SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 30
Sistemas de ecuaciones
       lineales


 Profesora Srta. Yanira Castro Lizana
La tercera parte de los ahorros de Juan es $115.




Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se
expresa como sigue:
                          1
                            x = 115
                          3

Esta igualdad es una ecuación lineal . Las ecuaciones se usan para
expresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos,
astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo:

                                   1
                          v = 2+     t,
                                   2

expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil
                                                                       1
 con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de        m
                                                                       2
por segundo cuadrado.
Una ecuación lineal es una ecuación de la forma
                             a1x1 + a2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an xn = b

 en donde x1, x 2 , ..., x n son variables;a1, a2 , ..., an son constantes llamadas
 los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término
 constante de la ecuación.



Ejemplo     Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas
1           de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas.
            ¿Cuántas tiene cada uno?
Solución     Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por
             tanto:
                                x + 2 ( x + 2 ) = 103
                                        3 x + 4 = 103

                                                    99
                                               x=      = 33
                                                    3
Ejemplo 2 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la
          corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la
          corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?

Solución    Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea
            y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:

            x+y        es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor.

            x−y        es la velocidad de la lancha con la corriente en contra.

             Por lo que:
                              {   x + y = 100
                                  x − y = 70
                                                 ………(*)

             Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos
             variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2
             de ecuaciones lineales.

             Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos
             o más ecuaciones lineales
                                                               km              km
             Resolviendo el sistema (*) se obtiene:   x = 85      ,   y = 15
                                                                h               h
• En cuanto a la resolución, los métodos que
    veremos en esta Unidad, se dividen en dos
    grupos: métodos              analíticos  y método
    gráfico .
•   Los métodos analíticos , que iremos viendo
    uno a uno, son tres: 
•   sustitución, igualación y reducción.
•   Por contra, el método gráfico  (sólo hay uno),
    consiste, como su propio nombre indica) en
    resolver (y discutir) el sistema mediante la
    representación gráfica de sus ecuaciones.
¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?

    Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones
    lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol-
    viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.


Método por sustitución

    Este método se resume así:

1   Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.
.

2   La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por
.   su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.

3   El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación
.   obtenida en el paso 1.
• Evidentemente, aún cuando la incógnita
 que se va a despejar en el primer paso
 puede ser cualquiera y de cualquier
 ecuación, es mejor, por la facilidad de los
 cálculos posteriores, hacer una buena
 elección de ambas, incógnita y ecuación.
 Queremos decir que será más fácil operar
 después si, por ejemplo, se elige una
 incógnita en una ecuación en la que "no
 tenga" coeficiente (es decir, que su
 coeficiente sea 1), ya que, en ese caso,
 podremos evitar el cálculo con fracciones.
Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema     {   x + y = 100
                                                      x − y = 70
                                                                    ….(*)
                                                                    ….(**)



Solución    1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene:

                                       y = 100 − x

            2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se
            tiene:
                            x − ( 100 − x ) = 70

                                 2 x − 100 = 70
                                       170
                                  x=       = 85
                                        2
            3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se
             obtiene el valor de y
                                 y = 100 − 85 = 15
Un ejemplo de un sistema lineal de dos
ecuaciones con dos incógnitas puede ser:
• x + y = 10
•x-y=2

• Cada una de las ecuaciones que componen el
 sistema, por separado, tendrían infinitas
 soluciones, ya que hay infinitas parejas de
 números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos
 pares de números cuya resta sea 2. Sin
 embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones
 para formar el sistema, estaremos buscando un
 par de números (x, y)  que cumplan a la vez  las
• Los sistemas de ecuaciones responden a
 planteamientos de problemáticas muy
 diversas. Por ejemplo, el sistema que
 hemos propuesto más arriba, podría ser el
 planteamiento para resolver un problema
 de este tipo:
• Entre lápices y gomas tengo diez piezas
 de material escolar. Tengo dos lápices
 más que gomas. ¿Cuántos lápices y
 cuántas gomas tengo?
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero
Sergio tiene el doble de euros que Ana.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
• Llamemos x al número de euros de Ana e y al
 de Sergio. Vamos a expresar las condiciones
 del problema mediante ecuaciones: Si los dos
 tienen 600 euros, esto nos proporciona la
 ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de
 euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas
 ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
• x + y = 600
• y = 2x
Resuelve el sistema de ecuaciones
por el método de sustitución .
a)

