1. LA ARMONIA EN LA NATURALEZA:
EL NUMERO AUREO
La geometría tiene dos grandes
tesoros: uno es el teorema de
Pitágoras, y el otro el número áureo.
El primero puede compararse a una
medida de oro, y el segundo a una
piedra preciosa.
Kepler
Jaime Bravo Febres 2007

2. El número designado con letra griega  = 1,61803...
(Fi), llamado número de oro y que es la inicial del
nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente
en sus obras.
Es el llamado número de oro (representado
habitualmente con la letra griega ) o también
sección áurea, proporción áurea o razón áurea

3. La sección áurea y el número de oro
La sección áurea es la división armónica de un
segmento en media y extrema razón.
Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor,
como este es a la totalidad.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en él
la división indicada anteriormente.
1 x x
 
x 1

4. 1 x x
  1 x  x  x  x 1  0
2 2
x 1
Una de las soluciones de esta
ecuación (la solución positiva) ESTE ES EL
es: NUMERO
AUREO
1 5
x  1.61803398 ...
2

5. El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de
uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del
lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado
inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del
rectángulo
R Q
A o B C

6. Construcción del rectángulo áureo:
Para realizar esta construcción, necesitaremos regla y
compás. Procederemos de la siguiente manera:
1. Construimos un cuadrado de lado 2a
2a
2a

7. 2. Dividimos el cuadrado en dos rectángulos iguales,
y trazamos la diagonal del segundo rectángulo:
a 5d
5a 2  d 2
a 5 2a
4a 2  a 2  d 2
a a
( 2a ) 2  a 2  d 2
Por el teorema de Pitágoras se tiene:

8. 3. marcamos dicha medida sobre la horizontal y se tiene:
B C
ABCD, ES
RECTANGULO a 5
AUREO 2a
D
A a a

9. Como determinar cuando un rectángulo es áureo.
P N
POR TANTO
D C ABCD ES
RECTANGULO
x AUREO
y
A x B y M
Como los triángulos rectángulos ABC
y x
y AMN son semejantes resulta: 
x xy

10. ESPIRAL AUREA O ESPIRAL DE DURERO
Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho = nº de
oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una
de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del
rectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo.
Podemos repetir esta operación de forma indefinida,
logrando una espiral como muestra el dibujo

11. Otra espíral gnómica basada en el número
áureo es la que se construye tomando como
base un triángulo isósceles cuyo ángulo
menor mide 36°. A partir de cada triángulo se
construye otro triángulo isósceles cuyo lado
menor coincide con el mayor del triángulo
anterior.
Los cocientes entre el lado mayor y el lado
menor de cada triángulo tiende hacia el
número de oro.
La espiral se construye uniendo mediante
arcos de circunferencia los vértices
consecutivos de estos triángulos. Espiral de Durero
El resultado es otra similar cuya pulsación, el
factor de crecimiento es el número áureo.

12. EN LA NATURALEZA
La espiral (El número de oro) está en los moluscos como el
NAUTILIUS,

13. En el huevo de las
aves se encontrado
también relaciones
del numero áureo.

14. Está también en todos los animales, plantas y objetos
pentagonales: flores, estrellas de mar, etc
EN EL GIRASOL EN LAS FLORES

15. En las aves
En las hormigas

16. En las Plantas
En las flores

17. Galaxias del Universo

18. Galaxias Lenticulares

19. En el Tsunami de Asia 2003??

20. EN LA ECONOMIA
Su carnet de identidad es un rectángulo áureo,
y por tanto las tarjetas de crédito, y en gran
parte de las tarjetas que utilizamos así como el
frente de casi todas las cajetillas de tabaco.

21. a
b
En los objetos
caseros

22. EN EL SER HUMANO
EL PRIMERO EN
ESTUDIAR LA
RELACION DEL
NUMERO AUREO
EN EL HOMBRE
FUE LEONARDO
DA VINCI
LEONARDO LUCA PACIOLI
DA VINCI
LUCA PACIOLI A LA PROPORCION AUREA LA DENOMINO
PROPORCION DIVINA POR SUS PROPIEDADES.

23. LEONARDO DA VINCI ENCONTRO EL NUMERO AUREO EN
RELACIONES CORPORALES DEL SER HUMANO.
VITRUBIO

24. Este sería a juicio de un artista el rostro más perfecto de mujer

25. En la mano humana,
la distancia entre las
falanges están en
razón áurea.
Es áurea la relación entre la distancia
entre los ojos y el ancho de los mismos.
Cuando los dientes no están juntos, la linea
de los labios divide la parte inferior del
rostro según la proporción áurea.

26. Un detalle curioso conocido por los clásicos es que la
distancia del ombligo al suelo es justamente la razón
áurea de su altura.

