer auto da la vuelta al circuito
en 32 s, y el segundo auto lo hace en 36 s,
¿luego de cuánto tiempo coincidirán de nuevo
desde que partieron?
2) Resuelve y responde. Tres avisos luminosos se
encienden de la siguiente manera: el primero
cada 5 s, el segundo, cada 8 s, y el tercero, cada
12 s. A las 8 p. m., los tres avisos se encienden
simultáneamente. ¿Cuántas veces coinciden los
avisos encendidos en los 4 min siguientes?
3) Halla el MCM de 4716; 2358; 786; 262 y 131.
4) Tres amigos deciden ahorrar parte de su propina
con el propósito de ir de paseo. Diego ahorra S/.5
diariamente; Claudia, S/.3, y Margarita, S/.4. Si se
sabe que el monto que debe juntar cada uno es un
múltiplo común de estas 3 cantidades y, además,
comenzaron a ahorrar el 3 de marzo, ¿cuándo se
irán de paseo si quieren ir lo más pronto posible?
Encierra tu respuesta.
a) 21 marzo
b) 22 marzo
c) 23 marzo
d) 24 marzo
Primer auto: 32 s Segundo auto: 36 s
Para hallar el tiempo en
el que se demorarán en
coincidir de nuevo, se
tendrá que hallar el MCM
de estos dos números.
MCM(32; 36) = 25 × 32 = 32 × 9 = 288
Rpta.: Luego de 288 s.
Analizando:
131 × 36 = 4716
262 × 18 = 4716
786 × 6 = 4716
2358 × 2 = 4716
4716 × 1 = 4716
Se observa que 4716 es múltiplo de los cinco
números mencionados, además, vendría a ser
el menor múltiplo, ya que está dentro de ese
grupo.
Por lo tanto, MCM(4716; 2358; 786; 262; 131)
= 4716
Rpta.: 4716
Para calcular el monto que debe juntar cada
uno para ir de paseo se halla el MCM:

MCM(4; 5; 3) = 22 × 3 × 5 = 60
El monto con el que irán de paseo es de S/.60.
El que menos ahorra demora más tiempo,
luego, Claudia ahorrando S/.3 diarios, demoró
60 ÷ 3 = 20 días.
Por lo tanto, se irán de paseo el 3 + 20 – 1 = 22
de marzo.
Primer aviso: cada 5 s
Segundo aviso: cada 8 s
Tercer aviso: cada 12 s
Hallando el MCM:
MCM(5; 8; 12) = 23 × 3 × 5 = 120
Luego, a partir de las 8 p. m., cada 120 s o
2 min los avisos luminosos estarán
encendidos simultáneamente.
Por lo tanto, en los 4 min siguientes,
coincidirán 2 veces.
Rpta.: 2 veces
32 - 36 2
16 - 18 2
8 - 9 2
4 - 9 2
2 - 9 2
1 - 9 3
1 - 3 3
1 - 1
5 - 8 - 12 2
5 - 4 - 6 2
5 - 2 - 3 2
5 - 1 - 3 3
5 - 1 - 1 5
1 - 1 - 1
4 - 5 - 3 2
2 - 5 - 3 2
1 - 5 - 3 3
1 - 5 - 1 5
1 - 1 - 1
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126
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o
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la
Editorial.
1) Halla el MCM en cada caso.
a)
3) Resuelveyresponde.Tresómnibusinterprovinciales
salen del terminal. El primero sale cada 6 días; el
segundo, cada 15 días, y el tercero, cada 24 días.
Si los tres ómnibus salieron de dicho terminal el
mismo día, ¿después de cuántos días volverán a
salir juntos?
4) Si el MCM de 4; 15 y 23 es un número de la forma
abcd, halla [(a + c)b]d.
corresponda.