     4x + y = 0
     -4x + y = -8
b)


     5x - 2y = -1
     7x + 4y = 53
c)


     2x + 6y = -16
     -2x - 13y =   37
2 x + y = 6
1) 
   3x − y = 4
Método por igualación

     Este método se resume así:

 1   De cada ecuación se despeja la misma variable.
 .

 2   Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la
 .   ecuación que resulta.

 3   El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las
 .   ecuaciones obtenida en el paso 1.



Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a
          Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si
          Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a
          qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?

Solución    Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t
            el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces
t–1                es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a
                  Juan.

Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t
se tiene que:
                       d
                   60 =
                 
                 
                  90 =
                         t
                           d
                                   O sea:     {   60t − d = 0
                                                  90t − d = 90
                       t −1

Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:

                             90t − 90 = 60t
                                 30t = 90
                                         90
                                    t=      =3
                                         30
Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación         60t − d = 0   se obtiene
que d = 180.
TIPOS DE
 SISTEMAS

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según
su número de soluciones de la siguiente forma:

Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son
 rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la
 solución del sistema
Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son
rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por
tanto no hay solución

Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema
 son rectas coincidentes.Tienen todos los puntos en común,
y por tanto todos ellos son solución
¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga
una, ninguna o infinitas soluciones?
 
Una solución: Los coeficientes de x e y  de las dos ecuaciones no 
son proporcionales
              Ejemplo: 
 
Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son
 proporcionales a los de la otra, mientras que los términos
 independientes no lo son
       
Ejemplo: 
Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término
independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la
otra
              Ejemplo: 
Método por determinantes

  Si los coeficientes de las variables t y d del sistema   {   60t − d = 0
                                                               90t − d = 90
  se arreglan así
                                   60 −1
                                   90 −1
                                        
  se obtiene una matriz .

  El determinante de una matriz        a b      se denota así:
                                                                       a b
                                                                           ,
                                       c d                           c d
                                           
  y se define como sigue:
                                  a b
                                      = ad − bc
                                  c d

  Y la resolución por determinantes de un sistema
  obtiene así:
                                                       {   ax + by = m
                                                           cx + dy = n
                                                                       se

                            m b                        a       m
                            n d                        c       n
                    x=             ,              y=               .
                            a b                        a       b
                            c d                        c       d
Ejemplo 5 Resolver por determinantes el sistema                        {   x − 2y = 3
                                                                           3 x + 2y = 1

                           3   −2
Solución           x=
                           1    2
                                       =
                                           ( 3 ) ( 2) − ( 1) ( −2 )    =
                                                                           8
                                                                             =1
                           1   −2          ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 )       8
                           3    2

                           13
                   y=
                          3 1
                                     =
                                         ( 1) ( 1) − ( 3 ) ( 3 )   =
                                                                       −8
                                                                          = −1
                          1 −2         ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 )       8
                          3 2

Ejemplo 6 Resolver por determinantes el sistema                        {   x − 3y = 1
                                                                           x + 4y = 8

                   1 −3                                         1 1
                   8 4             28                           18              7
Solución      x=               =      = 4,            y=                    =     =1
                   1 −3            7                           1 −3             7
                   1 4                                         1 4
Método gráfico

       La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales,
      es una recta . Por lo que el método gráfico:

      Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para
      determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.



Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema       {   x − y = −1
                                                     2x − y = 1


Solución     Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas.
             Observe:

                      y = x +1                           y = 2x − 1


                x        0         –1                x       0        2

                y        1         0                 y     –1         3
Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla
en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para
determinar la solución. Observe:


                         y
                         3
                                          (2, 3)
                         1
                    –1
                         0        2   x
                             –1




 El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son
gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:


                             x = 2,   y =3
Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado,
     compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que
     las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se
     intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a
     la solución del sistema.



Ejemplo 8   El sistema   {   x − 3y = 1
                             x + 4y = 8
                                        tiene solución única. Observe:


                                               y
                                  x + 4y = 8
                                               2           (4, 1)


                                               1
                                               0
                                                   1   2   4   x


                                  x − 3y = 1
Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de
     soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente , y se
     caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la
     misma recta.

                             y
                         x −   = 1
Ejemplo     El sistema       2     tiene infinidad de soluciones. Observe:
10                      2x − y = 2
                       


                                            y             y
                                                     x−     =1
                                                          2




                                            0             1      x




                                                -2

                               2x − y = 2
Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema
     inconsistente o incompatible , y se caracteriza en que las gráficas de
     las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.

                            y
                        x −   = 1
Ejemplo    El sistema       2     no tiene solución. Observe:
11                     2x − y = 3
                      


                                     y              y
                                               x−     =1
                                                    2


                                               1

                                     0                          x



                                     -2            2x − y = 3



                                          -3
Fi
n

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)
ERICK CONDE
 
Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2
ERICK CONDE
 
Apunte usm ecuaciones diferenciales de orden superior
Apunte usm   ecuaciones diferenciales de orden superiorApunte usm   ecuaciones diferenciales de orden superior
Apunte usm ecuaciones diferenciales de orden superior
Cristian Cofré Sepúlveda
 
Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)
ERICK CONDE
 
Series Numericas
Series NumericasSeries Numericas
Series Numericas
ERICK CONDE
 

La actualidad más candente (19)

Trabajo integrador final calculo diferencial ups
Trabajo integrador final calculo diferencial upsTrabajo integrador final calculo diferencial ups
Trabajo integrador final calculo diferencial ups
 
Ecuaciones metodo branislapmatie
Ecuaciones metodo  branislapmatieEcuaciones metodo  branislapmatie
Ecuaciones metodo branislapmatie
 
Ecuaciones diferenciales.ppt
Ecuaciones diferenciales.pptEcuaciones diferenciales.ppt
Ecuaciones diferenciales.ppt
 
Estaciones para sistema de ecuaciones
Estaciones para sistema de ecuacionesEstaciones para sistema de ecuaciones
Estaciones para sistema de ecuaciones
 
Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)
 
9.metododegauss
9.metododegauss9.metododegauss
9.metododegauss
 
Razon de cambio problema de la tangente
Razon de cambio problema de la tangenteRazon de cambio problema de la tangente
Razon de cambio problema de la tangente
 
Probabilidad
ProbabilidadProbabilidad
Probabilidad
 
Aplicaciones geometricas edo2
Aplicaciones geometricas edo2Aplicaciones geometricas edo2
Aplicaciones geometricas edo2
 
ecuaciones diferenciales
ecuaciones diferencialesecuaciones diferenciales
ecuaciones diferenciales
 
Cap5
Cap5Cap5
Cap5
 
Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2
 
Alea 0506 resumen-----simulacion
Alea 0506 resumen-----simulacionAlea 0506 resumen-----simulacion
Alea 0506 resumen-----simulacion
 
Apunte usm ecuaciones diferenciales de orden superior
Apunte usm   ecuaciones diferenciales de orden superiorApunte usm   ecuaciones diferenciales de orden superior
Apunte usm ecuaciones diferenciales de orden superior
 
Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)
 
Cap7
Cap7Cap7
Cap7
 
Teoría Básica de las Ecuaciones Diferenciales
Teoría Básica de las Ecuaciones DiferencialesTeoría Básica de las Ecuaciones Diferenciales
Teoría Básica de las Ecuaciones Diferenciales
 
