Matemáticas básicas para ciencias económicas

MATEMÁTICAS BÁSICAS
CON APLICACION A FACULTADES DE CIENCIAS
ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
AUTOR : DIEGO FERNANDO SATIZÁBAL GARCÍA
Este libro es un obsequio de parte de su autor, pero lo mas importante es que si has
ingresado todos tus datos en el formulario ( e-mail, nombre, ciudad y país ), te llegarán
( vía e-mail ) una serie de videos ( producidos por el autor ) donde se explica con
detalle algunos ejercicios resueltos y propuestos.

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Matemáticas Financieras ingresa a la pagina de el autor : www.diegosatizabal.com

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DEDICATORIA :

A mi esposa

Paula Andrea L

A mi hijo Juan Diego :

MI GRAN ADORACIÓN

AGRADECIMIENTOS

De una manera muy especial agradezco a los estudiantes de la Universidad
Santiago de Cali, quienes han sido los encargados de hacer las sugerencias para
que esta obra cada vez sea de mejor utilidad.

Mi familia ha sido fundamental en la ejecución de este libro. Agradezco también a
todos los profesores que de una u otra forma utilicen este texto y puedan hacerme
llegar sugerencias.

Definitivamente “Nadie nace aprendido”.

Esto me obliga a reconocer que lo poco que he aprendido se lo debo a muchas
personas, ya sea porque me han enseñado ó porque he leído sus textos.

Tengo que agradecerle a una gran cantidad de profesores de la Universidad de
Valle (de la cual soy egresado) y en especial a Alfonso Bustamante y a Carlos
Julio González que son unos verdaderos maestros, por que son de esas
personas que despiertan el interés en su materia a cualquier individuo y lo
estimulan y forman para que salga adelante.

A nivel de Post-grado en la Universidad del Valle han sido muy importantes para
mi formación: Gustavo Lineros, Eduardo Ruiz Anzola, Ruben Darío Cubides,
Hector Fabio Ceballos, Carlos Hugo Giraldo, Guillermo Buenaventura, Luis
Enrique Polanco, Gonzalo Sinisterra, Omar Cedeño, Melquisedec Acuña, etc.

En el Post-grado en Gerencia Financiera de la Universidad Santiago de Cali,
agradecerle mucho a las siguientes personas : Luis Fernando Escobar, Carlos
Fernando Cuevas, Jorge Enrique bueno, Raúl Sánchez, Carlos Eduardo Leyton ,
Diego Navia, al profesor Carvallo y al exdirector del post-grado Juan Guillermo
Posada.

Otras personas que no me han enseñado pero que les debo mucho por haber
leído sus textos son : el Ing. Germán Arboleda Velez, Rodrigo Várela V. Ph.D,
Arturo Infante Villareal y Guillermo Bacca. A ellos muchos agradecimientos.

INTRODUCCION
El texto de MATEMATICAS BASICAS APLICADAS es de gran importancia para
estudiantes de primeros semestres en las facultades de ciencias económicas y empresariales
tales como : Finanzas, Negocios, Administración, Economía, Ingeniería Comercial,
Contaduría , Mercadeo y ciencias afines.
Es muy importante aclarar que este texto lo preparé y digité personalmente y en
ningún momento ha sido revisado ni editado puesto que lo utilicé únicamente con
estudiantes de pregrado hace muchos años cuando dictaba esta materia en diferentes
universidades de la región ( en estos momentos mi fuerte son las matemáticas
financieras ).
Hago esta aclaración puesto que no existe ninguna rigurosidad en cuanto al
tratamiento que le dan los matemáticos y expertos en el tema.

El texto esta concebido de la siguiente manera :

♦ Posee la teoría necesaria de una forma tal que explica lo necesario de una forma clara y
sencilla para hacer la aplicación posteriormente.

♦ Tiene una gran cantidad de ejercicios resueltos para que el lector tenga la posibilidad de
entender la aplicación y además resolver otro tipo de ejercicios muy similares.

♦ Tiene una gran cantidad de ejercicios propuestos para que el lector tenga la posibilidad
de practicar y afianzar los conocimientos adquiridos.

En este texto existen algunos fundamentos de álgebra, pero esto está incluido en el
apéndice (al final) puesto que vamos a centrar la atención más bien en la aplicación.

El texto se divide en ocho (9) capítulos que están conformados de la siguiente manera :

CAPITULO 1 : INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Aquí se trata de indicar al lector como se incrementa ó disminuye una determinada
cantidad, utilizando un factor; y además para decidir si entre dos cantidades sucesivas
existe un incremento ó disminución. Lo anterior tiene aplicación en todas las ciencias e
inclusive en nuestra vida cotidiana.

CAPITULO 2 : ECUACIONES

En este capítulo el lector estará en capacidad de resolver :
- Ecuaciones lineales en una variable
- Ecuaciones cuadráticas en una variable
- Ecuaciones que contienen radical
- Sistemas simultáneos de dos ecuaciones y dos incógnitas
Se plantearán una serie de problemas relacionados con ecuaciones de costo, ingreso y
utilidad.

CAPITULO 3 : INECUACIONES

Aquí definiremos lo que es una inecuación y se aprenderá a resolver inecuaciones lineales
en una variable e inecuaciones cuadráticas en una variable.

CAPITULO 4 : FUNCION LINEAL

Este capítulo es uno de los más importantes puesto que respecto a la función lineal hay
mucha aplicación en las ciencias económicas y empresariales.
Aquí, definiremos, determinaremos y graficaremos la línea recta; y lo más importante es
que haremos una aplicación a costos, producción, microeconomía, macroeconomía y
finanzas.

CAPITULO 5 : FUNCION CUADRATICA

Aquí identificaremos una función cuadrática para posteriormente graficarla y hacer lo más
importante que es interpretar esta gráfica alrededor de problemas que están relacionados
con funciones de costo, ingreso y utilidad. Este capítulo tiene mucha aplicación en la
determinación de precios.

CAPITULO 6 : FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Aquí inicialmente, definiremos lo que es un logaritmo y trabajaremos su propiedades.
Posteriormente resolveremos algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
También graficaremos funciones de tipo exponencial y logarítmica. Se hará alguna
aplicación a ecuaciones de demanda de tipo exponencial .

CAPITULO 7 : LIMITES

Aquí se dará una idea de lo que es un limite, y esto lo haremos exclusivamente para
abordar el capitulo de derivadas .

CAPITULO 8 : LA DERIVADA

Aquí daremos un concepto breve de lo que es la derivada, y nos concentraremos en hacer
una aplicación a las ciencias económicas y empresariales mediante ejercicios de
optimización y análisis marginal.

