1. UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
INGENIERÍA AMBIENTAL
Sesión de Aprendizaje 02:
TEMA: MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL
Objetivo: Aplicar las leyes del movimiento en la resolución de problemas.
Contenido.
➢ Conceptos básicos de Cinemática.
➢ Clasificación del movimiento.
➢ Movimiento rectilíneo uniforme
➢ Movimiento rectilíneo con aceleración constante.
➢ Movimiento de caída libre
➢ Resolución de problemas
Profesor: Pedro Julio Yovera Chapoñan.
31años
Licenciada por Sunedu
2. CINEMÁTICA.
Es la ciencia que estudia y describe los tipos de movimiento de los cuerpos sin considerar la causa
que lo origina
MOVIMIENTO Un cuerpo se mueve cuando su posición cambia, con respecto a un sistema de
referencia u observador
8. CAÍDA LIBRE.
Un cuerpo estará en caída libre si se deja caer desde el reposo con velocidad inicial cero y la
única fuerza que afecta su movimiento, es la fuerza gravitacional (es decir su propio peso).
Es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el que la aceleración coincide con
el valor de la aceleración de la gravedad y se desprecia todo tipo de rozamiento con el aire.
9. ANALISIS DE UN LANZAMIENTO DE UN CUERPO VERTICALMENTE HACIA ARRIBA
10. ECUACIONES HORARIAS DE CAIDA LIBRE
Ecuación de posición: 𝒚 𝒕 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎 +
𝟏
𝟐
𝒈. 𝒕 − 𝒕𝟎
𝟐 𝟏
Ecuación de la velocidad 𝒗 𝒕 = 𝒗0 + 𝒈 𝒕 − 𝒕0 2
Donde:
𝑦 𝑡 : Es la posición del cuerpo en determinado tiempo.
𝑦0: Es la posición inicial (es decir el punto donde se inicia el movimiento)
𝑡0: Es el tiempo inicial (que en la mayoría de situaciones es cero).
𝑣0: Es la velocidad inicial que tiene el cuerpo en el tiempo 𝑡0
𝑣 𝑡 : Es la velocidad en un determinado tiempo.
𝑔: Es la aceleración de la gravedad, cuyo signo depende del sistema de referencia elegido.
11. GRAFICOS DE CAIDA LIBRE.
Para realizar los gráficos de caída libre, tanto de posición, de velocidad y aceleración se debe elegir el
sistema de referencia. El signo de la aceleración de la gravedad dependerá del sistema de referencia.
Existen dos maneras de elegir el sistema de referencia, los cuales se detallan a continuación:
1) Sistema de referencia con valores positivos hacia arriba del origen.
Este es el sistema más utilizado. Los gráficos de caída libre en este sistema quedan de la siguiente forma:
12. 2) Sistema de referencia con valores positivos debajo del origen
13. EJEMPLOS
1) Un atleta corre alrededor de un parque como se observa en la figura, hallar:
a) la distancia recorrida. b) su desplazamiento
Solución: 𝑎) 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 = 20 + 80 + 60 + 80 = 240 𝑚.
)
𝑏 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∆ Ԧ
𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = +70 − +30 = 70 − 30 = +40 𝑚
14. 2) Una persona camina sobre una vereda horizontal partiendo del punto “A”, llega al punto “B” y
luego regresa nuevamente al punto “A”. ¿Cuál es su distancia recorrida y cuál es su
desplazamiento?
a) Distancia recorrida = 13 +13 = 26 m
)
𝑏 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = −3 − −3 = −3 + 3 = 0.
15. 3) Una motocicleta y un auto parten simultáneamente con velocidades constante de 10 m/s y 15 m/s.
al cabo de que tiempo estarán separados 500 m, sabiendo que partieron del mismo punto y en el
mismo sentido.
