vectores en dos dimensiones

1. Carlos Albaiceta 3
O
A
O
A
Y
C A P I T U L O I
V E C T O R E S Y F U E R Z A S
I.1. Magnitudes escalares y vectoriales.
Escalares: Para su interpretación precisan del valor numérico y de la unidad de medida.
Ej.: 2 m3
, 220 V, 50 km, 25 ºC.
Vectoriales: Si decimos que un automóvil va a 120 km/hora, aparecen preguntas como
¿Porqué carretera lo ha hecho? que es lo mismo que preguntar por su dirección. Sabiendo su
dirección, nos preguntaremos si va o viene, es decir el sentido que lleva. Ej: Fuerza, velocidad,...
I.2. Vector.
Se llama vector al segmento rectilíneo que tiene marcado el sentido y que representa
gráficamente una magnitud vectorial.
Todas las magnitudes vectoriales quedan definidas por:
• Intensidad, valor, magnitud ó módulo. OA.
• Dirección: El camino. Línea donde se encuentra.
• Sentido: Va ó viene.←→
• Punto de aplicación. O
dirección
punto de
aplicación módulo
I.3. Clases de vectores.
FIJO: Es aquél cuyo punto de aplicación no admite traslados o cambios (velocidad).
DESLIZANTE: Su punto de aplicación se puede trasladar a un punto cualquiera de su dirección.
LIBRE: Se puede trasladar paralelamente a su dirección.
v
→
= 20 m/s F
→
= 50 kg .
fijo Deslizante Libre
I.4. Nomenclatura.
Un vector se puede nombrar con una letra minúscula y de sombrero una flecha, ó con dos
mayúsculas que definen sus extremos (punto de aplicación y punta de la flecha).
Vectores equipolentes: Mismo sentido y magnitud siendo sus direcciones paralelas.
Vectores opuestos: Misma magnitud y dirección y sentido contrario.
I.5. Proyección ortogonal de un vector. Componentes.
Se opera de la siguiente forma:
1º) Se hace coincidir, si es posible, el origen O de los ejes,
con el origen del vector.
2º) Por el extremo A del vector, se trazan planos paralelos a
los formados por cada dos ejes, que cortan a éstos en M, N y
P.
3º) Los vectores
→→→
OPyONOM , son las proyecciones del
vector OA
→
sobre los ejes X, Y y Z.
4º) Denominamos α, β y γ los ángulos formados por el vector
OA
→
con X, Y y Z respectivamente, sabiendo que los
triángulos OAM OAN y OAP
∆ ∆ ∆
, son rectángulos se tiene:
Z
X
N
A
Y
M
X
Z
P
O

2. VECTORES MECÁNICA
Carlos Albaiceta 4
R
→
a z
→
a x
→
i
→
k
→ a
→
j
→
Y
Z
X
x OM OA
→ → →
= = .cosα
y ON OA
→ → →
= = .cosβ
z OP OA
→ → →
= = .cosγ
5º) Aplicando Pitágoras en los triángulos
∆∆
ORPyOAR
OA OR RA2 2 2
→ → →
= + ∧
→→→
+= 222
MROMOR ⇒
→→→→
++= 2222
RARMOMOA OA x y z2 2 2 2
→ → → →
= + +
OA x y z= + +2 2 2
, ó también: a = a a ax y z
2 2 2
+ +
6º) Si elevamos al cuadrado y sumamos las expresiones
del punto 4º queda:
x2
+ y2
+z2
= OA2
(cos2
α+cos2
β+cos2
γ) x2
+ y2
+z2
= OA2
Cosenos directores:
α, β y γ: ángulos del vector con
los semiejes positivos X, Y y Z.
7º) La dirección de la resultante de las tres proyecciones,
viene dada por. cosα =
x
a
cosβ =
y
a
cosγ =
z
a
Esto nos permite conocer la resultante y dirección de una
fuerza conocidas sus proyecciones ortogonales y viceversa
I.6. Operaciones con vectores.