CAPITULO 9 : APENDICE

En este “Capítulo” trataremos algunos casos de factorización y algunas propiedades de la
potenciación y radicación; para luego simplificar expresiones algebraicas donde se requiere
lo expuesto anteriormente. Además está incluido el concepto de lo que es una progresión
aritmética y geométrica con sus respectivos ejercicios

INDICE

PAG.

CAPITULO 1 INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 11

Incrementos Porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Disminuciones Porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

CAPITULO 2 ECUACIONES 19

Solución de Ecuaciones Lineales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Solución de Ecuaciones Cuadráticas en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Solución de Ecuaciones que Contienen Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Sistema Simultaneo de 2 Ecuaciones con 2 Incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Método de Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Método de Igualación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Método de Reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Aplicación a Costos y Producción – Ecuaciones de Costo, Ingreso y Utilidad . . . . . 38
Problemas de Aplicación – Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Problemas de Aplicación – Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

CAPITULO 3 INECUACIONES 57

Representación Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Desigualdades Lineales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Solución de Inecuaciones Cuadráticas en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

CAPITULO 4 FUNCION LINEAL 72

Funciones y Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Función Líneal – Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Cálculo de la Pendiente Dados 2 Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Cálculo de la Ecuación de la Recta Dados 1 Punto y una Pendiente . . . . . . . . . . . . . . 80
Gráfica de la Línea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Rectas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Rectas Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Interpolación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Ejercicio Resuelto con aplicación a costo, ingreso y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Aplicación a Microeconomía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Relaciones de Demanda y Oferta Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Función de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Función de Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Punto de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Elasticidad Precio de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Elasticidad Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Aplicación a Macroeconomía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Función de consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Curva de Demanda de Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Ecuación de la Curva IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Ejercicio Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Ecuación de la Curva LM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Multiplicador de la Política Fiscal y Monetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Ejercicio Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

CAPITULO 5 FUNCION CUADRATICA 158

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Gráfica de la Función Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Gráfica de la Parábola Utilizando el Vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Cálculo de la Ecuación de una Parábola Dados 3 Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Ejercicios Resueltos (Función de Costo, Ingreso y Utilidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

CAPITULO 6 FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA 185

Logaritmos – Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Solución de Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Función Exponencial y Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Función Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

CAPITULO 7 LIMITES 216

Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
El numero de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

CAPITULO 8 LA DERIVADA 229

Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Ecuación de la recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Ecuación de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Derivada de la potencia N- esima de una variable .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Derivada de una constante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Derivada del producto entre una constante y una función .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Derivada de una suma de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Derivada del producto de 2 funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Derivada del cociente de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Derivada de una función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Derivación implícita .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Derivadas de orden superior .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Grafica de una función utilizando derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Criterios de la primera derivada .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Criterios de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Ejercicio resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Elasticidad punto de la demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Análisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Ingreso y utilidad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Ingreso marginal en términos de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Ejercicios resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Costo total medio, costo variable medio y costo fijo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

CAPITULO 9 APENDICE 298

Algunos Casos de Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Factor Común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Diferencia de Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Suma y Diferencia de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Trinomio Cuadrado Perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Trinomio de la Forma ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Simplificación de Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Propiedades de Potenciación y Radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Progresión Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Progresión Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Distancia Entre Dos Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Coordenadas del Punto Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Ecuación de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Ecuación de la Parábola (Forma Canónica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Ecuaciones con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Problemas de Aplicación de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 348
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

LIBRO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS
CON APLICACIONES A FACULTADES DE CIENCIAS
ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
AUTOR : DIEGO FERNANDO SATIZÁBAL GARCÍA
Este libro es un obsequio de parte de su autor, pero lo mas importante es que si has
ingresado todos tus datos en el formulario ( e-mail, nombre, ciudad y país ),
posteriormente te empezará a llegar una serie de videos ( producidos por el autor )
donde se explica con detalle algunos ejercicios resueltos y propuestos.

Si quieres conocer otras publicaciones y videos tales como Ingeniería Económica ó
Matemáticas Financieras ingresa a la pagina de el autor : www.diegosatizabal.com

Para descargar este libro debes colocar el cursor en la parte inferior y hacer clic
donde se indica ( en el disquete ) a continuación.

INTRODUCCION
El texto de MATEMATICAS BASICAS APLICADAS es de gran importancia para
estudiantes de primeros semestres en las facultades de ciencias económicas y empresariales
tales como : Finanzas, Negocios, Administración, Economía, Ingeniería Comercial,
Contaduría , Mercadeo y ciencias afines.
Es muy importante aclarar que este texto lo he preparé y digité personalmente y en
ningún momento ha sido revisado ni editado puesto que lo utilice únicamente con
mis estudiantes de pregrado hace muchos años cuando dictaba esta materia en
diferentes universidades de la región ( en estos momentos mi fuerte son las
matemáticas financieras ).
Hago esta aclaración puesto que no existe ninguna rigurosidad en cuanto al
tratamiento que le dan los matemáticos y expertos en el tema ( mejor dicho este texto
lo visualizo como una cartilla ).

El texto esta concebido de la siguiente manera :

♦ Posee la teoría necesaria de una forma tal que explica lo necesario de una forma clara y
sencilla para hacer la aplicación posteriormente.

♦ Tiene una gran cantidad de ejercicios resueltos para que el lector tenga la posibilidad de
entender la aplicación y además resolver otro tipo de ejercicios muy similares.

♦ Tiene una gran cantidad de ejercicios propuestos para que el lector tenga la posibilidad
de practicar y afianzar los conocimientos adquiridos.

En este texto existen algunos fundamentos de álgebra, pero esto está incluido en el
apéndice (al final) puesto que vamos a centrar la atención más bien en la aplicación.

El texto se divide en ocho (9) capítulos que están conformados de la siguiente manera :

CAPITULO 1 : INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Aquí se trata de indicar al lector como se incrementa ó disminuye una determinada
cantidad, utilizando un factor; y además para decidir si entre dos cantidades sucesivas
existe un incremento ó disminución. Lo anterior tiene aplicación en todas las ciencias e
inclusive en nuestra vida cotidiana.

CAPITULO 2 : ECUACIONES

En este capítulo el lector estará en capacidad de resolver :
- Ecuaciones lineales en una variable
- Ecuaciones cuadráticas en una variable
- Ecuaciones que contienen radical
- Sistemas simultáneos de dos ecuaciones y dos incógnitas

Se plantearán una serie de problemas relacionados con ecuaciones de costo, ingreso y
utilidad.

CAPITULO 3 : INECUACIONES

Aquí definiremos lo que es una inecuación y se aprenderá a resolver inecuaciones lineales
en una variable e inecuaciones cuadráticas en una variable.