Números Afirmación
• 5 y 15 Su MCM es 20. ( )
• 12 y 18 Su MCM es 36. ( )
• 4; 5 y 8 Su MCM es 40. ( )
• 36 y 24 Su MCM es 70. ( )
• 16 y 96 Su MCM es 96. ( )
• 14 y 21 Su MCM es 21. ( )
• 32 y 36 Su MCM es 288. ( )
• 25 y 65 Su MCM es 345. ( )
9 - 16 - 21
3 - 8 - 15
12 - 16 - 24
MCM(9; 16; 21) =
MCM(3; 8; 15) =
MCM(12; 16; 24) =
2) Une con flechas según corresponda.
• MCM(2; 8) • • 18
• MCM(3; 4) • • 50
• MCM(6; 9) • • 36
• MCM(10; 50) • • 180
• MCM(4; 9) • • 8
• MCM(18; 60) • • 12
• MCM(36; 25) • • 90
• MCM(9; 30) • • 900
b)
b)
Primer ómnibus: cada 6 días
Segundo ómnibus: cada 15 días
Tercer ómnibus: cada 24 días
Hallando el MCM:
MCM(6; 15; 24) = 120
Rpta.: Después de 120 días
Como el único divisor en común de los números
4; 15 y 23 es la unidad; entonces, son números
PESI.
Luego, por propiedad, se tiene:
MCM(4; 15; 23) = 4 × 15 × 23 = 1380
Por lo tanto: a = 1 b = 3 c = 8 d = 0
Reemplazando: [(a + c)b]d = [(1 + 8)3]0 = 1
Rpta.: 1
6 - 15 - 24 2
3 - 15 - 12 2
3 - 15 - 6 2
3 - 15 - 3 3
1 - 5 - 1 5
1 - 1 - 1
1008
120
F
V
V
F
V
F
V
F
48
2
9 - 8 - 21 2
9 - 4 - 21 2
9 - 2 - 21 2
9 - 1 - 21 3
3 - 1 - 7 3
1 - 1 - 7 7
1 - 1 - 1
2
3 - 4 - 15 2
3 - 2 - 15 2
3 - 1 - 15 3
1 - 1 - 5 5
1 - 1 - 1
2
6 - 8 - 12 2
3 - 4 - 6 2
3 - 2 - 3 2
3 - 1 - 3 3
1 - 1 - 1
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Unidad 3
127
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o
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o
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expreso
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la
Editorial.
1) Lee el texto, luego resuelve y responde las
preguntas.
Carlos tiene bolsas de caramelos de limón, con 40
unidades cada una; de fresa, con 30 unidades cada
una, y de naranja, con 25 unidades cada una. Si él
desea llenar una caja con estos caramelos usando
un número exacto de bolsas, de tal manera que en
esta haya la misma cantidad de caramelos de cada
tipo y la menor cantidad de caramelos posibles,
entonces:
a) ¿Cuántos caramelos de cada tipo utilizará para
llenar la caja?
b) ¿Cuántos caramelos empleará en total para
llenar la caja?
c) ¿Cuántas bolsas de caramelos utilizará para
llenar dicha caja?
2) Resuelve y responde.
a) Luis tiene una cierta cantidad de galletas. Al
contarlas de 4 en 4, de 5 en 5, y de 6 en 6, siempre
le sobran 2. Si se sabe que el número de galletas
que tiene Luis es menor a 100, ¿cuántas galletas
tiene?
b) En una ciclovía, tres ciclistas parten a las 9 de
la mañana del mismo punto. El primero da una
vuelta en 20 min; el segundo, en 30 min, y el
tercero, en 40 min. ¿A qué hora los tres ciclistas
se encuentran luego de la partida?
Hallando el MCM de 40; 30 y 25:
MCM(40; 30; 25) = 23 × 3 × 52 = 600
Rpta.: Utilizará 600 caramelos de cada tipo.
Número de galletas de Luis: x
x = 4
° + 2 = 5
° + 2 = 6
° + 2
Hallando el MCM de 4; 5 y 6:
MCM(4; 5; 6) = 22 × 3 × 5 = 60
Luego, x = 60
° + 2
Por lo tanto, el total de galletas tiene la
forma 60
° + 2, como debe ser menor que
100 se tendrá: 60 × 1 + 2 = 62.
