El documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo que un sistema es: (1) determinado si tiene una solución única, (2) indeterminado si tiene infinitas soluciones, y (3) incompatible si no tiene solución. También describe métodos para resolver sistemas como sustitución, igualación, determinantes y gráficamente.

1. Sistemas de ecuacionesSistemas de ecuaciones
linealeslineales

2. La tercera parte de los ahorros de Juan es $115.
Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se
expresa como sigue:
1
115
3
x =
Esta igualdad es una ecuación lineal. Las ecuaciones se usan para
expresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos,
astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo:
1
2 ,
2
v t= +
expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil
con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de m
por segundo cuadrado.
1
2

3. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma
en donde son variables; son constantes llamadas
los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término
constante de la ecuación.
1 1 2 2 n na x a x a x b+ + ⋅⋅⋅ + =
1 2, x , ..., xnx 1 2, , ..., na a a
Ejemplo
1
Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas
de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas.
¿Cuántas tiene cada uno?

4. Ejemplo 2 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la
corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la
corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?
Solución Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea
y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:
es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor.
es la velocidad de la lancha con la corriente en contra.
x y+
x y−
Por lo que:
{ 100
70
x y
x y
+ =
− =
Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos
variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2
de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos
o más ecuaciones lineales
………(*)

5. Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones
lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol-
viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.
Método por sustitución
Este método se resume así:
Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.
3
.
2
.
1
.
La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por
su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.
El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación
obtenida en el paso 1.
¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?

6. Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema { 100
70
x y
x y
+ =
− =
Solución 1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene:
100y x= −
2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se
tiene:
( )100 70x x− − =
2 100 70x − =
170
85
2
x = =
3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se
obtiene el valor de y
100 85 15y = − =

7. Método por igualación
Este método se resume así:
De cada ecuación se despeja la misma variable.
3
.
2
.
1
.
Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la
ecuación que resulta.
El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las
ecuaciones obtenida en el paso 1.
Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a
Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si
Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a
qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?
Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t
el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

8. t – 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a
Juan.
Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t
se tiene que:
60
90
1
d
t
d
t

=

 =
−
Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:
O sea: { 60 0
90 90
t d
t d
− =
− =
90 90 60t t− =
30 90t =
90
3
30
t = =
Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación se obtiene
que d = 180.
60 0t d− =

9. Método por determinantes
Si los coeficientes de las variables t y d del sistema
se arreglan así
{ 60 0
90 90
t d
t d
− =
− =
60 1
90 1
− 
 − 
se obtiene una matriz.
El determinante de una matriz se denota así:
y se define como sigue:
a b
c d
 
 
 
,
a b
c d
a b
ad bc
c d
= −
Y la resolución por determinantes de un sistema se
obtiene así:
{ ax by m
cx dy n
+ =
+ =
,
m b
n d
x
a b
c d
= .
a m
c n
y
a b
c d
=

10. Ejemplo 5 Resolver por determinantes el sistema { 2 3
3 2 1
x y
x y
− =
+ =
Solución
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2 1 21 2 8
1
1 2 1 2 3 2 8
3 2
x
−
− −
= = = =
− − −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3
1 1 3 33 1 8
1
1 2 1 2 3 2 8
3 2
y
− −
= = = = −
− − −
Ejemplo 6 Resolver por determinantes el sistema { 3 1
4 8
x y
x y
− =
+ =
Solución
1 3
8 4 28
4
1 3 7
1 4
,x
−
= = =
−
1 1
1 8 7
1
1 3 7
1 4
y = = =
−

11. Método gráfico
Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para
determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.
La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales,
es una recta . Por lo que el método gráfico:
Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema { 1
2 1
x y
x y
− = −
− =
Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas.
Observe:
1y x= +
x
y
0 – 1
01
2 1y x= −
x
y
0 2
– 1 3

12. Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla
en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para
determinar la solución. Observe:
– 1
0
– 1
2
3
1
x
y
El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son
gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:
2, 3x y= =
(2, 3)

13. Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado,
compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que
las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se
intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a
la solución del sistema.
Ejemplo 8 El sistema tiene solución única. Observe:{ 3 1
4 8
x y
x y
− =
+ =
2
1
0
4
2
x
y
3 1x y− =
4 8x y+ =
(4, 1)
1

14. Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de
soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se
caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la
misma recta.
Ejemplo
10
El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe:
1
2
2 2
y
x
x y

− =

 − =
- 2
10
y
x
1
2
y
x − =
2 2x y− =

15. Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema
inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de
las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.
El sistema no tiene solución. Observe:
1
2
2 3
y
x
x y

− =

 − =
- 2
1
0
y
x
1
2
y
x − =
2 3x y− =
- 3
Ejemplo
11

16. Clasificación de un sistema según el número de solucionesClasificación de un sistema según el número de soluciones
Sistemas de
ecuaciones lineales
Incompatible
Compatible
Sin solución
Con solución
Determinado
Indeterminado
Solución
única
Infinitas
soluciones

17. Fi
n