TEMA 3 DE DECISIONES DE INVERSION DE CONTABILIDAD Y FINANZAS

1. Grado en Contabilidad y
Finanzas
Decisiones de Inversión y
Financiación
Profesora: Concepción de la Fuente Cabrero

2. Tema 3. La introducción del riesgo en las decisiones
de inversión. Parte II
Tema 4. Las decisiones de inversión secuenciales.
MÓDULO II Decisiones de inversión

3. 1. Introducción.
2. El valor medio de los flujos de caja.
3. El ajuste de la tasa de descuento.
4. La reducción de los flujos netos de caja a
condiciones de certeza.
5. Análisis de sensibilidad.
6. El comportamiento aleatorio de los flujos netos
de caja de una inversión. Algunas leyes de
probabilidad útiles en la práctica.
7. El comportamiento probabilístico del VAN.
Tema 3. La introducción del riesgo en las
decisiones de inversión

4. Parte II
6. El comportamiento aleatorio de los flujos netos
de caja de una inversión. Algunas leyes de
probabilidad útiles en la práctica.
7. El comportamiento probabilístico del VAN.
Tema 3. La introducción del riesgo en las
decisiones de inversión

5. - Eliminarlo: Valor medio de los flujos de caja
Método de la tasa ajustada al
riesgo Método de la equivalente
cierto
 RIESGO
- Medirlo: E(VAN) s2(VAN)
E(TIR) s2 (TIR)
 Análisis de Sensibilidad
7.1. Introducción
Proyecto de Inversión Liquidez, rentabilidad y riesgo

6. Tema 3. La introducción al riesgo en las decisiones de inversión
El riesgo de un proyecto de inversión está definido en
función de la VARIABILIDAD de los flujos netos de
caja.
RIESGO variabilidad VARIANZA
Los flujos netos de caja se comportan como variables
aleatorias con sus correspondientes distribuciones
de probabilidad asociadas (E(Qj) y s2(Qj)).
7. El comportamiento probabilístico del VAN.

7. 7. El comportamiento probabilístico del VAN.
En un »Entorno aleatorio»
si tenemos que decidir entre varios proyectos
VAN Medio
más elevado
Mayor Tasa
de retorno
Maximizar la esperanza matemática
de la ganancia
Objetivo
Minimizar la varianza matemática de
la ganancia
Minimizar el
riesgo

8. Tema 3. La introducción al riesgo en las decisiones de inversión
RIESGO variabilidad VARIANZA
 Inicialmente vamos a suponer que los flujos de caja
se conocen en términos de probabilidad discreta.
E(Q1)= 174.800€
s2(Q1)= 3.332.860.000€2
s(Q1)= 57.730,93€
Q1 P1
100.000 20,00%
123.000 10,00%
150.000 25,00%
200.000 15,00%
250.000 30,00%
100,00%
7. El comportamiento probabilístico del VAN.

9. Tema 3. La introducción al riesgo en las decisiones de inversión
 RECORDAD: La esperanza matemática de una suma
de variables es igual a la suma de las esperanzas de
cada una de dichas variables.
 Y el VAN es una variable aleatoria suma de variables
aleatorias
7. El comportamiento probabilístico del VAN
 
 j
j
n
j
j k
Q
E
A
E
VAN
E
0
1 1
)
(
)
(








10. 7.1. Cálculo de la esperanza matemática del VAN de una inversión
E(VAN)=-E(A)+
𝐸(𝑄1)
(1+𝑘)
+
𝐸(𝑄2)
(1+𝑘)2+…..+
𝐸 𝑄𝑛
(1+𝑘)𝑛
𝐸 𝑉𝐴𝑁 = −𝐸 𝐴 +
𝐸(𝑄𝑗)
(1 + 𝑘)𝑗
𝑛
𝑗=1
E(A)= 𝑨𝟎
𝒓
𝑷𝟎
𝒓
𝒉
𝒓=𝟏 E(𝑸𝒋)= 𝑸𝒋
𝒓
𝑷𝒋
𝒓
𝒉
𝒓=𝟏

