Calculo 2

CÁLCULO I I
D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas

VIRGINIO GOMEZ
INDICE

Contenido Página
UNIDAD Nº1 : Integral Indefinida

Conceptos y propiedades 1
- Reglas de integración 5
Integración inmediata:
- Fórmulas comunes 5
- Para funciones trigonométricas 6
- Para funciones trigonométricas inversas 6
Métodos de integración:
Integracion por cambio de variables (sustitución simple):
- Definición 8
- Caso de función exponencial 8
- Caso de logaritmo natural 9
- Caso de funciones trigonométricas con argumento 10
- Caso de la regla de la cadena 11
Integracion por partes:
- Definición 18
- Resumen de algunas Integrales Por Partes Comunes. 24

Integración de Potencias de funciones trigonométricas: 27
Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos: 37
- Caso 1:Sí ó o ambos son enteros positivos impares 27
- Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos 30
(o uno de ellos es ceros).
Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente: 33
- Caso1:Si es un entero positivo par (La potencia de la es par) 33
- Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar) 34
Tipo C: Integración de Monomios Cosecante y Cotangente. 38
Sustitución Trigonométrica:
- Para el integrado de la forma: 42
- Para el integrado de la forma: 42
-Para el integrado de la forma: 47
Funciones Racionales: 57
- Caso 1: Los factores de son todos lineales y ninguno se repite. 57
- Caso 2: Los factores de son todos lineales y algunos están repetidos. 59
- Caso3: Los factores de son lineales y cuadráticos de la forma 61
. Ninguno de los factores cuadráticos se repite.
- Caso 4: Los factores de son lineales y cuadráticos, y algunos 63
de los factores cuadráticos se repiten.
Autoevaluación 66


VIRGINIO GOMEZ
UNIDAD N°2 : Integral definida

Interpretación de la integral definida 71
Propiedades generales de la integral definida 74
Areas en Coordenadas Cartesianas 80
Areas positivas y negativas 89
Areas simples entre curvas 90
Volumen de Sólidos en Revolución: 103
- Método de los disco. 104
- Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero) 106
Caso 1: Rotación en torno al eje .
Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al eje .
- Método de los anillos cilíndricos 114
Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas. 121
Area de superficie en revolución 128
Autoevaluación 132

Unidad N°3 : Ecuaciones Parámetricas y Coordenadas Polares
- Conceptos 142
- Gráficos y transformaciones 142
- Primera y segunda derivada 144
- Areas en coordenadas parámetricas 154
- Longitud de arco en coordenadas paramétricas 156
Coordenadas Polares:
- Sistema de Coordenadas Polares 159
- Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares. 161
- Gráfico en coordenadas polares 165
- Areas en coordenadas polares 175
- Longitud de arco en coordenadas polares 183
Autoevaluación 187

Unidad N0 4 : Integrales impropias

Definición 192
Caso 1: El límite de integración se hace infinito 192
- El limite superior es infinito. 192
- El límite inferior es infinito. 192
- El límite inferior y superior son infinitos. 193
Caso 2: El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los 194
mismos limites de integración o en algún punto del intervalo entre ellos.
Autoevaluación 201


UNIDAD N°1: INTEGRAL INDEFINIDA

VIRGINIO GOMEZ
Conceptos y propiedades
En la misma forma en que hay funciones inversas también existen operaciones inversas. Por
ejemplo en matemáticas la sustracción es la inversa de la adición, y la división es la inversa de la
multiplicación.. Así el proceso inverso de la diferenciación es la integración

La integración la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciación. En otras
palabras, si tenemos la derivada de una función, el objetivo es: "Determinar que función ha sido
diferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso de integración radica en la comprensión del
proceso de la diferenciación.

Supongamos que dado un función , deseamos obtener su derivada, por lo que procedemos del
siguiente modo:

Obtiene
dado

f(x) f '(x)
d
Función Origen f x
Función Primitiva dx Función Derivada
Función Inicial

1

Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una función derivada de una cierta
función, encontrar dicha función. El objetivo es determinar la función , la cual fue derivada
(diferenciada).

Nota: A esta función , la vamos a llamar la función origen, función primitiva o la función inicial.

La idea gráfica es:

1


Obtener Dado

VIRGINIO GOMEZ
Función Derivada Función Derivada
Función Primitiva
Función Inicial

f(x) f '(x)

f ' x dx f x

Aplicando el
Operador Antiderivada
Así por ejemplo: Dado:

Aplicando el operador antiderivada , donde

Aplicando el operador antiderivada , donde

Aplicando el operador antiderivada ,

donde

Intuitivamente podemos pensar que dado una función derivada , podemos aplicar un proceso inverso
a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada para encontrar la función origen o primitiva que fue
diferenciada.