Suma: a
→
(8, 2) y b
→
(3, 7)
a
→
(8, 2) + b
→
(3, 7) = R
→
(8+3, 2+7) = R
→
(11, 9)
Sustracción:
Para restar vectores se le suma el opuesto del sustraendo.
m
→
- n
→
=m
→
+ (- n
→
).
Producto de un vector por un número:
Es otro vector de módulo el producto del módulo
dado por el nº, de dirección la misma del vector dado y
sentido el mismo si el nº es positivo y el contrario si es
negativo.
Vector unitario
Es un vector de módulo unidad y de sentido positivo, se
nombran i
→
, j
→
, k
→
según estén sobre OX, OY ú OZ.
Ej.: V
→
= 3 i
→
+ 5 j
→
+ 8k
→
I.7. Producto escalar.
De dos vectores es una cantidad numérica, obtenida
de multiplicar los módulos por el coseno del ángulo que
forman.
P = V
→
1 . V
→
2 = V
→
1 . V2
→
cosα ⇒ cosα =
P
V V1 2
→ →
.
a
→
.b
→
= (ax i
→
+ay j
→
+az k
→
) . (bx i
→
+by j
→
+bz k
→
) = axbx i
→
i
→
+axby i
→
j
→
+ axbz i
→
k
→
+ aybx j
→
i
→
+ ...
Como: i
→
i
→
= j
→
j
→
= k
→
k
→
= 1 Ya que i
→
i
→
= iicos0º =1 e i
→
j
→
= j
→
k
→
= i
→
k
→
= 0
a
→
.b
→
= axbx + ayby + azbz
Componentes
Suma
Resta
cos2
α+cos2
β+cos2
γ = 1
Y
N
A
O
A
M
X
Z
P
γ
α
R
β
-n
→
)7,3(
→
b
a
→
(8,2)
3 8
7
2
n
→
→
m
a
→
a y
→
(11, 9)

3. VECTORES MECÁNICA
Carlos Albaiceta 5
→
k →
j Y
a
→
Ejemplo I.1.- Con el cálculo del producto escalar podemos hallar el ángulo que forman los
vectores. Ej: Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores:
V
→
1 = 2 i
→
+ 3 j
→
- k
→
,, V
→
2 = 5 i
→
+ 2 j
→
+ 4k
→
,,
│V
→
1│ = 2 3 12 2 2
+ + = 14 ,, │ V
→
2 │ = 45
P = V
→
1 . V
→
2 = (2.5) + (3.2) -1.4 = -10 + 6 - 4 = 12
cos α =
P
V V1 2
→ →
.
=
12
14 45.
⇒ α = 61º26´21´´
I.8. Producto vectorial.
Se define como producto vectorial de dos vectores otro
vector con las siguientes características:
⎯ Módulo: ⏐a x b⏐ = a.b.senα
⎯ Dirección: Perpendicular al plano formado por los vectores a
→
y b
→
.
⎯ Sentido: El de un sacacorchos que va de a
→
a b
→
. El a
→
xb
→
lleva sentido contrario a b
→
xa
→
a
→
xb
→
= (ax i
→
+ay j
→
+az k
→
) x (bx i
→
+by j
→
+bz k
→
) =
i j k
a a a
b b b
x y z
x y z
→ → →
=
a a
b b
y z
y z
i
→
-
a a
b b
x z
x z
j
→
+
a a
b b
x y
x y
k
→
=
= (aybz-azby) i
→
- (axbz-azbx) j
→
+ (axby-aybx) k
→
i
→
x i
→
= j
→
x j
→
= k
→
xk
→
= 1.1sen 0º = 0
i
→
x j
→
= k
→
j
→
x i
→
= -k
→
i
→
xk
→
= - j
→
k
→
x i
→
= j
→
j
→
xk
→
= i
→
k
→
x j
→
= - i
→
Ejemplo I.2.-Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores:
a i j k
→ → → →
= − +8 3 5
→→→→
−−= kjib 93
Solución:
a b
→ →
. = a.b cos α ⇒ cosα =
a b
a b
.