1 6 Ecuaciones Exactas
1 6 Ecuaciones Exactas1 6 Ecuaciones Exactas
1 6 Ecuaciones Exactas
 
Series Numericas
Series NumericasSeries Numericas
Series Numericas
 

Similar a Sistema de ecuaciones 1

Sistemasdeecuacioneslineales de norma
Sistemasdeecuacioneslineales de normaSistemasdeecuacioneslineales de norma
Sistemasdeecuacioneslineales de norma
normagalindo
 
Sistemasdeecuacioneslineales1
Sistemasdeecuacioneslineales1Sistemasdeecuacioneslineales1
Sistemasdeecuacioneslineales1
David Pelaez
 
Sistema de ecuaciones
Sistema de ecuacionesSistema de ecuaciones
Sistema de ecuaciones
sitayanis
 
Matematicas unidad 1 segunda parte
Matematicas unidad 1 segunda parteMatematicas unidad 1 segunda parte
Matematicas unidad 1 segunda parte
Andrea Castro
 
Sistemasdeecuacioneslinealesmetodografico
SistemasdeecuacioneslinealesmetodograficoSistemasdeecuacioneslinealesmetodografico
Sistemasdeecuacioneslinealesmetodografico
Lucero Diaz
 
Metodos 2 x2 lady
Metodos 2 x2 ladyMetodos 2 x2 lady
Metodos 2 x2 lady
leidy
 
Sistemas De Ecuaiones Lineales
Sistemas De Ecuaiones LinealesSistemas De Ecuaiones Lineales
Sistemas De Ecuaiones Lineales
CEU Benito Juarez
 
Sistemas De Ecuaiones Lineales
Sistemas De Ecuaiones LinealesSistemas De Ecuaiones Lineales
Sistemas De Ecuaiones Lineales
CEU Benito Juarez
 

Similar a Sistema de ecuaciones 1 (20)

Semana 1 sistemas de ecuaciones lineales
Semana 1 sistemas de ecuaciones linealesSemana 1 sistemas de ecuaciones lineales
Semana 1 sistemas de ecuaciones lineales
 
Sistemasdeecuacioneslineales de norma
Sistemasdeecuacioneslineales de normaSistemasdeecuacioneslineales de norma
Sistemasdeecuacioneslineales de norma
 
Presentacion sistemasde ecuacioneslineales
Presentacion sistemasde ecuacioneslinealesPresentacion sistemasde ecuacioneslineales
Presentacion sistemasde ecuacioneslineales
 
Sistemas De Ecuaciones Lineales
Sistemas De Ecuaciones LinealesSistemas De Ecuaciones Lineales
Sistemas De Ecuaciones Lineales
 
Sistemasdeecuacioneslineales1
Sistemasdeecuacioneslineales1Sistemasdeecuacioneslineales1
Sistemasdeecuacioneslineales1
 
Sistema de ecuaciones
Sistema de ecuacionesSistema de ecuaciones
Sistema de ecuaciones
 
Sistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones linealesSistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales
 
Matematicas unidad 1 segunda parte
Matematicas unidad 1 segunda parteMatematicas unidad 1 segunda parte
Matematicas unidad 1 segunda parte
 
ecuaciones.pptx
ecuaciones.pptxecuaciones.pptx
ecuaciones.pptx
 
Sistema de ecuaciones
Sistema de ecuacionesSistema de ecuaciones
Sistema de ecuaciones
 
M2 clsseries
M2 clsseriesM2 clsseries
M2 clsseries
 
Sistemas De Ecuaciones 1
Sistemas De Ecuaciones 1Sistemas De Ecuaciones 1
Sistemas De Ecuaciones 1
 
Sistemasdeecuacioneslinealesmetodografico
SistemasdeecuacioneslinealesmetodograficoSistemasdeecuacioneslinealesmetodografico
Sistemasdeecuacioneslinealesmetodografico
 