Por lo tanto, podemos decir que:
F u n ció n D eriva d a
F u n ció n P rim itiva F u n ció n D eriva d a
F u n ció n In icia l
A plica n d o e l O pera d or
D E R IV A D A
d
f x
dx

f(x) f'(x)

f ' x dx f x

A plica n d o e l O pera d or
A n tid eriv ad a
(IN T E G R AL )

2


Matemáticamente hablando diremos. Sea:

VIRGINIO GOMEZ
Utilizando la interpretación de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:

Definiendo la operación antiderivada de ahora en adelante como Integral, con el símbolo
"operador integral" y aplicándolo a nuestra expresión anterior tenemos:

Donde:

Luego la función primitiva u origen se puede determinar como:

; "la integral de la derivada es la función origen"

A esta expresión se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA.
Debemos notar lo siguiente:

d x3
x2
Operador DERIVADA dx 3

d x3
1 x2
dx 3
Función Derivada Función
Función Primitiva d x3 Derivada
2 x2
Función Inicial dx 3

d x3
C x2
dx 3

x3
f x f x x2
3

f ' x dx f x

Aplicando el Operador
Antiderivada
(INTEGRAL)

3


Conclusión:

VIRGINIO GOMEZ
- Una función derivable tiene una única función derivada el reciproco tiene infinitas soluciones.
- La derivada de una función tiene una familia de funciones primitivas.
-Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la misma derivada.

Definición:
Si es una función primitiva de . La expresión define a la integral indefinida
y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas y dan como resultado a (única
derivada). La cual se escribe como:

; donde es la constante de integración (puede ser positiva o negativa)

A esta expresión, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama Integral Indefinida de .

Observación:
(1) La constante de integración surge del hecho de que cualquier función de la forma
tiene derivada

(2) La constante de integración se determinará por las condiciones especificas de cada problema
particular.

(3) A la cantidad se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no se puede
asignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asigna un valor a .

(4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado , es una función de alguna variable y
entonces permanece indefinida.

En general decimos que toda función tiene un numero infinito de antiderivadas, ya que a cada
Antiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria para obtener otra Antiderivada.

4


Métodos de Integración

VIRGINIO GOMEZ
Regla de Integración.
La obtención de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar la función cuya
derivada es una de las formas normales.

Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de Integrales Inmediatas que deben ser
memorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades básicas de la integración.

Propiedades:
1.La integral de una Constante: Sea la función

2.La integral de una función y una constante. Sea la función

3.Sea

Integrales Inmediatas
Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde es una constante de integración.

1.

2.

3. ; con

4.

5.

6.

5


Para funciones trigonométricas

VIRGINIO GOMEZ
7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

Para funciones trigonométricas inversas

19. 20.

Otras integrales

21. 22.

23. 24.

6


Ejemplos resueltos de integración aplicando las reglas básicas de integración.

VIRGINIO GOMEZ
1.

2.

3.

4.

Ejemplos propuestos.

1. 2.

3. 4.

5.

Solución
1.

2.

3.

4.

5.

7


Integración Por Cambio De Variables (Integración por sustitución)

VIRGINIO GOMEZ
Definición:
Este método consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata. Para ello se
utiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada.

¿Cuándo se utiliza?

Sea una función, la cual no puede ser integrada directamente debido a su complejidad, es
decir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradas en forma directa.

Para resolver este problema se utiliza una variable auxiliar y la función cambia de variable,
para posteriormente ser integrada en forma directa.

Cambio de Variable:
x Sea
dx u x2 2 du 2 xdx
x2 2

Por lo tanto: , redefiniendo la integral en términos de la nueva variable tenemos:

Ejemplos resueltos: Integración por cambio de variables

Caso de la función exponencial:

1. Donde:

Para la variable inicial

8


2.

VIRGINIO GOMEZ
Sea: Entonces


Nota: Cada vez que aparezca una función exponencial como en los casos anteriores, el
candidato a variable auxiliar es el exponente

3.

Sea:


Caso del logaritmo natural:

1.

Donde


9


2.

VIRGINIO GOMEZ
Donde:


Nota: en el caso del logaritmo natural la variable auxiliar será el denominador siempre que
se cumpla con la condición

Caso de funciones trigonométricas con argumento:

1.

Sea:


2.

Sea:

10


Entonces:

VIRGINIO GOMEZ

Nota: en las funciones trigonométricas el candidato a variable auxiliar es el ángulo siempre
que su derivada sea consistente con los otros términos.

Caso de la regla de la cadena:

1.

Sea:

Entonces:


2.

Donde:
/ Factorizando por


11


Ejemplos propuestos: Integración por cambio de variables.

VIRGINIO GOMEZ
1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Solución

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

12


Miscelaneos: Resuelva las siguientes integrales:

VIRGINIO GOMEZ
1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

13


VIRGINIO GOMEZ
35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

14


Soluciones

VIRGINIO GOMEZ

15


VIRGINIO GOMEZ

16


VIRGINIO GOMEZ

17


Integración Por Partes.