CAPITULO 4 : FUNCION LINEAL

Este capítulo es uno de los más importantes puesto que respecto a la función lineal hay
mucha aplicación en las ciencias económicas y empresariales.
Aquí, definiremos, determinaremos y graficaremos la línea recta; y lo más importante es
que haremos una aplicación a costos, producción, microeconomía, macroeconomía y
finanzas.

CAPITULO 5 : FUNCION CUADRATICA

Aquí identificaremos una función cuadrática para posteriormente graficarla y hacer lo más
importante que es interpretar esta gráfica alrededor de problemas que están relacionados
con funciones de costo, ingreso y utilidad. Este capítulo tiene mucha aplicación en la
determinación de precios.

CAPITULO 6 : FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Aquí inicialmente, definiremos lo que es un logaritmo y trabajaremos su propiedades.
Posteriormente resolveremos algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
También graficaremos funciones de tipo exponencial y logarítmica. Se hará alguna
aplicación a ecuaciones de demanda de tipo exponencial .

CAPITULO 7 : LIMITES

Aquí se dará una idea de lo que es un limite, y esto lo haremos exclusivamente para
abordar el capitulo de derivadas .

CAPITULO 8 : LA DERIVADA

Aquí daremos un concepto breve de lo que es la derivada, y nos concentraremos en hacer
una aplicación a las ciencias económicas y empresariales mediante ejercicios de
optimización y análisis marginal.

CAPITULO 9 : APENDICE

En este “Capítulo” trataremos algunos casos de factorización y algunas propiedades de la
potenciación y radicación; para luego simplificar expresiones algebraicas donde se requiere
lo expuesto anteriormente. Además está incluido el concepto de lo que es una progresión
aritmética y geométrica con sus respectivos ejercicios

DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIA INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

CAPITULO

INCREMENTOS Y DISMINUCIONES
PORCENTUALES
1
INCREMENTOS

Puede ser muy usual en ciertas ocasiones aumentar ó disminuir una cierta cantidad en un
porcentaje determinado.

Por ejemplo, si quisiéramos aumentarle a 500 su 20%. Como lo haríamos ?

R/ Debemos obtener primero el 20% de 500. Como ?

20
(500) 0.2 (500) = 100
100

Ahora sumemos : 500 + 100 = 600 Resultado final.

¿Se podría hacer de otra forma ?

De otra forma haríamos lo siguiente :

500 (1.2) = 600 Resultado final

¿Cómo se hizo ?

20
Veamos : 500 + (500) => 500 + 0.2 (500) sacando factor común
100
500 (1 + 0.2)

500 (1.2) = 600 Resultado final

Y si quisiéramos incrementar 500 pero en un 30% ?

11


30
R/ Tendríamos : 500 + (500) ⇔ 500 + 0.3 (500)
100
500 (1 + 0.3) ⇔ 500 (1.3) = 650

Incrementar 500 en un 40%

De lo anterior podemos observar lo siguiente :
Si vamos a incrementar una cantidad en un 20%, debemos multiplicar por un factor
equivalente a 1.2 . Por que 1.2 ? Veamos :

20
1.2 = 1 + 0.2 Esto significa 20%
100

Y si hubiera sido el incremento de un 30% ?

R/ El factor seria 1.3

30
1.3 = 1 + 0.3 Esto significa 30%
100

Y si hubiera sido el incremento de un 8% ?

R/ El factor seria 1.08

8
1.08 = 1 + 0.08 Esto significa 8%
100

En términos generales :

Si se va a incrementar un valor dado (P) en un determinado porcentaje (por ejemplo 43%),
se debe multiplicar el valor de (P) por un factor equivalente (o igual) a 1.43 y el resultado
final sería : 1.43 P → este es el resultado final.

12


EJERCICIOS RESUELTOS

1) Se tiene un valor constante (P) y se debe incrementar en un determinado porcentaje, para
cada caso decir por que factor se debe multiplicar.

a) En un 25% R/ 1.25P

b) En un 32% R/ 1.32P

c) En un 85% R/

d) En un 16% R/

e) En un 5% R/

f) En un 1% R/

g) En un 120% R/

2) Para cada caso se tiene una cantidad constante P multiplicada por un factor, decir
entonces en que porcentaje se esta incrementando P .

a) 1.28 P → P está incrementada en un 28%
b) 1.43 P → P está incrementada en un
c) 1.025 P → P está incrementada en un
d) 1.94 P → P está incrementada en un
e) 1.14 P → P está incrementada en un
f) 2.5 P → P está incrementada en un

Si tengo una cantidad, por ejemplo 2000 y la incrementamos en un 30% tendríamos
entonces :
2000 (1.3) = 2600

Si a esta cantidad resultante la quisiéramos incrementar en un 20% nos daría entonces :

2600 (1.2) = 3120

Si a esta última (3120) la incrementamos en un 5% obtendríamos :

3120 (1.05) = 3276

13


Este último valor (3276) lo hubiéramos podido sacar inmediatamente así :

2000 (1.3) (1.2) (1.05) = 3276

2000 (1.638) = 3276

En otras palabras ; hacer los incrementos sucesivos del 30%, 20% y 5% es equivalente a
incrementar 2000 en un 63.8%

3) En los siguientes ejercicios dado un valor inicial hacer los incrementos sucesivos e
indicar con un solo porcentaje como se obtendría el resultado final, dado el valor inicial.

Valor Incrementos Resultado parcial %
inicial Sucesivos (%)
a) 3000 25 - 32 - 7 3000(1.25)(1.32)(1.07) ⇔ 3000(1.7655) 76.55%
b) 500000 31 - 22 - 16
c) 400000 20 - 5.3 - 18 - 20.5
d) P 4.5 - 21 - 32.5 - 12.3

DISMINUCIONES PORCENTUALES

Que sucede si queremos disminuir una cantidad determinada en un porcentaje dado, por
ejemplo : Disminuir 500 en un 20%.

Procedimiento :

20
500 - (500) ⇔ 500 - 0.2 (500)
100

sacando factor común 500 (1 - 0.2) => 500 (0.8) => 400 Resultado final

Podemos observar que el factor por el que debemos multiplicar es 0.8 (factor menor
que 1)

Recordemos que el factor 0.8 se obtiene de la siguiente forma :

20
0.8 ⇔1 - 0.2 Esto significa 20%
100
Disminuir

14


Si quisiéramos disminuir una cantidad en un 30% el factor seria 0.7

4) En los siguientes ejercicios dado un valor inicial, decir cual debe ser el factor para
disminuir la cantidad en el porcentaje dado.

