La razón de oro y l serie de fibonacci

1. Geometría y
Trigonometría
Actividad 1.1
La razón de oro y la serie de Fibonacci
G. Edgar Mata Ortiz

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Introducción
“Los Elementos” de Euclides es un conjunto de 13 libros, escritos en griego, que
contienen el desarrollo de la geometría a partir de 5 postulados y, mediante
proposiciones lógicas, demuestra otras afirmaciones llamadas teoremas.
En el libro 6, la proposición 30, plantea dividir un segmento en extrema y media
razón, lo cual significa dividir un segmento en dos partes de tal forma que la
división del segmento completo entre la parte mayor, sea igual a la división de la
parte mayor entre la menor. Geométricamente:
Dado un segmento AB:
Encontrar un punto C sobre ese segmento que tenga la propiedad:
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐴𝐶
𝐵𝐶
El procedimiento geométrico es interesante, sin embargo, por ahora, es
preferible “convertir” este problema geométrico a uno algebraico.
Vamos a considerar la longitud total del segmento como una unidad, es decir:
𝐴𝐵 = 1
Y tomaremos como incógnita la longitud del segmento AC: 𝐴𝐶 = 𝑥
Por lo tanto, la longitud del segmento BC debe ser: 𝐵𝐶 = 1 − 𝑥
Sustituyendo estos valores en la proporción queda:
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐴𝐶
𝐵𝐶
∴
1
𝑥
=
𝑥
1 − 𝑥
Resuelve la expresión algebraica obtenida, anota e interpreta el resultado en el
siguiente espacio:
Expresión algebraica simplificada: _____________________________________
Resultado: ________________________________________________________
Interpretación: ____________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
La Geometría
La Geometría
y su origen
Todas las antiguas
civilizaciones desarrollaron
conceptos matemáticos,
generalmente relacionados
con necesidades prácticas.
Sin embargo, el pueblo
griego, desarrolló una
forma de hacer
matemáticas que era
diferente a todos los
demás; se basó en el
razonamiento lógico y
transformó radicalmente y
para siempre el significado
de esta ciencia.
La referencia más confiable
que tenemos de la
matemática griega es el
libro: “Los Elementos”
escrito por Euclides
alrededor de 300 a. C.
Este libro desarrolla los
conceptos geométricos
mediante el método
axiomático deductivo.
Es el libro científico más
editado de todos los
tiempos.
La razón de oro y la serie de
Fibonacci
A B
A BC
x2
+x+1=0
x1=0.619033 x2=1.619033
son numeros positivos por qu es valor es
un segmento.
este caso tomaremos el valor X1En

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Otra forma de calcular las medidas de los segmentos.
¿Qué sucede si ahora consideramos que el segmento BC = 1, y tomamos como incógnita (x), la medida del
segmento AC?
Resuelve e interpreta el resultado en las siguientes líneas.
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___________________________________________________________________________________________
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El rectángulo áureo.
El rectángulo áureo se caracteriza porque la razón del lado mayor, al menor, es igual al número áureo:
 = 1.618033…
En el reverso de esta hoja, o en una hoja adicional, construye un rectángulo áureo utilizando solamente una
regla no graduada y un compás, conforme a la figura de la derecha:
1. Traza un cuadrado ABCD de cualquier medida
X=-b±√b²-4ac
2a
X=-1±√1²-4(1)(-1)
2(1)
X1=0.661803398
X2=1.618033989

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2. Localiza el punto medio M de la base AB de dicho cuadrado
3. Utiliza el compás con una abertura igual a la distancia desde el punto medio de la base (M) hasta uno
de los vértices del lado opuesto, C o D.
4. Utiliza la prolongación de la base AB y traza un arco de círculo tomando centro en M y señalando el
punto P sobre la prolongación del lado AB.
5. Con una abertura del compás igual a la distancia AP, y con centro en el punto D, traza un arco en
dirección al punto P.
6. Con una abertura del compás igual a la distancia AB, y con centro en el punto P, traza un arco que corte
al arco trazado en el paso anterior en el punto Q.
7. Une los puntos P y Q.
8. Prolonga el lado CD hasta el punto Q.
9. El rectángulo APQD es un rectángulo áureo.
10. Al dividir la medida del lado AP entre la medida del lado AD debe ser igual a 1.618033