Rpta.: Tiene 62 galletas.
1.er ciclista: Una vuelta en 20 min
2.o ciclista: Una vuelta en 30 min
3.er ciclista: Una vuelta en 40 min
Hallando el MCM:
MCM(20; 30; 40) = 23 × 3 × 5 = 120
Por lo tanto, se vuelven a encontrar
después de 120 min = 2 h, es decir, a las
9 + 2 = 11 a. m.
Rpta.: Se encuentran a las 11 a. m.
Como son 3 tipos de caramelos, y usó 600
caramelos de cada tipo, entonces:
600 × 3 = 1800 caramelos
Rpta.: Empleará en total 1800 caramelos.
N.o de bolsas de caramelos de limón:
600 ÷ 40 = 15
N.o de bolsas de caramelos de fresa:
600 ÷ 30 = 20
N.o de bolsas de caramelos de naranja:
600 ÷ 25 = 24
Sumando: 15 + 20 + 24 = 59
Rpta.: Utilizará 59 bolsas de caramelos.
40 - 30 - 25 2
20 - 15 - 25 2
10 - 15 - 25 2
5 - 15 - 25 3
5 - 5 - 25 5
1 - 1 - 5 5
1 - 1 - 1
6 - 5 - 4 2
3 - 5 - 2 2
3 - 5 - 1 3
1 - 5 - 1 5
1 - 1 - 1
20 - 30 - 40 2
10 - 15 - 20 2
5 - 15 - 10 2
5 - 15 - 5 3
5 - 5 - 5 5
1 - 1 - 1
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Ficha de trabajo
Unidad 3
128
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Editorial.
Nivel 1 Máximo Común Divisor
Nivel 1
1) Halla los divisores y divisores comunes que se piden
para luego deducir el MCD de los números indicados.
a) Divisores:
• D(20) = { }
• D(18) = { }
• D(30) = { }
b) Divisores comunes:
• DC(20; 18) = { }
• DC(20; 30) = { }
• DC(18; 30) = { }
c) Máximo Común Divisor:
• MCD(20; 18) =
• MCD(20; 30) =
• MCD(18; 30) =
2) Calcula el MCD de los números indicados.
a)
MCD(96; 108; 72) =
b)
MCD(16; 24; 36) =
c)
MCD(72; 40; 56) =
d)
MCD(64; 80; 128) =
3) Halla el MCD de 48; 24 y 36.
Da como respuesta la suma de sus cifras.
corresponda.
• El MCD de 2 y 3 es 6. ( )
• El MCD de 25 y 50 es 25. ( )
• El MCD de 16 y 32 es 8. ( )
• El MCD de 6 y 8 es 2. ( )
• El MCD de 8 y 5 es 10. ( )
5) Completa los casilleros en blanco y halla el
respectivo MCD.
a)
MCD(12; 6; 24) =
b)
MCD(12; 18; 30) =
c)
MCD(14; 42; 112) =
d)
12 - 6 - 24
6 - - 12 3
2 - 1 -
12 - 18 - 30 2
- 9 - 15
2 - 3 -
14 - 42 - 112 2
- 21 - 56
1 - - 8
16 - 24 - 36
96 - 108 - 72
72 - 40 - 56
54 - 18 - 36 2
- 9 - 18 3
9 - 3 - 6
- 1 - 2
64 - 80 - 128
MCD(54; 18; 36) =
1; 2; 4; 5; 10; 20
1; 2; 3; 6; 9; 18
1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
Hallando MCD:
MCD(48; 24; 36) = 22 × 3 = 12
Sumando cifras: 1 + 2 = 3
Rpta.: 3
1; 2
1; 2; 5; 10
1; 2; 3; 6
2
10
6
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6
2
3
7
3
3
6
7
27
3
3
5
4
6
14
18
4
8
16
48 - 24 - 36 2
24 - 12 - 18 2
12 - 6 - 9 3
4 - 2 - 3
2
8 - 12 - 18 2
4 - 6 - 9
2
48 - 54 - 36 2
24 - 27 - 18 3
8 - 9 - 6
2
36 - 20 - 28 2
18 - 10 - 14 2
9 - 5 - 7
2
32 - 40 - 64 2
16 - 20 - 32 2
8 - 10 - 16 2
4 - 5 - 8
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Ficha de trabajo
Unidad 3
129
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Editorial.