.
→→
→ →
a b
→ →
. = (8 3 5i j k
→ → →
− + ).(
→→→
−− kji 93 ) =24 + 27 –5 = 46
a = a
→
= 64 9 25 98 9 8995+ + = = ,
b b= = + + = =
→
9 81 1 91 9 5394,
cosα =
46
98 91
0 487
.
,= ⇒ α = 60,85º = 60º50´57,9´´
Superficie del para-
lelogramo formado.
Producto Vectorial
X
→
i
Z
α
b
→
a b
→ →
×

4. VECTORES MECÁNICA
Carlos Albaiceta 6
Ejemplo I.3.- Calcular el producto vectorial de los
vectores.
a i j k
→ → → →
= − +8 3 5 y b i j k
→ → → →
= − + −3 9
a
→
x b
→
= (ax i
→
+ay j
→
+az k
→
) x (bx i
→
+by j
→
+bz k
→
) =
=
a a
b b
i
a a
b b
j
a a
b b
k
y z
y z
x z
x z
x y
x y
→ → →
− + =
= [-3.(-1) -5.(-9)] i
→
- [8.(-1) -5.3] j
→
+ [8.(-9) - (-3).3]k
→
=
= 48 i
→
+ 23 j
→
- 63k
→
Area del paralelogramo: 48 23 632 2 2
+ + = 82,47
Ejemplo I.4.- Hallar el producto escalar y el producto
vectorial y el ángulo que forman los vectores:
a
→
= 5 i
→
+ 3 j
→
-k
→
y b
→
= 3 i
→
-2 j
→
+ 4k
→
Sus módulos son: ⏐a
→
⏐ = 5 3 1 352 2 2
+ + − =( )
⏐b
→
⏐ = 3 2 4 292 2 2
+ − + =( )
a
→
.b
→
= 5.3+3.(-2)+(-1).4 = 15-6-4 = 5 El producto escalar
es 5.
cosα =
5
35 29.
,, α = 80,97º ó 80º58´14´´
a
→
xb
→
= [3.4-(-1).(-2)] i
→
- [5.4-(-1).3] j
→
+[5.(-2)-3.3]k
→
=
10 i
→
- 23 j
→
- 19k
→
Ejemplo I.5.- Dados los vectores v
→
= 3 i
→
+ j
→
+ 2k
→
y u
→
= 2 i
→
+ 3 j
→
+ k
→
Calcular el producto
escalar el vectorial y el ángulo que forman.
Ejemplo I.6.- Idem con los vectores s
→
= 4 i
→
- 2 j
→
- 3k
→
y u
→
= i
→
+ j
→
- 5k
→
Ejemplo I.7.- Dados los vectores 3 i
→
+ 5 j
→
y 4 i
→
+ x j
→
+ 3k
→
. Hallar x para que sean
perpendiculares.
I.9. Momento central de un vector respecto de un punto.
Momento de un vector F con respecto de un punto O, se define como el producto de la
mínima distancia entre el punto y el vector por el vector.
M = r x F
r x F
→ →
= r.F.sen α = r.senα.F = d.F
I.10. Teorema de Varignon.
El momento con respecto a un punto de la resultante de varias fuerzas concurrentes es
igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con relación al mismo punto.
I.11. Momento de un par de fuerzas.
Dos fuerzas forman un par cuando sus direcciones son paralelas, sus módulos iguales y
sentidos contrarios. El efecto que producen es un giro, de sentido el de un sacacorchos, pues su
resultante es cero. El momento que provocan es el producto de la fuerza por la distancia que las
separa.