VIRGINIO GOMEZ
¿Cuándo se usa?
Cuando una función que no puede ser integrada por cambio de variables, la podemos
resolver por partes a través de otra integra. Antes veremos una fórmula fundamental para este tipo de
integración.

La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones y es:

Reordenando los términos:

Aplicando el operador integral:

Tenemos:

Esta es la fórmula fundamental para la integración por parte. Esta fórmula sugiere el hecho de que
cuando deseamos calcular la integral del tipo , podrá realizarse en función de una integral diferente

del tipo: .

Definición:
Sea una función que no puede ser integrada por cambio de variable. Para integrar esta
función se puede utilizar la siguiente formula:

Ejemplo aclaratorio:
La formula es
udv uv vdu
Primero se debe elegir u y dv.
x senxdx
La idea es dejar en la integral la más directo o
vdu
menos complicado que la integral original

u x du dx

dv sen xdx v cos x v sen xdx ver formulario de integrales

18


Aplicando la fórmula de integración por partes:

VIRGINIO GOMEZ
udv uv vdu

x sen xd x x cos x ( cos x ) dx

xcox cos xdx
Por fórmula tenemos:
cos xdx sen x C

x cos x sen x c

Algunos de los casos más usuales son

a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, sólo se conoce de él su
derivada. Para resolverla se asigna a este factor y a lo restante

Ejemplos

19


VIRGINIO GOMEZ
Por lo tanto,

b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitución
simple y uno de ellos es una potencia de . Para esta situación es la potencia y lo restante.

Ejemplos

20


VIRGINIO GOMEZ

21


VIRGINIO GOMEZ
c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitución
simple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso la elección de es arbitraria, pero debe
conservarse la característica de la función elegida para en todas las integrales que deban desarrollarse por
parte en el ejercicio.

Ejemplos

Se resolverá primero considerando

Se resolverá ahora considerando

22


VIRGINIO GOMEZ
Este ejemplo muestra que la elección de es absolutamente arbitraria.

23


VIRGINIO GOMEZ
Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.

Si las integrales a resolver son del tipo:

Si la integral , es:

24


Ejemplos propuestos con respuesta.

VIRGINIO GOMEZ
1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

25


Solución

VIRGINIO GOMEZ
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

26


Integración de Potencias de funciones trigonométricas.

VIRGINIO GOMEZ
¿Cuándo se usa?
Cuando las integrales son del tipo trigonométricas de la siguiente forma:

La integración de potencias de funciones trigonométricas requiere de técnicas especiales. Para lo
cual se consideran los siguientes casos:

Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos.

En este caso se separa el factor de la potencia impar, teniendo presente la equivalencia
trigonométrica de ambas funciones: . Se tiene dos casos:

Caso 1: Sí ó o ambos son enteros positivos impares.

Si es impar, factorizamos y expresamos la potencia par restante del , en
potencias del usando la identidad:

Si es impar, factorizamos y expresamos la restante potencia par de en
potencias de , utilizando la identidad:

Ejemplo para impar:

Para y

Resolver:

Expresando la potencia del en términos del , usando la identidad trigonométrica
Entonces:

27


VIRGINIO GOMEZ
Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.

Sea:

Por lo tanto:

Para la variable

Ejemplo para impar:

Resolver

En este caso la potencia impar es el , por lo tanto se debe factorizar el y expresarlo
en términos del usando la identidad trigonométrica.

Tenemos:

Resolviendo por variable auxiliar, sea: . Por lo tanto:

28


VIRGINIO GOMEZ
. En términos de la variable

Ejemplo para y impares:

Resolver

En este caso se elige la menor potencia impar par transformar, es decir, se expresa la potencia del
en términos del y se usa la identidad trigonométrica
Entonces:

Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.

Sea:

Por lo tanto:

Para la variable

29


Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos (o uno de ellos es ceros).

VIRGINIO GOMEZ
En este caso debe reducirse a potencia de primer grado, haciendo uso de las fórmulas del ángulo medio:

Ejemplo para par:
Resolver

Ejemplo para par:
Resolver

Usando la identidad trigonométrica: . Entonces:

30


Ejemplo para y par:

VIRGINIO GOMEZ
Resolver

Usando la identidad trigonométrica:

Usando la identidad trigonométrica: . Entonces:

Por lo tanto:

31


También este ejercicio se puede resolver usando las identidades trigonométricas:

VIRGINIO GOMEZ
;

Resumen:
Sea una variable auxiliar, entonces:

Si:
Si:

Transformación Trigonométrica:

m o n Impares

Potencia del Potencia de
Seno Coseno
m:Impar n:Impar
Factorizar por: Factorizar por:

Cambiando las Cambiando las
potencias de: potencias de:

Usando: Usando

32


VIRGINIO GOMEZ
m y n Pares

Potencia del Seno
Coseno son pares bien m o n cero
myn
Si m n :Par Para
Reducir a potencia
Usar TT:
haciendo uso de

Si m n:Par
Idem usar: Para
Usar TT:

TT: Transformación trigonométrica

Para integrales del tipo:

Usar la transformación:

Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente.

