Option pricing with lévy process

Valoración de Opciones con
Arbitraje Bajo los Procesos de Lévy
Matias Andrés Moraga Gálvez
Julio - 2013
Matías Moraga Gálvez – Valoración de opciones con arbitraje bajo los procesos de Lévy || Julio - 2013

Agenda
• Resumen
• Opciones y sus características
• Modelo de Black-Scholes
• Modelo de Merton
• Modelo CPV
• Modelo Propuesto
• Método Numérico
• Resultados
• Conclusiones
• Bibliografía

Resumen
• En base a los modelos de valoración de opciones de CPV, que
relaja el supuesto de no arbitraje en la económica sobre el
modelo de Black-Scholes y el modelo de Merton, que agrega
discontinuidades al subyacente. Es posible crear un modelo
generalizado de ambos y obtener resultados numéricos a través
de métodos computacionales

Hipótesis
• Es posible crear modelos para valorar opciones mas complejos
y obtener resultados usables en el mercado financiero a través
de métodos numéricos.

Opciones y sus características
Put: Da el derecho pero no la
obligación de vender un activo a un
determinado precio en un
determinado tiempo.
Fuente: Tools for Computational Finance [7]

Black-Scholes
Fischer Black Robert C. Merton Myron Scholes

Black-Scholes
• Supuestos:
– Subyacente sigue un proceso Browniano geométrico con
volatilidad y drift constantes.
– El subyacente no paga dividendos.
– No hay costos de transacción.
– Es posible tranzar cualquier fracción del activo en cualquier
momento.
– Es posible pedir y prestar dinero a una tasa constante libre de
riesgo.
– No hay oportunidades de arbitraje.

Black-Scholes
• Ecuación:
Donde:
𝑉 = Valor de la opción
S = Precio del subyacente
σ = Volatilidad del subyacente
r = Tasa libre de riesgo
t = Tiempo
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑟𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+
σ2 𝑆2
2
𝜕2 𝑉
𝜕𝑆2
− 𝑟𝑉 = 0

Black-Scholes
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
50
100
150
200
0
20
40
60
80
100
120
𝐶 𝑆, 𝑡 = 𝑆0 𝑁 𝑑1 − 𝐾𝑒−𝑟 𝑇−𝑡
𝑁(𝑑2)
𝑃 𝑆, 𝑡 = 𝐾𝑒−𝑟 𝑇−𝑡
𝑁 −𝑑2 − 𝑆0 𝑁 −𝑑1
𝑁(𝑥) =
1
2π
𝑒−
𝑧2
2
𝑥
−∞
𝑑𝑧
𝑑1 =
1
σ 𝑇 − 𝑡
ln
𝑆
𝐾
+ 𝑟 +
σ2
2
(𝑇 − 𝑡)
𝑑2 = 𝑑1 − σ 𝑇 − 𝑡
Fuente: Elaboración propia

Evolución
Black-
Scholes
Robert
Merton
Modelo CPV
Otros
Modelos
Sobre el Subyacente Sobre el Portafolio
Relajo de Supuestos

Modelo de Robert Merton

• Supuestos:
– Subyacente sigue un proceso de Lévy con volatilidad y drift
constantes.
momento.
riesgo.
– No hay oportunidades de arbitraje.

Evidencia empírica de saltos
Fuente: Tesis de Nicholas Hinde [13]
Retornos diarios del DJIA desde 1930 hasta 2006 a la izquierda
y proceso Browniano simulado para 76,5 años con idéntica Volatilidad a la derecha

Poisson Compuesto
• Un proceso Poisson compuesto con intensidad λ > 0 y
distribución del tamaño del salto 𝑓, es un proceso estocástico
Xt definido como:
𝑋𝑡 = 𝑌𝑖
𝑁𝑡
𝑖=1
• Donde el tamaño del salto 𝑌𝑖 son variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas con distribución 𝑓
y 𝑁𝑡 es un proceso Poisson con intensidad λ, independientes
de 𝑌𝑖

Poisson Compuesto
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Llegadas con distribución Poisson
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
2
4
6
8
10
12
Poisson Acumulado
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
-1
0
1
2
Tamaño y lugar de ocurrencia de los saltos
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-4
-2
0
2
Simulacion Saltos con ditribución Normal

