El documento describe un problema en el que un camión y un auto viajan en direcciones opuestas entre Mar del Plata y Buenos Aires a velocidades constantes. Para determinar dónde y cuándo se cruzarán, se escriben las ecuaciones de las rectas que representan la distancia de cada vehículo con respecto al tiempo y se encuentra su punto de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones. La solución es que los vehículos se cruzarán a 325 km de Buenos Aires después de 2,5 horas desde que iniciaron sus viajes.

1. BúSQUEDA DE UN PUNTO DE ENCUENTRO PROBLEMA: Un camión sale desde Mar del Plata hacia Buenos Aires, por la ruta 2, y viaja a una velocidad constante de 30 kilómetros por hora. En el mismo momento, sale de Buenos Aires hacia Mar del Plata, por la misma ruta, un auto que se desplaza a una velocidad constante de 130 kilómetro por hora. Se considera que las dos ciudades distan entre sí 400 km el c y que los vehículos no se detienen en todo el camino. ¿ A qué distancia de Buenos Aires se cruzarán ambos vehículos? ¿ Cuánto tiempo después de haber iniciado el viaje se producirá este encuentro ? Para interpretar este problema, esbozamos en un mismo gráfico la distancia a Buenos Aires a cada vehículo en función del tiempo transcurrido desde el comienzo del movimiento. Dist. A Bs. As. (km) 400 El lugar y el momento en el que se cruzan los dos vehículos corresponden en el gráfico, a las coordenadas del punto de intersección entre las dos rectas, ya que ese punto representa la situación en la que los dos vehículos se hallan en el mismo lugar en el mismo instante. auto camión Tiempo (horas)

2. Para responder a las preguntas planteadas, se deben hallar las coordenadas del punto de intersección entre las rectas. Para poder hallar ese punto, es necesario escribir las ecuaciones de las rectas. Camión: Y = -30 X + 400 Auto: Y = 130 X Hallar el punto de intersección entre las rectas es encontrar el valor de X para el cual el valor de Y en ambas ecuaciones es el mismo. Se plantea y resuelve la siguiente ecuación: -30 + 400 = 130x 400=130x + 30x 400= 160x 2,5=x Se interpreta que ambos vehículos se encuentran cuando transcurrieron 2 hs y media desde que empezaron el movimiento.

3. El valor correspondiente de y puede calcularse reemplazando el valor de x obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones. Para el camión y = -30 . 2,5 +400 = 325 Para el auto Y = 130 . 2,5 = 325 Se concluye que los vehículos se cruzan a 325 kilómetros de Buenos Aires cuando transcurren 2 horas y media de sus respectivas partidas. Si se realiza el gráfico, teniendo en cuenta las fórmulas planteadas: Camión: y= -30x + 400 Auto: y = 130x Cuando se buscan soluciones que además deben ser soluciones de otras, se dice que se buscan soluciones de un sistemas de ecuaciones de dos variables, el conjunto solución esta formado por los pares de números que hacen que las dos igualdades sean ciertas. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Puede observarse que el punto (2,5;325) es el único que pertenece a ambas rectas, es decir se han hallado las coordenadas del punto de intersección entre ellas Dist. A Bs. As. (km) 400 (2,5;325) auto camión Tiempo (horas) 12

4. Para resolver un sistemas de ecuaciones lineales se pueden graficarlas rectas que representan cada condición del sistema y buscar gráficamente su intersección. Si algún valor no es exacto, se puede resolver analíticamente, es decir, usando las ecuaciones, y el gráfico permite estimar aproximadamente cual será la solución. Para resolver sistemas de ecuaciones analíticamente existen varios métodos Método de igualación Consta de los siguientes pasos: Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones. Se igualan las expresiones obtenidas en 1, lo que permite obtener el valor de una de ellas, en caso que exista. Se reemplaza el valor obtenido en 2 en cualquiera de las expresiones del primer paso para obtener el valor de la otra variable. Método de sustitución Consta de los siguientes pasos: Se despeja una de las variables de una de las ecuaciones; Se sustituye la expresión obtenida en 1 en la otra ecuación planteada. Se halla, así, el valor de una de las variables; Se reemplaza el valor obtenido en 2 en la expresión que se obtuvo en 1. así se halla el valor de la otra variable. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

5. Método de Reducción Para resolver un sistema por el método de reducción por sumas o restas se realizan los siguientes pasos: Se expresan ambas ecuaciones en forma implícita. Se multiplican o se dividen todos los coeficientes de una de las ecuaciones por un mismo número, de modo que los coeficientes de una de las variables, en ambas ecuaciones, resulten iguales en valor absoluto. Se suman o se restan la ecuación obtenida en el paso 2 con la del sistema original, que no fue alterada, de manera que se anulen los términos que contienen a una de las variables; esto permite obtener una ecuación con una sola variable. Se resuelve esta ecuación y se halla el valor de una de las variables. Se sustituye el valor obtenido en el paso 3 en cualquiera de las ecuaciones originales y se obtiene el valor de la otra variable.

6. Clasificación de sistemas de dos ecuaciones lineales Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables pueden ser:

16. GRAFICO

17. Para responder a las preguntas planteadas, se deben hallar las coordenadas del `punto de intersección entre las rectas. Para poder hallar ese punto, es necesario escribir las ecuaciones de las rectas. Camión: Y = -30 X + 400 Auto: Y = 130 X Hallar el punto de intersección entre las rectas es encontrar el valor de X para el cual el valor de Y en ambas ecuaciones es el mismo. Se plantea y resuelve la siguiente ecuación: -30 + 400 = 130x 400=130x + 30x 400= 160x 2,5=x Se interpreta que ambos vehículos se encuentran cuando transcurrieron 2 hs y media desde que empezaron el movimiento.

18. El valor correspondiente de y puede calcularse reemplazando el valor de x obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones. Para el camión y = -30 . 2,5 +400 = 325 Para el auto Y = 130 . 2,5 = 325 Se concluye que los vehículos se cruzan a 325 kilómetros de Buenos Aires cuando transcurren 2 horas y media de sus respectivas partidas. Si se realiza el gráfico, teniendo en cuenta las fórmulas planteadas: Camión: y= -30x + 400 Auto: y = 130x