27. Para verificar las medidas antropométricas en el ser humano
podemos llenar la tabla siguiente, recordando que dos razones
geométricas de igual valor pueden dar origen a una proporción
geométrica.
Longitud de la
Longitud del
cima de la
ombligo hasta
Estatura cabeza hasta
ESTUDIANTE la planta del a/b b/c
a el ombligo
pie
(a – b)
b
C

28. Si tomamos un rectángulo
aúreo (largo/ancho = nº de
oro) y lo dividimos en dos
partes de tal forma que una
de ellas sea un cuadrado de
lado el ancho del rectángulo,
la otra parte es otro
rectángulo aúreo.
Podemos repetir esta operación de forma indefinida,
logrando una espiral como muestra el dibujo
Esta espiral se encuentra en un gran nº de
moluscos como el Nautilus de la foto.
El número de oro está
también en todos los
animales, plantas y
objetos pentagonales:
flores, estrellas de mar,
etc

29. EN EL ARTE
LA GIOCONDA
LA SAGRADA FAMILIA
LEONARDO DA VINCI
MIGUEL ANGEL

30. Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza
siglos de tradición matemática y simbólica,
especialmente pitagórica. Se trata de una
filigrana basada en la proporción áurea, pero
elaborada de tal forma que no es evidente
para el espectador. En el boceto de 1947 se
advierte la meticulosidad del análisis
geométrico realizado por Dalí basado en el
pentagrama místico pitagórico.

32. LEDA
ATOMICA

33. Existen relaciones
basadas en la
sección áurea en
algunas de las
más célebres
esculturas griegas
como el Hermes
de Praxíteles
(390-330 a. C.)

34. Aparece en la Venus de
Milo.
Venus de Milo
Museo del Louvre, París

35. EN LA ARQUITECTURA
Desde tiempos muy remotos el hombre ha realizado bellas y
armoniosas construcciones teniendo en cuenta la proporción áurea
EL PARTENON GRIEGO

36. Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un
Tumba Rupestre de Mira
pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el
número áureo. En un pentágono regular está basada la
construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia
Menor.

37. Hay un precedente a la cultura griega donde
también apareció el número de oro. En La Gran
Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de
uno de los tres triángulos que forman la pirámide
y el lado es 2

38. Herodoto relata que los sacerdotes
egipcios le habian enseñado que las
proporciones establecidas en la Gran
Pirámide eran tales que:
El cuadrado de la altura de la P
piramide es igual al área de cada
una de las caras triangulares.
Es decir: H2  A  a (1)
a
o M
Por el teorema de Pitágoras en el a
triángulo POM: A 2  H2  a 2
Sustituyendo H2 por su valor en ( 1 ) y dividiendo por a 2 se
tiene:
A2 A A
2
  1 ; haciendo Φ
a a a
Tenemos la ecuación del numero Áureo: 2   1

39. Pitágoras y el número de oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y
matemático griego, nació en la isla de
Samos. Fue instruido en las enseñanzas
de los primeros filósofos jonios Tales de
Mileto, Anaximandro y Anaxímenes.
Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de
Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el
530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de
Italia, donde fundó un movimiento con propósitos
religiosos, políticos y filosóficos, conocido como
pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a
través de la obra de sus discípulos.

40. La estrella pentagonal o pentágono estrellado era,
según la tradición, el símbolo de los seguidores de
Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo
estaba configurado según un orden numérico, donde
sólo tenían cabida los números fraccionarios. La
casualidad hizo que en su propio símbolo se
encontrara un número raro: el numero de oro.
Así La relación entre la diagonal del
pentágono y su lado es el número de oro.
También podemos comprobar que los segmentos QN,
NP y QP, que se hallan en la estrella pentagonal están
en proporción áurea.

41. A
Considerando el lado del
pentágono regular la unidad,
N F G (AG = 1), se tiene:
M
MF = NG = 1; MG = 
D L  1
  
L DL 1  1
De donde se tiene:  2    1  0
1 5
Cuya raíz positiva es:  
2

42. ¿ Qué pudo hacer
que los pitagóricos
sintieran tanta
admiración por el
número áureo ?.
Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la
consideración del irracional 5 , de cuya existencia
tuvieron conciencia antes que, 2 tuvo que causar
una profunda reflexión en las teorías de la secta.