Valor inicial Disminuir en Factor a Resultado Resultado final
multiplicar parcial
6000 25% 1 - 0.25 6000 (0.75) 4500
85000 15%
100000 5%
40000 90%
200000 1%
350000 7.5%

5) Para cada caso se tiene una cantidad P multiplicada por un factor, decir en que
porcentaje se esta disminuyendo P.

a) 0.72 P → P se está disminuyendo en un 28%
b) 0.84 P → P se está disminuyendo en un
c) 0.96 P → P se está disminuyendo en un
d) 0.08 P → P se está disminuyendo en un
e) 0.99 P → P se está disminuyendo en un
f) 0.01 P → P se está disminuyendo en un

Ejercicio :

Se tiene una cantidad, por ejemplo 50000 y se van a hacer los incrementos ó disminuciones
porcentuales sucesivos :

Aumentar en un 15%, posteriormente disminuir en un 10% y luego aumentar en un 20%.

R/ 50000 (1.15) (0.9) (1.2) ⇔ 50000 (1.242) incremento del 24.2%

incremento del 20%
incremento disminución
del 15% del 10%

En conclusión podemos afirmar que aumentar una cantidad en un 15%, disminuirla en un
10% y aumentarla en un 20%, es equivalente a aumentar la cantidad inicial en un 24.2%.

15


6) Para cada caso aumentar, disminuir y aumentar porcentualmente una cantidad dada y
decir finalmente si el resultado es equivalente a un aumento o disminución porcentual de la
cantidad inicial.

Cantidad Aume. Dismi. Aumen. Resultado parcial Resultado final
inicial (%) (%) (%)
a) 45000 30% 25% 15% 45000(1.3)(0.75)(1.15) Aumento del 12.13%
b) 80000 5% 40% 20% 80000(1.05)(0.6)(1.2) Disminución del 24.4%
c) 100000 16% 16% 5%
d) 250000 16% 25% 14.95%
e) P 10% 20% 10%
f) P 16% 10% 0%

Es probable que se tenga la creencia de que al disminuir una cantidad determinada en un
porcentaje y luego al aumentarla en el mismo porcentaje el resultado final sea el mismo.

Ejemplo : Disminuir 500 en un 20% y posteriormente la cantidad resultante aumentarla
otra vez en el mismo 20%.

Procedimiento :
Disminuir en 20% → 500 (0.8) = 400
Aumentar en 20% → 400 (1.2) = 480

Podemos observar que el resultado final es 480 y no lo que probablemente se creía era 500.
Preguntémonos ahora a que porcentaje corresponde 480 respecto de 500 ?
Para responder esto podemos hacer lo siguiente :

480
 →

paso .a .multiplicar .a .500
= 0.96 480 = 500 (0.96)
500

De la igualdad anterior podemos deducir que el 96% de 500 es igual a 480 ó que es lo
mismo “480 corresponde a un 96% de 500”.

7) En los siguientes ejercicios decir a que porcentaje corresponde una cantidad respecto de
otra mayor.

a) Que porcentaje será 2000 de 4000 ? 2000/4000 = 0.5 → R/ 50%

b) Que porcentaje será 8000 de 15000 ? 8000/15000 = 0.5333 → R/ 53.33%

c) Que porcentaje será 185000 de 350000 ?

16


d) Que porcentaje será 45000 de 900000 ?

e) Que porcentaje será 48000 de 720000 ?

Que sucede ahora si a 500 lo incrementamos en un 20% y posteriormente lo disminuimos
en un 20% ?

Procedimiento :
500 (1.2) = 600
600 (0.8) = 480

Observamos entonces que el resultado es el mismo. Por que ? Veamos :

Para el primer caso los pasos fueron los siguientes (500) (0.8) (1.2) = 480
Para el segundo caso los pasos fueron los siguientes (500) (1.2) (0.8) = 480

Aquí se puede ver que para los dos casos los factores son los mismos. Que sucede si
establezco el siguiente cociente :

500
= 1.25 ⇔ 500 = 400 (1.25)
400

Esto me indica que si incremento a 400 en un 25% el resultado es 500.

Por que es importante esto ?
Supongamos la siguiente situación :

En una empresa X las ventas en el año 1996 fueron de $895’300.000, mientras que en el
año 1997 fue de $1535’200.000. En que porcentaje aumentaron las ventas en el año 1997
respecto del año 1996 ?

1535'200.000 este factor indica que para el año 1996 las ventas
R/ = 1.7147 → aumentan en un 71.47%.
895'300.000

Que hubiera pasado si las ventas en el año 1996 son de $895’300.000 y en el año 1997 de
$761’005.000. En que porcentaje se han disminuido las ventas ?

761005.000
'
R/ = 0.85 ⇔ 761’005.000 = 895’300.000 (0.85)
895'300.000

La igualdad anterior debido al factor (0.85) me indica que las ventas han disminuído en un
15%.

17


8) En el siguiente ejercicio se dan las ventas de la compañía ABC desde el año 1990 basta
el año 1997. Decir en que porcentaje aumentaron o disminuyeron las ventas anualmente ?

COMPAÑÍA ABC

Año Ventas en miles Factor Conclusión
1990 45328
1.225 Aumentó en un 22.5%
1991 55527
0.9047 Disminuyó en un 9.53%
1992 50236

1993 62695

1994 78744

1995 69295

1996 95627

1997 147457

18

DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIA ECUACIONES

CAPITULO

ECUACIONES
2
Los objetivos de este capítulo son los siguientes :

1. Identificar una ecuación
2. Resolver una ecuación lineal en una variable
3. Resolver una ecuación cuadrática en una variable
4. Resolver una ecuación que contiene radical
5. Resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
6. Resolver problemas de aplicación

Que es una ecuación ?

R/
Definición : Una ecuación es una igualdad donde interviene una o más variables y cuyo
objetivo es determinar el valor de esa o esas variables para que se me de la igualdad.

Los ejemplos siguientes son ecuaciones :

3x + 5 = 11 => x=?
2x² - 5x + 8 = 0 => x=?
3x - 2y = 0 => x=? y y=?
4xy - 5x² = 9 => x=? y y=?

Por ejemplo 3x + 8 = 14 es una ecuación y la solución es x = 2.

¿Por qué ?

R/ Si reemplazamos x = 2 en la ecuación obtenemos :

3 (2) + 8 = 14 → 14 = 14 ¡ok!

19


Observemos que al reemplazar x = 2 en la ecuación se cumplió la igualdad.

¿Cómo se determinó x = 2 ?

R/ La ecuación 3x + 8 = 14 se llama ecuación lineal en una variable. Veamos :

SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

→
SOLUCION
Forma ax + b = c ax = c - b

x = (c - b) / a (*)

Para comprobar que esta es la solución debemos reemplazar el valor de x en (*) en la
ecuación original. Veamos :

(c − b)
a + b = c => c-b + b = c => c = c
a

Como la igualdad se cumplió, esto indica que la solución es x = (c - b) / a.

