mecánica de suelos 2-Esfuerzos transmitidos

[ESFUERZOS TRANSMITIDOS EN LA MASA DEL SUELO] MEC. SUELOS II
1
HEWLETT-
PACKARD
COMPANY
ESFUERZOS TRANSMITIDOS EN
LA MASA DEL SUELO

2
ESFUERZOS TRANSMITIDOS EN LA MASA DEL
SUELO
WILFREDO GUTIERREZ LAZARES
MECANICA DE SUELOS II
RUIZ CASTILLO, KEVYN
ROA CHANGANA, ANDRE
YAYICO BARZOLA, BRAYAN
MOGROVEJO CONTRERAS, ALEXIS
TORRES ROZAS, ERIC
U.N.M.S.M.
E.A.P. INGENIERIA
CIVIL
TEMA:
PROFESOR:
CURSO:
INTEGRANTES:

3
Dedicamos este trabajo de investigación a Dios, a
nuestros padres y profesores. A Dios porque ha
estado con nosotros en cada paso que damos,
cuidándonos y dándonos fortaleza para continuar,
a nuestros padres, quienes a lo largo de nuestra
vida han velado por el bienestar y educación
siendo nuestro apoyo en todo momento.
Depositando su entera confianza en cada reto que
se presentaba sin dudar ni un solo momento en
nuestra inteligencia y capacidad. A nuestros
profesores de las distintas áreas de la carrera que
siempre se empeñan en darnos lo mejor de sí
mismos para que nosotros podamos crecer
profesionalmente brindándonos conocimientos
clave para nuestra preparación.
Mogrovejo, Roa, Torres, Yayico y Ruiz

4
CONTENIDO
I. INTRODUCION
II. ANTECEDENTES
III. MARCO TEORICO

5
I. INTRODUCCION
El ingeniero Civil tiene una gran problemática debido a la compleja relación que existe
entre los movimientos del terreno y la estabilidad de estructuras cimentadas sobre él; en
la ingeniería existe gran variedad de obras, que pueden ser Hidráulicas, Estructurales,
Vías Terrestres, Puentes, etc., el cálculo es muy variado por sus diferentes características
ya que cada una dispone de capacidad variable para soportar o ser deterioradas por el
movimiento del suelo.
Como ya sabemos una cimentación tiene el trabajo de transferir las cargas de la estructura
al suelo, cuando esto sucede la presión o el esfuerzo que la fundación entrega al terreno
se distribuye en el medio considerado (el suelo) y a su vez se disipa, por lo que
estudiaremos como ocurre este fenómeno en el terreno para diferentes tipos de
cimentación.
En este trabajo se trata acerca de este problema de importancia fundamental en Mecánica
de Suelos, el de la distribución de los esfuerzos aplicados en la superficie de una masa de
suelo a todos los puntos de esa masa. En realidad, puede decirse que tal problema no ha
sido satisfactoriamente resuelto en suelos. Las soluciones que actualmente se aplican,
basadas en la Teoría de la Elasticidad, adolecen de los defectos prácticos acarreados por
las fuertes hipótesis impuestas por las necesidades de la resolución matemática. Sin
embargo, el hecho real es que de la aplicación de las teorías en uso (elasticidad), el
ingeniero civil actual logra, en la inmensa mayoría de los casos prácticos, una estimación
suficientemente aproximada de los fenómenos reales en que está interesado, de manera
que le es posible trabajar sus proyectos y materiales con factores de seguridad.

