Ecuaciones diferenciales

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
I.U.P ``Santiago Mariño``
Sede- Barcelona
Matemática IV
Profesor:
Pedro Beltrán
Bachiller:
Kactherine González
C.I. 26.520.832

2. INTRODUCCION
Decimos ecuación diferencial a toda ecuación que relacione una o más
variables independientes, una función de dichas variables y una o varias
de sus derivadas con respecto a ellas. "usando solo hay una variable
independiente se denomina ecuación diferencial ordinaria', mientras que
si hay más de una variable independiente y derivada parcial respecto de
ellas recibe el nombre de ecuación diferencial en derivadas parciales .
La importancia de las ecuaciones diferenciales reside en el hecho de que
muchas leyes de la naturaleza, tanto en física, como en química o como
en biología, encuentran su expresión más natural en términos de
ecuaciones diferenciales.
Sus aplicaciones se entienden incluso a la matemática sobre todo a la
geometría', la ingeniería, la economía, la sociología. La razón ultima de
esta ubicuidad de las ecuaciones diferenciales es que las derivadas
expresan tasas de cambio, y una buena parte de las leyes que encontramos
en las mencionadas disciplinas expresan relaciones entre una función y
sus tasas de cambio.

3. Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de
una variable, como en la ecuación.
Aquí x es la variable y las derivadas son con respecto a una segunda
variable t. Las letras a, b, c y d se toman aquí como constantes. Esta
ecuación podría describirse como una ecuación diferencial lineal, de
segundo orden, con coeficientes constantes. Es de segundo orden
debido al orden mas alto de derivadas presentes, lineal porque ninguna
de las derivadas están elevadas a ninguna potencia y los factores
multiplicando las derivadas son constantes. Si fuera x la posición de
un objeto y t el tiempo, entonces la primera derivada es la velocidad, la
segunda la aceleración, y esta podría ser una ecuación describiendo el
movimiento de un objeto. Como se muestra, también se dice que esta
es una ecuación no homogénea, y al resolver problemas físicos, uno
debe considerar también la ecuación homogénea.

4. Tipos de soluciones
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la
función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica
la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
Solución general
La solución general es una solución de tipo genérico, expresada con una o más
constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su
cantidad de constantes. En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general
se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la
ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no
dependiente de ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la
ecuación completa.
Solución particular
Fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solución de
la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva
integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución
particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición
inicial.

5. Tipos de
Ecuaciones
 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Una ecuación que involucra a una variable independiente
x, una función y (x)y una o varias derivadas dey(x).

6. Nomenclatura de una Ecuación
Diferencial Ordinaria
• Como la función T= T(t) es de una sola variable, la ecuación se denomina
ecuación diferencial ordinaria, (EDO).
• Puesto que que sólo hay derivada de primer orden esta ecuación se
denomina EDO de primer orden.
• El valor C se conoce como constante arbitraria, resultado de la integral
indefinida, que comporta una familia de funciones.
• La solución que conlleva la constante arbitraria C, se llama solución
general.
• En el caso de que se conozcan los valores iniciales del tiempo t y de la
temperatura T, se obtiene una solución particular, a partir de la solución
general.

8.  Ecuaciones en Derivadas Parciales
Una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) es una
relación de la forma.
F(x,t,u,∂x1u,...∂xnu, ∂tu,...,Dαu) = 0.
En ella u = u(x,t), una función de la variable espacial x= (x1,...,xn) ∈ Rny
de la variable temporal t ,es la incógnita.
La incógnita u representa una cantidad física, como por ejemplo,
temperatura, concentración de un contaminante, intensidad de una señal
acústica, deformacion de una estructura, etc.

10.  Ecuaciones Diferenciales Lineales
La palabra lineal en el nombre de la ecuación se refiere al
hecho de que la variable dependiente ya parece en la
ecuación elevada solo ala primera potencia.

12. Ecuación diferencial Cuasi lineal
Una ecuación diferencial cuasi lineal es un caso especial de la ecuación
diferencial lineal. En este tipo de ecuación diferencial, la función indefinida y
sus diferenciales pueden aparecer juntos para todos los términos excepto para
los términos que contienen el diferencial de más alto orden. Esta es de la forma
Ecuación diferencial no lineal
Las ecuaciones diferenciales que no se ajustan a las condiciones antes
mencionadas son llamadas ecuaciones diferenciales no lineales. Esto significa
que una ecuación diferencial no lineal contiene los términos donde la variable
dependiente de su diferencial aparecen juntos.

13. Ejemplo de ecuación cuasi lineal

14. Ejemplo de ecuación no lineal
Existen ecuaciones no lineales que se pueden reducir a una ecuación lineal, por
ejemplo la ecuación de Bernoulli
En donde n es un numero real cualquiera. Para n ≠ 0 y n ≠ 1, la sustitución w =
y1-n lleva a una ecuación lineal de la siguiente manera. Derivamos
Que es la ecuación que necesitamos resolver.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
1
𝑥
𝑦 − 𝑥𝑦2
Podemos identificar que y que n = 2 luego se tiene

15. Integrando obtenemos 𝑥−1
𝑤 = −𝑥 + 𝑐 → 𝑤 = −𝑥2
+ 𝑐𝑥
El factor integrante de esta ecuación es x-1 con
lo que
𝑑
𝑑𝑥
𝑥−1
𝑤 = −1
Como

17. Las ecuaciones diferenciales se describen por su orden, determinado por el
término con derivadas de mayor orden. Una ecuación que contiene solo
derivadas simples es una ecuación diferencial de primer orden, una
ecuación que contiene hasta derivadas segundas es una ecuación diferencial
de segundo orden, y así sucesivamente
 Orden de Ecuación Diferencial

