Presentacion prueba

1. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
ECUACIONES DIFERENCIALES
Conceptos B´asicos
Harvey Hern´andez Yomayusa
Escuela de Comunicaciones
March 5, 2017
Harvey Hern´andez Yomayusa Ecuaciones diferenciales

2. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Contenidos
1 Introducci´on
2 Definici´on
3 Caracter´ısticas de las E.D.
4 Clasificaci´on de las E.D.
5 Soluci´on de una E.D.
6 Ejemplos
7 Ejercicios
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3. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Contenidos
1 Introducci´on
2 Definici´on
3 Caracter´ısticas de las E.D.
4 Clasificaci´on de las E.D.
5 Soluci´on de una E.D.
6 Ejemplos
7 Ejercicios
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4. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Introducci´on
Estamos acostumbrados a trabajar ecuaciones algebraicas como:
x2 − 3x + 2 = 0
Como la Ley de Ohm:
V = iR
donde V es la diferencia de potencial entre 2 puntos en un circuito,
i la intensidad de corriente que circula y R la resistencia
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5. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Introducci´on
En el caso de la ca´ıda libre, un objeto se libera desde una altura
determinada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la acci´on
de la fuerza de gravedad. Podemos aplicar la segunda Ley al
objeto que cae, la cu´al establece que la masa de un objeto por la
aceleraci´on es igual a la fuerza total que act´ua sobre ´el.
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6. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Introducci´on
Matem´aticamente podemos representar la ca´ıda libre como:
F = ma
que equivale a:
−mg = m
d2h
dt2
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7. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Contenidos
1 Introducci´on
2 Definici´on
3 Caracter´ısticas de las E.D.
4 Clasificaci´on de las E.D.
5 Soluci´on de una E.D.
6 Ejemplos
7 Ejercicios
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8. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Ecuaci´on Diferencial (E.D)
En las ciencias y la Ingenier´ıa se desarrollan modelos para
comprender mejor los fen´omenos f´ısicos. Con frecuencia, estos
modelos producen una ecuaci´on que contiene algunas derivadas de
una funci´on inc´ognita. Esta ecuaci´on es una Ecuaci´on
Diferencial.
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9. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on de E.D.
Ecuaci´on Diferencial (E.D)
Una ecuaci´on diferencial (ED) es una ecuaci´on que involucra
derivadas de una funci´on desconocida de una o varias variables.
Ejemplo
Las siguientes son expresiones ejemplo de una ecuaci´on diferencial:
d2y
dx2
+ 3
dy
dx
− 2y = 0
dy
dt
= αy Conocida como Ley de crecimiento exponencial
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10. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Contenidos
1 Introducci´on
2 Definici´on
3 Caracter´ısticas de las E.D.
4 Clasificaci´on de las E.D.
5 Soluci´on de una E.D.
6 Ejemplos
7 Ejercicios
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11. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Caracter´ısticas
Cuando trabajamos con ecuaciones diferenciales es importante
tener en cuenta:
La soluci´on de una ecuaci´on diferencial es una funci´on como
A(t) o h(t), no solo un n´umero.
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12. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Caracter´ısticas
Cuando trabajamos con ecuaciones diferenciales es importante
tener en cuenta:
La soluci´on de una ecuaci´on diferencial es una funci´on como
A(t) o h(t), no solo un n´umero.
La integraci´on es una herramienta imprescindible para
solucionar ecuaciones.
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13. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Caracter´ısticas
Cuando trabajamos con ecuaciones diferenciales es importante
tener en cuenta:
La soluci´on de una ecuaci´on diferencial es una funci´on como
A(t) o h(t), no solo un n´umero.
La integraci´on es una herramienta imprescindible para
solucionar ecuaciones.
No se puede esperar una sola soluci´on de una ecuaci´on
diferencial, ya que existen constantes de integraci´on
arbitrarias.
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14. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Caracter´ısticas
Cuando trabajamos con ecuaciones diferenciales es importante
tener en cuenta:
La soluci´on de una ecuaci´on diferencial es una funci´on como
A(t) o h(t), no solo un n´umero.
