1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden U.N.P.S.J.B. Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ing. Nilda E. Belcastro
2. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden ¿Qué es una ecuación diferencial? Una ecuación diferencial se trata de una relación entre una función, su variable independiente y las derivadas de dicha función, donde la función es la incógnita. Por ejemplo: Ing. Nilda E. Belcastro
3. Que es un ejemplo de ecuación diferencial Su derivada es: U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Si Ing. Nilda E. Belcastro
4.
5.
6. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 2) Ecuación diferencial parcial : Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes . Ejemplos: Ing. Nilda E. Belcastro
7. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Notaciones Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,... Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),... Notación de Newton: Notación de subíndice: ux, uy, uxx, uyy, uxy , … En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente: Ing. Nilda E. Belcastro
8. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación. Ejemplo: segundo orden primer orden Entonces es una ecuación diferencial de segundo orden. Ing. Nilda E. Belcastro
9. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Grado El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden , es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial. Ejemplo: La siguiente ecuación diferencial: es de tercer grado, dado que la primera derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada cubo. Ing. Nilda E. Belcastro
10. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Ejercicios Determinar el grado de las siguientes ecuaciones: a) b) cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial. Ing. Nilda E. Belcastro
11. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Ejercicios Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b) c) d) Ing. Nilda E. Belcastro
12. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden A veces se escriben las ecuaciones en forma diferencial Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente y x la independiente en la ecuación diferencial en forma diferencial: Ing. Nilda E. Belcastro
13. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Forma general de orden n de una ecuación diferencial: Forma normal de orden n de una ecuación diferencial : Por ejemplo, las formas general y normal de la ecuación diferencial son: Ing. Nilda E. Belcastro
14. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Clasificación según la linealidad: Se dice que una ecuación diferencial de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y (n) . O bien: primer orden segundo orden Ing. Nilda E. Belcastro
15. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Lineal homogénea : El término independiente g(x) es nulo. Lineal con coeficientes constantes : Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes. Lineal con coeficientes variables : Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante. Ing. Nilda E. Belcastro
16. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden En una ecuación diferencial lineal de orden n : 1) y , y ’, y ”, …, y(n) son de primer grado. 2) Coeficientes a0, a1, … , dependen solo de la variable independiente x . Ejemplos de Ecuaciones no lineales: El coeficiente depende de y . O función no lineal de y: Ing. Nilda E. Belcastro
17. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Ejemplo: Comprobar que la función indicada es la solución de la ecuación diferencial dada. (a) dy / dx = xy 1 /2 . Solución: y = x 4 /16. Solución : Existe la derivada dy/dx = x 3 /4 para todo x de (- , ). (a) Lado izquierdo : Lado derecho: Y la igualdad se cumple para todo x de (- , ). Ing. Nilda E. Belcastro
18. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Solución : (b) Derivando la solución dos veces: y' = x e x + e x y'' = x e x + 2 e x y(x) = 0 se conoce como solución trivial . Otro ejemplo: Ing. Nilda E. Belcastro
19. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Solución de una ecuación diferencial Llamamos solución de una ecuación diferencial a una función tal que al sustituirla en la ecuación reduzca a ésta a una identidad. O sea, posee al menos n derivadas y cumple : Ing. Nilda E. Belcastro
20. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Una ecuación diferencial puede tener: Infinitas soluciones: Una única solución: Ninguna solución: Ing. Nilda E. Belcastro
21. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden La solución general de una ecuación diferencial de orden n es una relación entre sus variables que contiene a n constantes arbitrarias linealmente independientes y satisface idénticamente la ecuación diferencial. Una solución particular de una ecuación diferencial es aquella que se obtiene de la solución general por medio de la asignación de valores específicos a las constantes arbitrarias que aparecen en tal solución. Solución general una ecuación diferencial Solución particular una ecuación diferencial Ing. Nilda E. Belcastro Cuando se resuelve una ecuación diferencial de orden n , se busca una familia no paramétrica de soluciones G ( x , y , c 1, c 2, …, cn ) = 0. F(x, y, y') = 0
22. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Ing. Nilda E. Belcastro Por ejemplo : y = cx – x cos x es la solución general de xy’ – y = x 2 sin x Tomando c = 0 , tenemos: y = x cos x que es una solución particular. La solución particular es una solución libre de parámetros arbitrarios.
23. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Ejemplo Comprobar que la y = x 2 + C no es solución de la ecuación diferencial: Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos: Por lo tanto y = x 2 + C no es solución de la ecuación diferencial dada. Solución Derivando y = x 2 + C tenemos Ing. Nilda E. Belcastro
24. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Ejercicios Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada: Ing. Nilda E. Belcastro
25. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Ejemplo: Encuentre la ecuación diferencial cuya solución general es y = x 2 + C. Solución S ólo tenemos una constante de integración, entonces derivamos una sola vez la solución general y = x 2 + C Nos queda Como en esta ecuación no aparecen constantes de integración, esta es la ecuación diferencial de la solución general presentada al inicio. Ing. Nilda E. Belcastro
26. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Ejemplo Encuentre la ecuación diferencial cuya solución general es y = C x 2. Por lo tanto: es la ecuación diferencial de la solución general, puesto que ya no aparecen constantes de integración. Solución Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = C x 2 . Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ecuación diferencial. Ing. Nilda E. Belcastro
27. U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden Ejercicios Encuentre la ecuación diferencial de las siguientes soluciones generales de Ing. Nilda E. Belcastro