43. Unas proporciones
armoniosas para el cuerpo,
que estudiaron antes los
griegos y romanos, las
plasmó en el dibujo que
Leonardo da Vinci, hizo para
ilustrar el libro La Divina
Proporción de Luca Paccioli,
editado en 1509.
Leonardo da Vinci
"Huye de esos estudios cuyo resultado
muere con el que los hace.“
Luca Paccioli

44. Estirando manos y pies y haciendo
centro en el ombligo se dibuja la
circunferencia.
El cuadrado tiene por lado la altura
del cuerpo que coincide en un
cuerpo armonioso, con la longitud
entre los extremos de los dedos de
ambas manos cuando los brazos b
están extendidos y formando un
ángulo de90º con el tronco.
a
Resulta que el cociente entre la altura
del hombre (lado del cuadrado) y la
distancia del ombligo a la punta de la
mano (radio de la circunferencia) es
el número áureo
a
Es decir: 
b
Vitrubio

45. El NUMERO DE ORO EN LA MEDICINA
Conocemos desde la antiguedad la ubicación exacta de los puntos
energéticos (Xue) utilizados en Medicina Tradicional China para el
tratamiento de las enfermedades del hombre a través de la acupuntura.
Conocemos también los efectos de cada uno de ellos y sabemos cómo
utilizarlos; Pero, porqué los puntos tiene la ubicación que tienen ? A qué
ley o regla obedece la uniformidad en la distribución? Y también, porqué
esa ubicación es invariablemente la misma en cada ser humano?
Así, la ubicación de los puntos chinos de acción energética específica
responde a la ley geométrica y aritmética conocida, desde la
antiguedad clásica, como :
"sección áurea" (según leonardo Da Vinci), "sección divina"(según
Kepler) o "divina proporción"(según Luca Pacioli) y cuyo valor
numérico, denominado "Número de oro“.

46. En el caso que nos ocupa, diremos que el rostro
humano visto de frente, puede encuadrarse en el
interior de un rectángulo ABCD.
AD
donde φ   1.68033988 .
7..
DC
Dr. Marcelo Manneti
Médico Acupunturista

47. La sucesión de Fibonacci y el número áureo.
La serie de Fibonacci proviene de considerar la
serie que se forma mediante (comenzando la
serie por 1, se tiene) :
1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, ... , 8 + 13 = 21, ....
Leonardo de Pisa
La serie de Fibonacci queda establecida
mediante la serie numérica siguiente:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, .....
Cada número es la suma de los dos números anteriores

48. La sucesión formada por los cocientes de números de
Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el
número áureo.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
•f 2 / f 1 = 1 / 1 = 1
•f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2
Finalmente se tiene:
•f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5
•f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66... fn
Lim    1.61803398
...
•f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6 n  f n -1
•f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5
•f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ...
•f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ...
•f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ...

49. Al dividir dos números consecutivos de la serie de
Fibonacci, el resultado converge a 0,618 ó 1,618
13 / 21 = 0.619047619 
 fn  1
21 / 34 = 0.617647058   Lin  0.618...
 n   fn
34 / 55 = 0.618181818 
Adviértase que,
1 / 0,618 = 1,618

21 / 13 = 1.615384615 1 / 1,618 = 0,618
 fn
34 / 21 = 1.619047619   Lin  1.618...
 n   fn  1
55 / 34 = 1.617647059 

50. La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando
por la izquierda y la derecha de la razón áurea, y que conforme
va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
fn
Lim  φ  1.618033.. .
n   fn - 1
1 3 8 21 13 5 2
1 2 5 13 8 3 1
1 1.5 1.6 1.615.. 1.625.. 1.66.. 2
1.618….

52. Esta sucesión de números aparece en la
Naturaleza en formas curiosas. Cualquier
variedad de piña presenta siempre un
número de espirales que coincide con dos
términos de la sucesión de los conejos de
Fibonacci, 8 y 13; ó 5 y 8.

53. Verdes – 5, Naranjas –8
Verdes – 8, Rojas –13

54. Otra espiral de Fibonacci

55. LA SERIE DE FIBONACCI EN LA ECONOMÍA
La experiencia ha demostrado con rotundidad que en la práctica
las medias móviles funcionan mejor cuando los periodos de
tiempo elegidos para el cálculo de las medias móviles son
números de la Serie de Fibonacci. Estos números de Fibonacci
se ajustan bastante bien a periodos y ciclos bursátiles.
Elliott escribió un libro llamado "Las leyes de la naturaleza"
donde se refiere específicamente a la serié numérica de
Fibonacci como la base matemática para el principio de lo
que conocemos como la teoría de las "Ondas de Elliott".
Esta teoría analiza el comportamiento de los mercados, pudiendo
predecir los movimientos en ciclos de largo, mediano y corto
plazo. Libro de alberto moreno-internet:www.finanzas.com

56. LA SERIE DE FIBONACCI Y LA BOLSA
Se puede observar las siguientes reglas se que cumplen siempre en esta
serie:
1. La proporción que hay entre cada numero (n) y el siguiente (n+1) es
siempre del 61,80%.
2. La proporción que hay entre cada numero (n) y uno más del siguiente
(n+2) en la serie es siempre del 38.19%.
Una de las aplicaciones prácticas de la serie es el análisis de las correc-
ciones técnicas de la bolsa. Cuando los mercados están en tendencia
alcista o bajista, se ha podido comprobar que las correcciones general-
mente coinciden en porcentaje con las proporciones de Fibonacci.
Cuando un mercado ha empezado a corregir después de una tendencia
claramente alcista o bajista, se pueden establecer objetivos de
corrección del 38% o del 62% del movimiento. Esta aplicación es de
especial interés a la hora de aplicar la teoría de Elliott. Son las llamadas
lineas de Fibonacci, que suelen representar lineas de soporte o
resistencia.