Angulos
Angulos Angulos
Angulos
 
Metodos 2 x2 lady
Metodos 2 x2 ladyMetodos 2 x2 lady
Metodos 2 x2 lady
 
Pivote y variada
Pivote y variadaPivote y variada
Pivote y variada
 
Sistemas De Ecuaiones Lineales
Sistemas De Ecuaiones LinealesSistemas De Ecuaiones Lineales
Sistemas De Ecuaiones Lineales
 
Sistemas De Ecuaiones Lineales
Sistemas De Ecuaiones LinealesSistemas De Ecuaiones Lineales
Sistemas De Ecuaiones Lineales
 
Mate
MateMate
Mate
 
SISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
 

Más de sitayanis

Guia complementaria trigonometria teorema del seno
Guia complementaria trigonometria teorema del senoGuia complementaria trigonometria teorema del seno
Guia complementaria trigonometria teorema del seno
sitayanis
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
sitayanis
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
sitayanis
 
Estadistica cuarto medio
Estadistica cuarto medioEstadistica cuarto medio
Estadistica cuarto medio
sitayanis
 
31509945 ejercicios-de-poliedros
31509945 ejercicios-de-poliedros31509945 ejercicios-de-poliedros
31509945 ejercicios-de-poliedros
sitayanis
 
Teorema de thales
Teorema de thalesTeorema de thales
Teorema de thales
sitayanis
 
Poliedros cuarto medio
Poliedros cuarto medioPoliedros cuarto medio
Poliedros cuarto medio
sitayanis
 
Elementos de estadistica descriptiva
Elementos de estadistica descriptivaElementos de estadistica descriptiva
Elementos de estadistica descriptiva
sitayanis
 
Circunferencia y circulos
Circunferencia y circulosCircunferencia y circulos
Circunferencia y circulos
sitayanis
 
Ejercicios area y volumen
Ejercicios area y volumenEjercicios area y volumen
Ejercicios area y volumen
sitayanis
 
Ficha de inscripción concurso canino pitrufquén
Ficha de inscripción concurso canino pitrufquénFicha de inscripción concurso canino pitrufquén
Ficha de inscripción concurso canino pitrufquén
sitayanis
 
Factorizacion de-polinomios
Factorizacion de-polinomiosFactorizacion de-polinomios
Factorizacion de-polinomios
sitayanis
 
Calculo de áreas y perímetro en figuras achuradas
Calculo de áreas y perímetro en figuras achuradasCalculo de áreas y perímetro en figuras achuradas
Calculo de áreas y perímetro en figuras achuradas
sitayanis
 
Factorización Primero Medio
Factorización Primero MedioFactorización Primero Medio
Factorización Primero Medio
sitayanis
 
Geometria area perimetro
Geometria area perimetroGeometria area perimetro
Geometria area perimetro
sitayanis
 
El teorema de pitágoras con papel y tijeras
El teorema de pitágoras con papel y tijerasEl teorema de pitágoras con papel y tijeras
El teorema de pitágoras con papel y tijeras
sitayanis
 
Tercero medio actividad rompecabeza
Tercero medio actividad rompecabezaTercero medio actividad rompecabeza
Tercero medio actividad rompecabeza
sitayanis
 
Tercero medio detalle actividad puzzle
Tercero medio detalle actividad puzzleTercero medio detalle actividad puzzle
Tercero medio detalle actividad puzzle
sitayanis
 
Guia cuarto medio cuadriláteros
Guia cuarto medio cuadriláteros Guia cuarto medio cuadriláteros
Guia cuarto medio cuadriláteros
sitayanis
 
Guía de octavo área achurada
Guía de octavo área achuradaGuía de octavo área achurada
Guía de octavo área achurada
sitayanis
 

Más de sitayanis (20)

Guia complementaria trigonometria teorema del seno
Guia complementaria trigonometria teorema del senoGuia complementaria trigonometria teorema del seno
Guia complementaria trigonometria teorema del seno
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
Estadistica cuarto medio
Estadistica cuarto medioEstadistica cuarto medio
Estadistica cuarto medio
 
