Este documento describe los conceptos fundamentales de los sistemas de control basados en lógica difusa, incluyendo la estructura general de un sistema difuso, las reglas difusas, los métodos de fusificación, implicación, agregación y defusificación, y algunas aplicaciones comunes de los sistemas de control difusos.

1. Inteligencia Artificial
(W0I9)
MSc. Ing. José C. Benítez P.
Sesión: 13
Sistemas de control basados en lógica difusa

2. 2
Sesión 13. Sistemas de control basado en
lógica borrosa
Reglas difusas.
Estructura de un sistema borroso.
Fusificación de las entradas.
Reglas del sistema.
Aplicación de operadores difusos.
Método de implicación.
Método de agregación.
Defusificación.
Inferencia.

3. 3
Reglas difusas
Los conjuntos y los operadores difusos son los sujetos y
predicados de la lógica difusa.
Las reglas if - then son usadas para formular las
expresiones condicionales que abarca la lógica difusa.
if x is A then y is B
Donde A y B son los valores lingüísticos definidos por
los conjuntos definidos en los rangos de los universos
de discurso llamados X e Y, respectivamente.
La parte if de la regla ´´´´x es A´´´´ es llamada el antecedente o
premisa, mientras la parte then de la regla ´´´´y es B´´´´ es
llamada la consecuencia o conclusión.

4. 4
Estructura de un sistema borroso
1. Fusificación:
La fusificación de las variables de entrada.
2. La base del conocimiento.
3. Inferencia:
Aplicación del operador difuso (AND ó OR) en el
antecedente(s).
Implicación del antecedente(s) con el consecuente(s).
Agregación de los consecuentes a través de las reglas.
4. La defusificación.

5. 5
Estructura de un sistema borroso
Regla 1
Regla 2
Regla 3
∑ Salida
Entrada 1
Entrada 2
Las entradas son
números limitados
a un rango
especifico. Entradas
no difusas.
Las reglas son
evaluadas en
paralelo usando
un razonamiento
difuso.
Los resultados
de las reglas son
combinadas y
defusificadas.
El resultado es un
valor numérico no
difuso.
Regla 4

6. 6
Estructura de un sistema borroso
Los sistemas de control difuso permiten describir un
conjunto de reglas que utilizaría una persona para
controlar un proceso y a partir de estas reglas
generar acciones de control.

7. 7
Estructura de un sistema borroso
1. La fusificación tiene como objetivo convertir valores crisp
(reales) en valores difusos.
2. La base de conocimiento contiene el conocimiento
asociado con el dominio de la aplicación y los objetivos del
control.
3. La inferencia relaciona los conjuntos difusos de entrada y
salida para representar las reglas que definirán el sistema
mediante el uso de condiciones.
4. La defusificación realiza el proceso de adecuar los valores
difusos generados en la inferencia en valores crisp, que
posteriormente se utilizarán en el proceso de control.

8. 8
Fusificación de entradas
• Para cada entrada existen diferentes conjuntos con
variables lingüísticas, en nuestro caso hay dos
subconjuntos para cada variable de entrada.
X = {BAJO, ALTO}
Y = {BAJO, ALTO}
• Las variables de entrada X e Y, al igual que la variable de
salida Z pertenecen al mismo universo de discurso
comprendido en el rango entre 0 y 10.
• Las funciones de membresía son:
BAJO(T) = 1 - ( T / 10 )
ALTO(T) = T / 10

9. 9
Fusificación de entradas
10
1
Entrada no difusa = 5
Salida difusa = 0,5

10. 10
Reglas del sistema
Regla 1: if X es BAJO and Y es BAJO then Z es ALTO
Regla 2: if X es BAJO and Y es ALTO then Z es BAJO
Regla 3: if X es ALTO and Y es BAJO then Z es BAJO
Regla 4: if X es ALTO and Y es ALTO then Z es ALTO
Otra manera de analizar las reglas es mediante una tabla:
X
BAJO ALTO
Y
BAJO ALTO BAJO
ALTO BAJO ALTO

11. 11
Aplicación de operadores borrosos
• Una vez que las entradas han sido fusificadas, conocemos el
grado en el cual cada parte del antecedente ha sido
satisfecho para cada regla.
• Sí el antecedente de una regla dada tiene más de una parte,
el operador difuso es aplicado para obtener un número que
represente el resultado del antecedente para esa regla.
• Para la operación AND existen dos formas conocidas como
min (mínimo) y prod (producto algebraico).
• Para la operación OR existen dos formas conocidas como max
(máximo) y sum (suma algebraica).
• Además de estos métodos de construcción, uno puede crear
su propio método para AND y OR escribiendo cualquier
función.