57. Las Lineas de Fibonacci son muy similares a las lineas de velocidad. Para
trazarlas solo tenemos que seleccionar dos puntos significativos del
grupo, por ejemplo, desde el inicio del alza hasta la primera parada, con
un pequeño inicio de caída. Desde éste segundo punto trazamos la
proyección hasta la altura del primer punto y dividimos esta distancia en
dos lineas especiales: siguiendo las proporciones en la linea del 62% y la
linea del 38%.

58. RECTÁNGULO ÁUREO CON CABRI
Proporción Áurea AD/AB=1,6180339.......=(1+ raiz(5))/2
Veamos como se hace el dibujo:
1. Se traza el segmento AB.
2. Se traza dos perpendiculares al segmento AB, una que pase por A y
otra por B.
3. Con ayuda de la circunferencia de centro B y radio AB obtenemos el
punto E.
4. Trazando una paralela al segmento AB obtenemos el punto F.
5. Señalamos el punto medio del segmento AF y tomándolo como centro
se traza la circunferncia que pasa por el punto B obteniéndose en la
prolongación de AF, el punto D.
6. Trazando un paralela al segmento AB que pase por D se obtiene el
punto C.

59. (UN ALGORITMO CON Matlab)
Introduzca la definición de razón áurea: r=(sqrt(5)-1)/2.
Sus potencias verifican la relación de recurrencia:
r^(n+1)=r^(n-1)-r^n .
raurea=(sqrt(5)-1)/2;
r=linspace(0,0,100) ;
r(1)=1;r(2)=raurea ;
for n=2:100
r(n+1)=r(n-1)-r(n);
end
fprintf(' n r^n raurea^nn'),
fprintf(' ___________________________n'),
for n=1:10:101
fprintf('%3i,%10.5f, %gn',n,r(n),raurea^n)
end

60. n r^n raurea^n
______________________________________
1 1.00000, 0.618034
11 0.00813, 0.005025
21 0.00007, 4.08563e-05
31 0.00000, 3.32187e-07
41 -0.00000, 2.70089e-09
51 -0.00000, 2.19599e-11
61 -0.00008, 1.78548e-13
71 -0.01034, 1.4517e-15
81 -1.27202, 1.18032e-17
91 -156.44857, 9.59676e-20
101 -19241.90183, 7.80276e-22

61. ALGUNAS EXPRESIONES INFINITAS DEL NUMERO Fi
Sabemos que:
Φ2  Φ  1  0 De donde: Φ2  Φ  1
Φ  1 Φ  1 1  Φ  1 1  1  Φ ...
Por lo que , lo obtenemos a través de la expresión
infinita:
Φ 1 1  1 1 1 1  ...

62. Otra expresion infinita de  , es a través de las Fracciones:
Φ2  Φ  1
1
Φ1 
Φ
y sustituyendo, en forma reiterada,  por su valor en esta ecuación
tenemos:
1 1 1
Φ1  1  1 
1 1 1
1 1 1
Φ 1
1
1
1
Φ 1
1
1  ...

63. Poema al Número Áureo
Rafael Alberti
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños, angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.

64. Espero que nuestros nietos me estarán
agradecidos, no solamente por las cosas
que he explicado aquí, sino también por
las que he omitido intencionadamente a fin
de dejarles el placer de descubrirlas.
Descartes (Geometría)

65. Gracias, Hasta la vista
jbf3057@gmail.com Jaime Bravo Febres

66. Bibliografía:
1. El hombre que calculaba. Malba Taham. Ed. Popular 1956
2. El Número de Oro. Mariano J. Dominguez Muro. Ed. Narcea.
3. Fibonacci and Lucas Numbers. Published by the Fibonacci
Association, 1969. Houghton Mifflin.
4. Historia de la Matemmática Carl Boyer. Ed. Alianza, Madrid.
5. La composición Áurea en las artes plásticas. Pablo Tosto.
Buenos Aires. Lib. Hachette, 1958.
6. El Misterio de Orion (La proporción áurea y la gran pirámide).
Abelardo Falleti. Bs Aires. Emece Editores. 1966.
7. Los grandes Matemáticos. Bell. E. T. Ed. Lozada. 1985
8. A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática",
H. E. Huntley, Brasília-DF.Editora Universidade de Brasília em
1985
9. El número de oro. Ghyka, M. (1983) Ed. Poseidón