Se tienen dos casos:

Caso1: Si es un entero positivo par (La potencia de la es par)

Se debe factorizar por y cambiamos las a , utilizando la identidad
trigonométrica.

Ejemplo resuelto: es par:

1.

Factorizando por :

33


VIRGINIO GOMEZ
Transformando las potencias restantes de la secante a tangente, usando la transformación
trigonométrica:

Sea la variable auxiliar: . Entonces

=

. En términos de la variable

Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)

En este caso se debe factorizar por y cambiamos las restantes potencia par de la
a , utilizando la identidad trigonométrica.

Ejemplo resuelto: La potencia de la tangente es impar ( es impar).

1.

Factorizando por

Cambiando las restantes potencia de la tangente a secante, usando la transformación
trigonométrica.

Por lo tanto:

34


VIRGINIO GOMEZ
Usando variable auxiliar: , en consecuencia:

; en términos de la variable

¿Qué sucede si la potencia de la secante es par ( es par) y la potencia de la tangente es
impar ( es impar)?

Ejemplo resuelto: cuando es par y es impar

Sea la siguiente integral:

1. Resolviendo por el lado de la potencia par de la secante, se debe factorizar por ,
transformando las restantes potencias de la secante a tangente usando la transformación trigonometría:

Sea la variable auxiliar:


35


2. Resolviendo por el lado de la potencia impar de la tangente, se debe factorizar por ,

VIRGINIO GOMEZ
transformando las restantes potencias de la tangente a secante, usando la transformación trigonométrica:

Sea la variable auxiliar:


36


Resumen:

VIRGINIO GOMEZ
Sea la variable auxiliar, entonces:

Si:
Si:

Transformación trigonométrica:

Potencia de Potencia de
Tangente Secante
m:impar n:par
Factorizar por: Factorizar por:

potencias de: potencias de:

Usando: Usando:

Potencia de Tangente
m:par y potencia de Secante
n: impar
Cambiar la Cambiar la
potencia par: potencia impar

Usando: Usando:

Resolver Resolver

m n
entero positivo entero positivo
Si n:par
Usar TT:
Usar TT:

Si n:impar
Se usa la integración por partes

37


Tipo C: Integración de Monomios Cosecante y Cotangente.

VIRGINIO GOMEZ
Se trabaja en forma análoga al caso anterior. Tenemos:

Sea la variable auxiliar, entonces:

Si
Si

Transformación trigonométrica:

Potencia de Potencia de
Cotangente Cosecante
m: Impar n:Par
Factorizar por: Factorizando por:

potencias de potencias de

Usando: Usando:

Ejemplo resuelto.

1.

Factorizando por:

Cambiando las restantes potencias de , usando la transformación trigonométrica

Usando variable auxiliar:

38


VIRGINIO GOMEZ
; en términos de

2.

Factorizando por:

Cambiando las restantes potencias de , usando la transformación trigonométrica:

Usando variable auxiliar:

; en términos de

39


Ejemplos propuestos:

VIRGINIO GOMEZ
1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13.

40


Solución

VIRGINIO GOMEZ
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

41


Sustitución Trigonométrica.

VIRGINIO GOMEZ
¿Cuándo se usa?
Este tipo de sustitución se usa cuando en el integrado aparecen expresiones de la forma:

Donde: y

Generalmente se podrá simplificar la integral por sustitución trigonométrica. En la mayoría de los
casos la sustitución apropiada sugerida elimina el radical y deja en condiciones de integrar.

El método de sustitución trigonométrica para resolver la integrales se simplifica si se acompaña la
sustitución con un triángulo rectángulo.

Analizando cada uno de los casos tenemos los siguientes cambios de variable:

Resumen Por Sustitución Trigonométrica.

Sea: y :

Caso 1: Para el integrado de la forma:

Si en el integrado aparece la expresión radical de la forma:

a
u

a2 u2

42


Por identidad trigonométrica

VIRGINIO GOMEZ
Luego

Al reemplazar en el radical se obtiene:

Ejemplos:

Obs.: Si existiera más términos en función de la sustitución también tendrá que hacerse.

