1. CONCEPTOS BASICOS
DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES.
 GERARDO JESUS DELGADO GUZMÁN
REG. 831067

2. QUE SON LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las
matemáticas .El algebra es suficiente para resolver muchos
problemas estáticos pero los fenómenos naturales mas
interesantes implica cambios y se describes solo por medio
de ecuaciones que relacionen las cantidades que cambian
Puesto que la derribada dx/dt=f(t) de la función f es la razón
a la cual la cantidad x=f(t)esta cambiando con respecto a la
variable independiente t, es natural es natural que las
ecuaciones que incluya derivadas se usen con frecuencia
para descubrir el universo cambiante
Editorial: prentice hall Autor. Henri Edwards David E.
Penney

3. Que es orden
 El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP)es el orden de la mayor derivada en la ecuación
. Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden algunas veces son escritas en la forma
deferencial M(x,y)dx+N(x,y) dy=0. por ejemplo si
suponemos que y denota la variable dependiente
en (y-x)dx+4xdy=0, entonces y’=dy/dx por lo que el
dividir por el diferencial dx, obtenemos la forma
alterna 4xy’+y=x.
 Simbólicamente podemos expresar una ecuacio
diferencia ordinaria de n-esimo orden con una
variable dependiente por la forma general

4. A que se le llama grado
 Ecuaciones de primer grado con una incógnita
 La resolución de problemas algebraicos se basa en el
concepto de ecuaciones equivalentes. Esta idea
tiene particular aplicación en el caso de las
ecuaciones lineales o de primer grado en las que sólo
existe una incógnita (normalmente denotada por x),
siempre en el numerador de los términos y elevada
al grado 1. Un ejemplo de ecuación de primer grado,
con una incógnita sería 3x + 5 = 4 × (1 - x) ++ 2x.
 Para resolver las ecuaciones de primer grado con
una incógnita, se emplea un procedimiento genérico

5. Clasificación y tipos de
orden de grado
 Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO): Esta ecuación diferencial
contiene derivadas
 de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable
independiente
 Ecuación Diferencial Parcial (EDP): Esta ecuación diferencial contiene
derivadas
 parciales de una o más variables dependientes, respecto a dos o más
variables independientes,
 Ecuación Diferencial Lineal (EDL): Esta ecuación diferencial tiene dos
características
 que la distinguen del resto:
 a. La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.
 b. Los coeficientes de la variable y y de sus derivadas dependen sólo de la
variable
 independiente x, o bien son constantes.

6. Solución particular
 La solución particular atenderá a la porción de la ecuación no considerada en
el
 sistema homogéneo, la parte formada por el término independiente
 y la perturbación aleatoria et. El procedimiento total de resolución comprenderá
pues
 las siguientes etapas:
 1. Identificar la ecuación homogénea y encontrar las “n” soluciones homogéneas
 posibles a la misma, es decir, encontrar la llamada solución general homogénea.
 2. Encontrar una solución particular.
 3. Formar la solución completa como suma de la homogénea y particular.
 4. Eliminar las constantes arbitrarias imponiendo una serie de condiciones
 iniciales.

7. Solución general
 una solución de tipo genérico, expresada con una
o más constantes. La solución general es un haz
de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo
a su cantidad de constantes .En caso de que la
ecuación sea lineal, la solución general se logra
como combinación lineal de las soluciones
(tantas como el orden de la ecuación) de la
ecuación homogénea (que resulta de hacer el
término no dependiente de y(x) ni de sus
derivadas igual a 0) más una solución particular
de la ecuación completa.

8. Interpretación geométrica
 La solución de una ecuación diferencial es una
curva y = y(x) en el plano,
 llamada curva integral de la ecuación. La ecuación
determina la pendiente (derivada) de esa
 curva en cada punto (x; y) del plano, es decir su
dirección. Por lo tanto una ecuación diferencial
 determina un campo de direcciones . Todos los
vectores son unitarios para reflejar que se trata de
un campo de direcciones.

9. Trayectorias ortogonales
 Son las curvas que se interceptan formando
Angulo recto. Si una familia de curvas tiene la
ecuación F(x,y,y’)=0 la ecuación diferencial de
las trayectorias ortogonales a ella, es otra
familia

10. Existencia e unidad
 Sea dada una ecuación diferencial donde la función está definida en un recinto D
del plano XOY que contiene el punto Si la función satisface a las condiciones:
 es una función continua de dos variables x e y, en el recinto D;
 admite derivada parcial continua con respecto de x e y en el recinto D, entonces,
existe una, y sólo una, solución de la ecuación dada que satisface a la condición .
 La condición se llama condición inicial.
 El problema de la búsqueda de la solución de la ecuación que satisface la
condición inicial , lleva el nombre de Cauchy.
 Geométricamente esto significa que se busca la curva integral que pasa por el
punto dado del plano XOY
 El teorema expresa las condiciones suficientes para la existencia de solución
única del problema de Cauchy para la ecuación pero estas condiciones no son
necesarias. Precisamente, puede existir una solución única de la ecuación que
satisface a la condición , a pesar de que en el punto no se cumpla la condición a)
o la condición b), o estas condiciones simultáneamente.

11. Campo direcional
 La terna (x,y, y’) determina la dirección de
una recta que pasa por el punto (x,y), el
conjunto de estos dos segmentos de la recta
es la representación geométrica del campo
direccional

12. Fuentes
 Person Addison ecuaciones diferenciales
 Prentice Hall C.Henry Edwards
http://www.uam.es/personal_pdi/economicas
/rmc/doctorado/DIFERENCIAS.PDF