Ejemplos : Resolver para cada incógnita.

1) 3x + 8 = 14 => 3x = 14 - 8 => 3x = 6 => x = 6/3 x=2

Reemplacemos en la ecuación original

3(2) + 8 = 14 => 6 + 8 = 14

14 = 14 OK ! s/ x=2

5x + 6
2) = 7 => 5x + 6 = 21 => 5x = 21 - 6
3
5x = 15 x=3

5x − 3 3 + 2 x
3) = 5x – 3 = 3 + 2x
4 4

20


Observemos que desapareció el denominador del lado izquierdo y derecho.

¿Por qué ?

a c
R/ Si tenemos la siguiente situación por ejemplo =
b b

Podríamos multiplicar toda la ecuación por b y esto nos daría :

a c
 .b =  .b a=c
b b

O de una forma más sencilla :

a c
Si tengo = imaginemos de que el denominador del lado izquierdo (b) que esta
b b
dividiendo pasa a multiplicar al lado derecho, esto sería :

c
a =  .b a=c
b

Observemos que se canceló b.

5x − 3 3 + 2 x
Lo mismo sucede con =
4 4

5x – 3 = 3 + 2x 5x – 2x = 3 + 3 3x = 6 → x=2

En lo sucesivo si el denominador de TODO el lado izquierdo es igual al denominador de
TODO el lado derecho, simplemente lo que hacemos será cancelarlos.

2x − 5 2 − 3x
4) Resolver : +6= −
3 3

Aquí no se pueden cancelar puesto que el número 3 (denominador) de la izquierda no es
denominador de todo ese lado (izquierdo).

¿Qué se debe hacer ?

R/ Al lado izquierdo se suman los fraccionarios para obtener un solo denominador.
Veamos :

21


2 x − 5 + 18 2 − 3x
=− → 2x – 5 + 18 = - (2 – 3x)
3 3

2x + 13 = -2 + 3x → 13 + 2 = 3x - 2x → 15 = x

2x - 3 6 - 3x 2 - 6x x
5) + = -
4 3 12 1

3(2x - 3) + 4(6 - 3x) 1(2 - 6x) - 12x
=
12 12

6x - 9 + 24 - 12x = 2 - 6x - 12x => -6x + 15 = 2 - 18x

-6x + 18x = 2 - 15 => 12x = -13 x = - 13/12

3 - 5x 4x - 5 2x - 3 3-x
6) - + = - (Sacando m.c.m)
12 4 6 12

-1(3 - 5x) + 3(4x - 5) 2(2x - 3) - (3 - x)
=
12 12

-3 + 5x + 12x - 15 = 4x - 6 - 3 + x => 17x - 18 = 5x - 9

17x - 5x = -9 + 18 => 12x = 9 x = 9/12 => x = 3/4

3 - 8x 3 + 2x 5x - 2 2x
7) - + = +
18 6 12 3

-1(3 - 8x) + 3(3 + 2x) 5x - 2 + 4(2x)
=
18 12

22


-3 + 8x + 9 + 6x 5x - 2 + 8x 14x + 6 13x - 2
= => =
6*3 6*2 3 2

2(14x + 6) = 3(13x - 2) => 28x + 12 = 39x - 6

28x - 39x = - 6 - 12 => - 11x = - 18 (- 1) => 11x = 18

x = 18/11

SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE

Forma => ax² + bx +c = 0 ; a ≠ 0

Ejemplos :

-3x² + 6x - 8 = 0 a = -3 b=6 c = -8

2x² - 3x = 0 a=2 b = -3 c=0

4m² - 8 = 0 a=4 b=0 c = -8

6z² = 0 a=6 b=0 c=0

1/3x² + 2/5x - 3 = 0 a = 1/3 b = 2/5 c = -3

0.01x² + 0.5x - 8 = 0 a = 0.01 b = 0.5 c=-8

3.25z² + 2.42z = 0 a = 3.25 b = 2.42 c=0

1/5m² - 0.032m + 1.26 = 0 a = 1/5 b = -0.032 c = 1.26

Las anteriores son ecuaciones cuadráticas en una variable. Observemos que todas son de la
forma ax2 + bx + c = 0 naturalmente donde a ≠ 0.
En cada caso se tiene a, b y c.

23


¿Como se soluciona ?

R/
− b ± b 2 − 4ac
Solución : Si ax² + bx + c = 0 x=
2a

Esta expresión sirve para solucionar una
ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0

b² - 4ac se llama discriminante.
El discriminante puede ser de tres formas :

Casos :

1) Si b² - 4ac > 0 => hay 2 soluciones reales :

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac
x1 = y x2 =
2a 2a

2) Si b² - 4ac = 0 => hay solamente una solución real

b
x = -
2a

3) Si b² - 4ac < 0 => No hay soluciones reales
(las soluciones son imaginarias)

Corroboremos lo anterior resolviendo las siguientes ecuaciones :

1) 2x² + 5x - 3 = 0 a=2 b=5 c=-3

− b ± b 2 − 4ac
Solución x=
2a

− 5 ± (5) 2 − 4(2)( −3) − 5 ± 25 + 24 − 5 ± 49
x= = =
2( 2) 4 4

24


−5± 7 −5+ 7 2
x= => x 1 = = x 1 = 1/2
4 4 4

− 5− 7 − 12
x2 = = x2 =-3
4 4

2) - 4x² + 20x - 25 = 0 (-1) => 4x² - 20x + 25 = 0
a =4 b = - 20 c = 25

Nota: Regularmente cuando el valor de a es negativo se trata de multiplicar toda la
ecuación por -1 para convertir este valor de a en un número positivo.

− ( −20) ± ( −20) 2 − 4(4)(25) 20 ± 400 − 400 20 ± 0
x= = =
2( 4) 8 8

20 ± 0 20 + 0 20
x= => x1 = = x 1 = 5/2
8 8 8

20 − 0 20
x2 = = x 2 = 5/2
8 8

Entonces la solución es única x = 5/2
b
Observemos que como el discriminante es igual a cero, entonces x = -
2a

(−20) 20
Verifiquemos x=- = → x = 5/2
2(4) 8

3) 3x² - 5x + 40 = 0 a=3 b=-5 c = 40

− ( −5) ± ( −5) 2 − 4(3)(40) 5 ± 25 − 480 5 ± − 455
x= = =
2(3) 6 6

R/ No hay solución en los números reales, debido a que dentro de la raíz cuadrada existe
un número negativo, y por tanto el resultado es un número imaginario.