11. El desembolso inicial de una inversión y sus flujos de caja no se pueden conocer con
exactitud, pero sí es posible conocerlos en términos de probabilidad. Considerando los
datos de la tabla adjunta y considerando una tasa de descuento del 7%, calcular la
Esperanza del VAN.
EJEMPLO 11.1 (Suárez)
7.1. Cálculo de la esperanza matemática del VAN de una inversión.
A P(A) 𝑄1 P(𝑄1) 𝑄2 𝑃(𝑄2) 𝑄3 𝑃(𝑄3)
40.000 0,10 10.000 0,05 18.000 0,10 25.000 0,03
42.000 0,15 12.000 0,10 20.000 0,17 28.000 0,17
44.000 0,25 14.000 0,35 22.000 0,23 31.000 0,30
46.000 0,25 16.000 0,35 24.000 0,23 34.000 0,30
48.000 0,15 18.000 0,10 26.000 0,17 37.000 0,17
50.000 0,10 20.000 0,05 28.000 0,10 40.000 0,03

12. EJEMPLO 11.1 (Suárez)
7.1. Cálculo de la esperanza matemática del VAN de una inversión.
A P(A) 𝑄1 P(𝑄1)
40.000 0,10
4.000
10.000 0,05
500
42.000 0,15
6.300
12.000 0,10
1.200
44.000 0,25
11.000
14.000 0,35
4.900
46.000 0,25
11.500
16.000 0,35
5.600
48.000 0,15
7.200
18.000 0,10
1.800
50.000 0,10
5.000
20.000 0,05
1.000
45.000 15.000
Como la esperanza del VAN es la suma de las esperanzas de los flujos de
caja actualizados, calculamos la esperanza de cada uno:
E(A)= 𝐴 ∗ 𝑃(𝐴) E(Qj)= 𝑄𝑗 ∗ 𝑃(𝑄𝑗)

13. EJEMPLO 11.1 (Suárez)
7.1. Cálculo de la esperanza matemática del VAN de una inversión.
𝑄2 𝑃(𝑄2) 𝑄3 𝑃(𝑄3)
18.000 0,10
1.800
25.000 0,03 750
20.000 0,17
3.400
28.000 0,17 4.760
22.000 0,23
5.060
31.000 0,30 9.300
24.000 0,23
5.520
34.000 0,30 10.200
26.000 0,17
4.420
37.000 0,17 6.290
28.000 0,10
2.800
40.000 0,03 1.200
23.000
32.500
Como la esperanza del VAN es la suma de las esperanzas de los flujos de
caja actualizados, calculamos la esperanza de cada uno:
E(A)= 𝐴 ∗ 𝑃(𝐴) E(Qj)= 𝑄𝑗 ∗ 𝑃(𝑄𝑗)

14. .
EJEMPLO 11.1. Suárez
Por último aplicamos la fórmula para calcular la esperanza del
VAN:
𝐸 𝑉𝐴𝑁 = −𝐸 𝐴 +
𝐸(𝑄𝑗)
(1+𝑘)𝑗
𝑛
𝑗=1
𝐸 𝑉𝐴𝑁 = -45.000+
15.000
(1+0.07)
+
23.000
(1+0.07)^2
+
32.500
(1+0.07)^3
=15.637
7.1. Cálculo de la esperanza matemática del VAN de una inversión.

15. 7.2. Cálculo de la varianza del VAN.
Recordamos las expresiones de la varianza de una variable
aleatoria si hay independencia de los flujos de caja
𝜎2
𝑄𝑡 = 𝑄𝑡
𝑟
− 𝐸(𝑄𝑡) 2
ℎ
𝑟=1
𝑃𝑡
𝑟
Y la desviación típica 𝜎 𝑄𝑡 = 𝑄𝑡
𝑟
− 𝐸(𝑄𝑡) 2
ℎ
𝑟=1 𝑃𝑡
𝑟
𝜎2
(𝑉𝐴𝑁)= 𝜎2
𝐴 +
𝜎2(𝑄1)
(1+𝑘)2+
𝜎2(𝑄2)
(1+𝑘)4+…+
𝜎2(𝑄𝑛)
(1+𝑘)2𝑛