Proceso de Lévy
• Un proceso de Levy es un proceso aun mas generalizado que
un proceso Browniano, no solo cuenta con una componente
browniana sino también una componente de saltos

Lema de Itô para Levy
• Sea 𝑋𝑡 un proceso de Lévy definido por la suma de un termino
determinista, un proceso de Wiener y un proceso Poisson
compuesto:
• Entonces el proceso 𝑉𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑋𝑡) puede ser representado en
notación diferencial como:
𝑋𝑡 = 𝑋0 + 𝑏𝑠 𝑑𝑠 + σ 𝑠 𝑏𝑠 𝑑𝑊𝑡
𝑡
0
𝑡
0
+ Δ𝑋𝑖
𝑁𝑡
𝑖=1
𝑑𝑉𝑡 =
𝜕𝑓
𝜕𝑆
𝑡, 𝑋𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏𝑡
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑡, 𝑋𝑡 𝑑𝑡 +
σ 𝑡
2
2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2 𝑡, 𝑋𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑡, 𝑋𝑡 σ 𝑡 𝑑𝑊𝑡 + [𝑓 𝑋𝑡− + Δ𝑋𝑡 − 𝑓(𝑋𝑡−)]

𝑑𝑆𝑡
𝑆𝑡
= α − λκ 𝑑𝑡 + σ𝑑𝑊𝑡 + η 𝑡 − 1 𝑑𝑁𝑡
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑟 − λκ 𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+
σ2
𝑆2
2
𝜕2
𝑉
𝜕𝑆2
− 𝑟𝑉 + λ 𝑉 𝑡, η 𝑡 𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 𝑣 𝑑η
∞
−∞
= 0
Dinámica del subyacente:
Ecuación:

Solución a la ecuación Integro-diferencial:
𝑉 𝑆, 𝑇 =
𝑒−λ 𝑇 λ 𝑇
𝑛
𝑛!
𝐵𝑆 𝑆0, σ 𝑛, 𝑟𝑛, 𝑇, 𝐾
∞
𝑛=0
σ 𝑛 = σ2 +
𝑛δ2
𝑇
𝑟𝑛 = 𝑟 − λκ +
𝑛 ln 1 + κ
𝑇
λ = λ 1 + κ

Diferencia entre Merton y Black-Scholes:
Para realizar una comparación justa se deben igualar las volatilidades, es decir:
σ 𝐵𝑆 = σ 𝑀
σ 𝐵𝑆 𝑡 = σ 𝑀 + λδ2 + λμ2 𝑡
Bajo esta igualdad se utilizaron los siguientes parámetros para valorizar ambos
modelos:
Parámetro 𝑟 σ 𝐵𝑆 σ 𝑀 λ μ δ 𝑇 𝑆0
Valor 0,03 0,2 0,14 1 -0,1 0,1 ¼ Años 50

Diferencia entre Merton y Black-Scholes:

Modelo CPV

Modelo CPV
• Supuestos:
– Subyacente sigue un proceso Browniano geométrico con
volatilidad y drift constantes.
momento.
riesgo.
– Hay oportunidades de arbitraje.

Evidencia empírica
En base a información diaria en los precios del los futuros sobre el S&P500
desde Septiembre de 1997 hasta Marzo del 2009, se calculó el valor del
“mispricing” diario κ0 en los ultimo 10 años calculado bajo la formula:
κ0 𝑡, 𝑇 = 𝐹 𝑡, 𝑇 − 𝐹0(𝑡, 𝑇)
Con:
𝐹 𝑡, 𝑇 : Precio de Mercado del Forward
𝐹0 𝑡, 𝑇 = 𝑆(𝑡, 𝑇)𝑒(𝑟−𝑑)(𝑇−𝑡)

Evidencia empírica
A largo plazo hay momentos de gran “mispricing” y otros de bajos niveles, en
todo caso, los valores son relativamente pequeños y muchos son claramente
estrategias no aprovechables.
Mispricing de futuros sobre el S&P500 desde 1997 a 2009, Fuente: Dynamic option pricing with endogenous stochastic arbitrage [3]