25


4) 0.01x² + 0.5x - 8 = 0 a = 0.01 b = 0.5 c=-8

− (0.5) ± (0.5) 2 − 4(0.01)( −8) − 0..5 ± 0.25 + 0.32 − 0.5 ± 0.57
x= = =
2(0.01) 0.02 0.02

− 0.5 ± 0.755
x= x 1 = 12.75 y x 2 = -62.75
0.02

5) Resolver :

5 3 53 5(2 x + 6) + 3( x − 1)
+ = = 5.3
x − 1 2 x + 6 10 ( x − 1)(2 x + 6)

10x + 30 + 3x - 3 = 5.3(x - 1) (2x + 6)

13x + 27 = 5.3(2x² + 6x - 2x - 6) => 13x + 27 = 10.6x² + 31.8x - 10.6x - 31.8

13x + 27 = 10.6x² + 21.2x - 31.8 => -10.6x² - 21.2x + 31.8 + 13x + 27 = 0

-10.6x² - 8.2x + 58.8 = 0 (- 1) => 10.6x² + 8.2x - 58.8 = 0

a = 10.6 b = 8.2 c = -58.8

− (8.2) ± (8.2) 2 − 4(10.6)( −58.8) − 8.2 ± 2560.36 − 8.2 ± 50.6
x= = =
2(10.6) 212
. 212
.

x1 = 2 y x 2 ≅ - 2.77

SOLUCION DE ECUACIONES QUE CONTIENEN RADICAL

solución
Forma => x +a=b x = b - a (elevar al cuadrado)

( x )² = (b - a)² x = (b - a )²

26


Resolver :

1) x = 4 (elevar al cuadrado) => ( x )² = (4)² x = 16

2) x − 3 = 5 (elevar al cuadrado) => ( x − 3 )² = 5²

x – 3 = 25 x = 28

Debemos tener muy en cuenta lo siguiente :

Se debe elevar al cuadrado ¡TODA! La parte izquierda y ¡TODA! la parte derecha y no
cada una de las partes. Por ejemplo :

Si tenemos x - 5 = x y elevamos al cuadrado, no podemos cometer el siguiente error :

( x )2 – (5)2 = (x)2 ¡ERROR!

¿Que se debe hacer entonces ?

R/ Se debe hacer lo siguiente :

Si x - 5 = x elevar al cuadrado

( x - 5 )2 = x2 ¡ ESTO SI SE PUEDE HACER !

3) 2 x − 3 + 9 = 2x => 2 x − 3 = 2x - 9 (elevar al cuadrado)

Aquí pasamos 9 al otro lado para que al elevar al cuadrado desapareciera el radical.

( 2 x − 3 )² = (2x - 9)² => 2x - 3 = 4x² - 36x + 81

-4x² + 38x - 84 = 0 (-1) => 4x² - 38x + 84 = 0 ( ÷ 4)

x² - 9.5x + 21 = 0 => a=1 b = - 9.5 c = 21

− ( −9.5) ± ( −9.5) 2 − 4(1)(21) 9.5 ± 6.25 9.5 ± 2.5
x= = =
2(1) 2 2

27


x1 = 6 y x 2 = 3.5

Reemplacemos en la ecuación inicial para verificar que cumple la igualdad :

Si x = 6 => 2(6) − 3 + 9 = 2(6) => 9 + 9 = 12 12 = 12

Si x = 3.5 => 2( 35) − 3 + 9 = 2(3.5)
. => 4+9=7 11 ≠ 7

Como x = 3.5 no satisface la ecuación ; significa entonces que x = 3.5 es una solución
extraña, por tanto x = 3.5 no sirve. R/ x = 6

4) x − 4 - 4 x + 3 = - 13 => x − 4 + 13 = 4 x + 3 (elevar al cuadrado)

Recordemos que (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2

( x − 4 + 13)² = (4 x + 3 )² => ( x − 4 )² + 26 x − 4 + 169 = 16( x + 3 )²

x - 4 + 26 x − 4 + 169 = 16(x + 3) => x + 165 + 26 x − 4 = 16x + 48

26 x − 4 = 15x - 117 (volvemos a elevar al cuadrado) => (26 x − 4 )² = (15x - 117)²

676(x - 4) = 225x² - 3510x + 13689 => 676x - 2704 = 225x² - 3510x + 13689

- 225x² + 3510x - 13689 +676x - 2704 = 0

- 225x² + 4186x - 16393 = 0 (- 1) => 225x² - 4186x + 16393 = 0 ( ÷ 225)

x² - 18.6x + 72.86 = 0 a=1 b = - 18.6 c = 72.86

− ( −18.6) ± ( −18.6) 2 − 4(1)(72.86) 18.6 ± 54.52 18.6 ± 7.38
x= = =
2(1) 2 2

x 1 = 13 y x 2 = 5.6

Nota : Verificar si hay alguna solución extraña.

28


EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Resuelva las ecuaciones siguientes :

1. 1+x=3-x 2. 2x - 5 = - 15 - 3x
3. 4(x - 3) = 8 - x 4. 2x - 5(1 - 3x) = 1 - 3(1 - 2x)
5. 3 - 2(1 - x) = 5 + 7(x - 3) 6. 6y - 5(1 + 2y) = 3 + 2(1 - y)
7. 3z - 2 + 4(1 - z) = 5(1 - 2z) - 12 8. 5[1 - 2(2z - 1)] = - 3(3z - 1) + 1
9. 1 - 2[4 - 3(x + 1)] = 4(x - 5) - 1
10. 3[2x + 1 - 2(2x - 1)] + 4 = 2[1 + 2(3 - x)]

3x + 7 1 + x 2x − 7 3x − 2
11. = 12. = 5−
2 3 3 4

5y − 6 2− y
13. = y− 14. 1/3 (2y + 1) + ½ y = 2/5 (1 - 2y) - 4
2 3

1 1  2z 1 3x − 5 4 − 5 x
15. 1 + 4 (3z − 1)  = 3 − 2 16. =
2  4 4

4x + 1 2 − 3x 4 − 3x 5 − 3x 3 − 2 x
17. −8 = − 18. − =
3 3 10 5 10

4 − 2x 4 + x 3 + 4x 4 − 2x 3 − 7x 4x + 1 2x + 4
19. − + = + 20. + = 3−
24 8 3 24 16 8 16

Respuestas :

1. x=1 7. z = - 1 13. y=2 19. x = - 4/5
2. x=-2 8. z = 1 14. y = 122/59 20. x = 13
3. x=4 9. x = - 0 15. z=3
4. x = 3/11 10. x = - 2 16. x = 9/8
5. x = 17/5 11. x = -19/7 17. x = 21
6. y=-5 12. x = 94/17 18. x = 9/5