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II. ANTECEDENTES
La construcción de una estructura y su cimentación causa cambios en el estado de
esfuerzos en la masa de suelo que la soporta. Estos incrementos en los esfuerzos dependen
de la magnitud de la carga, la forma del área cargada, la geometría de la carga, la
profundidad del desplante, entre otros. En este informe se van a describir las distintas
soluciones para tratar con los problemas de ingeniería civil en los cuales es necesario
determinar el estado de esfuerzos inducido en la masa de suelo. Estas soluciones se basan
en la Teoría de la elasticidad, desde luego que el uso de esta teoría involucra grandes
simplificaciones, que pueden estar alejadas de las características de un suelo real, sin
embargo, se reconoce que las soluciones a las que se llega, aunque aproximadas, son lo
suficientemente precisas para la práctica profesional.
Los suelos son materiales complejos que no pueden modelarse matemáticamente sin
introducir hipótesis que simplifiquen su caracterización. Las primeras teorías para estimar
tanto los esfuerzos como las deformaciones en un medio fueron aplicadas considerando
únicamente la teoría de la elasticidad en la cual se consideran para el suelo las siguientes
hipótesis:
 Es un medio continuo: el suelo en realidad es un medio particulado, sin embargo
esta hipótesis evita las complicaciones de la distribución de esfuerzos derivadas
de las concentraciones de esfuerzos en los con-tactos, las fisuras, las grietas y
demás imperfecciones.
 Es un medio homogéneo: esto significa que las propiedades mecánicas son las
mismas en todos los pun-tos del medio. Es decir, el medio no tiene vetas, man-
chas o puntos débiles, blandos o duros
 Es un medio isótropo: esto significa que sus propiedades no son direccionales, es
decir, no dependen de la dirección en que se mida.
 Es un medio linealmente elástico: lo cual significa que todo incremento de
esfuerzos está asociado a un incremento de deformación proporcional.
Al inicio, Boussinesq dio a conocer la solución para la distribución de los esfuerzos en
un medio continuo, elástico, homogéneo e isótropo por efectos de una carga puntual. Esta
solución indudablemente fue y es una de las más empleadas por los ingenieros con
resultados medianamente adecuados para los fines de ingeniería. Con el paso del tiempo
se fueron desarrollando nuevas soluciones por el hecho evidente de que la solución de
Boussinesq era insuficiente para la gran variante de problemas ingenieriles. Hoy se cuenta
con las soluciones para obtener los esfuerzos en el suelo por efectos de un área cargada
uniformemente, sin importar si el área es regular o irregular. También se tienen soluciones
para fuerzas aplicadas dentro del medio, pero no sólo para fuerzas que actúan en dirección
vertical, sino también en dirección horizontal.

7
No solo se ha tenido una evolución en obtener soluciones para los diferentes tipos de
áreas, sino también para los diferentes medios en los que se distribuyen las fuerzas. Es
por esto que se cuenta con la solución de Westergaard (1938), donde se considera que el
suelo está fuertemente estratificado, y reforzado por estratos horizontales múltiples e
indeformables, y también la solución de Fröhlich (1942) la cual proporciona diferentes
soluciones dependiendo de las características del suelo.
a. Boussinesq (1885)
Como se mencionó anteriormente, la primera solución que apareció para determinar la
distribución de esfuerzos en un medio elástico e isótropo fue la propuesta por Boussinesq
en 1885. Boussinesq encontró la solución para la distribución suponiendo una carga
puntual en la superficie de un medio semi-infinito, isotrópico, homogéneo, elástico y sin
peso propio. En la figura 1 se tiene una representación de la solución, en donde se
muestran cuáles son los esfuerzos a los que se somete una partícula A que se encuentra a
una profundidad Z y una distancia horizontal r cuando se aplica una carga puntual P en la
superficie del medio.
Figura 1. Carga aplicada a la superficie de un medio isótropo, homogéneo y elástico.

8
b. Mindlin (1936.)
Mindlin desarrolló en 1936 la solución para determinar los esfuerzos que actúan sobre
una partícula A por efectos de una carga ya sea vertical u horizontal dentro de un medio
semi-infinito y elástico. Considerando la figura 2 entonces se pueden escribir ambas
soluciones de la siguiente forma.
Dónde:
v: La relación de Poisson
Figura 2. Variables para la solución de Mindlin.