El triángulo que acompaña a esta expresión es el siguiente:

2 3x

4 9x 2
Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

43


VIRGINIO GOMEZ
Como , entonces

Luego, de la figura podemos ver:

De la identidad tenemos:

En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:

44



VIRGINIO GOMEZ

Luego, de la figura podemos ver:

En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:

45


VIRGINIO GOMEZ

2 3x

4 9x 2

; como

46


Del triángulo asociado a la expresión podemos ver que:

VIRGINIO GOMEZ
De la identidad trigonométrica: . Entonces:

Caso 2: Si tenemos radical de la forma

a2 u2
u

a

Por identidad trigonométrica

Luego


47


Ejemplos:

VIRGINIO GOMEZ
El triángulo asociado es:

Por lo tanto:

; pero

Integral que se resuelve por partes, cuya solución es:

48


Por lo tanto:

VIRGINIO GOMEZ
Del triángulo asociado, tenemos que:

Por lo tanto:

El triángulo asociado es:

49


Por lo tanto:

VIRGINIO GOMEZ
pero

La integral inmediata de: . Entonces:

Del triángulo determinamos que:

Finalmente:

50


Caso 3: Si tenemos radical de la forma

VIRGINIO GOMEZ
u u2 a2

a

Por iedentidad trigonométrica

Luego


51


Ejemplos:

VIRGINIO GOMEZ

u 3
a 4x

u2 a2 16 x 2 9

Por lo tanto:

; como

; usando

52


Del triángulo:

VIRGINIO GOMEZ
Por lo tanto:

2

El triángulo que acompaña a esta expresión:

Por lo tanto:

53


VIRGINIO GOMEZ
como:

Del triángulo asociado, se tiene: y

En consecuencia:

54


Ejemplos propuestos:

VIRGINIO GOMEZ
1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

55


Solución

VIRGINIO GOMEZ
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

56


Funciones Racionales

VIRGINIO GOMEZ
¿Cuándo se utiliza?

Para integrar cualquier función racional del tipo , cuando y son polinomios de
grado y respectivamente.

Sea la siguiente integral formada por la función racional (El cuociente de dos polinomios
en la variable )

Donde:

es el grado de
es el grado de

Si el grado de , es decir , entonces debe realizarse la división de polinomios
(división sintética) cuyo cuociente es de integración inmediata y cuyo resto R se descompone
mediante Fracciones Parciales.

Por lo tanto va a interesar la integración de funciones de la forma: . Para lo cual
debemos descomponer la función de la forma en fracciones parciales.

Después de que ha sido factorizado en productos de factores lineales y cuadráticos, el
método para determinar fracciones parciales depende de la naturaleza de dichos factores.

Considerando varios casos por separado, tenemos:

Caso 1:
Los factores de son todos lineales y ninguno se repite.

En este caso la fracción parcial a escribir es:

Donde: son constantes que se van a determinar.

57


Ejemplos de integración por fracciones parciales.

VIRGINIO GOMEZ
Factorizando el denominador:

Planteando la fracción parcial correspondiente:

Donde los valores de y han de calcularse de forma tal que la igualdad sea valida para todo
sacando factor comun,

llegamos a la ecuación básica siguiente:

Podemos determinar las constantes de dos maneras:

1. Método general: Consiste en igual los coeficientes de potencias identicas de y resolver

Sea:

Resolviendo:

2. Método Abreviado: Dado que la identidad es valida para todo , tenemos:

Evaluando para:

58


VIRGINIO GOMEZ
Por lo tanto: y

Por cualquiera de los métodos tenemos:

Entonces:

Caso 2:
Los factores de son todos lineales y algunos están repetidos.
Supongamos que el factor es un factor que se repite veces.

a este factor le corresponde la suma de fracciones parciales dada por:

Donde: son constantes que se van a determinar.

Ejemplos resueltos

59


VIRGINIO GOMEZ
Desarrollando:

1. Método abreviado:

Sea:

Para

Para

Para

Resolviendo:

2. Método General:

Sea:

Igualando los coeficientes de potencias identicas, tenemos:

Resolviendo:

60


Por lo tanto:

VIRGINIO GOMEZ
Entonces:

Caso 3:
Los factores de son lineales y cuadráticos de la forma . Ninguno de los
factores cuadráticos se repite.

Por cada factor cuadrático no factorizable y que no se repite, le corresponde la fracción parcial
dada por:

Ejemplo resuelto:

La ecuación básica es:

1. Método general:

Sea:

61


Resolviendo:

VIRGINIO GOMEZ
2. Método abreviado:

Sea:

Para:

Para:

Para:

Por lo tanto:

Tenemos:

Luego:

62


Caso 4:

VIRGINIO GOMEZ
Los factores de son lineales y cuadráticos, y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Si es un factor cuadrático no factorizable de que se repite veces, entonces le corresponde
la siguiente descomposición en fracciones parciales:

Ejemplo:

La ecuaciones básicas:

Desarrollando:

1. Método General:

Sea:

63


Ejemplos propuestos: VIRGINIO GOMEZ
Factorizar las siguientes funciones (fracciones parciales) y evaluar la integral indefinida.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

64


Solución

VIRGINIO GOMEZ
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

65


Autoevaluación

VIRGINIO GOMEZ
Resuelva las siguientes Integrales

.