II. Resuelva las siguientes ecuaciones por la fórmula cuadrática.

1. x² + 3x + 1 = 0 2. x² - 4x + 2 = 0 3. 2x² + 3x - 4 = 0

4. 3x² + 6x - 2 = 0 5. x² + x - 3 = 0 6. 4x² - 12x + 9 = 0

29


7. 4x² + 20x + 25 = 0 8. 2x² + 5x - 3 = 0 9. 5x(x + 2) + 6 = 3

10. (4x - 1) (2x + 3) = 18x - 4 11. (x + 1)² = 2 (x - 1)²

3 − 5x 2
12. (2x + 1)² = 3(x + 1)² 13. + =6
4 3x + 1

2x + 1 4
14. = 15. 2x + 1 + x = 7
3x − 5 4 x + 3

16. 5 3x − 2 − 8 = 2 x 17. 2 x − 1 + 3x + 1 = 7

Respuestas :

1. x1 = - 0.3821 8. x1 = 0.5 14. No hay solución en
x2 = - 2.618 x2 = - 3 números reales.

2. x1 = 3.4142 9. x1 = - 0.3675 15. x = 4
x2 = 0.5858 x2 = - 1.6325
16. x1 = 6
3. x1 = 0.8508 10. x1 = 0.8536 x2 = 4.75
x2 = - 2.3508 x2 = 0.1465
17. x = 5
4. x1 = 0.291 11. x1 = 5.8284
x2 = - 2.291 x2 = 0.1716

5. x1 = 1.3028 12. x1 = 2.7321
x2 = - 2.3028 x2 = - 0.7321

6. x = 1.5 13. x1 = - 0.2
x2 = -4.333
7. x = - 2.5

30


SISTEMA SIMULTANEO DE 2 ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS

Un sistema simultáneo de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas es de la siguiente forma :

a1 x + b1 y = c1 (1)
a2 x + b2 y= c2 (2)

Aquí tenemos 2 ecuaciones [ (1) y (2) ] con 2 incógnitas ( x e y).

Ejemplo :

y + 3x = 5 El objetivo de este sistema de ecuaciones es determinar los valores de x e
4y - 5x = 3 y que satisfagan las dos igualdades. Para este sistema los valores que
satisfacen las igualdades son x = 1 y y = 2. veamos :

Reemplazando tenemos :

2 + 3 (1) = 5 5=5 Ok !

4 (2) - 5 (1) = 3 3=3 Ok !

¿Como se determina esta solución x = 1 y y = 2 ?

Para hallar la solución existen algunos métodos algebraicos para resolver el sistema. Estos
son :

1) Sustitución
2) Igualación
3) Reducción

Analicemos estos tres métodos :

1) SUSTITUCION

Consiste en despejar de cualquiera de las dos ecuaciones una variable (ya sea x ó y) y
reemplazarla en la otra ecuación restante, para que se genere una sola ecuación con una
incógnita. Veamos :
(1) y + 3x = 5
(2) 4y - 5x = 3 Despejamos “ y” de (1) y la reemplazamos en (2).

Entonces de (1) y = 5 - 3x si reemplazamos en (2) quedaría 4(5 - 3x) - 5x = 3

31


y resolviendo nos daría :

20 - 12x - 5x = 3 => 20 - 17x = 3 => 20 - 3 = 17x

17 = 17x x=1

Para determinar el valor de y reemplazamos x = 1 en cualquiera de las 2 ecuaciones, por
ejemplo en (1) :

y = 5 - 3 (1) y=2

2) IGUALACION

Consiste en despejar de las 2 ecuaciones la misma variable (ya sea x ó y) e igualarlas para
que se genere una sola ecuación con una incógnita. Veamos :

(1) y + 3x = 5 Despejamos de (1) y (2) la variable y,
(2) 4y - 5x = 3 esto nos daría :

De (1) y = 5 - 3x

3 + 5x
De (2) 4y = 3 + 5x => y=
4

3 + 5x
si igualamos nos quedaría 5 - 3x =
4

4 (5 - 3x) = 3 + 5x => 20 - 12x = 3 + 5x

20 - 3 = 12x + 5x => 17 = 17x 1=x

Entonces y = 5 - 3 (1) y=2

32


3) REDUCCION

Consiste en sumar o restar las 2 ecuaciones tratando de que se anule alguna de las 2
variables. Por ejemplo, tenemos :

(1) y + 3x = 5 Podemos observar que si sumamos o restamos las
(2) 4y - 5x = 3 dos ecuaciones no se me anula ninguna de las variables.
Pero, si multiplicamos la ecuación (1) por - 4 podremos lograr
nuestro objetivo.

Veamos :

(1) y + 3x = 5 (* - 4) - 4y - 12 x = - 20
(2) 4y - 5x = 3 4y - 5 x = 3

- 17x = -17 ( - 1)

17x = 17

x=1

si x = 1 entonces y + 3 (1) = 5 => y=5-3 y=2

4) Resolvamos por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:

(1) (x + 3) y = 20 Lo más adecuado es resolverlo por sustitución,
(2) y = 2x o sea reemplazar y = 2x en (1).

Entonces :

( x + 3) 2x = 20 => 2x² + 6x = 20 => 2x² + 6x - 20 = 0

si dividimos entre 2 x² + 3x - 10 = 0

Factorizando tenemos (x + 5) (x - 2) = 0

Recordemos que si ab = 0 → a=0 v b=0

33


De aquí
x+5 = 0 v x–2=0

x1 = - 5 v x2 =2

Si x 1 = - 5 => y 1 = 2 (- 5) y 1 = - 10

Si x 2 = 2 => y 2 = 2 (2) y2 = 4

La solución definitiva serán dos parejas :

x1 = - 5 ó x2 =2
y 1 = - 10 y2 = 4

5) Resolver ( por sustitución)

(1) y + 2x = 4 Despejamos y de (1) y reemplazamos en (2)
(2) y² - 3x = 1 y = 4 - 2x entonces reemplazando en (2) tenemos :

(4 - 2x)² - 3x = 1 => (4)² - 2 (4) (2x) + (2x)² - 3x = 1

16 - 16x + 4x² - 3x = 1 => 4x² - 19x + 15 = 0

a=4 b = - 19 c = 15

− ( −19) ± ( −19) 2 − 4(4)(15)
x=
2( 4)

19 ± 361 − 240 19 ± 11
x= = x 1 = 15/4 ; x2 =1
8 8

si x 1 = 15/4 => y 1 = 4 - 2 (15/4) y 1 = - 7/2

si x2 =1 => y 2 = 4 - 2 (1) y2 = 2

34


La solución definitiva serán 2 parejas :

x 1 = 15/4 ó x2 =1
y 1 = - 7/2 y2 = 2

6) Resolver el siguiente sistema :

y- x+2 =2 (1)

y2 - 8x = 0 (2)

Podemos resolver este sistema por sustitución. Entonces despejando la variable y de (1) y
reemplazarlo en (2) obtenemos :

De (1) → y=2+ x+2

Reemplazando en (2)

(2 + x + 2 )2 – 8x = 0 → 4 + 4 x + 2 + ( x + 2 )2 - 8x = 0

4 + 4 x + 2 + x + 2 – 8x = 0 → 4 x + 2 = 7x – 6 [elevando al cuadrado]

(4 x + 2 )2 = (7x – 6)2 → 16(x + 2) = 49x2 - 84x + 36

16x + 32 = 49x2 - 84x + 36 → 49x2 - 100x + 4 = 0

2
Resolviendo obtenemos : x1 = 2 ; x2 =
49

Hallar y1 ∧ y2 y decir que pareja de estas es la solución.