9
c. Westergaard (1938).
A diferencia de la solución de Boussinesq, donde se considera un medio homogéneo e
isótropo, Westergaard desarrolló la solución para determinar la distribución de los
esfuerzos cuando el medio se encuentra estratificado por pequeñas capas horizontales, las
cuales se encuentran muy cercanas las unas con las otras con una rigidez considerable.
Para este caso se toma la hipótesis de que el suelo está restringido en su deformación
horizontal, pero es libre para deformarse verticalmente.
Según la solución de Westergaard, el esfuerzo vertical se puede obtener mediante la
siguiente ecuación:
Para esta ecuación, la coordenada vertical se modifica por la siguiente transformación
lineal:
Dónde:
v: La relación de Poisson
d. Fröhlich (1942)
A partir de las soluciones donde se consideraba un medio ideal elástico Fröhlich en 1942
desarrolló las soluciones para diferentes casos de isotropía introduciendo el parámetro
con el cual se toma en cuenta el incremento en el módulo de elasticidad del suelo con
la profundidad. El parámetro , es una cantidad estáticamente indeterminada y es
conocida como el factor de concentración la cual determina la intensidad del esfuerzo
vertical, z, en un plano horizontal debajo de una carga concentrada.
Según A. Jumikis, las ecuaciones para determinar el incremento de esfuerzo vertical,
radial y al corte son las siguientes:
Para el esfuerzo vertical tenemos que:

10
El esfuerzo horizontal normal radial está dado por:
e. Zeevaert
Jurgenson (1934) había desarrolado la solución para el cálculo de los esfuerzos debidos
a una banda cargada de longitud infinita en la superficie, pero esta solución no era práctica
debido a que toda cimentación tiene dimensiones finitas. Tiempo despues, Newmark
obtuvo la solución para el esfuerzo causado en un punto lozalizado bajo la esquina de un
area con una carga uniformemente repartida. El problema de la solución de Newmark es
que cuando se necesita la solución bajo un área poligonal, el procedimiento puede ser
demasiado tedioso y por lo tanto este método es un tanto inadecuado.
Con la intención de evitar distintas soluciones que hoy en día no resultan prácticas, en
adelante sólo se mencionaran dos de los métodos mas prácticos para el ingeniero. La
primera solución de estas dos es donde se obtienen los esfuerzos al centro de un área
rectangular o cuadrada. Tomando como base la figura 3 se puede determinar el esfuerzo
producido en un punto Iji por un área rectangular dx.dy uniformemente cargada.
Supongamos que se tiene un elemento pequeño de dimensiones cargado uniformemente
en la superficie por una carga q. El esfuerzo producido en el punto Iji con coordenadas y,
x y z debido a esta área es:

11
III. MARCO TEORICO
1. ESFUERZO CAUSADO POR UNA CARGA PUNTUAL (BOUSSINESQ)
Como ya se ha explicado anteriormente una cimentación tiene el trabajo de transferir las
cargas de la estructura al suelo, cuando esto sucede la presión o el esfuerzo que la
fundación entrega al terreno se distribuye en el medio considerado (el suelo) y a su vez
se disipa. Este capítulo estudia como ocurre este fenómeno en el terreno para diferentes
tipos de cimentación.
Figura 5.1 – Modelo de Boussinesq, de carga puntual (P) sobre un medio elástico
semi-infinito, y sistema de ejes utilizado.
Boussinesq (1885), idealizando un modelo donde se coloca una carga puntual sobre un
medio elástico semi-infinito, encontró que la solución para encontrar elvalor del incremento
del esfuerzo vertical (ϭz) en un punto cualquiera (a) con coordenadas cartesianas de
localización (x = xa, y = ya, z = za, ver Figura 5.1) , debido a la carga (P) impuesta, de forma
general será:
Donde:
Utilizando las definiciones antes vistas, y realizando las simplificaciones respectivas, se
puede expresar el incremento de esfuerzo vertical en el suelo, de dos maneras:
  5 / 2
2z2 1
 