Nivel 2
1) Calcula el MCD de 25; 50 y 175, suma sus cifras y
responde.¿Esunnúmerocompuestodichoresultado?
2) Realiza las siguientes operaciones y responde.
a) ¿Cuál es la diferencia entre el MCM y el MCD
de 24 y 32?
b) ¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir
MCM(8; 28) entre MCD(6; 24)?
c) ¿Cuál es el resultado de sumar el MCM y MCD
de 15 y 48?
3) Calcula el perímetro de la siguiente figura:
• MCD(400; 600) • • 4
• MCD(182; 240) • • 15
• MCD(305; 425) • • 200
• MCD(480; 720) • • 2
• MCD(285; 450) • • 5
• MCD(244; 360) • • 240
MCD(9; 18) m
MCM(6; 8) m
Hallando el MCD:
Luego, MCD(25; 50; 175) = 52 = 25
Suma de cifras: 2 + 5 = 7
Rpta.: No lo es.
Hallando MCM: Hallando MCD:
MCM(24; 32) = 25 × 3 = 96
MCD(24; 32) = 23 = 8
Hallando la diferencia: 96 – 8 = 88
Rpta.: La diferencia es 88.
MCM(15; 48) = 24 × 3 × 5 = 240
MCD(15; 48) = 3
Sumando: 240 + 3 = 243
Rpta.: El resultado es 243.
Hallando el MCM y el MCD:
MCM(6; 8) = 23 × 3 = 24
MCD(9; 18) = 32 = 9
Perímetro: 2 × 24 + 2 × 9 = 48 + 18 = 66 m
Rpta.: 66 m

MCM(8; 28) = 23 × 7 = 56
MCD(6; 24) = 2 × 3 = 6
Dividiendo: 56 ÷ 6 = 9, residuo = 2
Rpta.: El residuo es 2.
25 - 50 - 175 5
5 - 10 - 35 5
1 - 2 - 7
24 - 32 2
12 - 16 2
6 - 8 2
3 - 4 2
3 - 2 2
3 - 1 3
1 - 1
15 - 48 2
15 - 24 2
15 - 12 2
15 - 6 2
15 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1
8 - 28 2
4 - 14 2
2 - 7 2
1 - 7 7
1 - 1
24 - 32 2
12 - 16 2
6 - 8 2
3 - 4
15 - 48 3
5 - 16
6 - 24 2
3 - 12 3
1 - 4
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Unidad 3
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la
Editorial.
Nivel 3
1) Si:
A = 27 × 36 × 54 × 72
B = 26 × 310 × 76
C = 32 × 54 × 72 × 114
D = 22 × 34 × 76 × 112
Calcula el valor de cada expresión haciendo uso de
la descomposición en factores primos.
a) MCD(A; B)
b) MCD(C; D) ÷ 11
c) MCD(A; D) ÷ MCD(B; C)
2) El producto de dos números es 3456 y su MCM es
72. Calcula el MCD de dichos números.
3) Si P = MCD(52; 53; 54), calcula el valor de P.
4) Rafael quiere cercar un terreno rectangular que
mide 52 m de largo por 40 m de ancho, colocando
estacas a igual distancia una de la otra. Halla cuál
es la mayor distancia, en metros, entre las estacas.
5) Se quieren agrupar dulces en bolsas de la misma
capacidad. Si se sabe que hay 161 chocolates, 253
caramelos y 207 gomitas, resuelve cuántas bolsas
se necesitan si se deben usar el máximo número
de estas.