18. Ejemplos de Orden

19. Se llama grado de la ecuación diferencial al
máximo exponente al que se encuentra elevada
la máxima derivada
Es conveniente señalar que la solución general de una ecuación
diferencial de primer orden vendrá dependiente de una constante
indeterminada, en el caso de las de segundo orden dependerá de dos
constantes, tres para las de tercer orden, etc.
Solución general.
Es toda función
Y=f(x) que al sustituirla en la ecuación diferencial
F(x, y, y’,...)=0 la convierte en una identidad.
A veces, también es llamada Integral general.
 Grado de Ecuación Diferencial

20. Ejemplo:
Supongamos la ecuación diferencial de segundo orden (grado 1):
Como pronto veremos, su solución general puede ser expresada en la forma:
y(x) = C1 sen x + C2 cos x
comprobemos que esto en efecto es así:
y" = -C1 sen x - C2 cos x
al sustituir estos resultados de y", y en la ecuación diferencial, nos
encontramos con la identidad:
0=0
lo cual nos asegura que esta y(x) es en efecto la solución general.

22. Ejemplos:

23. Separación de Variables
Las ecuaciones diferenciales de variables separables son ecuaciones del tipo:
Se resuelven separando las variables e integrando ambos
miembros de la igualdad.
ecuación diferencial de variables separables:

24. En el primer paso, se escribe la derivada de la función y con notación diferencial.
En el segundo, se separa cada variable, x e y, y sus respectivos diferenciales en cada
miembro de la igualdad.
Y en el tercero, se integra cada miembro de la igualdad respecto a la variable de su
diferencial.
Aunque se realizan dos integrales indefinidas, englobamos en la constante C las que
resultarían de cada integral.
Hemos llegado a una solución de la ecuación diferencial de variables separables
donde la función y(x) aparece en forma implícita pero debemos tener presente que
no siempre será posible aislar y(x). En este caso podemos hacerlo y procedemos a
encontrar la expresión forma explícita, no obstante tendremos en cuenta que a las
sucesivas constantes que van apareciendo en el proceso para aislar y, les iremos
llamando de nuevo C.

25. Ecuación diferencial homogénea.
Una ecuación g(x,y) es homogénea de grado n en sus variables independientes, si se
satisface la igualdad
g(rx,ry) = rng(x,y), siendo n un número entero no negativo.
Por ejemplo h(x,y) =x2y +3xy2- y3 es una función homogénea de tercer grado
puesto que
h(rx,ry) = (rx)2ry+3rx(ry)2- (ry)3 = r3(x2y +3xy2- y3) = r3h(x,y).
En el caso de n= 0, se tiene una ecuación de grado cero.
Por ejemplo:
g(x,y)=2x3- x2y/ 3x3 + 2x2 y es una función homogénea de grado cero; ya que se
verifica que
g(rx, ry) = 2(xr)3- (rx)2ry/ 3(rx)3 + 2(rx)2ry =
=r3(2x3- x2y)/r3(3x3 + 2x2y) =
= 2x3- x2y/ 3x3 + 2x2y= g(x,y)

26. Ecuación diferencial ordinaria homogénea
Una ecuación diferencial ordinaria de la forma dy/dx = g(x,y) se denomina
homogénea si g(x,y) es una función homogénea de grado cero.en sus dos variables
independientes.
La ecuación diferencial se puede expresar en la forma dy/dx = h(yx-1) (1).
Introduciendo una nueva función desconocida w= yx-1, la ecuación (1) se asimila a
la ecuación ordinaria con variables separables:
xdw/dx = h(w) -w.
Siempre que la ecuación diferencial venga indicada en la forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,
será homogénea cuando M(x,y) y N(x,y) sean funciones homogéneas del
mismo grado.

27. Ejemplo
Resolver la ecuación
xdy/dx = (4x2 - 4y2)0.5 + y.
Resolución. Dividiendo entre x resulta
dy/dx= 2(1-(y/x)2)0.5+(y/x)
dado que la ecuación diferencial es homogénea , efectuamos la sustitución
w = y/x o de otra manera, y = wx. En ese caso derivando resulta y´ =
xw´+w. Reemplazando y e y´ hallamos:
x dw/dx = 2(1-w2)0.5 siendo x > 0. Separando las variables:
dw/(1-w2)0.5 = 2dx/x. De donde integrando resulta
arc sen w = ln x2 + ln C0 o bien arcsen w = ln C0x2.
Usando la relación y = wx resulta
arcsen y/x = ln C x2

28. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Resolver la ecuación:
Resolución:
Para que la ecuación diferencial sea exacta
debe cumplir la condición.

29. Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial
exacta

30. Se Iguala las dos derivadas con respecto a y.

31. CONCLUSION
Las ecuaciones diferenciales se presentan como una herramienta
matemática para resolver problemas. En este nivel de la carrera el
estudiante tiene las bases matemáticas necesarias para comprender la
conexión de los conocimientos teóricos adquiridos, con problemas que
requieren una solución práctica en una amplia gama de disciplinas.

32. BIBLIOGRAFIA
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/ec_diferenciales.htm
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-
geo/node9.html
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-
geo/node3.html
https://www.google.com/search?q=ecuacion+diferencial+cuasilineal&
client=firefox-b-
d&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjb9MCHq5jhAhWk1
VkKHdEPA08Q_AUIDigB&biw=1280&bih=686#imgrc=fKYRd-
uAxBhDSM:
https://www.academia.edu/15497021/Ecua
cion_Diferencial_Orden_Grado_Linealidad