 

12
Si tomamos cualquiera de las dos ecuaciones y realizamos un análisis y un diagrama
del incremento del esfuerzo vertical del plano x-z (y=0), obtendremos un esquema como
el mostrado en la Figura 5.2, para el caso de una carga puntual unitaria, que podrá ser
utilizado para cualquier valor de carga fundamentados en los principios de la elasticidad,
aclarando que la unidad de ϭ z/P=[1/m2
].
Del esquema de la Figura 5.2 podemos observar y obtener varias cosas, uno como es la
distribución de esfuerzos en el terreno debido a una carga puntual, y dos introduciremos
un concepto que es el bulbo de presiones.
Definición: El bulbo de presiones es la zona del suelo donde se producen incrementos
de carga vertical considerables por efecto de una carga aplicada del tipo que sea. Esta
zona forma un bulbo llamado de presiones, y está conformada por isóbaras que son
curvas que unen puntos de un mismo valor de presión o de esfuerzo. Las isobaras de la
Figura 5.2 están representadas desde la del 10% hasta la del 90% del valor de la carga
puntual, cada 10%.

13
En el caso que estamos analizando, el bulbo de presiones debido a una carga puntual,
estará limitado por la isobara que toma el valor del 10% del valor de la fuerza puntual
aplicada, ϭz≤ 0.10P (ver Figura 5.2).
Como una aclaración adicional el valor del esfuerzo cerca de la carga puntual toma
valores muy grandes, y en el punto de contacto (x=0, z=0) el valor del esfuerzo en el
suelo tenderá a infinito (ϭz = ∞), ya que idealizando el problema planteado el área de
contacto tendería a cero.
2. ESFUERZOS CAUSADOS POR UNA CARGA LINEAL
2.1. CARGA LINEAL INFINITA.
Si en la expresión σz =
P∗y∗z3
2∗π∗(x2
+z2)∗√x2
+y2
+z2 ∗ (
1
x2+y2+z2 +
2
x2+z2), correspondiente a la
influencia de una carga lineal de longitud finita, y, esta magnitud crece hasta ser mucho
mayor que las “x” y “z” que intervengan en el caso, su valor podrá considerarse como
(+∞) y, en tal situación el valor σz, tiene por limite.
σz =
P
π
∗
z3
(x2 + z2)2
Que corresponde al esfuerzo en un punto situado
en el plano normal a la línea de carga, trazado por
su extremo, extendiéndose la línea infinitamente
desde el punto origen de coordenadas, en la
dirección del eje Y, hacia ( + oo), (carga semi
infinita). Si la línea de Carga se extiende también
infinitamente en el sentido (— oo) (carga infinita)
el esfuerzo σz, a la profundidad z, en un plano
normal a la línea trazada por el origen de
coordenadas, es simplemente el doble del dado por
la ecuación.
2.2. CARGA LINEAL FINITA RECTANGULAR
A partir de la solución para los esfuerzos causados en el suelo por una fuerza lineal de
longitud infinita, y al integrarla para darle solución a la distribución de esfuerzos causada
en el suelo por una carga rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita (ver
Figura), obtenemos que el incremento del esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera
(a) dado, de coordenadas (xa, za), será:

14
Donde:
q: Sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita.
x, z: Coordenadas cartesianas del punto analizado.
b: Igual a la mitad del valor del ancho de la cimentación rectangular de longitud infinita
con carga uniformemente distribuida. (b=B/2)
O de una manera simplificada:
σz = q
1
𝜋
(𝛼 + sin 𝛼 ∗ cos(𝛼 + 2𝛿))
Donde:
α: Ángulo definido en la figura, conformado entre los límites de la carga y el punto a.
δ: Ángulo definido en la Figura, medido con respecto a la vertical.

