prueb

1. Universidad de Chile
Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a
Departamento de Ingenier´ Industrial
ıa
IN34A: Clase Auxiliar
Dualidad y An´lisis de Sensibilidad
a
Marcel Goic F.1
1
Esta es una versi´n bastante preliminar por lo que puede contar con numerosas faltas de ortograf´ y
o ıa
errores no forzados. Si encuentran alguno favor de denunciarlo a mgoic@ing.uchile.cl

2. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 1
1. Una brev´
ısima introducci´n.
o
Encontrar el ´ptimo de un problema de optimizaci´n, es solo una parte del proceso de
o o
soluci´n. Muchas veces nos interesar´ saber como var´ la soluci´n si var´ alguno de los
o a ıa o ıa
par´metros del problema que frecuentemente se asumen como determin´
a ısticos, pero que
tienen un caracter intr´
ınsicamente aleatorio. M´s especificamente nos interesar´ saber para
a a
que rango de los par´metros que determinan el problema sigue siendo valida la soluci´n
a o
encontrada.
Otro aspecto interesante es el tema de dualidad. Dualidad resulta de buscar relaciones que
permitan obtener informaci´n adicional de un problema de optimizaci´n general. Esto, tra-
o o
ducido a PL nos conduce a relaciones primal-dual. Adem´s veremos algunos teoremas utiles
a ´
de dualidad y el concepto de precio sombra.
2. Acerca de Dualidad
Todo problema de optimizaci´n (primal), tiene un problema asociado (dual) con numerosas
o
propiedades que los relacionan y nos permiten hacer un mejor an´lisis de los problemas. A
a
continuaci´n se describen los resultados que se ocupar´n en la resoluci´n de los problemas.
o a o
2.1. Construcci´n del problema dual
o
Bastante en general, para encontrar el dual de un problema lineal:
1. Si es problema de minimizaci´n el dual ser´ de maximizaci´n y viceversa.
o a o
2
2. En el dual habr´ tantas variables como restricciones
a en el primal.
3. En el dual habra tantas restricciones como variables en el primal.
4. Los coeficientes de la funci´n objetivo del dual vendr´n dados por los coeficientes del
o a
lado derecho de las restricciones del primal.
5. Los coeficientes del lado derecho del dual vendr´n dados por los coeficientes de la
a
funci´n objetivo del primal.
o
6. Los coeficientes que acompa˜ar´n a las variable en una restriccion del dual correspon-
n a
der´n a aquellos coeficientes que acompa˜an a la variable primal correspondiente a la
a n
restriccion dual 3 .
7. Para saber si las restricciones duales son de ≤, = ´ ≥, se recurre a la tabla de relaciones
o
primal-dual.
2
Suponemos restricciones l.i
3
O si se prefiere, los coeficeintes ser´n el resultado de transponer la matriz A de coeficientes
a

3. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 2
8. Para saber si las variables duales son ≤ 0, = 0 ´ ≥ 0, se recurre a tabla de relaciones
o
primal dual.
Relaciones Primal-Dual
Estas relaciones nos permiten pasar de un problema de primal a su dual en forma bastante
algor´
ıtmica, tanto para problemas de minimizaci´n como de maximizaci´n.
o o
´ ´
PROBLEMA DE MINIMIZACION PROBLEMA DE MAXIMIZACION
Restricciones Variables
≥ ≥0
= Irrestricta
≤ ≤0
Variables Restricciones
≥0 ≤
Irrestricta =
≤0 ≥
2.2. Algunos teoremas de dualidad
Consideremos el siguiente par primal-dual:
(P ) m´ın z = c·x (D) m´x
a w = y·b
t
s.a A · x ≥ b s.a A · y ≤ c
xi ≥ 0 yi ≥ 0
Teorema D´bil de Dualidad
e
Si x e y son factibles para (P ) y (D) respectivamente, entonces z(¯) ≥ w(¯).
¯ ¯ x y
Teorema Fundamental de Dualidad4
Dados un par de problemas primal-dual, si uno de ellos admite soluci´n ´ptima, en-
o o
tonces el otro tambien la admite y los respectivos valores ´ptimos son iguales.
o
Teorema de Holgura Complementaria
 
α1·
 α2· 
Sea β·1 β·2 · · · β·n =  .  una matriz de m filas y n columnas.
 