.

.

66


Solución

VIRGINIO GOMEZ

67


VIRGINIO GOMEZ

68


VIRGINIO GOMEZ

69


VIRGINIO GOMEZ

70


UNIDAD N°2: Integral Definida

VIRGINIO GOMEZ
Interpretación de la integral definida:
Sea una función continua en el intervalo [ ], cuya gráfica es:

y

y = f(x)

A

x
a b

Sea una región del plano comprendida entre la función , el eje , las rectas y

Nuestro interés esta en el siguiente problema:

Como calcular el área de la región achurada en los límites planteados:

y y
y = f(x)

A
A

x x
0 a b

Para evaluar el área bajo la curva se realiza el siguiente proceso:

1.Dividir el intervalo [ ] en un cierto número de subintervalos, no necesariamente iguales.
Sea los punto de subdivisión

71


y y

VIRGINIO GOMEZ
y = f(x) y = f(x)

A ......... .........

x x
0 a b
a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b

donde:

- Los intervalos no tienen necesariamente la misma longitud
- El primer intervalo esta dado por: tal que:
- Longitud de cada subintervalo es:

para el 1er subintervalo
para el 2do subintervalo
para el 3er subintervalo
para el 4to subintervalo

para el -ésimo subintervalo

para el -ésimo subintervalo

2.Cada subintervalo forma un rectángulo de base y altura
Donde:
es decir esto es

y
y
y = f(x) f(cn)
f(ci)
y = f(x)

f(ci)

A ......... .........

x
0 a b x
0
a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b

c1 c2 ci cn

72


3.Calculando el área de cada rectángulos formados por los subintervalos de base

VIRGINIO GOMEZ
y altura

.

Sumando el área de todos los rectángulos formados, tenemos una buena aproximación deseada del
área bajo la curva de la función en el intervalo y las rectas

Área Región

Área de la Región:

Debemos notar que:

-A medida que el número de intervalos aumenta, la aproximación será aun mejor.
-Cuando el número de subintervalos tiende a infinito , es equivalente a decir que la
longitud de los subintervalos (este intervalo es un infinitesimal)

A partir de este concepto se define el área bajo la curva de una función como la integral
definida de la función desde hasta .

Área de la Región: lim

Este límite corresponde a lo que se denomina INTEGRAL DEFINIDA, se expresa como:

Por lo tanto: El área bajo la curva entre y , se evalúa como la integral definida de la
función entre los limites de integración y .
y

y = f(x)

b
Área de la Región f ( x)dx
a

El Área de la región se define como la
integral definida de la función f ( x)
Area de la Región
entre los puntos a y b.
x
0 a b

Donde : La función es el integrado
Los números y son los límites de integración inferior y superior.
La letra es la variable de integración

73


Propiedades generales de la integral definida

VIRGINIO GOMEZ
(1) Intercambiando los límites de una integral cambia el signo al frente de la integral.

(2) La integral de una región se dividirá en la suma de cualquier numero de integrales, cubriendo
cada una de ellas una porción de la región.

(3) Valoración de una integral definida:

En general para continua en un intervalo de integración , son validas las
propiedades básicas de la integral indefinida. Así tenemos:

(1) constante

(2)

Ejemplo: Resolver las integrales definidas.

(1) Resolver

Desarrollo:

74


VIRGINIO GOMEZ
(2) Resolver

Desarrollo:

(3) Resolver

Desarrollo:

Sea

Evaluando los límites de integración

75


VIRGINIO GOMEZ
(4) Resolver

Desarrollo

Sea

Como se hace un cambio de variable se deben cambiar lo límites de integración

Para

Para

22

10

Otro camino es resolver la integral como indefinida y finalmente evaluar

Así,

76


VIRGINIO GOMEZ
(5) Resolver

Desarrollo

Para

Para

Así,

77


Ejemplos propuestos con respuestas.

VIRGINIO GOMEZ
Evaluar las siguientes integrales definidas

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

78


Solución

VIRGINIO GOMEZ
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

79


Areas en Coordenadas Cartesianas

VIRGINIO GOMEZ
Debido a la interpretación geométrica de la integral definida, es posible en cálculo de áreas planas.

1. Área entre una curva y el eje :

Al realizar este cálculo se debe tener presente que la integral definida representa el área encerrada
por la curva el eje en un intervalo definido [ , ]

Ejemplos resueltos: Determinar el área de la región acotada

1.Determinar el área de la región acotada por la curva entre Graficar.