15
2.3. CARGA LINEAL FINITA TRIANGULAR.
De una manera análoga como para una carga rectangular uniformemente distribuida de
longitud infinita, a partir de la solución para los esfuerzos causados en el suelo por una
fuerza lineal de longitud infinita, y al integrarla para darle solución a la distribución de
esfuerzos causada en el suelo por una carga triangular de longitud infinita, variando desde
cero (0) hasta q (ver Figura 5.11), obtenemos que el incremento del esfuerzo vertical
(∆σz) en un punto cualquiera (a) dado, de coordenadas (xa, za), será :
σz = q
1
2𝜋
(
𝑥
𝑏
𝑎 − sin 2𝛿)
Donde:
x: Coordenada cartesiana x del punto analizado.
b: Igual a la mitad del valor del ancho de la cimentación de longitud infinita con carga
uniformemente distribuida. (b=B/2)
α: Ángulo definido en la Figura 5.11, conformado entre los límites de la carga y el
punto a.
δ: Ángulo definido en la Figura 5.11, medido con respecto a la vertical.
Esta solución es aplicada a casos como el de los muros de contención con carga
excéntrica, combinado con principios de superposición de acuerdo a las teorías elásticas.

16

17
3. ESFUERZO VERTICAL CAUSADO POR UN ÁREA RECTANGULAR
CARGADA
Para determinar las adiciones de tensiones verticales debidas a una carga uniformemente
distribuida a lo largo de una franja de longitud infinita y ancho constante, Terzaghi y
Carothers resolvieron el grafico continuo y nos dieron las siguientes fórmulas para cada
tipo de esfuerzo:
∆𝜎𝑥 =
𝑞
𝜋
(𝛼 − 𝑆𝑒𝑛(𝛼)Cos(𝛼 + 2𝛽))
∆𝜎𝑧 =
𝑞
𝜋
(𝛼 + 𝑆𝑒𝑛(𝛼)Cos(𝛼 + 2𝛽))
∆𝜏 𝑧𝑥 =
𝑞
𝜋
(𝑆𝑒𝑛(𝛼)Sen(𝛼+ 2𝛽))
Steinbrenner construyó un gráfico integrando la fórmula de Boussinesq que permite la
determinación de σz a una profundidad z debajo del vértice A de un rectángulo de lados
a y b (a > b), uniformemente cargado por una tensión p.
El ábaco de Streinbrenner es la solución gráfica de la siguiente ecuación:

18
Para calcular el incremento del esfuerzo vertical V total, bajo la esquina de un área
rectangular, de lados B y L, que está uniformemente cargada. El punto N está a una
profundidad Z a partir de la esquina del área cargada. I0 es el factor de influencia, m
y n son factores que pueden ser “intercambiables”.
V = q x I0

19
4. ESFUERZO VERTICAL BAJO UN ÁREA CIRCULAR UNIFORMEMENTE
CARGADA
Partiendo de la solución dada por Boussinesq para una carga puntual, y
dividiendo un área cargada circular en diferenciales de área, como muestra la
Figura 4.1, donde una carga puntual (dP) sobre este diferencial se puede
aproximar a dP = q.r.d.dr, obtenemos que:
Integrando en toda la superficie del área circular, tendríamos que:
Al solucionar la anterior integral, encontraríamos que el incremento del esfuerzo
vertical (z) para un punto cualquiera (a) debajo del centro de una cimentación
circular, de radio R, cargada con un valor de esfuerzo de contacto (q) uniformemente
distribuido, en una profundidad dada (z) cualquiera, será:
EC. 1
FIGURA 4.1:

20
Donde:
R: Es el radio de la cimentación, y será igual a R=B/2.
Además, el incremento de esfuerzo radial (horizontal) se encuentra bajo la siguiente
ecuación:
Donde:
v': Es la relación de Poisson del suelo.
Para conocer el incremento de esfuerzo vertical en lugares diferentes a puntos localizados
debajo del centro de la cimentación circular, se deberá solucionar la integral de la
ecuación 1, con los adecuados límites de integración, variándolos de acuerdo a la distancia
(r) desde el centro de la cimentación hasta punto investigado y a la profundidad (z).
Para efectos prácticos podemos utilizar ábacos como el que muestra la Figura 4.2,
obteniendo el valor de la función, de tal manera que el incremento de carga se puede
expresar como:
FIGURA 4.2:

21
5. CARTA DE NEWMARK
Newmark, desarrolló en 1942 un método gráfico sencillo que permite obtener
rápidamente los esfuerzos verticales σz, transmitidos a un medio semiinfinito,
homogéneo, isótropo y elástico por cualquier condición de carga uniformemente repartida
sobre la superficie del medio
Newmark, en la universidad de Illinois (CHICAGO) desarrolló una carta de influencia o
sistema de solución grafica para encontrar de manera aproximada el incremento esfuerzo
vertical debajo de cualquier punto debajo de un área flexible uniformemente cargada de
cualquier forma.
A esta solución se la llama con el nombre de carta de NEWMARK. El procedimiento
para encontrar la presión vertical en cualquier punto debajo de un área cargada es el
siguiente:

22
1.- Caracteriza la carta de NEWMARK con la que se va a trabajar, que consiste en
identificar el valor de la influencia y en identificar la referencia de escala (--------) que es
la línea que representa la profundidad (z) a la cual se va a encontrar el incremento de
esfuerzo.
2.- Adoptada la profundidad z a la cual se va a encontrar el incremento de esfuerzo
vertical, la línea de referencia se volverá igual a la profundidad (z) tomada de acuerdo a
esto quedará definida la escala del procedimiento.
3.- Se deberá dibujar la fundación en planta de acuerdo a la escala definida en el paso
anterior, para luego colocar este esquema a escala sobre la carta de NEWMARK,
haciendo coincidir el punto bajo el cual se desea encontrar el incremento de esfuerzo con
el centro de la carta de NEWMARK, tal y como muestra en la figura, para el caso del
incremento de esfuerzo en el centro de la fundación o la figura (a) y para el caso del
incremento de esfuerzo en la esquina de la cimentación el (b)
4.- Finalmente se contarán cuantos cuadros quedan dentro del esquema de la caraga
sumando se los cuadros completos y las fracciones de recuadros con el cuidado de una
buena apreciación.
De acuerdo al anterior procedimiento descrito, el valor del incremento de esfuerzo
vertical en un punto cualquiera bajo la carga, a una profundidad (z) dada se definirá como:
∆
→ 𝜎 = 𝑉𝑞𝑁
V: Valor de influencia de la carta de Newmark de referencia, cada carta tendrá uno
q: Sobrecarga uniformente distribuida producida por la cimentación
N: Numero de divisiones de la carta de Newmark de referencia, que estén dentro de la
cimentación

23
CONSTRUCCION DE LA CARTA DE NEWMARK
A partir de la solución para la carga uniformemente distribuida de forma circular podemos
obtener que la relación R/Z es igual a:
Si ahora le damos valores a la relación de esfuerzo vertical desde cero hasta uno (debido
a que la relación no podrá ser mayor que uno), obtendremos los valores de la relación
R/z, los cuales son tabuladas en la siguiente tabla
Luego si se asume una escala cualquiera para la unidad, se deberá graficar como radios
de círculos concéntricos todos los valores de R/Z obtenidos, de acuerdo a la escala
seleccionada tal y como muestra la figura.