16. 7.2. Cálculo de la varianza del VAN
EJEMPLO 11.1 Suárez
Calcular la varianza del VAN con los datos del ejemplo
anterior, suponiendo independencia entre los flujos
netos de caja.
Calculamos primero la varianza de los flujos de caja
𝜎2(𝑉𝐴𝑁)= 𝜎2 𝐴 +
𝜎2(𝑄1)
(1+𝑘)2+
𝜎2(𝑄2)
(1+𝑘)4+…+
𝜎2(𝑄𝑛)
(1+𝑘)2𝑛

17. 7.2. Cálculo de la varianza del VAN
EJEMPLO 11.1 Suárez
Var A Var Q1
25.000.000
0,1
2.500.000 25.000.000
0,05
1.250.000
9.000.000
0,15
1.350.000 9.000.000
0,1
900.000
1.000.000
0,25
250.000 1.000.000
0,35
350.000
1.000.000
0,25
250.000 1.000.000
0,35
350.000
9.000.000
0,15
1.350.000 9.000.000
0,1
900.000
25.000.000
0,1
2.500.000 25.000.000
0,05
1.250.000
8.200.000 5.000.000

18. 7.2. Cálculo de la varianza del VAN
EJEMPLO 11.1 Suárez
Var Q2 Var Q3
25.000.000
0,1
2.500.000 56.250.000
0,03
1.687.500
9.000.000
0,17
1.530.000 20.250.000
0,17
3.442.500
1.000.000
0,23
230.000 2.250.000
0,3
675.000
1.000.000
0,23
230.000 2.250.000
0,3
675.000
9.000.000
0,17
1.530.000 20.250.000
0,17
3.442.500
25.000.000
0,1
2.500.000 56.250.000
0,03
1.687.500
8.520.000 11.610.000

19. 7.2. Cálculo de la varianza del VAN
EJEMPLO 11.1 : Calcular la varianza del VAN y riesgo de la
inversión
𝜎2(𝑉𝐴𝑁)= 𝜎2 𝐴 +
𝜎2(𝑄1)
(1+𝑘)2+
𝜎2(𝑄2)
(1+𝑘)4+…+
𝜎2(𝑄𝑛)
(1+𝑘)2𝑛
𝜎2(𝑉𝐴𝑁)=8.200.000+
5.000.000
(1+0,07)2+
8.520.000
(1+0,07)4+
11.610.000
(1+0,07)6 =
𝜎2(𝑉𝐴𝑁)=8.200.000+4.367.194+6.499.867+7.736233=26.803.294
𝜎 (𝑉𝐴𝑁)= 5.177,19
Como 𝐸 𝑉𝐴𝑁 =15.637 Riesgo de la inversión es 33%

20. Tema 3. La introducción al riesgo en las decisiones de inversión
El VAN es una variable aleatoria suma de variables
aleatorias (flujos)
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
Una variable suma de variables aleatorias
independientes tiende a una distribución normal
cuando el número de sumandos tiende a infinito
7.3. El comportamiento probabilístico del VAN

21. Tema 3. La introducción al riesgo en las decisiones de inversión
EN LA PRÁCTICA
Se asume NORMALIDAD si la inversión dura 10 o
más años y los flujos netos de caja son
independientes.
¿PARA QUÉ NOS INTERESA ASUMIR NORMALIDAD?
Para calcular la probabilidad de que el VAN tome un
determinado valor
7.3. El comportamiento probabilístico del VAN

22. 7.3. El comportamiento probabilístico del VAN.
Al aceptar la hipótesis de Normalidad, la
ley de probabilidad del VAN presenta la
famosa Campana de Gauss
Probabilidad
VAN
E(VAN)
TCHEBYCHEFF

23. 7.3. Comportamiento probabilístico del VAN
Probabilidad
VAN
E(VAN)
La variable normal (E[VAN]), 𝜎[VAN]) se relaciona
con la normal (0,1) es la que aparece calculada en
las tablas estadísticas mediante la relación:

24. En donde 𝜀 es una variable aleatoria de
media 0 y desviación típica 1
7.3. Comportamiento probabilístico del VAN.
VAN= E(VAN)+ 𝜎 (𝑉𝐴𝑁)𝜀

25. Ejemplo 11.1 Suárez
 Probabilidad de que el VAN sea positivo
P[ VAN > 0] → P [15.637+5.177𝜀 > 0 ] = P [𝜀 > -
15.637
5.177
] =
P [𝜀 > -3,02 ] = P [𝜀 < 3,02 ] = 0,9987 → 99,9%
 Probabilidad de que el VAN sea negativo
P[ VAN < 0]= 1 - P[ VAN > 0] = 1- 0,999 = 0,001 → 0,1%
7.3. Comportamiento probabilístico del VAN
Tema 5. La adopción de decisiones de inversión en base al …

26. Parte II
6. El comportamiento aleatorio de los flujos netos
de caja de una inversión. Algunas leyes de
probabilidad útiles en la práctica.
7. El comportamiento probabilístico del VAN.
Tema 3. La introducción del riesgo en las
decisiones de inversión

27. RIESGO variabilidad VARIANZA
 Inicialmente supusimos flujos de caja conocidos en términos
de probabilidad discreta
 Ahora supondremos que los flujos netos de caja se conocen
en términos de probabilidad continua y siguen una
determinada función de distribución:
1. Distribución beta
2. Distribución triangular
3. Distribución uniforme
vamos a determinar, igual que antes, su valor
esperado (E(Qj) ) y su variabilidad (s2(Qj)).
6. Comportamiento aleatorio flujos de caja. Algunas leyes útiles…
Tema 6. El comportamiento aleatorio de los flujos netos de caja de una inversión

28. 6.Comportamiento aleatorio flujos de caja. Algunas leyes útiles…
Suponemos: Para cada flujo de caja existen 3 o 2 posibilidades
 Flujo de caja pesimista(𝑸𝒕
𝒑
):
El menor flujo de caja que puede generar la inversión en el período t en
el peor de los casos, es decir, en el caso en que todo salga mal.
 Flujo de caja más probable) :
El flujo de caja más verosímil ó más probable, es decir, el flujo de caja
que normalmente debe generar la inversión en el período t.
 Flujo de caja optimista (𝑸𝒕
𝒐
) :
El mayor flujo de caja que puede generar la inversión en el período t en
el mejor de los casos, es decir, en el supuesto de que todo salga bien.

29. 6. Comportamiento aleatorio flujos de caja. Algunas leyes útiles…
Suponemos: La variable aleatoria que representa el flujo de
caja (𝑸𝒕 ) en un periodo t sigue:
 La ley beta cuya función de densidad de probabilidad presenta una
forma acampanada pero asimétrica y en la práctica se simplifica
prescindiendo de 2 parámetros.
 La distribución triangular en la que sólo intervienen los parámetros:
𝑸𝒕
𝒑
𝑸𝒕
𝒐
y 𝑸𝒕
𝒎
y sigue 3 formas de distribución.
 Se distribuye regularmente en el intervalo (𝑸𝒕
𝒑
, 𝑸𝒕
𝒐
)

30. DISTRIBUCIÓN BETA
6.Comportamiento… Algunas leyes de probabilidad útiles…
Tema 6. El comportamiento aleatorio de los flujos netos de caja de una inversión
     
   




















 

O
j
r
j
O
j
r
j
P
j
P
j
O
j
r
j
O
j
P
j
r
j
P
j
r
j
r
j
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
f
,
0
,
1
,
1
,
0
1







  
 
 
   



























36
6
4
1
3
1
1
4
2
2
P
j
O
j
j
O
j
M
j
P
j
j
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
E
s







31. DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR
6.Comportamiento… Algunas leyes de probabilidad útiles…
Tema 6. El comportamiento aleatorio de los flujos netos de caja de una inversión
 
   
   


























O
j
r
j
O
j
r
j
M
j
O
j
r
j
P
j
O
j
O
j
M
j
M
j
r
j
P
j
P
j
r
j
P
j
O
j
P
j
M
j
P
j
r
j
r
j
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
f
,
0
,
2
,
2
,
0
 