Evidencia empírica
Sin embargo, bajo una mirada mas detallada se ve una patrón mas definido.
Es importante comentar que bajo cualquier forma de arbitraje, con un área
distinto de cero sobre el “mispricing” el modelo se comportará mejor que el de
Black-Scholes
Mispricing de futuros sobre el S&P500 desde 1997 a 2009, Fuente: Dynamic option pricing with endogenous stochastic arbitrage [3]

Modelo CPV
Π = 𝑉 +Δ 𝑆
𝑑Π = 𝑟Π𝑑𝑡 + 𝑓(𝑡)Π𝑑𝑊𝑡
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+
σ2
𝑆2
2
𝜕2
𝑉
𝜕𝑆2 +
(𝑟σ − μ𝑓𝑡)
(σ − 𝑓𝑡)
𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
− 𝑉 = 0
Dinámica del portafolio:
Ecuación:

Modelo CPV
Diferencia entre CPV y Black-Scholes:
Parámetros
Arbitraje escalonado
Parámetro 𝑟 σ 𝐾 𝑆0 𝑇 𝐶𝑎𝑠𝑜 1 𝐶𝑎𝑠𝑜 2
Valor 0,05 0,2 100 100 1 Año 0,195 0,205
%σ
𝑇
𝑓
𝑇/4 3𝑇/4

Modelo CPV
𝑓 = 97,5% σ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
Tiempo al vencimiento (años)
Precio Opcion
Valor Subyacente

Modelo CPV
𝑓 = 102,5% σ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
Tiempo al vencimiento (años)
Precio Opcion
Valor Subyacente

Modelo Propuesto

Modelo Propuesto
Robert
Merton
Modelo CPV
Nuevo
Modelo

Modelo Propuesto
• Supuestos:
– Subyacente sigue un proceso de Lévy con volatilidad y drift
constantes.
momento.
riesgo.
– Hay oportunidades de arbitraje.

Modelo Propuesto
• Dinámica del subyacente:
• Dinámica del derivado:
𝑑𝑆
𝑆
= α − λκ 𝑑𝑡 + σ𝑑𝑊𝑡 + η − 1 𝑑𝑁𝑡
𝑑𝑆 = α − λκ 𝑆𝑑𝑡 + σ𝑆𝑑𝑊𝑡 + η − 1 𝑆𝑑𝑁𝑡
𝑑𝑉(𝑡, 𝑆𝑡) =
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝑑𝑡 + α − λκ 𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
𝑑𝑡 +
σ2 𝑆2
2
𝜕2 𝑉
𝜕𝑆2 𝑑𝑡
+σ𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
𝑑𝑊𝑡 + 𝑉 𝑡, η 𝑡 𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 𝑑𝑁𝑡

Modelo Propuesto
• Portafolio:
Π = 𝑉 + Δ𝑆
+ 𝑉 𝑡, η 𝑡 𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 + Δ η − 1 𝑆 𝑑𝑁𝑡
𝑑Π = 𝑑𝑉 + Δ𝑑𝑆
𝑑Π =
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ α − λκ 𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+
σ2 𝑆2
2
𝜕2 𝑉
𝜕𝑆2
𝑑𝑡
+ σ𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+ Δσ𝑆 𝑑𝑊𝑡

Modelo Propuesto
El retorno del portafolio a diferencia del modelo de Merton depende no solo de
la tasa libre de riesgo sino también incorpora el beneficio de arbitraje
browniano y por saltos en el subyacente.
De esta forma, igualando la ecuación de arriba con la anterior obtenemos:
𝑑Π = 𝑟Π𝑑𝑡 + 𝑓1Π𝑑𝑊𝑡 + 𝑓2Π𝑑𝑁𝑡
𝑑Π =
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ α − λκ 𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+
σ2 𝑆2
2
𝜕2 𝑉
𝜕𝑆2 𝑑𝑡
+ σ𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+ Δσ𝑆 𝑑𝑊𝑡 + 𝑉 𝑡, η 𝑡 𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 + Δ η − 1 𝑆 𝑑𝑁𝑡
= 𝑟 𝑉 + Δ𝑆 𝑑𝑡 + 𝑓1 𝑉 + Δ𝑆 𝑑𝑊𝑡 + 𝑓2 𝑉 + Δ𝑆 𝑑𝑁𝑡