Ԧ
𝑥𝐵 = 0 + 10 Ƹ
𝑖 Τ
𝑚 𝑠 . 𝑡; Ԧ
𝑥𝐴 = 0 + 15 Ƹ
𝑖 Τ
𝑚 𝑠 . 𝑡 ⟹ Ԧ
𝑥𝐴 − Ԧ
𝑥𝐵 = ∆ Ԧ
𝑥 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
Reemplazando en el desplazamiento, tenemos:
0 + 15 Ƹ
𝑖 Τ
𝑚 𝑠 . 𝑡 − 0 + 10 Τ
𝑖 𝑚 𝑠 . 𝑡 = 500 Ƹ
𝑖 𝑚 ⟹ 15 − 10 Ƹ
𝑖
𝑚
𝑠
𝑡 = 500
𝑖 𝑚
𝑡 =
500 𝑚
5 Τ
𝑚 𝑠
⟹ 𝒕 = 100 𝒔 ≅ 1,7 𝒎𝒊
16. 4) Los vectores de posición de un móvil en dos instantes son Ԧ
𝑟𝑖 = −2 Ƹ
𝑖 + 8 Ƹ
𝑗 𝑦 Ԧ
𝑟2 = 3 Ƹ
𝑖 + 5 Ƹ
𝑗. Calcular
el módulo del vector desplazamiento.
Solución
17. 5) Un móvil se encuentra en la posición (2, 4) y transcurrido 4 segundos su posición es (2, -4).
¿Cuál es su velocidad media en este intervalo de tiempo?
Solución: del enunciado del problema obtenemos los siguientes datos
Ԧ
𝑟𝑖 = 2,4 Ԧ
𝑟𝑓 = 2 −4 ∆𝑡 = 4 𝑠
El vector desplazamiento es
Cálculo de la velocidad media: 𝒗𝒎 =
∆𝒓
∆𝒕
=
𝟎𝒊−𝟖 Ƹ
𝒋 𝒎
𝟒 𝒔
= 𝟎𝒊 − 𝟐 Ƹ
𝒋
𝒎
𝒔
∆𝒓 = Ԧ
𝑟𝑓 − Ԧ
𝑟𝑖 = 2, −4 − 2, 4 = 0, −8 𝑚 Ƹ
𝑖 = 0 Ƹ
𝑖 − 8 Ƹ
𝑗 𝑚 = 0i − 8𝒋 𝒎
18. 6) Denise y Efraín parten simultáneamente de un mismo punto y siguen por carreteras rectas que
forman entre si un ángulo de 75°. Si los módulos de las velocidades son 6 m/s y 10 m/s, determinar
que distancia los separa después de 5 minutos de iniciado el movimiento.
Solución:
19. 7) Un bus de pasajeros que viaja a 24 m/s cuando se encuentra a 180 m detrás de un camión
que lleva una velocidad constante de 12 m/s, inmediatamente aplica los frenos y desacelera a
0,1 Τ
𝑚 𝑠2
. Si ambos móviles van en la misma vía y en la misma dirección, determinar:
a) habrá colisión, y si lo hay en que instante de tiempo sucede.
Solución: Datos del bus: 𝑣0 = 24
𝑚
𝑠
, 𝑎 = −0,1 Τ
𝑚 𝑠2 Datos del camión: 𝑣𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 12 𝑚/𝑠
Cálculo del tiempo que necesita el bus para que su velocidad final sea cero:
𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 ⟹ 0 = 24 − 0,1𝑡 ⟹ 0,1𝑡 = 24 ⟹ 𝒕 = 240 𝒔
Cálculo de las posiciones a los 240 s considerando el punto A como origen:
Posición final del bus: 𝑥𝑓 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
1
2
𝑎 𝑡2
⟹ 𝑥 = 0 + 24 240 +
1
2
−0,1 240 2
=2880 m
Posición final del camión: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 ⟹ 𝑥 = 180 + 12 240 ⟹ 𝑥 = 3060 𝑚
Como se observa en estas condiciones el bus no choca al camión.