2. Determinar el área encerrada por entre los límites y . Graficar

80


VIRGINIO GOMEZ

81


3. Determinar el área encerrada por entre los límites y . Graficar

VIRGINIO GOMEZ

82


4. Determinar el área de la región limitada por la curvas: en el intervalo . Graficar

VIRGINIO GOMEZ
y
1 3
y x 2
4

y=2

x
o
x=1 x=5

83


5.Determinar el área encerrada por la función , el eje y las rectas y

VIRGINIO GOMEZ
Por cambio de variable:

Entonces:

84


6. Determinar el área limitada por el eje y la función en el intervalo 3 , 8 . Gráfica

VIRGINIO GOMEZ
Integrando por partes:

Sea

Por lo tanto,

85


VIRGINIO GOMEZ
7. Determinar el área limitada por la función , el eje y las rectas y .
Graficar:

y
f x ex

A
1
0 x=1,5 x=3,2 x

86


8.Determinar el área de la región dada por la función y las rectas , con el

VIRGINIO GOMEZ
eje .
y

1
f x
x 1

x
0 1 x= 2 x= 5
-1

Resolviendo por variable auxiliar. Sea

Entonces,

Por lo tanto,

9.Determinar el área de formada con el eje y la función en el intervalo cerrado 0 , .

87


VIRGINIO GOMEZ

88


Areas positivas y negativas

VIRGINIO GOMEZ
Sea una función continua en el intervalo , cuya curva esta dada por:

Supongamos que deseamos calcular el área en el intervalo de la región formada por y .

Debemos notar que la región esta por encima del eje y es positiva mientras que la segunda
región se halla por debajo del eje y es negativa.

Por lo tanto, si integramos en el intervalo esta dará un cantidad positiva para la región y
una cantidad negativa para la región , por lo que el integrado en intervalo de a producirá la suma
algebraica de esta dos regiones, es decir ( ).

Normalmente interesa la CANTIDAD total de área ( ) y no la suma algebraica, por lo
tanto, para asegurar que la región sea positiva empleamos el concepto de valor absoluto de tal forma
que el área total esta dada por:

este resultado será ahora la suma de las dos regiones achuradas, en vez de la diferencia de las regiones que
se obtendría al integrar entre y .

Ejemplo: Determinar el área de la región limitada.

Determinar el área encerrada por la función en
y y 3x 2

A2

A1

x
-2 2 5
3

89


VIRGINIO GOMEZ
Determinar el punto entre las áreas positivas y negativas implica resolver la ecuación

Luego,

Areas simples entre curvas

Sea y dos funciones, tales que y dos áreas positivas.

Tenemos los siguientes casos particulares:

90


1)Area entre curvas y donde y

VIRGINIO GOMEZ
o bien podemos escribir:

2)Áreas entre curvas ( ). Donde: y

91


Teorema: Area de una región entre dos curvas

VIRGINIO GOMEZ
En general si y son continuas en y , para todo en , entonces
el área de la región limitada por la gráfica de las funciones y y las rectas y queda
definida de la siguiente forma:

Ejemplos:Hallar el área de una región entre dos curvas

1. Hallar el área de la región limitada por las gráfica de , , entre y
respecto eje y respecto eje
y
f x x2 2

x
0 x=1

g x x

Sea y , podemos ver que para todo en . Por
tanto el área la podemos calcular como:

Respecto eje

92


Respecto eje

VIRGINIO GOMEZ
Observación: Toda área calculada respecto eje y eje debe dar por resultado el mismo valor
numérico.

2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y respecto eje
y respecto eje
y
g x x

x
x=-2 x=1

f x 2 x2

De la gráfica podemos ver que y tiene dos puntos de intersección. Para hallar las
coordenadas de estos puntos, igualamos con y despejamos

93


Por tanto: y . Dado que para todo en , entonces el área la

VIRGINIO GOMEZ
podemos calcular:

Respecto eje

Respecto eje

94


3. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de e respecto eje

VIRGINIO GOMEZ
y respecto eje
y
f y y 1

x=-1 x
x=2

g y 3 y2

Si consideramos y , estas dos curvas se cortan en e .
Puesto que en este intervalo, entonces el área la podemos calcular:

Respecto eje

Respecto eje

95


Ejemplos propuestos con respuestas.

VIRGINIO GOMEZ
1)Calcular el área de la región dada por: y .

Calcular el área de la región dada por: y .

Determinar la región acotada por las dos curvas. Graficar. y .

Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de y
. Graficar.

Calcular el área acotada por respecto del eje y respecto del eje ..