Modelo Propuesto
Realizando el mismo proceso de factorización se llega a la siguiente ecuación:
0 =
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ α − λκ 𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+
σ2 𝑆2
2
𝜕2 𝑉
𝜕𝑆2
+ Δ α − λκ 𝑆 − 𝑟𝑉 − 𝑟Δ𝑆 𝑑𝑡
+ σ𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+ Δσ𝑆 − 𝑓1 𝑉 − 𝑓1Δ𝑆 𝑑𝑊𝑡
+ 𝑉 𝑡, η 𝑡 𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 + Δ η − 1 𝑆 − 𝑓2 𝑉 − 𝑓2Δ𝑆 𝑑𝑁𝑡

Modelo Propuesto
Ahora la dinámica del portafolio contiene una componente determinista una
browniana y una de saltos. Como el salto ocurre en ocasiones discretas se
busca apagar en primer lugar el ruido browniano, así se escoge una cobertura
que apague este ruido manteniendo la perturbación del salto:
0 = σ𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+ Δσ𝑆 − 𝑓1 𝑉 − 𝑓1Δ𝑆
Δ𝑆 σ − 𝑓1 = 𝑓1 𝑉 − σ𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
Δ =
𝑓1 𝑉 − σ𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
𝑆 σ − 𝑓1

Modelo Propuesto
Reemplazando este valor de Δ que cubre al portafolio del ruido browniano
obtenemos las siguiente dinámica del portafolio:
𝑑Π =
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ α − λκ 𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+
σ2 𝑆2
2
𝜕2 𝑉
𝜕𝑆2
− 𝑟𝑉 +
𝜕𝑉
𝜕𝑆
𝑆 σ − 𝑓1
α − λκ − 𝑟 𝑑𝑡
+ 0 𝑑𝑊𝑡
+ 𝑉 𝑡, η 𝑡 𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 − 𝑓2 𝑉 +
𝜕𝑉
𝜕𝑆
𝑆 σ − 𝑓1
η − 1 − 𝑓2 𝑑𝑁𝑡 = 0

Modelo Propuesto
Como la dinámica del portafolio sigue siendo estocástica por el término 𝑁𝑡 no
se puede pedir que la ecuación se cumpla en todo momento, si se puede
esperar que la ecuación se cumpla, introduciendo el operador esperanza:
𝔼
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ α − λκ 𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+
σ2 𝑆2
2
𝜕2 𝑉
𝜕𝑆2
− 𝑟𝑉 +
𝜕𝑉
𝜕𝑆
𝑆 σ − 𝑓1
α − λκ − 𝑟 𝑑𝑡
+ 𝔼 𝑉 𝑡, η 𝑡 𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 − 𝑓2 𝑉 +
𝜕𝑉
𝜕𝑆
𝑆 σ − 𝑓1
η − 1 − 𝑓2 𝔼[𝑑𝑁𝑡] = 0

Modelo Propuesto
Finalmente se llega a la ecuación integro-diferencial que satisface el precio de
un derivado cuyo subyacente sigue un proceso de Lévy en presencia de
arbitraje:
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ α − λκ 𝑆
𝜕𝑉
𝜕𝑆
+
σ2
𝑆2
2
𝜕2
𝑉
𝜕𝑆2
− 𝑟𝑉 +
𝜕𝑉
𝜕𝑆
𝑆 σ − 𝑓1
α − λκ − 𝑟
+ λ 𝑉 𝑡, η 𝑡 𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 − 𝑓2 𝑉 +
𝜕𝑉
𝜕𝑆
𝑆 σ − 𝑓1
η − 1 − 𝑓2 = 0
∞
−∞

Método Numérico
Para simplificar el algoritmo que permitirá valorizar este tipo de opciones es
conveniente comenzar haciendo un cambio de variables:
Este cambio implica que el valor de la opción en términos de las nuevas
variables sea:
Con la condición inicial para una Call:
𝑥 = ln
𝑆
𝐾
+ 𝑟 −
σ2
2
τ
τ = 𝑇 − 𝑡
𝑢(τ, 𝑥) =
𝑒 𝑟τ
𝐾
𝑉 𝑇 − 𝑡, 𝐾𝑒
𝑥− 𝑟−
σ2
2 τ
𝑢 0, 𝑥 = 𝑕 𝑥 = 𝑒 𝑥 − 1 +