20. Ahora verificamos si esto es correcto suponiendo que chocan y en ese instante las posiciones se
igualan
𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
1
2
𝑎 𝑡2
= 𝑥0 + 𝑣𝑡
0 + 24𝑡 +
1
2
−0,1 𝑡2 = 180 + 12𝑡 ⟹ 24𝑡 − 0,05𝑡2 = 180 + 12𝑡
−0,05𝑡2
+ 12𝑡 − 180 = 0 ⟹
1
20
𝑡2
− 12𝑡 + 180 = 0 ⟹ 𝑡2
− 240𝑡 + 3600 = 0
Esta ecuación cuadrática se resolverá usando la formula 𝑡 =
−𝑏± 𝑏2−4 𝑎 𝑐
2 𝑎
Para este caso: 𝑎 = 1, 𝑏 = −240 𝑐 = 3600
𝑡 =
− −240 ± −240 2 − 4 1 3600
2 1
=
240 ± 57600 − 14400
2
=
240 ± 43200
2
𝑡 =
240 ± 208
2
⟹ 𝑡1 =
240 + 207,8
2
⟹ 𝑡1 ≅ 224 𝑠, 𝑡2 =
240 − 207,8
2
⟹ 𝒕2 ≅ 16 𝒔
Conclusión: El bus choca al camión a los 16 segundos.
21. 8) Un cuerpo cae del reposo desde una altura de 30 m. considerando 𝑔 = 10 Τ
𝑚 𝑠2 , calcular:
a) Su velocidad a los 2 segundos b) posición a los 2 segundos c) altura que ha caído a los 2 s. d)
Tiempo que demora en caer los 30 m. e) Velocidad a los 30 m. f) realizar los gráficos del movimiento.
Solución: utilizando un sistema de referencia con valores positivos hacia abajo
Lo primero que hay que hacer es una gráfica del sistema y ubicar las condiciones iniciales para
obtener las ecuaciones horarias.
22. Reemplazar las condiciones iniciales en las ecuaciones horarias para armar las ecuaciones horarias con
las que se irán resolviendo las preguntas planteadas. Por lo general las condiciones iniciales son los
datos que están en el origen del sistema de referencia es decir el tiempo inicial, la velocidad inicial y la
posición inicial.
Entonces las ecuaciones horarias para este problema son: 𝒚 𝒕 = 5𝒕2
𝒚 𝒗 𝒕 = 10𝒕
Una vez planteadas las ecuaciones horarias, se resuelven para cada situación.
En este caso tenemos 3 situaciones: en el origen, en el punto B y en el punto C.
Análisis en el punto B: Reemplazaremos el tiempo 𝑡1 = 2 𝑠 en las ecuaciones horarias (1) y (2) y
obtendremos la posición y la velocidad a los 2 s.
𝑦 𝑡 = 5𝑡2 ⟹ 𝑦 2 = 5 2 2 ⟹ 𝑦 2 = 20 𝑚 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑜𝑠 2 𝑠
𝑣 𝑡 = 10𝑡 ⟹ 𝑣 2 = 10 2 ⟹ 𝑣 2 = 20 Τ
𝑚 𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑜𝑠 2 𝑠
Análisis en el punto C: Reemplazamos primero la posición, con esto hallamos el tiempo, luego con el
tiempo hallamos la velocidad.
𝑦 𝑡 = 5𝑡2 ⟹ 30 = 5𝑡2 ⟹ 𝑡 = 6 ≅ 2,4 𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟 30 𝑚
𝑣 𝑡 = 10𝑡 ⟹ 𝑣 2,4 = 10 2,4 = 24 Τ
𝑚 𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎 𝑙𝑜𝑠 2,4 𝑠
23. Respuestas:
a) Velocidad a los 2 segundos: 20 Τ
𝑚 𝑠 b) Posición a los 2 segundos: 20 m
c) altura que ha caído hasta los 2 segundos: 20 m d) tiempo en recorrer los 30 metros: 2,4 s
e) Velocidad al recorrer los 30 m: 24 Τ
𝑚 𝑠
f) gráficos:
24. 1) En la siguiente grafica se muestra el recorrido de una atleta. Determine:
a) Su desplazamiento. b) la distancia que recorre.
PROBLEMAS PARA RESOLVER DE SESIÓN 02
25. 2) en la siguiente gráfica se observa el movimiento de un auto sobre el je “x”. Determinar su
desplazamiento y su distancia recorrida
26. 3) una persona inicia su movimiento en el punto A y llega al punto N siguiendo la trayectoria mostrada en
la siguiente grafica. Si el movimiento duró 20 minutos, determinar
a) La distancia recorrida. b) El vector desplazamiento. c) El módulo del desplazamiento.
d) Su rapidez. e) El vector velocidad f) El módulo de su velocidad.