31509945 ejercicios-de-poliedros
31509945 ejercicios-de-poliedros31509945 ejercicios-de-poliedros
31509945 ejercicios-de-poliedros
 
Teorema de thales
Teorema de thalesTeorema de thales
Teorema de thales
 
Poliedros cuarto medio
Poliedros cuarto medioPoliedros cuarto medio
Poliedros cuarto medio
 
Elementos de estadistica descriptiva
Elementos de estadistica descriptivaElementos de estadistica descriptiva
Elementos de estadistica descriptiva
 
Circunferencia y circulos
Circunferencia y circulosCircunferencia y circulos
Circunferencia y circulos
 
Ejercicios area y volumen
Ejercicios area y volumenEjercicios area y volumen
Ejercicios area y volumen
 
Ficha de inscripción concurso canino pitrufquén
Ficha de inscripción concurso canino pitrufquénFicha de inscripción concurso canino pitrufquén
Ficha de inscripción concurso canino pitrufquén
 
Factorizacion de-polinomios
Factorizacion de-polinomiosFactorizacion de-polinomios
Factorizacion de-polinomios
 
Calculo de áreas y perímetro en figuras achuradas
Calculo de áreas y perímetro en figuras achuradasCalculo de áreas y perímetro en figuras achuradas
Calculo de áreas y perímetro en figuras achuradas
 
Factorización Primero Medio
Factorización Primero MedioFactorización Primero Medio
Factorización Primero Medio
 
Geometria area perimetro
Geometria area perimetroGeometria area perimetro
Geometria area perimetro
 
El teorema de pitágoras con papel y tijeras
El teorema de pitágoras con papel y tijerasEl teorema de pitágoras con papel y tijeras
El teorema de pitágoras con papel y tijeras
 
Tercero medio actividad rompecabeza
Tercero medio actividad rompecabezaTercero medio actividad rompecabeza
Tercero medio actividad rompecabeza
 
Tercero medio detalle actividad puzzle
Tercero medio detalle actividad puzzleTercero medio detalle actividad puzzle
Tercero medio detalle actividad puzzle
 
Guia cuarto medio cuadriláteros
Guia cuarto medio cuadriláteros Guia cuarto medio cuadriláteros
Guia cuarto medio cuadriláteros
 
Guía de octavo área achurada
Guía de octavo área achuradaGuía de octavo área achurada
Guía de octavo área achurada
 