3
O
j
M
j
P
j
j
Q
Q
Q
Q
E



      
18
2
2
P
j
M
j
M
j
O
j
P
j
O
j
j
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q





s

32. DISTRIBUCIÓN RECTANGULAR
6.Comportamiento… Algunas leyes de probabilidad útiles…
Tema 6. El comportamiento aleatorio de los flujos netos de caja de una inversión
   















O
j
r
j
O
j
r
j
P
j
P
j
O
j
P
j
r
j
r
j
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
f
,
0
,
1
,
0
 
2
O
j
P
j
j
Q
Q
Q
E


   
12
2
2
P
j
O
j
j
Q
Q
Q


s

33. DISTRIBUCIÓN BETA
DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR
DISTRIBUCIÓN RECTANGULAR
6.Comportamiento… Algunas leyes de probabilidad útiles…
Tema 6. El comportamiento aleatorio de los flujos netos de caja de una inversión
 
   












36
6
4
2
2
P
j
O
j
j
O
j
M
j
P
j
j
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
E
s
 
3
O
j
M
j
P
j
j
Q
Q
Q
Q
E



      
18
2
2
P
j
M
j
M
j
O
j
P
j
O
j
j
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q





s
 
2
O
j
P
j
j
Q
Q
Q
E


   
12
2
2
P
j
O
j
j
Q
Q
Q


s

34. Cálculo esperanza matemática y varianza del VAN
E(VAN)=-E(A)+
𝐸(𝑄1)
(1+𝑘)
+
𝐸(𝑄2)
(1+𝑘)2+…..+
𝐸 𝑄𝑛
(1+𝑘)𝑛
𝜎2(𝑉𝐴𝑁)= 𝜎2 𝐴 +
𝜎2(𝑄1)
(1 + 𝑘)2
+
𝜎2(𝑄2)
(1 + 𝑘)4
+…+
𝜎2(𝑄𝑛)
(1 + 𝑘)2𝑛

35. Sea una inversión con los flujos de caja estimados en la tabla siguiente,
calcular la esperanza matemática del VAN y su varianza en el supuesto
de que los flujos de caja sean independientes y que las variables
aleatorias siguen la ley de distribución beta. K = 7%
Calcular la probabilidad de que el VAN sea positivo y superior a 8.000
EJEMPLO 12.1 (Suárez)
6.Comportamiento… Algunas leyes de probabilidad útiles…
A Q1 Q2
Pesimista Probable Optimista Pesimista Probable Optimista Pesimista Probable Optimista
25.000 30.000 35.000 20.000 20.000 20.000 15.000 20.000 32.000

36. Ejemplo 12.1 Suárez
 Probabilidad de que el VAN sea positivo
P[ VAN > 0] =P [7.179+2.984𝜀 > 0 ] = P [𝜀 > - 7.179
2.984
] =
P [𝜀 > -2,4 ] = P [𝜀 < 2,4 ] = 0,9918 → 99,2%
 Probabilidad de que el VAN sea superior a 8.000
P[ VAN > 0] =P [7.179+2.984𝜀 >8.000 ] = P [𝜀 > 821
2.984
]=
P [𝜀 > 0,28 ] = 1- P [𝜀 < 0,28]=1- 0,61 = 0,39 → 39%
6.Comportamiento… Algunas leyes de probabilidad útiles…
Tema 5. La adopción de decisiones de inversión en base al …

37. Una determinada inversión genera flujos de caja estimados durante 10
años y origina un desembolso inicial de 10 millones de euros. Los flujos
de los 3 primeros años siguen la distribución triangular, mientras que los
7 últimos siguen una distribución rectangular. La estimación de flujos se
recoge en la tabla siguiente. K = 7%
EJEMPLO 12.2 (Suárez)
6.Comportamiento… Algunas leyes de probabilidad útiles…
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
Pesimista 1 2 2 1 2
Mas Probable 2 2,5 2,5
Optimista 3 3 3 3 4
Q6 Q7 Q8 Q9 Q10
Pesimista 2 1 0,5 0,5 0,5
Mas Probable
Optimista 4 3 2 1,5 1