35


EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones :

1) x + 4y = 3 2) 4x + 2y = 9 3) 3x - 4y = 13
3x - 2y = - 5 5y - 4x = 5 2x + 3y = 3

4) 2x - y = 1 5) 5y + 2w = 36 6) p + q = 3
- x + 2y = 7 8y - 3w = - 54 3p + 2q = 19

7) 4p + 12q = 6 8) 5x - 3y = 2 9) y = 4 - x²
2p + 6q = 3 - 10x + 6y = 4 3x + y = 0

10) y = x 3 11) p² = 4 - q 12) y² - x² = 28
x-y=0 p=q+2 x - y = 14

13) x = y² 14) p² - q = 0 15) y = 4x - x² + 8
y = x² 3q - 2p - 1 = 0 y = x² - 2x

16) x² - y = 8 17) p = q 18) z = 4/w
y - x² = 0 p = q² 3z = 2w + 2

19) x² = y² + 14 20) x² + y² - 2xy = 1 21) x = y + 6
y = x² - 16 3x - y = 5 y=3 x+4

36


Respuestas :

1. x = -1 8. No hay solución 15. x1 = 4 x2 = -1
y=1 y1 = 8 y2 = 3
9. x1 = 4 x2 = -1
2. x = 1.25 y1 = -12 y2 = 3 16. No hay solución
y=2
10. x1 = 0 x2 = 1 x3 = - 1 17. q1 = 0 q2 = 1
3. x = 3 y1 = 0 y2 = 1 y3 = -1 p1 = 0 p2 = 1
y=-1
11. p1 = 2 p2 = -3 18. w1 = 2 w2 = -3
4. x = 3 q1 = 0 q2 = -5 z1 = 2 z2 = -4/3
y=5
12. x = 6 19. x1 = ± 18 x2 = ± 15
5. x = 0 y=-8 y1 = 2 y2 = -1
w = 18
13. x1 = 0 x2 = 1 20. x1 = 3 x2 = 2
6. p = 13 y1 = 0 y2 = 1 y1 = 4 y2 = 1
q = - 10
14. q1 = 1 q2 = 1/9 21. x = 21
7. Hay infinitas p1 = 1 p2 = -1/3 y = 15
soluciones

37


APLICACIÓN A COSTOS Y PRODUCCION

ECUACIONES DE COSTO, INGRESO Y UTILIDAD

Supongamos que se va a producir un determinado artículo y para esto se hace una inversión
inicial de $4’000.000 que no depende de la producción, a esto lo llamaremos costos fijos
(CF). Después de hacer un análisis de costos nos damos cuenta que el costo de producir
cada artículo es de $3000, este será el costo variable unitario y lo denotaremos por (c.v.u.)

Si llamamos a x : cantidad C : costo

Cuál será el costo de 1 artículo ? → C(1) = 3000 (1)
Cuál será el costo de 2 artículos ? → C(2) = 3000 (2)
Cuál será el costo de 8 artículos ? → C(8) = 3000 (8)
:
Sucesivamente entonces : C(x) = 3000 x

Podemos observar que la cantidad está cambiando ó variando, y el costo variable unitario
permanece constante.

En consecuencia C(x) = 3000 x lo denominaremos costos variables debido a que el costo
(C) depende del nivel de producción (x). Aquí no están involucrados los costos fijos. Si
llamamos al costo total (CT), costos variables (CV) y costos fijos (CF), podemos definir :

CT = CV + CF C(x) = 3000 x + 4’000.000

o sea que : CT = (c.v.u) x + CF Ecuación de costo total

Después de hacer un estudio de mercado nos damos cuenta de que podemos vender el
artículo en $5000 cada uno. Si llamamos a I : ingreso p : precio de venta por unidad,
entonces :

Ingreso al vender 1 artículo → I(1) = 5000 (1)
Ingreso al vender 2 artículos → I(2) = 5000 (2)
Ingreso al vender 10 artículos → I(10) = 5000 (10)
Sucesivamente :
Ingreso al vender x artículos → I(x) = 5000 x Ecuación de ingreso

38


De aquí observamos que Ingreso = (precio de venta por unidad)(cantidad)

ó de otra forma : I = p.x

Para encontrar la utilidad debemos restarle al ingreso total el costo total. Si llamamos a U :
utilidad entonces :

Utilidad total = Ingreso total - Costo total

O sea que : U(x) = I(x) - C(x)
U(x) = 5000 x - (3000 x + 4’000.000)
U(x) = 5000 x - 3000 x - 4’000.0000

U(x) = 2000 x - 4’000.000 Ecuación de utilidad

La utilidad por cada unidad (2000) es el resultado de restar el precio de venta de cada
unidad y el costo de cada unidad ó sea (5000 - 3000). Hasta ahora hemos obtenido 3
ecuaciones que son :

1) C(x) = 3000 x + 4’000.000
2) I(x) = 5000 x
3) U(x) = 2000 x - 4’000.000

Al respecto respondamos las siguientes preguntas :

1) Cual es el ingreso, costo y utilidad total al producir y vender 4000 unidades ?

R/ Si x = 4000 cuanto vale I=? C=? U=?

Si x = 4000 → I(4000) = 5000 (4000) → I(4000) = 20’000000
Si x = 4000 → C(4000) = 3000 (4000) + 4’000.000 → C(4000) = 16’000000
Si x = 4000 → U(4000) = 2000 (4000) - 4’000.000 → U(4000) = 4’000000

2) Cuántas unidades se deben producir y vender para que la utilidad sea de $8’000000 ?

R/ x = ? para que U = 8’000000

Sabemos que U = 2000 x - 4’000000 entonces :

8’000000 = 2000 x - 4’000000 → 12’000000 = 2000 x

39

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