Se hace un recuento del famoso numero aureo atraves de la historia y las diferentes formas de presentacion

1. El Número Áureo a través del tiempo
Magister Jaime Bravo Febres
"Excepto las fuerzas ciegas de la naturaleza, no
se mueve nada en el mundo que no sea griego
en sus orígenes."
Sir Henry James Sumner Maine
Hace algunos años casualmente llegó a mis manos un libro atractivo e interesante titulado
“El Hombre que Calculaba” de Malba Tahan (que según posteriormente me enteré, que
Malba Tahan es el seudónimo de un profesor brasilero, llamado Júlio César de Mello e
Souza) en el que afirma que existe una forma matemática de la belleza: Dado un
segmento AB, podremos dividirlo en dos partes iguales o en dos partes desiguales; entre
las diferentes maneras de esta última existe una, y sólo una, satisfactoria estéticamente
denominada "división aúrea". Dicha fórmula está regida por ......., el "Número de Oro",
esta afirmación me condujo a indagar sobre el origen, propiedades y características de tal
número áureo; cuyos resultados me permito exponerlos a continuación.
Muchos estudiosos, como los pitagóricos, han afirmado y afirman que todo en la
naturaleza está sujeto al número (concepto de cantidad) y proporción (concepto de
relación entre cantidades), así los principios del cosmos, sus constantes expresadas
matemáticamente, se proyectan en el crecimiento armonioso de los seres vivos, en la
arquitectura y en el movimiento de los cuerpos celestes.
El número rige todo orden y toda belleza de manera tal que el estudio de las formas
parece evidenciar ciertas proporciones recurrentes; ideas que me han cautivado
profundamente y marcado un sendero a seguir en indagaciones de pretendidas
explicaciones matemáticas.
La influencia de Pitágoras, fue tan notable, que los más interesados de sus discípulos se
constituyeron gradualmente en una sociedad o hermandad. Se los conoció como la
Escuela Pitagórica. La particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las
matemáticas una clave para resolver el enigma del Universo y un instrumento para la
purificación del alma. Aristóteles sintetizó la labor de los pitagóricos con las siguientes
palabras: "Los Pitagóricos se dedicaron primero a las matemáticas, ciencia que
perfeccionaron y, compenetrados con ésta, imaginaron que los principios de las
matemáticas eran los principios de todas las cosas."
Todos los descubrimientos que la Escuela realizaba eran atribuidos al mismo Pitágoras,
por lo que resulta casi imposible diferenciar lo producido por él y lo elaborado por sus
alumnos. Entre los principales sucesores de Pitágoras se encontraban Hipaso, Filolao y
Arquitas. Más tarde, cuando los miembros de la sociedad se dispersaron, la regla del
silencio cayó en desuso y se divulgaron sus doctrinas. El primer libro lo escribió Filolao en
el 370 a.C. Sin embargo, la gloria de todos los descubrimientos que se realizaban seguían
siendo patrimonio de su fundador. Se cuenta que Teano hija de Milón (¿esposa de
Pitágoras?), al igual que el resto de los pitagóricos, sostenía que todos los objetos
materiales estaban compuestos por números naturales; sin embargo, fue la primera en
plantear la existencia del número áureo como esencia del universo. (Recientemente se

2. publicó el libro Mujeres, manzanas y matemáticas, de Xaro Nomdedeu Moreno -Nivola
Ediciones, Madrid, 2000- que presenta los aportes concretos de Teano a la ciencia
matemática.)
El número de oro o número áureo es el
primer número que se conoce como
irracional. La Escuela Pitagórica, cuyo
símbolo distintivo de la hermandad Pitagórica
era el pentágono regular estrellado, obtuvo el
número de oro como la razón existente entre
la diagonal y un lado de un pentágono
regular, (estudio de las proporciones y la
media geométrica).
Cuando los pitagóricos llegaron a la
conclusión de que esta razón no se podía
expresar como cociente de números enteros,
es decir, como un número racional, los
cálculos matemáticos se tambalearon y este
hecho les pareció tan contrario a todo lo
lógico que a este número lo llamaron
irracional.
En resumen: Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la
salud y a la belleza. En su libro Los elementos (300 a. C.), Euclides demostró la
proporción que Platón había denominado «la sección», y que más tarde se conocería
como «sección áurea». Ésta constituía la base en la que se fundaba el arte y la
arquitectura griegos; el diseño del Partenón de Atenas está basado en esta proporción.
En la Edad Media, la sección áurea era considerada de origen divino: se creía que
encarnaba la perfección de la creación divina. Los artistas del Renacimiento la empleaban
como encarnación de la lógica divina. Jan Vermeer (1632-1675) la usó en Holanda; pero,
años después, el interés por ella decreció hasta que, en 1920, Piet Mondrian (1872-1944)
estructuró sus pinturas abstractas según las reglas de la sección áurea.
Formulada de manera rigurosa por el Frayle Luca Paccioli en su obra La Divina Propor-
ción, dicha proporción era ya conocida en la antigüedad. Fue definida por Euclides como
"división de un segmento en su media y extrema razón". Es decir, que el segmento
menor, es al segmento mayor, como éste es a la totalidad de la recta. Cuya fórmula es:
a ab
 . No tiene expresión numérica racional, sino inconmensurable, dada por:
b a
1 5
= 1.61803398875… Se conoce como número de oro o número “Fi” (  ).
2
CÁLCULO DEL NÚMERO ÁUREO
Es hora pues que empecemos a calcular el tan misterioso número áureo, lo haremos por
comodidad primeramente en un segmento de longitud 1.