MCD(A; B) = 26 × 36 × 72
MCD(A; B) = 23 × 33 × 7 = 1512
Rpta.: 1512
Hallando divisores:
D(52) = {1; 5; 52} = {1; 5; 25}
D(53) = {1; 5; 52; 53} = {1; 5; 25; 125}
D(54) = {1; 5; 52; 53; 54} = {1; 5; 25; 125; 625}
Divisores comunes:
DC(52; 53; 54) = {1; 5; 25}
MCD(52; 53; 54) = 25
Por lo tanto, P = 25 → P = 5
Rpta.: 5
Para calcular la mayor distancia entre las
estacas, se halla el MCD:
MCD(52; 40) = 4
Por lo tanto, la mayor distancia entre las
estacas será 4 m.
Rpta.: 4 m.
Para hallar el máximo número de bolsas, se
debe hallar el MCD de estos números:
MCD(161; 253; 207) = 23
Rpta.: Se necesitan 23 bolsas.
MCD(C; D) = 32 × 72 × 112
MCD(C; D) = 3 × 7 × 11 = 231
MCD(C; D) ÷ 11 = 231 ÷ 11 = 21
Rpta.: 21
MCD(A; D) = 22 × 34 × 72
MCD(A; D) = 2 × 32 × 7 = 126
MCD(B; C) = 32 × 72
MCD(B; C) = 3 × 7 = 21
MCD(A; D) ÷ MCD(B; C) = 126 ÷ 21 = 6
Rpta.: 6
Sean los números «A» y «B».
Datos:
A × B = 3456
MCM(A; B) = 72
Recordando: A × B = MCM(A; B) × MCD(A; B)
Aplicando la propiedad y reemplazando valores:
3456 = 72 × MCD(A; B)
MCD(A; B) = 3456 ÷ 72 = 48
Rpta.: 48
52 - 40 2
26 - 20 2
13 - 10
161 - 253 - 207 23
7 - 11 - 9
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Unidad 3
131
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la
Editorial.
Máximo Común Divisor
1) Se quiere distribuir 140 cuadernos, 80 lapiceros
y 225 borradores en paquetes que contengan
igual número de útiles escolares. Halla cuántos
paquetes como máximo habrá y cuántos útiles
tendrá cada paquete.
2) Si se quiere dividir un terreno rectangular de
3200 m de largo y 2400 m de ancho en porciones
cuadradas de igual superficie, resuelve cuántas
porciones se obtendrían si se busca que la
superficie de estos sea la máxima.
3) Un comerciante tiene tres barriles de aceite: uno
de 360 L, otro de 480 L, y otro de 500 L. Si desea
venderlos en barriles más pequeños y de igual
capacidad, de modo que no sobre ni falte aceite,
calcula cuál es la cantidad máxima de barriles que
podría vender y qué capacidad tendrían.
4) Tres primos tienen unos trozos de cuerdas que
miden 74 cm, 32 cm, y 46 cm, respectivamente.
Quieren cortarlos en trozos de igual longitud, de tal
manera que la medida de cada trozo sea la mayor
posible y que a cada uno le sobre 4 cm. Calcula
cuántos trozos se obtendrían.
Para hallar el número máximo de paquetes, se
halla el MCD de estos números:
MCD(140; 80; 225) = 5
N.o paquetes: 5
N.o de cuadernos por paquete: 140 ÷ 5 = 28
N.o de lapiceros por paquete: 80 ÷ 5 = 16
N.o de borradores por paquete: 225 ÷ 5 = 45
Cantidad de útiles por paquete:
28 + 16 + 45 = 89
Rpta.: Habrá 5 paquetes con 89 útiles cada uno.
Para calcular el número máximo de barriles
que podría vender, calculamos el MCD:
MCD(360; 480; 500) = 20
Luego, el máximo número de barriles será 20.
Para calcular la capacidad de cada barril
realizamos las siguientes divisiones:
360 ÷ 20 = 18 L
480 ÷ 20 = 24 L
500 ÷ 20 = 25 L
Luego, la capacidad de cada barril será la suma
de estas: 18 + 24 + 25 = 67 L
Rpta.: Podría vender 20 barriles de 67 L de
capacidad.