Sistema de ecuaciones 1

  • 1. Sistemas de ecuaciones lineales Profesora Srta. Yanira Castro Lizana
  • 2. La tercera parte de los ahorros de Juan es $115. Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se expresa como sigue: 1 x = 115 3 Esta igualdad es una ecuación lineal . Las ecuaciones se usan para expresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos, astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo: 1 v = 2+ t, 2 expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil 1 con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de m 2 por segundo cuadrado.
  • 3. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma a1x1 + a2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an xn = b en donde x1, x 2 , ..., x n son variables;a1, a2 , ..., an son constantes llamadas los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término constante de la ecuación. Ejemplo Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas 1 de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas. ¿Cuántas tiene cada uno? Solución Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por tanto: x + 2 ( x + 2 ) = 103 3 x + 4 = 103 99 x= = 33 3
  • 4. Ejemplo 2 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma? Solución Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea y la velocidad del río o de la corriente. Entonces: x+y es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor. x−y es la velocidad de la lancha con la corriente en contra. Por lo que: { x + y = 100 x − y = 70 ………(*) Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2 de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales km km Resolviendo el sistema (*) se obtiene: x = 85 , y = 15 h h
  • 5. • En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, se dividen en dos grupos: métodos analíticos  y método gráfico . • Los métodos analíticos , que iremos viendo uno a uno, son tres:  • sustitución, igualación y reducción. • Por contra, el método gráfico  (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones.
  • 6. ¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales? Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol- viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior. Método por sustitución Este método se resume así: 1 Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones. . 2 La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por . su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta. 3 El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación . obtenida en el paso 1.
  • 7. • Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.
  • 8. Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema { x + y = 100 x − y = 70 ….(*) ….(**) Solución 1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene: y = 100 − x 2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se tiene: x − ( 100 − x ) = 70 2 x − 100 = 70 170 x= = 85 2 3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se obtiene el valor de y y = 100 − 85 = 15
  • 9. Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser: • x + y = 10 •x-y=2 • Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y)  que cumplan a la vez  las
  • 10. • Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy diversas. Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento para resolver un problema de este tipo:
  • 11. • Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lápices más que gomas. ¿Cuántos lápices y cuántas gomas tengo?
  • 12. Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?. • Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema: • x + y = 600 • y = 2x
  • 13. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . a) 4x + y = 0 -4x + y = -8
  • 14. b) 5x - 2y = -1 7x + 4y = 53
  • 15. c) 2x + 6y = -16 -2x - 13y = 37
  • 16. 2 x + y = 6 1)  3x − y = 4
  • 17. Método por igualación Este método se resume así: 1 De cada ecuación se despeja la misma variable. . 2 Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la . ecuación que resulta. 3 El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las . ecuaciones obtenida en el paso 1. Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan? Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces
  • 18. t–1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan. Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t se tiene que:  d 60 =    90 = t d O sea: { 60t − d = 0 90t − d = 90  t −1 Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene: 90t − 90 = 60t 30t = 90 90 t= =3 30 Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación 60t − d = 0 se obtiene que d = 180.
  • 19. TIPOS DE SISTEMAS Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma: Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes.Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución
  • 20. ¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones?   Una solución: Los coeficientes de x e y  de las dos ecuaciones no  son proporcionales               Ejemplo:   
  • 21. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son  proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son         Ejemplo: 
  • 22. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra               Ejemplo: 
  • 23. Método por determinantes Si los coeficientes de las variables t y d del sistema { 60t − d = 0 90t − d = 90 se arreglan así  60 −1  90 −1   se obtiene una matriz . El determinante de una matriz a b  se denota así: a b , c d  c d   y se define como sigue: a b = ad − bc c d Y la resolución por determinantes de un sistema obtiene así: { ax + by = m cx + dy = n se m b a m n d c n x= , y= . a b a b c d c d
  • 24. Ejemplo 5 Resolver por determinantes el sistema { x − 2y = 3 3 x + 2y = 1 3 −2 Solución x= 1 2 = ( 3 ) ( 2) − ( 1) ( −2 ) = 8 =1 1 −2 ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 ) 8 3 2 13 y= 3 1 = ( 1) ( 1) − ( 3 ) ( 3 ) = −8 = −1 1 −2 ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 ) 8 3 2 Ejemplo 6 Resolver por determinantes el sistema { x − 3y = 1 x + 4y = 8 1 −3 1 1 8 4 28 18 7 Solución x= = = 4, y= = =1 1 −3 7 1 −3 7 1 4 1 4
  • 25. Método gráfico La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el método gráfico: Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan. Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema { x − y = −1 2x − y = 1 Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe: y = x +1 y = 2x − 1 x 0 –1 x 0 2 y 1 0 y –1 3
  • 26. Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe: y 3 (2, 3) 1 –1 0 2 x –1 El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es: x = 2, y =3
  • 27. Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema. Ejemplo 8 El sistema { x − 3y = 1 x + 4y = 8 tiene solución única. Observe: y x + 4y = 8 2 (4, 1) 1 0 1 2 4 x x − 3y = 1
  • 28. Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente , y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta.  y  x − = 1 Ejemplo El sistema  2 tiene infinidad de soluciones. Observe: 10  2x − y = 2  y y x− =1 2 0 1 x -2 2x − y = 2
  • 29. Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible , y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.  y  x − = 1 Ejemplo El sistema  2 no tiene solución. Observe: 11  2x − y = 3  y y x− =1 2 1 0 x -2 2x − y = 3 -3
  • 30. Fi n