 . 
.
αm·
Sea el par primal-dual siguiente:
4
Tambi´n conocido como teorema fuerte de dualidad
e

4. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 3
(P ) m´ın z = c·x (D) m´x
a w = y·b
s.a αi · x ≥ bi s.a βj · y ≤ cj
xi ≥ 0 yi ≥ 0
Sean x e y soluciones factibles para los problema (P) y (D) respectivamente. x e y son
¯ ¯ ¯ ¯
o
´ptimos si y solo si:
i) (αi · x − bi ) · yi = 0
¯ ¯ i=1,...,m.
ii) (cj − y · βj ) · xj = 0
¯ ¯ j=1,...,n.
Obs:Notar que (αi · x − bi ) y (cj − y · βj ) son las variable de holgura de los problemas
¯ ¯
(P) y (D) respectivamente.
2.3. Acerca de los precios sombra
Los valores de las variables duales en el ´ptimo tienen una interpretaci´n econ´mica intere-
o o o
sante en problemas de programaci´n lineal: Corresponde a las tasas marginales de variaci´n
o o
del valor de la funci´n objetivo ante variaciones unitarias del lado derecho de una restricci´n.
o o
Por este motivo se le llama precio sombra al vector de variables duales en el ´ptimo.
o
3. Acerca de sensibilidad
Como ya se dijo, nos interesa ver como se ve afectada la soluci´n de un problema de opti-
o
mizaci´n si cambia alguno de los par´metros del problema. En este ´mbito, podemos distin-
o a a
guir 2 tipos de an´lisis:
a
Analisis de sensibilidad: Consiste en determinar cual es el rango de variaci´n de los
o
par´metros del problema de modo que la base ´ptima encontrada siga siendo ´ptima.
a o o
Analisis post optimal: Consiste en determinar como var´ la base ´ptima si cambia
ıa o
alguno de los par´metros del problema.
a
En la presente sesi´n nos concentraremos en an´lisis de sensibilidad dejando el an´lisi post
o a a
optimal para un poco mas adelante.
Consideremos la forma estandar siguiente:
(P ) m´ın z = c·x
s.a A · x = b
x ≥ 0

5. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 4
Sea B la base ´ptima. Nos interesa estudiar el rango de variaci´n de los parametros c y b de
o o
5
modo que B siga siendo ´ptima .
o
Variaci´n en el parametro b.
o
Buscamos el rango en el que puede tomar valores b de modo que la base B siga siendo
o
´ptima. Para ello debemos verificar:
1. Factibilidad: xB = B −1 b ≥ 0
2. Optimalidad: cR = cR − cB B −1 R ≥ 0
¯
Como en la ecuaci´n 2. no hay dependencia explicita de b, no impone condiciones y
o
por tanto solo debemos verificar 1.
Variaciones en el parametro c
Buscamos el rango en el que puede tomar valores c de modo que la base B siga siendo
o
´ptima. Para ello debemos verificar:
1. Factibilidad: xB = B −1 b ≥ 0
2. Optimalidad: cR = cR − cB B −1 R ≥ 0
¯
Como en la ecuaci´n 1. no hay dependencia explicita de b, no impone condiciones y
o
por tanto solo debemos verificar 2. Notemos que al variar un coeficiente de cj a cj e
ˆ
imponer la condici´n 2. surgen dos casos:
o
• Caso 1: variable xj es no b´sica.
a
−1
cj = cj − cB B βj
¯ ˆ cambia.
−1
ck = ck − cB B βk
¯ no cambia (i = j).
Por lo tanto s´lo tenemos que imponer 1 ecuaci´n: la de costo reducido asociado
o o
a variable que cambi´.
o
• Caso 2: variable xj es b´sica.
a
−1
ck = ck − cB B βk
¯ ¯ ˆ puede cambiar ∀ k.
Por lo tanto, no basta con examinar una unica ecuaci´n y se debe inspeccionar
´ o
todas las ecuaciones de costo reducido. As´
ı:
◦ Si cambia cj de variable no b´sica se impone cj ≥ 0.
a ¯
◦ Si cambia cj de variable b´sica se impone ck ≥ 0 ∀ xk no b´sica.
a ¯ a
5
En rigor, tambien podr´ interesarnos estudiar otras situaciones como por ejemplo variaciones en los
ıa
coeficientes de la matriz A, o que pasar´ si agregamos una nueva variable, etc. Sin embargo, por el momento
ıa
s´lo estudiaremos estos 2 casos cl´sicos
o a

6. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 5
4. Problemas
4.1. Problema 1
Una florista sabe hacer solo 2 tipos distintos de arreglos florales (x1 y x2 ) para los
cuales dispone de 3 tipos distintos de flores: rozas, tulipanes e ibizcos. Los requerimientos
de flores para cada arreglo, la disponibilidad de flores y los precios de cada arreglo vienen
dados por:
FLORES x1 x2 DISPONIBILIDAD
Rozas 3 1 300
Tulipanes 1 1 140
Ibizcos 1 3 300
PRECIO 2000 1000 -
1. Formule un PPL que resuelva el problema de maximizaci´n de ingresos por ventas
o
sujeto a la disponibilidad de recursos.
2. ¿Cual es el problema dual asociado? ¿Que situaci´n podr´ estar optimizando?
o ıa
3. Usando el teorema de holgura complementaria, encuentre el ´ptimo del problema dual
o
sabiendo que el ´ptimo primal viene dado por (x1 = 80, x2 = 60).
o
4. Suponga que retorna frustrado despu´s que una bella dama le cerrara la puerta cuando
e
usted le llevaba amablemente una rosa, un tulip´n y un ibizco 6 . Si se encuentra con
a
la florista, ¿Cuanto cree que estar´ dispuesta a pagar ella por sus flores?
ıa
Soluci´n
o
1. A estas alturas del curso, todos debieran de poder modelar un problema tan sencillo
como este por lo que ahorrar´ comentarios:
e
m´x z = 2000x1 + 1000x2
a
s.a 3x1 + x2 ≤ 300
x1 + x2 ≤ 140
x1 + 3x2 ≤ 300
x 1 , x2 ≥ 0
6
Dependiendo el caso, puede alternativamente imaginar que es usted una bella dama quien cerr´ la puerta
o
a un apuesto varon sin antes haberse quedado con las flores :)

7. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 6
2. Para encontrar el dual, procedemos como se describi´ en la introducci´n teorica de esta
o o
clase aplicando las relaciones de dualidad:
m´ w = 300y1 + 140y2 + 300y3
ın
s.a 3y1 + y2 + y3 ≥ 2000
y1 + y2 + 3y3 ≥ 1000
y 1 , y2 , y3 ≥ 0
Esta formulaci´n resuelve el problema de un agente externo que quiere saber que precio
o
unitario ofrecer por cada una de las flores si quiere comprarle todas las flores a la
florista. As´ y1 , y2 e y3 son los precios asociados a las rozas, tulipanes e ibizcos.
ı,
3. La florista ha encontrado su combinaci´n ´ptima (¯1 = 80, x2 = 60). Sabemos que en el
o o x ¯
o
´ptimo se cumple el teorema de holgura complementaria. Entonces, podemos aplicarlo:
a) (3¯1 + x2 − 300) · y1 = 0
x ¯ ¯
b) (¯1 + x2 − 140) · y2 = 0
x ¯ ¯
c) (¯1 + 3¯2 − 300) · y3 = 0
x x ¯
d ) (2000 − 3¯1 − y2 − y3 ) · x1 = 0
y ¯ ¯ ¯
e) (1000 − y1 − y2 − 3¯3 ) · x2 = 0
¯ ¯ y ¯
Como x1 = 80 y x2 = 60, se tiene que:
¯ ¯
a) ⇒ y1 ∈ R
¯
b) ⇒ y2 ∈ R
¯
c) ⇒ y3 = 0
¯
d ) ⇒ 3¯1 + y2 = 2000
y ¯
e) ⇒ y1 + y2 = 1000
¯ ¯
Resolviendo el sistema:
y1 = 500
¯ y2 = 500
¯ y3 = 0
¯
Notar que z(¯) = w(¯) = 220000
x y
¿Como se interpreta esto?. La florista vender´ rosas y tulipanes a un precio de $500
a
cada una y entregar´ como oferta los ibizcos gratis, pero esto solo si se vende todo
a
como un paquete. Esto toma sentido pues si vende todas las rosas y tulipanes (dado
que solo sabe hacer los arreglos florales descritos) no podr´ sacarle provecho alguno a
a
los ibizcos.

8. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 7
4. Asumiendo los paradigmas de competencia perfecta7 , la florista ofrecer´ por las flores
a
una cantidad identica a lo que ella ganar´ por ellas. Este valor viene dado nuevamente
ıa
por los ´ptimos duales o precios sombras:
o
y1 = 500
¯ y2 = 500
¯ y3 = 0
¯
En efecto y para reforzar lo dicho, en el ´ptimo se tendr´ que:
o a
z ∗ = cB B ∗ −1 b − cR xR
¯
no b´sica
a
∗
= π b− cR · xR
¯
no b´sica
a
Entonces
∂z ∗
= cB B ∗ −1 = πi
·i
∗
∂bi
4.2. Problema 2
Considere el cl´sico problema de combinaci´n de productos sujeto a restricciones de disponi-
a o
bilidad de recursos:
m´x z = x1 + 3x2
a
s.a x1 + 4x2 ≤ 100
x1 + 2x2 ≤ 60
x1 + x2 ≤ 50
x 1 , x2 ≥ 0
1. Realice un an´lisis de sensibilidad para el vector del lado derecho de las restricciones.
a
2. Realice un an´lisis de sensibilidad para el vector de coeficientes de la funci´n objetivo.
a o
3. Suponga que se evalua la posibilidad de fabricar un nuevo producto xnuevo de modo
que el problema queda descrito como
m´x z = x1 + 3x2 + xnuevo
a
s.a x1 + 4x2 + 5xnuevo ≤ 100
x1 + 2x2 + 3xnuevo ≤ 60
x1 + x2 + 2xnuevo ≤ 50
x1 , x2 , xnuevo ≥ 0
7
Es decir, que el precio de transacci´n de un bien es tal todos los agentes quedan indiferentes
o

9. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 8
¿Sigue siendo ´ptima la soluci´n anteriormente planteada?
o o
Hint: En el ´ptimo, la base esta formada por las variables x1 , x2 y x5 , en donde se
o
han asignado las variables x3 , x4 y x5 como holgura de las restricciones seg´n el orden
u
enunciado.
Soluci´n
o
Antes de cualquier cosa, pasamos a forma estandar:
m´ z = −x1 − 3x2
ın ˜
s.a x1 + 4x2 + x3 = 100
x1 + 2x2 + x4 = 60
x1 + x2 + x5 = 50
x 1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ≥ 0
De la indicaci´n.
o
x1 x2 x5  
1 4 0 −1 2 0
B ∗ = 1 2 0 ⇒ B ∗ −1 =  1/2 −1/2 0 
1 1 1 1/2 −3/2 1
1. Ante variaciones de b, ya dijimos que solo tenemos que verificar factibilidad:
  
−1 2 0 b1
B ∗ −1 · b =  1/2 −1/2 0   b2  ≥ 0
1/2 −3/2 1 b3
Un an´lisis general nos conducir´ a un espacio de soluciones en R3 . Sin embargo,
a ıa
lo usual es analizar la variaci´n de la disponibilidad de un recurso dejando los otros
o
constantes (ceteris paribus).
b1 :
    
−1 2 0 b1 −b1 + 120
 1/2 −1/2 0   60  =  b1 − 30  ≥ 0
2
b1
1/2 −3/2 1 50 2
− 40
Entonces, la inecuaci´n vectorial nos entrega 3 inecuaciones escalares que final-
o
mente imponen que:
80 ≤ b1 ≤ 120

10. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 9
b2 :
    
−1 2 0 100 −100 + 2b2
 1/2 −1/2 0   b2  =  50 − b22 ≥0
1/2 −3/2 1 50 50 − 3b2 + 500
2
Entonces, la inecuaci´n vectorial nos entrega 3 inecuaciones escalares que final-
o
mente imponen que:
200
50 ≤ b2 ≤
3
b3 :
    
−1 2 0 100 −100 + 120
 1/2 −1/2 0   60  =  50 − 30  ≥ 0
1/2 −3/2 1 b3 50 − 90 + b3
Entonces, la inecuaci´n vectorial nos entrega s´lo una inecuaci´n con dependencia
o o o
de b3 , la que nos dice que:
b3 ≤ 40
2. Como ya se argument´, ahora solo nos preocuparemos de la condici´n de optimalidad:
o o
−1
cR = cR − cB B R ≥ 0. Al igual que el caso anterior, se estudiar´ la sensibilidad de
¯ a
los parametros independientemente.
c1 : x1 es b´sica, entonces tenemos que considerar todos los costos reducidos.
a
(¯3 , c4 ) = (c3 , c4 ) − (c1 , c2 , c5 )B −1 R
c ¯
  
−1 2 0 1 0
= (0, 0) − (−c1 , −3, 0)  1/2 −1/2 0  0 1 
1/2 −3/2 1 0 0
 
−1 2
= (0, 0) − (−c1 , −3, 0)  1/2 −1/2 
1/2 −3/2
= −(c1 − 3/2, −2c1 + 3/2) ≥ (0, 0)
Entonces
3/4 ≤ c1 ≤ 3/2

11. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 10
c2 : x2 tambien es b´sica y por lo tanto tenemos que considerar todos los costos
a
reducidos.
(¯3 , c4 ) = (c3 , c4 ) − (c1 , c2 , c5 )B −1 R
c ¯
  
−1 2 0 1 0
= (0, 0) − (−1, −c2 , 0)  1/2 −1/2 0   0 1 
1/2 −3/2 1 0 0
 
−1 2
= (0, 0) − (−1, −c2 , 0)  1/2 −1/2 
1/2 −3/2
c2 c2
= −(1 − , −2 + ) ≥ (0, 0)
2 2
Entonces
2 ≤ c2 ≤ 4
Obs:An´lisis para c3 , c4 y c5 no tienen sentido para este problema pues las vari-
a
ables asociadas son las de holgura. De todas formas, el procedimiento es an´logo
a
(con la diferencia que cuando es variable no b´sica podr´ hacerse menos calcu-
a ıan
los).
3. Adelantando un poco, este problema cabe dentro de an´lisis post optimal pues vere-
a
mos cual es nuevo ´ptimo para una variaci´n dada del los parametros del problema.
o o
Claramente la incorporaci´n de este nuevo producto, como no se esta produciendo
o
(xnuevo = 0), no viola la factibilidad del problema. Luego, s´lo tenemos que verificar la
o
o
´ptimalidad:
  
−1 2 0 5 1 0
(¯nuevo , c3 , c4 ) = (−1, 0, 0)(−1, −3, 0)  1/2 −1/2 0   3 0 1 
c ¯ ¯
1/2 −3/2 1 2 0 0
= −(3, 1/2, 1/2) ≥ (0, 0)
.·. La base sigue siendo ´ptima.
o
Obs: En mas de alguna parte habr´n le´ que dualidad es una poderosa herramienta de
a ıdo
an´lisis de sensibilidad y post optimal, pero sin embargo nunca la hemos usado con esos
a
propositos. En efecto, la parte 3. de este problema es equivalente a la verificaci´n de una
o
unica condici´n dada por la restricci´n dual asociada a la nueva variable xnuevo :
´ o o
5¯1 + 3¯2 + 3¯3 ≥ 1
y y y
y1 , y2 e y3 son los valores ´ptimos del problema original y se determinan a partir de la
¯ ¯ ¯ o
soluci´n primal.
o

12. IN34A: Optimizaci´n
o Pag. 11
4.3. Problema 3
Comente acerca de la veracidad o falsedad de las siguientes aseveraciones:
1. Si un problema de programaci´n lineal es infactible su dual es necesariamente no aco-
o
tado.
2. Si conozco la soluci´n ´ptima de un PPL, tengo inmediatamente el valor de la funci´n
o o o
objetivo ´ptima del problema dual asociado sin necesidad de utilizar el teorema de
o
holgura complementaria.
3. Si conozco los precios sombra de un problema de programaci´n lineal puedo reconstruir
o
directamente la soluci´n (primal) de este problema.
o
4. El precio sombra de toda restricci´n inactiva es cero.
o
5. Hacer an´lisis de sensibilidad corresponde a utilizar la informaci´n dada por la resolu-
a o
ci´n de un PPL para ver como seri´ la nueva soluci´n si var´ alguno de los par´metros
o a o ıa a
del problema.
Soluci´n
o
1. Falso ya que el problema dual puede ser infactible.
2. Verdadero porque se tendra que el valor de la funci´n objetivo dual ´ptima coin-
o o
cidir´ con el valor de la funci´n objetivo primal ´ptima.
a o o
3. Verdadero pues el vector de precios sombras es el vector de variables duales ´ptimas.
o
Luego, puedo aplicar el teorema de holgura complementaria para recuperar la soluci´n
o
primal.
4. Verdadero. Basta aplicar el teorema de holgura complementaria. Otra forma de verlo
es a trav´s de un problema de producci´n (combinaci´n de productos): Al aumentar
e o o
marginalmente la disponibilidad de un recurso sobre el cual tenemos holguras, no nos
aporta ning´n aumento de los beneficios.
u
5. Falso. Eso corresponder´ a an´lisis post optimal. An´lisis de sensibilidad estudia las
ıa a a
condiciones que deben darse sobre los par´metros para que la soluci´n siga siendo
a o
o
´ptima.