24
Se coloca una línea de longitud de una unidad, según la escala escogida, que representara
la profundidad (z) con la cual se está trabajando con la carta de NEWMARK, finalmente
se divide la carta en cuadros que se desea formar (de forma simétrica) y se coloca un
recuadro que delimitara la carta como se muestra en la figura:
El número de cuadros en los cuales se dividió la carta de NEWMARK construida, definirá
el valor de la influencia (V) según la siguiente ecuación:
𝑉 =
1
𝑁𝐷

25

26
IV. METODOLOGIA
1. PUNTUAL
1.1 CARGA PUNTUAL
a) Hacemos suposiciones para el cálculo, tiene que ser sobre un medio semi-
infinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico.
b) Se analiza el suelo en el punto en donde se va aplicar la carga vertical,
determinamos la carga “P”.
c) Determinamos la distancia vertical entre el punto que se quiere analizar y la
carga puntual aplicada al suelo.
d) Finalmente aplicamos la fórmula.
2. LINEAL
2.1. CARGA LINEAL INFINITA:
a) Determinamos la cantidad de carga “P”.
b) Determinamos la distancia horizontal “X” entre el punto que se quiere
analizar y la carga lineal infinita.
c) Determinamos la profundidad “Z” a la que se quiere analizar.
d) Finalmente aplicamos la formula dada.
σz =
P
π
∗
z3
(x2 + z2)2
2.2. CARGA LINEAL FINITA RECTANGULAR:
a) Determinar la magnitud de la carga “q”.
b) Fijar las coordenadas cartesianas x, z que pertenecerán al punto de análisis.
c) El ángulo "𝛼" será el ángulo entre las rectas que unen al punto de análisis
con los extremos de la carga rectangular.
d) El ángulo “𝛿” será el ángulo entre una recta vertical que pase por el punto de
análisis y la recta que une dicho punto con el extremo más cercano de la carga
rectangular.
e) Finalmente aplicamos la formula dada.
σz = q
1
𝜋
(𝛼 + sin 𝛼 ∗ cos(𝛼 + 2𝛿))

27
2.3. CARGA LINEAL FINITA TRIANGULAR:
a) De manera análoga al caso anterior determinamos la magnitud de la carga “q”.
b) Fijamos las coordenadas cartesianas x, z del punto que se quiere analizar.
c) El ángulo "𝛼" será el ángulo entre las rectas que unen al punto de análisis con
los extremos de la carga triangular.
d) El ángulo “𝛿” será el ángulo entre una recta vertical que pase por el punto de
análisis y la recta que une dicho punto con el extremo más cercano de la carga
triangular.
e) La variable “b” será igual a la mitad del valor del ancho de la cimentación
triangular de longitud infinita (b=B/2).
f) Finalmente aplicamos la formula dada.
σz = q
1
2𝜋
(
𝑥
𝑏
𝑎 − sin 2𝛿)
3. RECTANGULAR
Cuando el punto a analizar no está bajo el área cargada, se acude a realizar el siguiente
artificio que permite la solución del problema. Ejemplo: Para puntos que no están bajo
la esquina, casos R, S y T, se puede aplicar el ábaco de FADUM, de la siguiente
manera: subdivido el área de influencia en rectángulos que pasen por el punto dado y
paralelos al área cargada. Aplico los principios de superposición que se mostraran a
continuación para cada caso (dibujos de planta):
Primer caso:
R = área 1 + área 2 + área 3 + área 4
Segundo caso:
S = área 1 - área 2
Tercer caso:
T = 1234 – 34 – 24 + 4
a) Los pasos a seguir, después de esta consideración, serian:
b) Identificar B, L, Z y q que serían los datos del problema
c) A partir de B, L y Z, hallaremos m y n (𝑚 =
𝐵
𝑍
, 𝑛 =
𝐿
𝑍
)
d) Con m y n, usando la gráfica adjuntada con anterioridad, hallaremos el factor
de influencia I0.
e) Reemplazando en la siguiente formula obtendremos el esfuerzo:
V = q x I0