Determinar el área acotada por las curvas:

Evaluar el área acotada por las funciones:

Determinar el área acotada respecto del eje por las funciones: , en el
intervalo:

96


VIRGINIO GOMEZ
Solución

Eje X : Eje Y:

97


Ejemplos resueltos de areas simples y entre curvas

VIRGINIO GOMEZ

98


VIRGINIO GOMEZ
Puntos de intersección

recta parábola

99


VIRGINIO GOMEZ

100


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
1.Encontrar el área bajo la curva de las siguientes funciones y graficar.

a)

b)

c)
d)
e)

f)

g)

h)
i)
j)
k)

2.Calcular el área encerrada por las siguientes funciones y graficar

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
ñ)

101


Solución

VIRGINIO GOMEZ
1.-

a) b)

c) d)

e) f)

h)

21
i) 2 j)
2

k)

2.-
a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

ñ)

102


Volumen de Sólidos en Revolución.

VIRGINIO GOMEZ
¿Qué es un sólido de revolución?
Un sólido de revolución es generado al girar una región plana en torno a una recta, llamada el
eje de revolución (o de rotación), en el plano, este eje de revolución puede ser vertical o horizontal. El
sólido de revolución generado interesa evaluar su volumen.

Sea un función continua en un intervalo donde . Donde es una
región del plano limitada por , el eje , las rectas y . Esta región puede girar en
torno a una recta vertical o en torno a una recta horizontal generando un sólido de revolución.
Gráficamente:

Eje de giro horizontal (eje )
y y

y = f(x) y = f(x)

Región Región
A A

x x
x=a x =b x=a x =b

Eje de giro Vertical (eje )

y y

y = f(x) y = f(x)

A
A

x=a x=b x x=a x =b x

El volumen de un sólido de revolución se puede calcular por uno de los siguientes
procedimientos.

- Método de los discos

- Método de los anillos
Con frecuencia uno de los métodos es preferible al otro, dependiendo del eje de giro de la región .

103


Método del disco

VIRGINIO GOMEZ
¿Cuándo se usa?

Presenta mayores ventaja cuando la región de giro es en torno del eje o a una recta paralela
al eje

Sea la región del plano limitada por , el eje , las rectas y ., que gira
entorno al eje generando un sólido de revolución, el cual deseamos calcular su volumen.

y y
Rectángulo
representativo
y = f(x)
y = f(x)
Región
A f(x)

x x
x=a x =b x=a x =b
x

Para calcular el volumen de este sólido en revolución consideremos un rectángulo
representativo de esta región plana. Donde:

x
f(x)

Eje de giro (Eje x)
f(x)

2
V f x x
Eje de giro (Eje x)
x

Cuando hacemos girar este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco
representativo cuyo volumen es:

Si aproximamos el volumen total del sólido de revolución por de tales discos entre y .
Tenemos:

104


VIRGINIO GOMEZ
Volumen del sólido

Tomando el límite cuando . Tenemos:

Volumen del sólido

Por lo tanto:

Cuando el eje de revolución es el eje y la frontera superior de la región plana viene dada por
una curva entre y , el volumen del sólido de revolución viene dado por

Como también lo podemos escribir

Análogamente, cuando el eje de rotación de la región es el eje , donde un lado de la región
plana esta dado por la curva entre e . El volumen del sólido de revolución es:

Eje de giro Vertical (eje y)

y y

y =d x =g(y) y =d x =g(y)
A

y =c A
y =c
x =b x x

105


Caso especial: Cuando el eje de rotación es paralelo al eje , pero distinto al eje :

VIRGINIO GOMEZ
Sea una función que gira sobre una eje horizontal ; una constante.

y [ f(x) – k]

f(x) 0

y=k
k
x
x=a x x =b

Por lo tanto: El volumen del solido de revolución esta dado por:

Extensión del método de los discos:

Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero):

El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución generados
por dos funciones, tales como y . Se tienen los siguientes casos:

Caso 1: Rotación en torno al eje . Sea y

y [ f (x ) – g (x ) ]

f (x ) 0

g (x ) 0

x
x = a x x =b

106


Por lo tanto, el volumen del solido de revolución esta dado por:

VIRGINIO GOMEZ
Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al eje .

Sea y y consideremos al eje de rotación ; con una
constante.

y [ f(x) – g(x)]

f(x) 0

g(x) 0
x

x=a x =b y=k
k
x

Por lo tanto, el volumen del solido de revolución esta dado por:

Análogamente se presentan los mismos casos cuando el eje de rotación es paralelo y distinto del
eje . (estudiar)

107


Ejemplos resueltos método de los discos - eje de giro

VIRGINIO GOMEZ
Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada en torno al eje , por la
gráfica de:

1. , el eje , en

y y 2x 3

f(x)

x
x =1 x =4
x

108


2. , el eje , en

VIRGINIO GOMEZ
y

y x2 1

f(x)

x
x=-1 x =1
x

Ejemplos resueltos método de los discos- eje de giro eje

Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada con el eje , y la función
, en y . Eje de giro eje .

y

y x2 1

y f(y)

x
x =1 x= 5

109

Calculo 2

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