M = d x F
M = r x F r x F1 1 2 2
→ → → →
+ = r x F r x F1 1 2 2
→ → → →
+ −( ) = ( )r r x F1 2 1
→ → →
− = r x F
→ →
r x F
→ →
= r.F.sen α = r.senα.F = d.F ,, d: brazo del par.
r
r
d
α
O
r
F
d
MO
F
F
M
d
F2F1
r1 r2
r1 -r2

5. FUERZAS MECÁNICA
Carlos Albaiceta 7
I.12. Introducción a sistema de fuerzas:
Hay cuerpos en movimiento y cuerpos en reposo. El estado de movimiento o de
equilibrio de los cuerpos es producido por unas causas internas o externas a los mismos,
denominadas fuerzas.
La ciencia que estudia las fuerzas que originan los estados de equilibrio o reposo y
movimiento de los cuerpos se llama Mecánica.
I.13. División de la Mecánica:
ESTÁTICA: Las condiciones que deben cumplir las fuerzas aplicadas a los cuerpos para
que éstos se mantengan en equilibrio.
CINEMÁTICA: Estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las fuerzas que
los producen.
DINÁMICA: Estudia el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que los producen.
Grafostática:
Estudia las condiciones necesarias para establecer el equilibrio en un sistema de fuerzas,
empleando exclusivamente trazados geométricos. Se requiere gran meticulosidad y empleo de
escalas apropiadas. El cálculo gráfico se emplea mucho por ser rápido y fiable.
I.14. Representación de fuerzas y conceptos principales:
Dirección ó línea de acción: Recta donde se encuentra.
Magnitud, módulo ó intensidad: Su valor.⏐F
→
⏐
⎥
→
F ⎜ Sentido: Va o viene en su dirección.← ó →
Punto de aplicación: De donde parte.
I.15. Determinación de una fuerza en el plano, por el método analítico:
Proyección de un vector: O´B´ = OB cos α
αcos
→→
= OBx
αsenOBy
→→
=
OB = 22
yx +
Sistemas de fuerzas:
• Colineales: Todas las fuerzas en la misma dirección.
• Concurrentes: Las direcciones concurren en un mismo punto (se cortan en O).
• Coplanarias: Las situadas en un mismo plano.
• No coplanarias: Se cruzan en le espacio.
• Equipolentes: Formado por fuerzas paralelas de la misma intensidad.
I.16. Resultante de un sistema de fuerzas:
Se llama resultante de un sistema de fuerzas a otra fuerza que representa la acción
conjunta del total de fuerzas que integran el sistema.
Dos ó más sistemas con la misma resultante y momento se llaman equivalentes.
I.17. Equilibrio de un sistema de fuerzas:
Cuando la resultante del sistema es nula. La suma de todas las fuerzas da cero.
I.18. Principios fundamentales de Estática:
1º) La resultante de dos fuerzas que actúan sobre un punto formando un determinado
ángulo, es igual a la diagonal del paralelogramo construido con las fuerzas.
R R
→
= F1
→
+ F2
→
FA B
αO
B
O´ B´
x
y
→
1F
2
→
F

6. FUERZAS MECÁNICA
Carlos Albaiceta 8
2º) Cualquier fuerza es desplazada en su línea de acción sin que se produzca variación en su
efecto. Actúan como vectores deslizantes.
3º) Dos fuerzas situadas en la misma línea de acción, de igual intensidad y de sentido opuesto se
equilibran mutuamente. La resultante es cero.
4º) Si a un sistema de fuerzas o cuerpo cualquiera se le quita o aplica otro sistema de fuerzas en
equilibrio, no se modifica la acción ó el estado de los mismos.
5º) Cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un sólido puede ser reemplazado por su
resultante, surtiendo los mismos efectos.
6º) La acción de una fuerza o sistemas de fuerzas es contrarrestada o equilibrada por otra fuerza
de igual intensidad, pero de sentido opuesto, llamada REACCIÓN (principio de acción reacción)
I.19. Composición de fuerzas:
Componer fuerzas es la operación de reducir un sistema de fuerzas a otro mas simple, pero
equivalente a una sola fuerza, llamada resultante.
Si la resultante es nula el sistema está en equilibrio.