La integraci´on es una herramienta imprescindible para
solucionar ecuaciones.
No se puede esperar una sola soluci´on de una ecuaci´on
diferencial, ya que existen constantes de integraci´on
arbitrarias.
Siempre que un modelo matem´atico implique una raz´on de
cambio de una variable con respecto a otra aparece una
ecuaci´on diferencial.
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15. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Contenidos
1 Introducci´on
2 Definici´on
3 Caracter´ısticas de las E.D.
4 Clasificaci´on de las E.D.
5 Soluci´on de una E.D.
6 Ejemplos
7 Ejercicios
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16. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Clasificaci´on de E.D.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en funci´on de:
Tipo
Orden
Linealidad
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17. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Clasificaci´on de E.D.
Clasificaci´on por tipo:
Si la funci´on derivada depende de solo una variable la
ecuaci´on se llama Ecuaci´on Diferencial Ordinaria(E.D.O).
dy
dx
= 2x y = 2x + y
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18. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Clasificaci´on de E.D.
Clasificaci´on por tipo:
Si la funci´on derivada depende de solo una variable la
ecuaci´on se llama Ecuaci´on Diferencial Ordinaria(E.D.O).
dy
dx
= 2x y = 2x + y
Si la funci´on derivada depende de m´as de una variable la
ecuaci´on se llama Ecuaci´on Diferencial Parcial.
∂u
∂x
−
∂u
∂y
= x − 2y
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19. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Clasificaci´on de E.D.
Clasificaci´on seg´un el orden:
El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden m´aximo de las
derivadas que aparecen en la ecuaci´on, as´ı:
Orden 1: y = 2x.
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20. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Clasificaci´on de E.D.
Clasificaci´on seg´un el orden:
El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden m´aximo de las
derivadas que aparecen en la ecuaci´on, as´ı:
Orden 1: y = 2x.
Orden 2:
d2y
dx2
+ x2 dy
dx
3
− 15y = 0.
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21. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Clasificaci´on de E.D.
Clasificaci´on seg´un el orden:
El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden m´aximo de las
derivadas que aparecen en la ecuaci´on, as´ı:
Orden 1: y = 2x.
Orden 2:
d2y
dx2
+ x2 dy
dx
3
− 15y = 0.
Orden 3: (y )4
− x2 (y )5
+ 4xy = xex
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22. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Clasificaci´on de E.D.
Clasificaci´on seg´un el orden:
El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden m´aximo de las
derivadas que aparecen en la ecuaci´on, as´ı:
Orden 1: y = 2x.
Orden 2:
d2y
dx2
+ x2 dy
dx
3
− 15y = 0.
Orden 3: (y )4
− x2 (y )5
+ 4xy = xex
Orden 4:
d4y
dx4
2
− 1 = x3 dy
dx
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23. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Clasificaci´on de E.D.
Clasificaci´on seg´un la linealidad:
Se dice que una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n es lineal
si se cumple:
1 La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer
grado; esto es, el exponente de todo t´ermino donde aparece y
es 1. Es decir F es lineal en y, y , y , ..., yn.
2 Cada coeficiente s´olo depende de x, que es la variable
independiente. Los coeficientes an, ..., a2, a1, a0 y g(x) son
funciones dependientes de x pueden ser o no lineales.
La expresi´on general de una ecuaci´on lineal es:
an(x)dny
dxn +an−1(x)dn−1y
dxn−1 +...+a2(x)d2y
dx2 +a1(x)dy
dx +a0(x)y = g(x)
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24. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Clasificaci´on de E.D.
Ejemplos:
1 (1 − x)dx + 4xdy = 0 Lineal, 1er orden
2 y − 2y + y = 0 Lineal , 2do Orden
3
d3y
dx3 + x dy
dx − 5y = ex Lineal, 3er Orden
4 (1 − y)y + 2y = ex No lineal el coeficiente depende de y
5
d2y
dx2 + seny = 0 No lineal la funci´on seno depende de y
6
d4y
dx4 + y2 = 0 No lineal la potencia de y es 2
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25. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Contenidos
1 Introducci´on
2 Definici´on
3 Caracter´ısticas de las E.D.
4 Clasificaci´on de las E.D.
5 Soluci´on de una E.D.
6 Ejemplos
7 Ejercicios
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26. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on de una E.D.