12. Aplicación de operadores borrosos
El grado de verdad para la premisa de una regla es referida como el
nivel de disparo y es denotada como α (alfa).
X Y BAJO(X) ALTO(X) BAJO(Y) ALTO(Y) α1 α2 α3 α4
0 0.32 1 0 0.68 0.32 0.68 0.32 0 0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
u(X)
ALTO
BAJO
S
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y
u(Y)
ALTO
BAJO
S
12

13. Método de implicación
• Un consecuente es un CD representado por una fdp, en
nuestro caso tiene asignada dos VL: Z = { BAJO, ALTO }
• Hay dos métodos conocidos que son las mismas funciones
usadas por el método AND: min (mínimo), que trunca el CD de
salida, y el PROD (producto), el cual escala al CD de salida.
• El grado de verdad de la premisa de cada regla es computada y
aplicada al consecuente de cada regla. Este resultado es un
subconjunto difuso que será asignado a cada variable de salida
correspondiente. Nosotros aplicamos en este ejemplo el
método de Mamdani ó método de inferencia MIN-MAX. Para
cada regla hacemos el MIN entre el nivel de disparo y la
función de membresía de la variable de salida indicada en el
consecuente.

14. Método de implicación
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R3

15. Método de agregación
• Agregación o composición es el proceso por el cual los
conjuntos difusos que representan las salidas de cada regla
son combinadas en un único CD.
• La salida del proceso de agregación es un conjunto difuso
para cada salida variable.
• Los métodos más conocidos: max (máximo) y sum (suma).
• Lo más común cuando usamos la función 'min' en el método
de implicación es corresponder con la función 'max' en el
método de agregación.
• De igual manera si elegimos la función 'prod' para el método
de implicación, es usual hacerlo corresponder con la función
'sum' para el método de agregación.

16. Método de agregación
En el proceso de composición o agregación, todos los
subconjuntos difusos son combinados para dar un único
conjunto de salida, esto se logra haciendo el MAX de las
funciones mostradas en los gráficos anteriores, obteniéndose
la siguiente figura:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Composición

17. Defusificación
• La entrada para el proceso de defusificación es un conjunto
difuso (la salida de la etapa de agregación) y la salida es un
simple número concreto. Los sistemas del mundo real requieren
un resultado numérico.
• El método más popular de defusificación es el cálculo del centro
de gravedad ó centroide, el cual retorna el centro del área bajo
la curva. Al igual que en los pasos anteriores existen más
métodos de cálculo.
Centro de gravedad

18. Defusificación
Forma continua
• Para calcular el algoritmo del centro de gravedad (COG, en ingles)
dividimos al Momento de la función por el Área de la función:
Forma discreta
• Se divide la función en partes iguales y se calcula haciendo la
sumatoria de todos los puntos de la siguiente manera:
• Hay que tener en cuenta que al dividir en partes iguales al conjunto de
salida se simplifican los ∆z, si las particiones fueran diferentes habría
que tener en cuenta el ∆z porque sino se pierde el sentido de
Momento y Área de la función.

19. Defusificación
Forma continua:
Forma discreta para 10 muestras:

20. Producto Cartesiano
El producto cartesiano es usado para definir una relación
entre dos o más conjuntos (sean ordinarios o difusos).
El producto cartesiano es denotado como AxB y es definido
como:
Una relación difusa R de A y B es un subconjunto difuso de
AxB, donde µR(a, b) es la función de membresía de R.
R también puede ser representado como una matriz,
depositando cada elemento de µR(a, b):

21. Implicación
• La regla 'si el nivel es bajo, entonces abro V1' es llamada una
implicación, porque el valor de 'nivel' implica el valor de 'V1' en el
controlador.
• Hay muchas maneras de definir la implicación, se puede elegir una
función matemática distinta en cada caso para representar a la
implicación.
• Cada regla puede ser interpretada como una relación difusa como Ri:
( X × Y ) → [ 0, 1 ].
• Cuando usamos una conjunción A ∧ B, la interpretación de las reglas if-
then sería "es verdadero que A y B cumplen simultáneamente".
• Esta relación es simétrica y puede ser invertida. La relación R es
computada por el método de Mamdani utilizando el operador Min.
• La representación de la relación difusa R del modelo entero es dado
por la disjunción (unión) de las K relaciones de cada regla individual Ri.

22. Implicación

23. Modus ponens generalizado
Premisa 1: x es A’
Premisa 2: Si x es A entonces y es B
Consecuente: entonces y es B’
El principio anterior establece que en la medida que A’ sea similar
a A, entonces se puede deducir un B’ que es similar a B.
Obsérvese que el MP es un caso especial del MPG cuando A’ es
completamente igual A entonces B’ es B. Por otra parte, regla
composicional se basa en el siguiente principio intuitivo:
• dados dos conjuntos difusos A y B definidos en los conjuntos
universos X e Y respectivamente,
• si existe una relación R entre A y B definida en X x Y,
• entonces a partir del conjunto A se puede deducir B a través
de la composición entre A y la relación R de la siguiente forma:
B = A ο R