La composición o resultante de un sistema de fuerzas se puede hallar de forma gráfica o
analítica.
a) Fuerzas colineales:
I) Las fuerzas tienen el mismo sentido, el valor de la resultante es igual a la suma de las
intensidades.
II) Las fuerzas tienen diferente sentido, el valor de R es igual a la diferencia y el sentido de la
mayor.
b)Fuerzas concurrentes.
Dos fuerzas concurren en un punto, la resultante es la diagonal del paralelogramo.
I.20. Ley de los cosenos:
b2
= a2
+ c2
− 2 a c cos B
∧
c2
= a2
+ b2
− 2 a b cos C
∧
a2
= b2
+ c2
− 2 b c cos A
∧
Ley de los senos:
a
A
b
B
c
Csen sen sen
∧ ∧ ∧
= =
00
2
0
1
105
5000
3045 sensen
F
sen
F
==
Polígono funicular:
Composición de fuerzas gráficamente se describe en el anexo I de los apuntes.
F2
→
R F F
→ → →
= −1 2
F1
→
30º
30º45º
R F F F
→ → → →
= + +1 2 3
F2
→
F3
→
F1
→
F1
→
B
C
A
aaa
c
bbb
F2
→
R
→
= 5.000
F2
→
R
→
= 5.000
45º
180º - (45º+30º)
F1
→

7. FUERZAS MECÁNICA
Carlos Albaiceta 9
F2
A
b
b
a a
60º
30º
F
α
30º
20º
I.1 Un automóvil es arrastrado por dos cuerdas. La
tensión en AB es de 400 kp. La resultante de las fuerzas
aplicadas está dirigida a lo largo del eje del automóvil.
Determinar gráficamente y analíticamente:
a) La tensión F2. (F2=584,8 kp)
b) El módulo resultante de las dos fuerzas. (R=895,9 kp)
I.2 Dada una fuerza de 12 kp que forma 30º con la
horizontal y otra de 16 kp que forma − 45º con la
horizontal. Determinar la resultante. (R=22,35;
α=31,2º)
I.3 La fuerza F de 240 N se debe descomponer en sus
componentes a lo largo de a-a y b-b. determinar gráfica y
analíticamente el ángulo α si se sabe que la componente a
lo largo de b-b vale 190 N. (α=43,28º)
I.4 Dos fuerzas actúan sobre una carretilla que se
mueve a lo largo de una viga horizontal. Sabiendo que α
= 25º. Determinar por trigonometría la fuerza P de
manera que la fuerza resultante sea vertical. ¿Cuál es la
resultante? (P=3.657 N;
R=3.728 N)
I.5 Sobre la anterior carretilla, determinar el módulo
y la dirección de la fuerza P de manera que la resultante
sea una vertical de 2500 N. (P=2.596; 36,5º)
I.6 Si la resultante de las fuerzas que se ejercen sobre
la carretilla debe ser vertical. Determinar:
a) El valor de α para que P sea mínimo. (90º).
b) El valor de P. (1.545 kp).
I.7. Determinar la resultante de F1 y F2, gráfica y
analíticamente. (58,18 kp; 50,1º).
I.8. Dos fuerzas de 100 y 80 kp., tiran de un fardo.
Hállese gráficamente la magnitud, dirección y sentido de
una tercera fuerza mínima para que el fardo siga la
dirección X. (47 kp; -Y).
I.9. Calcular gráfica y analíticamente la resultante de
las fuerzas de la figura. (8´03; -
28,77º).
I.10. Ídem si F1 = 12 kp. y F2 = 16 kp. (22,3; 31,2º).
Fig. I.1
Fig.I.3
Fig. I.4
Fig. I.7
Fig. I.8
Sol:
R
Fig. I.9
60º
30º
80 kp
1600 N
30º
α
15º
F1 =
F2 = 20 kp
30º
100 kp
F1 = 6 kp
F2 = 4 kp
45º
P
400 kp
28,79º
1,27º

8. VECTORES Y FUERZAS MECÁNICA
Carlos Albaiceta 10
100
I.11. Calcular:
a) El momento con respecto a O, producido por la fuerza
de 100 N. (1.250 mN).
b) La fuerza horizontal en A para obtener el mismo
momento. (57,7 N).
c) La fuerza mínima que aplicada en A produce el mismo
momento. (50 N).
d) ¿A qué distancia de A se debe aplicar una fuerza
vertical de 250 N para obtener el mismo momento?