Una soluci´on de una ecuaci´on diferencial en la funci´on desconocida
f (x) y en la variable independiente x en el intervalo I, es una
funci´on f (x) que satisface la ecuaci´on diferencial id´enticamente
para toda x en I.
Ejemplo
La funci´on y = 3senx es soluci´on de la ecuaci´on diferencial
ordinaria de tercer orden:
4x d3y
dx3 + 2x2 d2y
dx2 − x3 dy
dx + 12xcosx + 3x3cosx + 6x2senx = 0
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27. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on de una E.D.
La ecuaci´on diferencial mas sencilla que existe es:
dy
dx = 0
Esto se debe a que:
y = a con a que ∈ R, es la soluci´on general.
y = 2 es una soluci´on particular.
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28. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Contenidos
1 Introducci´on
2 Definici´on
3 Caracter´ısticas de las E.D.
4 Clasificaci´on de las E.D.
5 Soluci´on de una E.D.
6 Ejemplos
7 Ejercicios
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29. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplos
Compruebe que la funci´on indicada sea una soluci´on de la ecuaci´on
diferencial correspondiente en el intervalo (−∞, ∞)
1
dy
dx
= xy
1
2 ; y = 1
16x4
2 y − 2y + y = 0 ; y = xex
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30. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Contenidos
1 Introducci´on
2 Definici´on
3 Caracter´ısticas de las E.D.
4 Clasificaci´on de las E.D.
5 Soluci´on de una E.D.
6 Ejemplos
7 Ejercicios
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31. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicios
En los ejercicios 1 al 10 establezca si la ecuaci´on diferencial es
lineal o no lineal. Indique el orden de cada ecuaci´on
1. (1 − x)y − 4xy + 5y = cosx
2. x d3y
dx3 − dy
dx
4
+ y = 0
3. (y2 − 1)dx + xdy = 0
4. udv + (v + uv − ueu)du = 0
5. t5y(4) − t3y + 6y = 0
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32. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicios
6. d2u
dr2 + du
dr + u = cos(r + u)
7. d2y
dx2 = 1 + (dy
dx )2
8. d2R
dt2 = − k
R2
9. (senθ)y − (cosθ)y = 2
10. d2y
dx2 + 5 dy
dx
3
− 4y = ex
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33. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicios
En los ejercicios 11 al 14 compruebe que la funci´on indicada es una
soluci´on expl´ıcita de la ecuaci´on diferencial dada
11. 2y + y = 0 ; y = e
−x
2
12. dy
dt + 20y = 24; y = 6
5 − 6
5e−20t
13. y − 6y + 13y = 0; y = e3x cos2x
14. y + y = tanx; y = −(cosx)ln(secx + tanx)
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34. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Respuestas
1. (1 − x)y − 4xy + 5y = cosx
R./ Lineal, 2do orden
2. x d3y
dx3 − dy
dx
4
+ y = 0
R./ No lineal ( dy
dx
4
), 3er Orden
3. (y2 − 1)dx + xdy = 0
R./ No lineal en y, lineal en x, 1er Orden
4. udv + (v + uv − ueu)du = 0
R./ No lineal en u, lineal en v, 1er Orden
5. t5y(4) − t3y + 6y = 0
R./ Lineal, 4o Orden
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35. Introducci´on
Definici´on
Caracter´ısticas de las E.D.
Clasificaci´on de las E.D.
Soluci´on de una E.D.
Ejemplos
Ejercicios
Respuestas
6. d2u
dr2 + du
dr + u = cos(r + u)
R./ No Lineal, 2do orden
7. d2y
dx2 = 1 + (dy
dx )2
R./ No Lineal, 2do orden
8. d2R
dt2 = − k
R2
R./ No Lineal, 2do orden
9. (senθ)y − (cosθ)y = 2
R./ Lineal, 3er orden
10. d2y
dx2 + 5 dy
dx
3
− 4y = ex
R./ No Lineal, 2do orden
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