3. SEGMENTO ÁUREO:
En el segmento de la figura adjunta tomando
proporciones se tiene:
1 x x

x 1
de donde: x2  1  x , ecuación cuadrática, de la que tomando su raíz positiva se tiene:
1 5
x = 1.61803398875…, número al que se conoce como “número áureo”.
2
Nota: Al segmento de longitud “x” se le suele llamar segmento áureo.
EL RECTÁNGULO ÁUREO
Solo por cuestiones didácticas emplearemos un
rectángulo de dimensiones en la base: ”a + a 5 ” 2a
y de altura “2a” tal como se muestra en la figura
adjunta, tomemos pues ahora el cociente de la
base entre la altura, tal como: a+a 5
base a  a 5 a (1  5 ) (1  5 )
 =  = 1.61803398875… , número que recibe el
altura 2a 2a 2
nombre de “número de oro”.
Nota: Al rectángulo que cumple con las anteriores dimensiones se le conoce con el
nombre de rectángulo áureo.
C
EL PENTÁGONO ÁUREO
En la figura siguiente consideremos el pentágono 
regular de lado x inscrito en una circunferencia.
El ángulo central del pentágono regular es: L
360º D
 72º
5 
 
El ángulo  es un ángulo interior que subtiende 
un arco correspondiente a un ángulo central, por 
lo tanto mide: A x B
1
 = 72º = 36º
2
El ángulo  es también un ángulo interior y comprende un arco igual al que abarca , por
lo tanto tienen la misma medida, así:  =  = 36º

4. El ángulo  es interior y subtiende un arco doble que el que abarca de modo que:
 = 2 ·  = 72º
Por lo tanto:
 = 180º     = 180º  36º  72º = 180º  108º = 72º
 = 180º     =180º  72º  36º = 72º
 =    = 72º  36º = 36º
El triángulo ABD es isósceles, por lo tanto AD = AB = x
Como se tiene que  = , el triángulo ADC es isósceles, lo que implica que DC = AD = x
El lado BD = BC  BD = L  x
Los triángulos CAB y ABD son semejantes porque tienen los ángulos iguales y por lo
tanto se cumple:
CA AB L x
  
AB BD x Lx
Por lo tanto el lado x del pentágono regular es segmento áureo de la diagonal L.
Ahora si consideramos que el lado x = 1 y que L =  tenemos:
 1
   2    1 , ecuación cuadrática, una cuyas raíces (la raíz positiva) tiene un
1  1
1 5
valor de:   = 1.61803398875… , que nuevamente es el número áureo.
2
LA SUCESIÓN DE FIBONACCI.
En el libro de Fibonacci, titulado “Liber abaci”, aparece un problema que habla sobre la
procreación de los conejos y en el que aparece la llamada sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...
Sucesión que crece rápidamente.
Propiedades
Por razones del tema a tratar, consideraremos sólo algunas propiedades de la serie de
Fibonacci, tales como:
1. En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.

5. 2. En la sucesión de Fibonacci se tiene que: x n  x n 1  x n  2
xn 1
3. En la sucesión de Fibonacci se cumple que: Lim = 1.61803398....
n xn
4. La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por encima y por
debajo de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando
más a este valor.
5. Independientemente de los números que encabecen la sucesión, las razones se
aproximan más y más al número 1'61803....
Por ejemplo, empezamos por 3 y 7; la sucesión sería: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115...
Luego las razones son:
7 10 17 27 44 71 115
, , , , , , ,.... si tomamos cada cociente estos se acercan al número
3 7 10 17 27 44 71
115 xn 1
de oro , así:  1.61971... luego se cumple que: Lim = = 1.61803398....
71 n   xn
La lista de las propiedades de la sucesión de Fibonacci bastaría para llenar un libro. Pero
también existen una gran variedad de aplicaciones de la misma en física y matemáticas.
Aplicaciones
1. En el Ser Humano: La Divina Proporción
La sección áurea de los griegos fue estudiada en el
Renacimiento por Luca Pacioli, quien editó en 1509 su
libro "Divina Proporción", ilustrado por Leonardo Da
Vinci. En el libro se propone un hombre perfecto en el
que las relaciones entre las distintas partes de su
cuerpo son proporciones áureas. El cociente entre la
altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia
del ombligo a la punta de la mano (radio de la
circunferencia) es el número áureo.
2. En el reino Vegetal
En el reino vegetal su aparición más llamativa en la
implantación espiral de las semillas en ciertas
variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de
espirales logarítmicas, una en sentido horario y otra en
sentido antihorario, formados por dos términos
consecutivos de la conocida serie.
En el crecimiento de las plantas como las piñas, la
distribución de las hojas en un tallo, etc..