Método Numérico
Simplificando aún más la ecuación, con:
Llegamos a:
β = α − λκ − 𝑟
𝜕𝑢
𝜕τ
=
σ2
2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
− β − σ𝐹
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑢 𝐹𝑓1 − λ − λ𝑓2 + λ [𝑢(τ, 𝑥 + 𝑦)]ν(𝑑𝑦)
∞
−∞
𝐹 =
(α − 𝑟 − λ𝑓2)
σ − 𝑓1

Método Numérico
Separando las ecuaciones:
Método Implícito-Explícito
Método Crank-Nicolson
𝜕𝑢
𝜕τ
=
σ2
2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
− β − σ𝐹
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑢 𝐹𝑓1 − λ − λ𝑓2 + λ [𝑢(τ, 𝑥 + 𝑦)]ν(𝑑𝑦)
∞
−∞
𝜕𝑢
𝜕τ
= 𝔒𝑢 + 𝔗𝑢
𝑢 𝑛+1
− 𝑢 𝑛
Δτ
= 𝔒𝑢 𝑛+1
+ 𝔗𝑢 𝑛
𝑢 𝑛+1
− 𝑢 𝑛
Δτ
= (𝔒 + 𝔗)
(𝑢 𝑛+1
+𝑢 𝑛
)
2

Método Implícito-Explícito
Método Implícito-Explicito
𝑢 𝑛+1
− 𝑢 𝑛
Δτ
= 𝔒𝑢 𝑛+1 + 𝔗𝑢 𝑛
𝑢 𝑛+1
= 𝐼 − Δτ𝔒 −1
𝐼 + Δτ𝔗 𝑢 𝑛
𝑢1
𝑛+1
𝑢2
𝑛+1
⋮
𝑢 𝑀
𝑛+1
𝑢 𝑀+1
𝑛+1
−
𝑢1
𝑛
𝑢2
𝑛
⋮
𝑢 𝑀
𝑛
𝑢 𝑀+1
𝑛
= Δτ𝔒
𝑢1
𝑛+1
𝑢2
𝑛+1
⋮
𝑢 𝑀
𝑛+1
𝑢 𝑀+1
𝑛+1
+ Δτ𝔗
𝑢1
𝑛
𝑢2
𝑛
⋮
𝑢 𝑀
𝑛
𝑢 𝑀+1
𝑛

Operador Espacial 𝔒
𝔒 =
σ2
2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2 − β − σ𝐹
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑢 𝐹𝑓1 − λ − λ𝑓2
𝔒 =
σ2
2
𝑢 𝑚+1 − 2𝑢 𝑚 + 𝑢 𝑚−1
Δ𝑥2
− β − σ𝐹
𝑢 𝑚+1 − 𝑢 𝑚−1
2Δ𝑥
+ 𝑢 𝑚 𝐹𝑓1 − λ − λ𝑓2
𝔒 = 𝑢 𝑚−1
σ2
2Δ𝑥2 −
β − σ𝐹
2Δ𝑥
+ 𝑢 𝑚 𝐹𝑓1 − λ − 𝑓2
σ2
Δ𝑥2
+ 𝑢 𝑚+1
σ2
2Δ𝑥2
+
β − σ𝐹
2Δ𝑥

Operador Espacial 𝔗
𝔗 = λ [𝑢(τ, 𝑥 + 𝑦)]ν(𝑑𝑦)
∞
−∞
El operador integral es la ponderación de la probabilidad de salto por el valor
de la opción a ese salto.
Discretizando la función de probabilidad de la variable 𝑦 por medio de la
cuadratura trapezoidal
[𝑢(τ, 𝑥 + 𝑦)]ν(𝑑𝑦)
∞
−∞
≈ ν𝑗 𝑢𝑖+𝑗
∞
−∞
ν𝑗 = ν(𝑑𝑦)
(𝑗+
1
2)Δ𝑥
(𝑗−
1
2
)Δ𝑥

