Teoremas Boleanos... http://www.monografias.com/trabajos14/algebra-booleana/algebra-booleana.shtml

1. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO
EXTENSIÓN PARAGUANÁ
ESPECIALIDAD: INFORMÁTICA
Teoremas Booleanos
AUTORA:
WENDY DÍAZ C.I: 18.631.045
SANTA CRUZ DE LOS TAQUES, Febrero, 2016

2. Álgebra de Boole
Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana), en informática y
matemática es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas
Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión,
intersección y complemento.
Álgebra Booleana
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los
valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en
éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano,
por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce
una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de
aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del
sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador
binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado
booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A
para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B
º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) =
(A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto
a un operador binario " º " si A º I = A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador
booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de
A.

3. Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente
juego de operadores y valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo
llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de
variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la
operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos
el producto entre A y B.
- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación
lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.
- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en
éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo,
A' denota la operación lógica NOT de A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el
resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es
de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y
operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por
la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes,
entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo
por la derecha.
Utilizaremos además los siguientes postulados:
P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero.
No existe elemento de identidad para el operador NOT
P3 Los operadores · y + son conmutativos.
P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C)
y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el
complemento lógico de A.

4. P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos
postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más
importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:
Teorema 1: A + A = A
Teorema 2: A · A = A
Teorema 3: A + 0 = A
Teorema 4: A · 1 = A
Teorema 5: A · 0 = 0
Teorema 6: A + 1 = 1
Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
Teorema 9: A + A · B = A
Teorema 10: A · (A + B) = A
Teorema 11: A + A'B = A + B
Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
Teorema 13: AB + AB' = A
Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
Teorema 15: A + A' = 1
Teorema 16: A · A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor
al matemático que los descubrió.
Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes

5. características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que
llamaremos aditiva (que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un
solo parámetro) que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
Propiedades Del Álgebra De Boole
Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
Maximalidad del 1: x + 1 = 1
Minimalidad del 0: x0 = 0
Involución: x'' = x
Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'
Función Booleana
Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos
elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.

6. Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada
uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función
devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario
devolverá 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.
Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que
aparecen todas las variables o sus negaciones.
El número posible de casos es 2n.
Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos.
Los posibles casos son:
Votos Resultado
ABCD
1111 1
1110 1
1101 1
1100 0
1011 1
1010 0
1001 0
1000 0
0111 1
0110 0
0101 0
0100 0
0011 0
0010 0
0001 0
0000 0
Las funciones booleanas se pueden representar como la suma
de productos mínimos (minterms) iguales a 1.

7. En el ejemplo la función booleana será:
f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD
Diagramas De Karnaugh
Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones
booleanas.
Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1
adyacentes, siempre que el número de 1 sea potencia de 2.
En esta página tienes un programa para minimización de funciones booleanas
mediante mapas de Karnaugh
4. Álgebra Booleana y circuitos electrónicos
La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es
fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los
circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es
posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas
solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros
circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas
lógicas homónimas
Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito
electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND
Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo
compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una
compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como
se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los
operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente
conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que
tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida
de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente
a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una
sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando
compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra

8. compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, ésto es sencillo
si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos,
primero se reemplazan todos los "·" por"+" después se invierte cada literal y por
último se niega la totalidad de la expresión:
A OR B
A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND
Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera
descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son
las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos
utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posible construir cualquier
circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La
correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la
correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en
muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.
5. Circuitos Combinacionales
Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas
básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida
corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo
implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste
hecho, cada salida representa una función booleana diferente.
Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete
segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de
los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de
acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funciones
de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una
de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango

9. de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada
función lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada
dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el
segmento edebe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000.
En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de
acuerdo al valor de entrada, tenga en cuenta que sólo se están representando
valores en el rango de 0 a 9, los decodificadores para las pantallas de siete
segmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valores adicionales que
corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sin
embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquí
representada para los valores numéricos.
0 a b c d e f
1 b c
2 a b d e g
3 a b c d g
4 b c f g
5 a c d f g
6 c d e f g
7 a b c
8 a b c d e f g
9 a b c f g
Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un
sistema de cómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar,
comparar, multiplicar, dividir y muchas otras aplicaciones más.

10. Circuitos Secuenciales
Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría,
todas las funciones de salida en un circuito combinacional dependen
del estado actual de los valores de entrada, cualquier cambio en los valores de
entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardo de
propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de
la habilidad para "recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es
el dominio de la lógica secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónico
que recuerda un valor de entrada después que dicho valor ha desaparecido. La
unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bit
sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar
un grupo de bits, ésto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una
conexión de éste tipo recibe el nombre de registro. A partir de aquí es posible
implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y contadores, éstos
últimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos
mencionados es posible construir un microprocesador completo.
6. Relación entre la lógica combinacional y secuencial con la programación
En ésta lección hemos dado una repasada muy básica a los elementos que
forman la base de los modernos sistemas de cómputo, en la sección dedicada al
diseño electrónico estudiaremos a profundidad los conceptos aquí presentados,
pero para aquellos que están más interesados en el aspecto programático podemos
decir que con los elementos vistos en ésta lección es posible implementar máquinas
de estado, sin embargo la moraleja de ésta lección es muy importante:
cualquier algoritmo que podamos implementar en software, lo podemos a su vez
implementar directamente en hardware. Ésto sugiere que la lógica booleana es la
base computacional en los modernos sistemas de cómputo actuales. Cualquier
programa que Usted escriba, independientemente del lenguaje que utilice, sea éste
de alto ó bajo nivel, se puede especificar como una secuencia de ecuaciones
booleanas.

11. Un hecho igualmente interesante es el punto de vista opuesto, es posible
implementar cualquier función de hardware directamente en software, en la
actualidad ésta es la función principal del lenguaje ensamblador y otros con
capacidad de trabajar directamente en hardware, como el C y el C++. Las
consecuencias de éste fenómeno apenas se están explotando, se infiere la
existencia de un futuro muy prometedor para el profesional de la programación,
especialmente aquellos dedicados a los sistemas incrustados (embedded systems),
los microcontroladores y los profesionales dedicados a la Programación Orientada
a Objetos. Para tener éxito en éstos campos de la investigación es fundamental
comprender las funciones booleanas y la manera de implementarlas en software.
Aún y cuando Usted no desee trabajar en hardware, es importante conocer las
funciones booleanas ya que muchos lenguajes de alto nivel procesan expresiones
booleanas, como es el caso de los enunciados if-then ó los bucles while.
7. Los Teoremas Básicos Del Algebra Booleana
Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana son:
TEOREMA 1
Ley Distributiva
A (B+C) = AB+AC
A B C B+C AB AC AB+AC A (B+C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 1 1

12. 1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
TEOREMA 2
A+A = A
AA = A
A A A+A
0 0 0
1 1 1
A A AA
0 0 0
1 1 1
TEOREMA 3
Redundancia
A+AB = A
A B AB X
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1

13. A (A+B) = A
A B A+B X
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 1
TEOREMA 4
0+A = A
Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra
A B=0 X
0 0 0
1 0 1
1A = A
Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1
A B=1 X
0 1 0
1 1 1
1+A = 1
A B=1 X
0 1 1

14. 1 1 1
0A = 0
A B=0 X
0 0 0
1 0 0