TLegendreAct082020.pdf

2020
Actualización # 08 (19/03/20).
Desde el 2015
S O L D O V I E R I
LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
La Transformación
de Legendre
Una presentación didáctica de un
tema que, en general, es tratado
escuetamente en los textos de ciencias
en los que se aplica.
(EN REDACCION Y REVISION)
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS
Colección
Soldovieri
de
textos
de
Ciencia

ADVERTENCIA
TEXTO EN
REDACCION Y
REVISION
ACTUALIZACIONES PERIODICAS EN
http://tsoldovieritsweb.ihostfull.com
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SOLDOVIERI C., Terenzio
LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS
1era
edición (preprint)
(EN REDACCION Y REVISION)
Comenzado en 11/2015 - Actualización # 08 (19/03/2020)
Escrito usando L
A
TEX
2020 Terenzio Soldovieri C.
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Soldovieri C., Terenzio
Profesor Agregado
Departamento de Física
Facultad Experimental de Ciencias (FEC)
La Universidad del Zulia (LUZ)
Maracaibo, Estado Zulia
República Bolivariana de Venezuela
tsoldovieri@fec.luz.edu.ve - tsoldovieri@gmail.com
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Colección Soldovieri de textos de Ciencia.
Esta obra está licenciada bajo la Licencia Creative
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Gráficos: Soldovieri C., Terenzio.
Portadas: Soldovieri C., Terenzio.
Autor y escritura electrónica: Soldovieri C., Terenzio.
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República Bolivariana de Venezuela

Colección Soldovieri de textos de
Ciencia
Física General - Una introducción a los Fluidos, Vibraciones y Termodinámica
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton - Solucionario (En
redacción)
Introducción a la Mecánica Clásica
Introducción a la Mecánica Clásica - Solucionario (En redacción)
El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones (Coautor)
La Transformación de Legendre para Estudiantes de Ciencias
La Transformación de Legendre para Estudiantes de Ciencias - Solucionario
(En redacción)
Cálculo Variacional con fronteras fijas
Cálculo Variacional con fronteras fijas - Solucionario (En redacción)
Ligaduras en Mecánica Clásica (En Proyecto)
Coordenadas Generalizadas (En Proyecto)
Principio de D’Alembert (En Proyecto)
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ADRIEN-MARIE LEGENDRE 1752 - 1833
Adrien-Marie Legendre 1752 - 1833
Adrien-Marie Legendre (París, 18 de septiembre de 1752 - Francia, 10 de enero
de 1833). Matemático francés.
Primeros años
Nació el 18 de septiembre de 1752 en París, Francia. Aunque se tienen muy pocos
datos sobre su familia, las biografías existentes relatan que se trataba de una familia
acomodada que, desde el nacimiento de Adrien Marie, se planteó el darle una buena
educación.
Tras completar sus estudios en el Collège Mazarin (también llamado “Colegio de las
Cuatro-Naciones”), fue alumno del padre jesuita Pierre Varignon entonces titular de la
cátedra de Matemáticas que inmediatamente, al darse cuenta de los dotes del joven,
le impulsó a profundizar en sus estudios matemáticos.
i

A la edad de 18 años, el 25 de julio de 1770, Legendre defiende su tesis doctoral
en el colegio: “Theses mathematicae ex analysi, geometria et mecanica excerpta”,
trabajo de un alto nivel, tanto que su director, el padre Marie incluyó varios párrafos de
la misma en su “Tratado de mecánica” de 1774. El joven estudiante empezaba su vida
científica.
Desde 1775 hasta 1780 entró a trabajar en la Escuela Militar y enseñó con Laplace.
Al tener que dar clase a futuros militares, Legendre profundizó sus conocimientos en
balística. Por eso, cuando la Clase de Matemáticas de la Academia de Berlín propuso
como tema del premio del año 1782 “Determinar la curva descrita por los proyectiles
y las bombas, teniendo en cuenta la resistencia del aire”, Legendre se encontró per-
fectamente preparado para concurrir y el 6 de junio de 1782 su trabajo ganó el primer
premio sirviendo para que Lagrange, del que Legendre se consideraba ya un discípulo,
se interesase por él y preguntase a Laplace ¿quién era ese joven autor?.
Para un científico el reconocimiento social consiste en ser elegido miembro de la
Academia de Ciencias. Legendre, con treinta años, fue asignado a la misma el 2 de
abril de 1783 y permaneció allí hasta el término de 1793.
Trayectoria investigativa
A partir de 1795 enseñó matemáticas en la École Normale. En sus primeros trabajos,
centrados en la mecánica, introdujo conceptos como la función que lleva su nombre
o la primera demostración del método de los mínimos cuadrados.
Tras los pasos de Leonhard Euler y Lagrange, estudió las funciones elípticas y las
redujo a tres formas básicas. Fue el primero en dedicar una obra estrictamente a
la Teoría de Números, ámbito en el que obtuvo resultados fundamentales como la
demostración, en 1830, de la Ley de la Reciprocidad Cuadrática.
En 1794 publicó los Elementos de Geometría, una versión reordenada y simplificada
de la obra original de Euclides, que fue traducida a más de treinta idiomas.
En el año 1782 determinó la fuerza de atracción para ciertos sólidos de revolución
al introducir una serie infinita de “polinomios Pn”, la cual es conocida ahora como Poli-
nomios de Legendre.
Su mayor trabajo fue con las funciones elípticas en “Ejercicios de Cálculo Integral”
(1811, 1817, 1819) e Integrales Elípticas en “Tratados de Funciones Elípticas” (1825, 1826,
1830) en las que proveía herramientas analíticas básicas para la Física Matemática.
En su famoso libro “Elementos de Geometría” (1794) dio una prueba simple de que:
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era
ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2020. Pág.: ii