Como debe sobrar 4 cm, se le corta a cada trozo
esa medida:
74 – 4 = 70 cm
32 – 4 = 28 cm
46 – 4 = 42 cm
Para hallar la medida de cada trozo, hallamos el
MCD de estos números:
MCD(70; 28; 42) = 14
Dividendo:
70 ÷ 14 = 5 28 ÷ 14 = 2 42 ÷ 14 = 3
Número total de trozos: 5 + 2 + 3 = 10
Rpta.: Se obtendrían 10 trozos.
Para que la superficie de cada porción sea la
máxima, se halla el MCD. Por descomposición
en factores primos:
2400 = 25 × 3 × 52
3200 = 27 × 52
MCD(2400; 3200) = 25 × 52 = 800
Luego, cada lado del terreno rectangular se
dividirá en porciones de 800 m.
N.o de divisiones en el ancho del terreno:
2400 ÷ 800 = 3
N.o de divisiones en el largo del terreno:
3200 ÷ 800 = 4
Total de divisiones: 3 × 4 = 12
Rpta.: Se obtendrían 12 porciones.
140 - 80 - 225 5
28 - 16 - 45
360 - 480 - 500 2
180 - 240 - 250 2
90 - 120 - 125 5
18 - 24 - 25
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132
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sin
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Editorial.
Máximo Común Divisor
1) Halla el MCD de los siguientes grupos de números:
a)
MCD(20; 24; 36) =
b)
MCD(96; 108; 48) =
c)
2) Responde cuál es la diferencia entre el MCM y el
MCD de 36 y 48.
3) Calcula la suma de los números primos menores
que el MCD de 240; 180 y 160.
4) Sean:
A = 4 × 34 × 5 × 14
B = 8 × 9 × 21
SiMCD(A;B)=2a ×3b ×7c,calculaelvalorde(a+b+c).
• MCD(416; 60) • • 90
• MCD(150; 24) • • 4
• MCD(100; 290) • • 14
• MCD(256; 128) • • 128
• MCD(28; 350) • • 6
• MCD(270; 900) • • 10
corresponda.
• El MCD de 1 y 100 es 100. ( )
• El MCD de 19 y 38 es 19. ( )
• El MCD de 2 y 4 es 4. ( )
• El MCD de 8 y 32 es 8. ( )
• El MCD de 8 y 20 es 16. ( )
• El MCD de 5 y 35 es 7. ( )
• El MCD de 36 y 12 es 3. ( )
• El MCD de 9 y 11 es 99. ( )
• El MCD de 8 y 64 es 16. ( )
• El MCD de 300 y 3 es 3. ( )
20 - 24 - 36
96 - 108 - 48
210 - 80 - 120
MCD(210; 80; 120) =
4
12
10
Descomponiendo en factores primos:
36 = 22 × 32
48 = 24 × 3
MCM(36; 48) = 24 × 32 = 144
MCD(36; 48) = 22 × 3 = 12
MCM(36; 48) – MCD(36; 48) = 144 – 12 = 132
Rpta.: La diferencia es 132.
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
Descomponiendo en factores primos:
A = 22 × 34 × 5 × 2 × 7 = 23 × 34 × 5 × 7
B = 23 × 32 × 3 × 7 = 23 × 33 × 7
Luego:
MCD(A; B) = 23 × 33 × 7 = 2a × 3b × 7c
Así: a = 3 b = 3 c = 1
Sumando:
a + b + c = 3 + 3 + 1 = 7
Rpta.: 7
Calculando el MCD de estos números:
MCD(240; 180; 160) = 20
Números primos menores que 20: 2; 3; 5; 7;
11; 13; 17 y 19
Sumando:
2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 = 77
Rpta.: 77
240 - 180 - 160 2
120 - 90 - 80 2
60 - 45 - 40 5
12 - 9 - 8
2
10 - 12 - 18 2
5 - 6 - 9
2
48 - 54 - 24 2
24 - 27 - 12 3
8 - 9 - 4
2
105 - 40 - 60 5
21 - 8 - 12
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