Operador Espacial 𝔗
Al haber escogido la distribución normal para la variable 𝑦, la cuadratura
asigna un área de probabilidad a valor especifico de salto
ν 𝑦 =
1
δ 2π
𝑒
−
1
2
𝑦−μ 2
δ2
para T=1 año, K=500, r=0.05, σ =0.2
−3 ≤ 𝑥 ≤ 3
24,15 ≤ 𝑆 ≤ 9745

Convergencia del Método

Parámetro 𝑟 σ λ μ δ 𝑇 𝐾 𝑠𝑒𝑔
Valor 0,05 0,2 0 - - 1 Año 100 52,63

Parámetro 𝑟 σ λ μ δ 𝑇 𝐾 𝑠𝑒𝑔
Valor 0,05 0,2 0,5 -0,92 0,425 1 Mes 100 52,85

Resultados
1. Comportamiento del precio con 𝑓2 = 0 y 𝑓1 ≠ 0

Resultados
2. Comportamiento del precio con 𝑓2 ≠ 0 y 𝑓1 = 0

Resultados
3. Comportamiento del precio con 𝑓2 ≠ 0 y 𝑓1 ≠ 0

Conclusiones
• El modelo aproxima de tal manera que sus resultados pueden ser utilizados
para comercializar opciones.
• El modelo converge al modelo de Merton en el caso que no hay arbitraje y
al modelo CPV cuando no hay saltos, a su vez converge a Black-Scholes en
el caso sin saltos ni arbitraje.
• Se deja la puerta abierta para conocer de manera empírica el arbitraje por
medio de los saltos en el subyacente.
• También se puede combinar con modelos que asuman tasa y volatilidades
como procesos estocásticos.
• Finalmente falta comprobar si el Hedge dinámico es un buena forma de
reducir el Profit & Loss al final del contrato.

Bibliografía
[1] F. Black and M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81:637-654, 1973.
[2] R. C. Merton, Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of Financial Economics, 3:125-144, 1976.
[3] M. Contreras, Dynamic option pricing with endogenous stochastic arbitrage. Physica A, 398:3552-3564, 2010.
[4] P. Willmott, Paul Willmott on Quantitative Finance. J. WILEY, 2000.
[5] G. Sofianos, Index arbitrage profitability. Journal of Derivatives, 1:6-20, 1995.
[6] J. Hull, Options, futures and other derivatives. Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1997.
[7] R. Seydel, Tools for computational finance, 5th Edition. Universitext, Springer, 2012.
[8] R. Montalva, 2009. Valoración de opciones con arbitraje. Magíster en Ingeniera de los negocios, Universidad Adolfo Ibáñez.
[9] R. Sánchez, 2009. Modelos de volatilidad estocástica para valoración de opciones con arbitraje. Magíster en Ingeniera de los negocios,
Universidad Adolfo Ibáñez.
[10] D. Santiagos, 2011. Caracterización de Burbujas Financieras en el Modelo de Black-Scholes con Arbitraje. Magíster en Ingeniera de los
negocios, Universidad Adolfo Ibáñez.
[11] S. Heston, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of
Financial Studies, 6:327-343, 1993.
[12] A. Ruiz, 2010. Una aplicación del método semiclásico a las finanzas. Magíster en Ingeniera de los negocios, Universidad Adolfo Ibáñez.
[13] Nicholas Hinde, 2006. Jumping Hedges, Hedging Options Under Jump-Diffusion. MSc in Mathematical Modeling and Scientific Computing,
University of Oxford.
[14] Kazuhisa Matsuda, 2004. Introduction to Merton Jump Diffusion Model. Department of Economics,
The Graduate Center, The City University of New York.
[15] R. Feynman and A. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals. Emended Edition, Dover Publications , 2010.
[16] R. Cont and P. Tankov, Financial Modeling with Jump Processes. CHAPMAN & HALL, 2004.
[17] Anita Mayo, Methods for the rapid solution of the pricing PIDEs in exponential and Merton models. Journal of Computational and Applied
Mathematics, 222:128-143, 2008.
[18] David S. Bates, Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark Options. The Review of Financial
Studies, 9:69-107, 1996.
[19] Carol Alexander & Andreas Kaeck, Does Model Fit Matter for Hedging? Evidence From FTSE 100 Options. The Journal of Futures Markets,
0:1-30, 2011.

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