24. Inferencia
µA→→→→B
Si x es A entonces y es B
x εεεε A’
µA’
y εεεε B’
µB’

25. Inferencia
El grado de cumplimiento del i antecedente de cada regla
sería:
Para un conjunto difuso singleton la ecuación anterior se
simplifica:
El conjunto difuso de salida del modelo lingüístico es:

26. Inferencia. Ejemplo
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7
A 0 0,5 1 0,5 0
3 4 5 6 7
B 0 0,5 1 0,5 0
Elementos del dominio X
Elementos del dominio Y
A’
B’

27. Inferencia. Ejemplo
R 3 4 5 6 7
3 0 0 0 0 0
4 0 0,5 0,5 0,5 0
5 0 0,5 1 0,5 0
6 0 0,5 0,5 0,5 0
7 0 0 0 0 0
R : si x es A entonces y es B
µA→→→→B
3 4 5 6 7
3
5
7
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1

28. Inferencia. Ejemplo
β = max [ µµµµA’(x) ∧∧∧∧ µµµµA(x) ] = max ( [0; 0.5; 0; 0; 0] ∧∧∧∧ [0; 0.5; 1; 0.5; 0] )
β = max [0; 0.5; 0; 0; 0] = 0.5
B’ = ββββ ∧∧∧∧ B = 0.5 ∧∧∧∧ [0; 0.5; 1; 0.5; 0]
B’ = 0.5 ∧∧∧∧ [0; 0.5; 0.5; 0.5; 0]

29. 29
Aplicaciones
Sistemas de control de acondicionadores de aire
Sistemas de foco automático en cámaras fotográficas
Electrodomésticos
Optimización de sistemas de control industriales
Sistemas de escritura
Mejora en la eficiencia del uso de combustible en motores
Sistemas expertos del conocimiento
Tecnología informática
Bases de datos difusas: Almacenar y consultar información
imprecisa.

30. 30
Aplicaciones
Ejemplo: Para un sistema de control de nivel de un tanque:
“SI el nivel es muy bajo ENTONCES abra bastante la válvula”
“SI el nivel es bajo ENTONCES abra poco la válvula”
“Si el nivel es medio ENTONCES no abra ni cierre la Válvula”
“SI el nivel es alto ENTONCES cierre un poco la válvula”
“SI el nivel es muy alto ENTONCES cierre bastante la
válvula”.

31. 31
Aplicaciones
Ventajas
Facilidad de implementación.
Buenos resultados en
procesos no lineales y de
difícil modelización.
Modo de funcionamiento
similar al comportamiento
humano.
Forma rápida y económica de
resolver un problema.
No se necesita conocer el
modelo matemático que rige
su funcionamiento.
Desventajas
En las redes neuronales se
precisa de un tiempo de
aprendizaje para obtener los
mejores resultados en la
salida. (Al igual que ocurre
con los humanos).
Ante un problema que tiene
solución mediante un modelo
matemático, obtenemos
peores resultados usando
Lógica Difusa.

32. 32
Referencias:
http://www.slideshare.net/renatolachira/logica-difusa
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lmt/ra
mirez_r_o/capitulo3.pdf
http://profesores.elo.utfsm.cl/~tarredondo/info/soft-
comp/Introduccion%20a%20la%20Logica%20Difusa.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_difusa
http://pisis.unalmed.edu.co/cursos/material/3004604/1/14
%20Logica%20difusa%20generalidades.pdf
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:p2AjlJn6DU
0J:faculty.petra.ac.id/hanyf/sistemcerdas/Fuzzy%2520Logi
c.pps+&hl=es&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEEShPNMhaneai4
O4bUTY9_M_KZ4EbdI0ETD-
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33. Resumen
Las Tareas que no cumplan las
indicaciones no serán considerados
por el profesor.
33
Realizar un resumen mediante mapas conceptuales (CMapTools)
de esta diapositiva.
Serán mejor consideradas los resúmenes que tengan información
extra a esta diapositiva.
Las fuentes adicionales utilizadas en el resumen se presentarán
en su carpeta personal del Dropbox y deben conservar el nombre
original y agregar al final _S13.
Las fuentes y los archivos *.cmap deben colocarse dentro de su
carpeta personal del Dropbox, dentro de una carpeta de nombre:
IA_PaternoM_S13

34. Preguntas
El resumen con mapas conceptuales solicitado de la Sesión
al menos debe responder las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es una regla difusa?.
2. ¿Cuales son las partes de una regla difusa?.
3. ¿Cuál es la estructura de un sistema borroso?.
4. ¿En que consiste la fusificación, la inferencia y la
defusificación?.
5. Explicar el método de implicación.
6. Explicar el método de agregación.
7. Explicar la fusificación continua y discreta.
8. Listar la aplicaciones de los SdCbLB.
9. Indicar las ventajas y desventajas de los ScbLB.
34

35. 35
Sesión 13. SCbLB
Inteligencia Artificial
http://utpiayse.blogspot.com