(15m).
(Obsérvese que ninguna fuerza es igual y todas producen
el mismo momento, variando dirección y punto de
aplicación).
I.12. Dado el vector a i j
→ → →
= −3 4 , aplicado en el punto
A(2,3); hallar su momento respecto del punto B(0,1)(-
14k).
I.13. Calcular el momento en el punto O, que provoca la
fuerza de 800N. (188,6 mN).
I.14. Calcular el momento en O, que provoca la fuerza
de 50 N.
(171 mN).
I.15 Determinar el módulo y dirección de la fuerza F
mínima para obtener un momento de 104 Nm en el pedal
de freno de la figura. (F= 400 N; α = 22,62º).
I.16. Calcular la distancia que separa las fuerzas y el
momento resultante del par de fuerzas de la figura.
(d= 359,8; M = 179,9 mN).
I.17. Ídem variando el ángulo a 45º. (353,5; 176,8
mN).
I.18. Ídem variando el ángulo a 75º. (270,8; 135,4 mN).
Fig. I.16
30º
30º
O
300 mm
500 N
50 N
30º
140
25 m
60º
100 N
200
800N
70ºA
10 m
50º
Fig. I.11
Fig. I.13
Fig. I.14
F
→
α
240
Fig. I.15
500 N
200 mm
O
A
O

9. VECTORES Y FUERZAS MECÁNICA
Carlos Albaiceta 11
22,5 m
I.19. La barra AB se sustenta por el cable CA. Sabiendo
que la tensión del cable son 300 kp. Calcular el momento en
B producido. (3.240 mkp).
Descomponer la tensión en sus componentes vertical
y horizontal. (180; 240)
I.20. Una fuerza F i j k
→ → → →
= + −26 43 59 newtons actúa
desde el origen. ¿Cuál es el valor de esta fuerza y qué
ángulos forma con los ejes X, Y y Z.
(77,5 N; α = 70,4º; β =56,3º; γ = 139,6º).
I.21. Hallar el producto escalar y el ángulo formado por:
a i j k
→ → → →
= − +4 8 2 3 5 5, , ,
b i j k
→ → → →
= − +2 8 6 09 1 1, , ,
(P = 33,49; α = 49,88º)
I.22. Hallar el producto vectorial de:
P i j k
→ → → →
= + −2 8 4 7 8 1, , ,
→→→→
++= kjiQ 3,536,443,28
(611,7 i
→
- 378,5 j
→
- 8,1k
→
).
I.23. Determinar el momento de la fuerza de 20 kp.
respecto del punto O. (8,66 mkp).
I.24. Dados los vectores:
a =
1
7
(2i + 3j + 6k)
b =
1
7
(3i - 6j + 2k)
c =
1
7
(6i + 2j - 3k)
Demuéstrese:
1) Que sus respectivos módulos valen la unidad.
2) Que son perpendiculares entre sí.
3) Que c es el producto vectorial de a por b.
I.25. Si el producto vectorial de dos vectores es a x b = 3i
- 6j + 2k y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar. (Nota: cosα
= ( sen )1 2
− α ). (3 7 ).
I.26. Se sabe que la biela AB ejerce, sobre la manivela BC, una fuerza de 2,5 kN dirigida hacia
abajo y hacia la izquierda a lo largo de la línea central AB. Determínese el momento de esa
fuerza con respecto a C.
(140 mN).
Figura I.19
Figura I.23
A
B
C
Figura I.26
42
Y
18m
12m
C
B
A
60º
0,5m
X
20 kp
O
144 mm
56 mm