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Aplicaciones del rectángulo áureo.
Por mucho tiempo se ha afirmado que
las proporciones de este rectángulo son
“armoniosas” por naturaleza y que,
cualquier diseño que esté basado en el
valor de  = 1.618033…, será
visualmente atractivo. Es posible que
estas afirmaciones carezcan de bases
científicas sólidas, pero, debido a la
popularidad de estas creencias,
numerosos diseñadores modernos
utilizan estas proporciones en sus
creaciones, de modo que podremos
encontrar diversos diseños de logotipos,
páginas web, portadas de libros y
revistas, entre muchos otros productos,
que están elaborados con base en el
rectángulo áureo y/o el valor de .
Entre los argumentos más importantes
para afirmar que las proporciones del
rectángulo áureo son visualmente
atractivas se dice que estas proporciones
son comunes en la naturaleza; de alguna
forma se afirma que la naturaleza
“utiliza” estas proporciones en el diseño
de los seres vivos.
Elabora un ensayo de 2400 palabras
acerca de los argumentos a favor y en
contra de la creencia en la armonía del
rectángulo áureo, incluye dos ejemplos
del uso de dicho rectángulo; uno de ellos
en la antigüedad, y otro actual.
La serie de Fibonacci.
Leonardo de Pisa es el nombre real de “El hijo de Bonaccio” = Filis Bonaccio = Fibonacci. Nació en Pisa
alrededor de 1175 d. C. Debido al trabajo de su padre, Fibonacci vivió su niñez en el norte de África, donde
aprendió el sistema de numeración arábigo y, en 1202, ya de regreso en Italia, publicó el libro; “Liber Abaci” o
Libro del Ábaco, en el que explica el sistema de numeración arábigo e incluye un problema que,
posteriormente, se volvió famoso: el problema de la reproducción de dos conejos.

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Este problema, es el que da lugar a la serie de Fibonacci, que, por muchos años, pasó desapercibida, hasta que
el matemático Edouard Lucas, en los últimos años del siglo XIX, redescubrió este problema y lo atribuyó a su
autor original.
Investiga y anota en las siguientes líneas la redacción del problema de la reproducción de los dos conejos:
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___________________________________________________________________________________________
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En el siguiente espacio, explica el proceso de solución del problema de los dos conejos:
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___________________________________________________________________________________________
Desarrollo de la serie de Fibonacci.
La regla para construir la serie es muy sencilla, comienza con 1, 1, y los siguientes elementos se obtienen
sumando los dos términos anteriores, es decir, 1+1=2, por lo que la serie queda: 1, 1, 2. El siguiente término se
obtiene de la suma 1+2=3, obteniéndose: 1, 1, 2, 3, y así sucesivamente. Continúa la serie en el espacio
siguiente:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Relación de la serie de Fibonacci con la proporción áurea.
Estos dos conocimientos, uno de geometría que se encuentra en “Los Elementos”
escrito en el siglo III a. C. y otro de aritmética, desarrollado en el siglo XII d. C.
están relacionados: La división de dos números consecutivos de la serie de
Fibonacci tiende al valor de  = 1.618033…
En la siguiente tabla, anota los valores de las divisiones indicadas, observa que los
resultados se van aproximando, cada vez más, al valor de 
Cada pareja de conejos al mes tiene una nueva pareja de bebés, la cual
no tendrá conejos hasta que sea adulta, lo que ocurre a los dos meses
de nacer. Empezando con una pareja de bebés, cuántas parejas de
conejos obtendremos después de un número dado de meses
Al empezar hay 1 pareja de conejos bebés... a 1 =1
Al cabo de 1 mes, hay 1 pareja adulta que tendrá bebés al mes siguiente... a 2 =1
Al cabo de 2 meses, hay 1 pareja adulta y 1 de bebés; en total, 2 parejas... a 3 =2
Al cabo de 3 meses, hay 2 parejas adultas y 1 de bebés; en total, 3 parejas...a 4 =3
Al cabo de 4 meses, hay 3 parejas adultas y 2 de bebés; en total, 5 parejas... a 5 =5
Al cabo de 5 meses, hay 5 parejas adultas y 3 de bebés; en total, 5 parejas... a 6 =8
... y así sucesivamente.
55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946, 17711.......

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Compara las siguientes figuras; la primera es la espiral áurea, y la segunda, se construye con cuadrados cuyas
medidas de los lados se toman de la serie de Fibonacci. Investiga cómo se construyen, trázalas utilizando
AutoCAD y explica sus diferencias y semejanzas.
1 34 34/21 = 1597 1597/987 =
1 1/1 = 55 55/34 = 2584 2584/1597 =
2 2/1 = 89 89/55 = 4181 4181/2584 =
3 3/2 = 144 144/89 = 6765 6765/4181 =
5 5/3 = 233 233/144 = 10946 10946/6765 =
8 8/5 = 377 377/233 = 17711 17711/10946 =
13 13/8 = 610 610/377 = 28657 28657/17711 =
21 21/13 = 987 987/610 = 46368 46368/28657 =
Explicación de las semejanzas y diferencias
geométricas de las figuras.
1
2
1.5
1.66
1.6
1.625
1.615
1.619
1.618
1.617
1.618
1.618
1.618
1.618
1.618
1.618
1.618
1.618
1.618
1.618
1.618
1.618
1.618
Las diferencias existentes entre estas
dos espirales es que la primera es
creada por fibonacci la cual sus
medidas son mediante su serie.
Y el espiral aureo esta formada por
medidas no exactas si se pordria
decir ya que se traza una line se
saca la mitad para formar otra y
asi sucesivamente