27. 4) Una partícula se mueve inicialmente 20 metros en dirección norte, y luego 20 metros en
dirección este. Calcular la magnitud y dirección del vector desplazamiento y la distancia recorrida.
6) Una partícula realiza un movimiento a la largo del eje horizontal “x” y después de 𝑡1 = 3
segundos de iniciado el movimiento la partícula se encuentra en la posición 𝑥1 = 16 𝑚 y cuando
𝑡2 = 50 segundos, su nueva posición es 𝑥2 = 3𝑚. Determinar la velocidad media en este intervalo
de tiempo.
28. 7) Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos puntos distantes 40 km, por vías paralelas casi
rectas, uno al encuentro del otro. Las velocidades de cada uno son 10 km/h y 12 km/h.
determinar cuánto tiempo demoran en cruzarse
𝒕𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = 1 𝒉 48 𝒎𝒊 36 𝒔
29. 8) Una partícula se mueve en el plano XY y registra las siguientes posiciones en determinados
tiempos como se ve en la siguiente tabla,
Determine el tipo de movimiento que lleva la partícula
30. 9) Un móvil que se mueve en línea recta, se encuentra en la posición 𝑥0 = −50 𝑚 y se mueve con
velocidad constante de 10 m/s durante 40 segundos después de los cuales inmediatamente frena
uniformemente hasta llegar al reposo 24 segundos después. Calcular:
a) La posición a los 40 segundos. b) La desaceleración durante el frenado.
c) L a posición final. d) El desplazamiento total.
e) La velocidad a los 50 segundos. f) La rapidez media durante los 64 segundos
g) la aceleración durante los 64 segundos
31. 10) La siguiente grafica aceleración vs tiempo mostrada corresponde al movimiento de una
partícula que se desplaza por un camino recto. Si en instante inicial su velocidad es "𝑣" y para
𝑡 = 2 𝑠 su velocidad es "2𝑣", ¿cuál será su velocidad a los 4 segundos?
32. 11) la siguiente grafica corresponde al movimiento de un cuerpo sobre el eje x. calcular su aceleración entre
5 y 8 segundos.
33. 12) Dos autos se mueven por la misma pista, pero en sentidos contrarios con velocidades de
72 Τ
𝑘𝑚 ℎ 𝑦 90 Τ
𝑘𝑚 ℎ . Cuando se divisan uno del otro están a 90 m de distancia y los dos empiezan a
frenar con una aceleración de 4 Τ
𝑚 𝑠2. Determinar:
a) si chocan, y si lo hacen ¿en qué posición tendrá lugar el impacto?
b) las gráficas aceleración vs tiempo, velocidad vs tiempo y posición vs tiempo.
34. 13) Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo con una rapidez de 80 m/s. Hallar:
a) Los tiempos para la cuando la pelota está a 60 m sobre el suelo.
b) El tiempo empleado en alcanzar su altura máxima.
c) El tiempo de vuelo.
d) La altura máxima alcanzada
e) la velocidad cuando está a 60 m del suelo.
f) Cual es su velocidad al momento que impacta con el suelo.
g) Realizar las gráficas del movimiento.
35. 14) Un cuerpo cae del reposo desde una altura de 30 m. considerando 𝑔 = 10 Τ
𝑚 𝑠2
, calcular:
a) Su velocidad a los 2 segundos b) posición a los 2 segundos c) altura que ha caído a los 2 s.
d) Tiempo que demora en caer los 30 m. e) Velocidad a los 30 m.
f) realizar los gráficos del movimiento.
Resolver utilizando un sistema de referencia con valores positivos hacia arriba
36. BIBLIOGRAFÍA:
1) Giancoli D. (2 008) Física para Ciencias e Ingeniería. Cuarta edición. Pearson Educación.
México
2) Tipler, P. y Mosca, G. (2 010). Física para la Ciencia y la Tecnología. Sexta
edición.Reverté,S.A.https://www.academia.edu/34490536/F%C3%ADsica_Tipler_mosc
a_vol_1_5o_edici%C3%B3n_editorial_reverte_pdf
3) Serway R. (2 005) Física para ciencias e ingeniería volumen 1. Sétima edición. Cengage
Learning. México. http://www2.fisica.unlp.edu.ar/materias/fisgenI/T/Libros/Serway-7Ed.pdf