28
4. CARGA CIRCULAR:
a) Determinar el radio y la carga unitaria de la carga circular uniformemente
distribuida
b) Determinar el punto donde se va a evaluar el incremento de esfuerzos
verticales por la carga circular
CASO 1: Punto debajo del centro de la carga circular
CASO 2: Punto fuera de la proyección del centro de la carga circular
c) CASO 1: Determinar la profundidad del punto donde se evaluará el
incremento de esfuerzos verticales
d) CASO 2: Determinar la profundidad y la distancia radial en un plano
horizontal, con los que obtendremos los parámetros z/R y r/R de los que
dependerá nuestro incremento de esfuerzo verticales
e) Calcular el incremento de esfuerzos:
CASO 1: Hacer uso de la formula
CASO 2: Determinar el valor de influencia Iz con la ayuda del abaco de Foster
y Alhvin o con algunas tablas de variación del Iz. Luego hacer uso de la
fórmula:
5. NEWMARK
Para obtener rápidamente los esfuerzos verticales σz, transmitidos a un medio
semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico por cualquier condición de carga
uniformemente repartida sobre la superficie del medio
a) Se dibuja a escala la carta de newmarck
b) Se dibuja dentro de la carta la forma de la superficie que esta sometida al
esfuerzo
c) Se cuenta las cantidades de áreas dentro de la figura y se aplica la
formula

29
V. APLICACIÓN:
1. PUNTUAL
El cálculo de esfuerzo que transmiten los postes de electricidad.
El cálculo de esfuerzo que transmite un pilote.
2. LINEAL
El tema de cálculo de esfuerzos es de bastante importancia y aplicación en el ámbito
de la ingeniería civil, en el caso de las cargas lineales verticales podría ser utilizada
en el cálculo del esfuerzo ocasionado por un muro de contención utilizados en las
laderas de los cerros para añadirle resistencia a la zona o también para la elaboración
de represas.

30
3. RECTANGULAR: Este tipo de cargas es muy común que aparezcan en
elementos constructivos simples, que transmiten cargas vivas y muertas a los
estratos resistentes. Como por ejemplo en:
 Zapatas Cuadradas
 Losas de Cimentacion
Ejemplo: Una cimentaci6n de 10 x 20 metros soportara una carga uniforme de 10
ton/m2• Calcular las presiones verticales en una esquina a profundidades de 10, 20 y
30 metros.
Solución:
Hallamos m y n para las diferentes profundidades, para
despues poder hallar el factor de influencia de la grafica.
Completamos el siguiente cuadro:
3. CARGA CIRCULAR: Todas las obras de ingeniería civil imparten cargas en el
suelo donde son emplazadas, tales cargas producen compresión, corte, y en algunos
casos esfuerzos de tracción. Por ejemplo, cuando se construye un tanque de
almacenamiento de petróleo, éste impone una carga uniforme y circular sobre la
superficie; la cual produce deformaciones y en algunas ocasiones planos de falla al
corte. Esta presión disminuye a medida que aumenta la profundidad.
Para este tipo de casos se aplica la solución del incremento esfuerzos verticales debido
a una carga circular.

31
Ejemplo: Sobre un suelo arcilloso se tiene una planta industrial (FIG). Cerca al
edificio, orientado E – W, y al túnel PP’, orientado N 45° W, se construirá un tanque,
tal que QP = 12m tenga rumbo N 45° E. La cimentación está hecha sobre arcilla
homogénea de gran potencia (H) la que cruza el túnel a 12 metros de profundidad. La
cimentación del tanque será flexible y superficial. Calcule ∆σV en P para Z = 12m
4. NEWMARK:
La sección transversal y la planta de la zapata de una columna se muestran en la figura
5.25. Encuentre el incremento en el esfuerzo producido por la zapata de la columna
en el punto A.

32
Solución El punto A está localizado a una profundidad de 3 m bajo el fondo de la
zapata. La planta de la zapata cuadrada ha sido redibujada a una escala de AB = 3 m
y colocada sobre la carta de influencia (figura 5.26) de manera que el punto A sobre
la planta queda directamente sobre el centro de la carta. El número de elementos
dentro del contorno de la planta es aproximadamente de 48.5. Por consiguiente,
VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
VII. ANEXOS

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