6. 3. En los Animales
En ciertos moluscos y crustáceos,
como el Nautilus, la forma de ellos,
coincide con la espiral de áurea a
partir de subdivisiones áureas, que
tienen directa relación con el
rectángulo áureo; así mismo se dan
en otros animales como la estrella de
mar, etc.
4. En el Arte
En algunas pinturas
los artistas logran una
mejor expresión
mediante el uso del
número áureo; así
tenemos la conocida
“Leda Atómica”,
pintura de Dali, en
cuyo boceto se nota
nítidamente el
pentágono áureo.
5. En la Arquitectura
La proporcionalidad que nos lleva al número áureo se nota en las construcciones
monumentales, como la Tumba Rupestre de Mira, en Asia Menor; en la Gran Pirámide
de Keops en el Egipto, El Partenón en Grecia, etc.

7. 6. En el Comercio
Multitud de formas a nuestro alrededor guardan
proporciones áureas, ya que a la hora de diseñar un objeto se
intenta que sea lo más atractivo posible tal como ocurre con
las tarjetas de crédito y sin ir muy lejos, nuestro carné de
identidad (DNI) es un rectángulo de oro.
7. En la Economía.
Sabemos que la serie de Fibonacci, consiste en una serie de números que se construye
desde el numero 1, después el numero 2. y luego se obtiene el siguiente numero por la
suma del anterior y su precedente:
1, 2 =2+1=3, 3+2=5, 5+3 =8, etc.
Se puede observar las siguientes reglas que cumplen siempre en esta serie:
1.- La proporción que hay entre cada numero (n) y el siguiente (n+1) es siempre del
61,80%.
2.- La proporción que hay entre cada numero (n) y uno más del siguiente (n+2) en la
serie es siempre del 38.19%.
Una de las aplicaciones prácticas de la serie es el análisis de las correcciones técnicas
de la bolsa. Cuando los mercados están en tendencia alcista o bajista, se ha podido
comprobar que las correcciones generalmente coinciden en porcentaje con las
proporciones de Fibonacci.
Cuando un mercado ha empezado a corregir después de una tendencia claramente
alcista o bajista, se pueden establecer objetivos de corrección del 38% o del 62% del
movimiento. Esta aplicación es de especial interés a la hora de aplicar la teoría de
Elliot. Son las llamadas líneas de Fibonacci, que suelen representar líneas de soporte
o resistencia.

8. Las líneas de Fibonacci son muy similares a las líneas de velocidad. Para trazarlas
solo tenemos que seleccionar dos puntos significativos del grupo, por ejemplo, desde el
inicio del alza hasta la primera parada, con un pequeño inicio de caída. Desde éste
segundo punto trazamos la proyección hasta la altura del primer punto y dividimos esta
distancia en dos líneas especiales: siguiendo las proporciones en la línea del 62% y la
línea del 38%.
Otra de las aplicaciones son las zonas en el tiempo, que consisten en líneas verticales
en periodos correspondientes a la serie. Es decir, se colocan líneas verticales en los
periodos de 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. Con esta línea se trata de identificar cambios
en las tendencias del mercado.
Con los arcos de Fibonacci se incorpora la variable tiempo. No solamente se trata de
identificar las zonas de soporte y resistencia, sino cuando van a producirse estas. Es
conveniente utilizar conjuntamente las líneas y los arcos de Fibonacci. Las señales
más fuertes se producen cuando coinciden los dos tipos de curvas.
Bibliografía
1. El hombre que calculaba. Malba Taham. Ed. Popular 1956
2. El Número de Oro. Mariano J. Dominguez Muro. Ed. Narcea.
3. Fibonacci and Lucas Numbers. Published by the Fibonacci Association, 1969.
Houghton Mifflin.
4. Historia de la Matemmática Carl Boyer. Ed. Alianza, Madrid.
5. La composición Áurea en las artes plásticas. Pablo Tosto. Buenos Aires. Lib.
Hachette, 1958.
6. El Misterio de Orion (La proporción áurea y la gran pirámide). Abelardo Falleti. Bs
Aires. Emece Editores. 1966.
7. Los grandes Matemáticos. Bell. E. T. Ed. Lozada. 1985
8. A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H. E. Huntley,
Brasília-DF.Editora Universidade de Brasília em 1985
9. El número de oro. Ghyka, M. (1983) Ed. Poseidón