1. Sistemas de ecuaciones
lineales
Profesora Srta. Yanira Castro Lizana

2. La tercera parte de los ahorros de Juan es $115.
Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se
expresa como sigue:
1
x = 115
3
Esta igualdad es una ecuación lineal . Las ecuaciones se usan para
expresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos,
astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo:
1
v = 2+ t,
2
expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil
1
con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de m
2
por segundo cuadrado.

3. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma
a1x1 + a2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an xn = b
en donde x1, x 2 , ..., x n son variables;a1, a2 , ..., an son constantes llamadas
los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término
constante de la ecuación.
Ejemplo Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas
1 de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas.
¿Cuántas tiene cada uno?
Solución Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por
tanto:
x + 2 ( x + 2 ) = 103
3 x + 4 = 103
99
x= = 33
3

4. Ejemplo 2 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la
corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la
corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?
Solución Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea
y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:
x+y es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor.
x−y es la velocidad de la lancha con la corriente en contra.
Por lo que:
{ x + y = 100
x − y = 70
………(*)
Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos
variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2
de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos
o más ecuaciones lineales
km km
Resolviendo el sistema (*) se obtiene: x = 85 , y = 15
h h

5. • En cuanto a la resolución, los métodos que
veremos en esta Unidad, se dividen en dos
grupos: métodos analíticos y método
gráfico .
• Los métodos analíticos , que iremos viendo
uno a uno, son tres:
• sustitución, igualación y reducción.
• Por contra, el método gráfico (sólo hay uno),
consiste, como su propio nombre indica) en
resolver (y discutir) el sistema mediante la
representación gráfica de sus ecuaciones.

6. ¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?
Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones
lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol-
viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.
Método por sustitución
Este método se resume así:
1 Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.
.
2 La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por
. su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.
3 El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación
. obtenida en el paso 1.

7. • Evidentemente, aún cuando la incógnita
que se va a despejar en el primer paso
puede ser cualquiera y de cualquier
ecuación, es mejor, por la facilidad de los
cálculos posteriores, hacer una buena
elección de ambas, incógnita y ecuación.
Queremos decir que será más fácil operar
después si, por ejemplo, se elige una
incógnita en una ecuación en la que "no
tenga" coeficiente (es decir, que su
coeficiente sea 1), ya que, en ese caso,
podremos evitar el cálculo con fracciones.

8. Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema { x + y = 100
x − y = 70
….(*)
….(**)
Solución 1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene:
y = 100 − x
2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se
tiene:
x − ( 100 − x ) = 70
2 x − 100 = 70
170
x= = 85
2
3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se
obtiene el valor de y
y = 100 − 85 = 15

9. Un ejemplo de un sistema lineal de dos
ecuaciones con dos incógnitas puede ser:
• x + y = 10
•x-y=2
• Cada una de las ecuaciones que componen el
sistema, por separado, tendrían infinitas
soluciones, ya que hay infinitas parejas de
números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos
pares de números cuya resta sea 2. Sin
embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones
para formar el sistema, estaremos buscando un
par de números (x, y) que cumplan a la vez las

10. • Los sistemas de ecuaciones responden a
planteamientos de problemáticas muy
diversas. Por ejemplo, el sistema que
hemos propuesto más arriba, podría ser el
planteamiento para resolver un problema
de este tipo:

11. • Entre lápices y gomas tengo diez piezas
de material escolar. Tengo dos lápices
más que gomas. ¿Cuántos lápices y
cuántas gomas tengo?

12. Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero
Sergio tiene el doble de euros que Ana.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
• Llamemos x al número de euros de Ana e y al
de Sergio. Vamos a expresar las condiciones
del problema mediante ecuaciones: Si los dos
tienen 600 euros, esto nos proporciona la
ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de
euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas
ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
• x + y = 600
• y = 2x

13. Resuelve el sistema de ecuaciones
por el método de sustitución .
a)
4x + y = 0
-4x + y = -8

14. b)
5x - 2y = -1
7x + 4y = 53

15. c)
2x + 6y = -16
-2x - 13y = 37

16. 2 x + y = 6
1) 
3x − y = 4

17. Método por igualación
Este método se resume así:
1 De cada ecuación se despeja la misma variable.
.
2 Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la
. ecuación que resulta.
3 El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las
. ecuaciones obtenida en el paso 1.
Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a
Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si
Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a
qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?
Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t
el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

18. t–1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a
Juan.
Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t
se tiene que:
 d
60 =


 90 =
t
d
O sea: { 60t − d = 0
90t − d = 90
 t −1
Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:
90t − 90 = 60t
30t = 90
90
t= =3
30
Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación 60t − d = 0 se obtiene
que d = 180.

19. TIPOS DE
SISTEMAS
Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según
su número de soluciones de la siguiente forma:
Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son
rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la
solución del sistema
Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son
rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por
tanto no hay solución
Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema
son rectas coincidentes.Tienen todos los puntos en común,
y por tanto todos ellos son solución

20. ¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga
una, ninguna o infinitas soluciones?
Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no
son proporcionales
Ejemplo:

21. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son
proporcionales a los de la otra, mientras que los términos
independientes no lo son
Ejemplo:

22. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término
independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la
otra
Ejemplo:

23. Método por determinantes
Si los coeficientes de las variables t y d del sistema { 60t − d = 0
90t − d = 90
se arreglan así
 60 −1
 90 −1
 
se obtiene una matriz .
El determinante de una matriz a b  se denota así:
a b
,
c d  c d
 
y se define como sigue:
a b
= ad − bc
c d
Y la resolución por determinantes de un sistema
obtiene así:
{ ax + by = m
cx + dy = n
se
m b a m
n d c n
x= , y= .
a b a b
c d c d

24. Ejemplo 5 Resolver por determinantes el sistema { x − 2y = 3
3 x + 2y = 1
3 −2
Solución x=
1 2
=
( 3 ) ( 2) − ( 1) ( −2 ) =
8
=1
1 −2 ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 ) 8
3 2
13
y=
3 1
=
( 1) ( 1) − ( 3 ) ( 3 ) =
−8
= −1
1 −2 ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 ) 8
3 2
Ejemplo 6 Resolver por determinantes el sistema { x − 3y = 1
x + 4y = 8
1 −3 1 1
8 4 28 18 7
Solución x= = = 4, y= = =1
1 −3 7 1 −3 7
1 4 1 4

25. Método gráfico
La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales,
es una recta . Por lo que el método gráfico:
Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para
determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.
Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema { x − y = −1
2x − y = 1
Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas.
Observe:
y = x +1 y = 2x − 1
x 0 –1 x 0 2
y 1 0 y –1 3

26. Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla
en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para
determinar la solución. Observe:
y
3
(2, 3)
1
–1
0 2 x
–1
El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son
gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:
x = 2, y =3

27. Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado,
compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que
las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se
intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a
la solución del sistema.
Ejemplo 8 El sistema { x − 3y = 1
x + 4y = 8
tiene solución única. Observe:
y
x + 4y = 8
2 (4, 1)
1
0
1 2 4 x
x − 3y = 1

28. Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de
soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente , y se
caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la
misma recta.
 y
 x − = 1
Ejemplo El sistema  2 tiene infinidad de soluciones. Observe:
10  2x − y = 2

y y
x− =1
2
0 1 x
-2
2x − y = 2

29. Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema
inconsistente o incompatible , y se caracteriza en que las gráficas de
las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.
 y
 x − = 1
Ejemplo El sistema  2 no tiene solución. Observe:
11  2x − y = 3

y y
x− =1
2
1
0 x
-2 2x − y = 3
-3

30. Fi
n