“p es irracional, así como la primera prueba que p2
es irracional y conje-
turó que p no es la raíz de alguna ecuación algebraica de grado finito con
coeficientes racionales, es decir p no es algebraico”.
Gran parte de su trabajo fue perfeccionado posteriormente por otros: sus trabajos
en las raíces de los polinomios inspiró la Teoría de Évariste Galois; los trabajos de Niels
Henrik Abel en las Funciones Elípticas se construyeron sobre los de Legendre; parte de
la obra de Carl Friedrich Gauss sobre Estadística y Teoría de Números complementaba
la de Legendre. En 1830 ofreció una demostración del último Teorema de Pierre de
Fermat para el exponente n = 5.
Abel escribió en Octubre de 1826:
“Legendre es en extremo un hombre amigable, pero desafortunadamente
viejo como las piedras”.
Muerte
En 1824 Legendre se rehusó a votar por el candidato a gobernante del Instituto
Nacional. A causa de esto su pensión fue suspendida y murió en la pobreza el 10 de
enero de 1833 en París, Francia.
Se lo conoce también por la Transformación de Legendre, utilizada para pasar de
la formulación Lagrangiana a la Hamiltoniana de la Mecánica Clásica. También se usa
en Termodinámica para obtener la Entalpía de las energías libres de Helmholtz y Gibbs
partiendo de la energía interna.
Biografía tomada de la web: EcuRed
http://www.ecured.cu/Legendre_Adrien_Marie
ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2020. Pág.: iii

DEDICATORIA
El presente texto que he logrado con gran esfuerzo, tenacidad y luchando contra
todas las adversidades que he tenido que enfrentar en mi vida académica y, especial-
mente, personal se lo dedico de todo corazón, al igual que todos mis otros textos:
A mi difunto padre Raffaele Soldovieri Mastursi y a mi madre Rita Elena
Carmona.
A a mis hijos Terenzio José Soldovieri Martínez, Marchello Soldovieri Car-
mona y Luca Riccardo Soldovieri Chourio.
A mi compañera de vida Yeldri Yolaura Chourio Herrera. Mi hermosa,
tierna y muy tropical negra-novia. La persona que, con su amor y atención
desinteresada, ha hecho de mi una nueva persona.
Se lo dedico también a todos los que fueron mis estudiantes en la Licenciatura de
Física de nuestra muy ilustre Universidad del Zulia, nuestra indudable Alma Máter, a to-
dos aquellos estudiantes que no lo fueron y aquellos de otras universidades de nuestro
país y del extranjero que estudian Física y carreras afines que, con esfuerzo y sacrificio,
liberan obtáculos tras obtáculos para conseguir sus sueños. A todos ellos, especial-
mente, me debo y son la razón de todo el presente esfuerzo académico.
iv

AGRADECIMIENTOS
A
quí van los agradecimientos.
v

INDICE GENERAL
PREFACIO viii
1 LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS 1
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definición de la Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Funciones covexas y cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Propiedades de las funciones convexas y cóncavas . . . . . . . . . . 9
1.3.4 ¿Cómo determinar si una función es convexa o cóncava? . . . . . . 12
1.3.4.1 En caso de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4.2 En caso de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . 15
2 TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
22
2.1 Obtención mediante un enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Obtención mediante un enfoque diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de una variable 24
vi

INDICE GENERAL
3 TRANSFORMACION DE LEGENGRE PARA MAS DE UNA VARIABLE INDE-
PENDIENTE 27
3.1 Obtención . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias vari-
ables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PA-
SIVAS Y SU FORMA VECTORIAL 32
4.1 Tipos de variables en una Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias vari-
ables con una o más variables pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 La Transformación de Legendre en forma vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS DE LA TRANSFORMACION DE
LEGENDRE 40
5.0.1 La inversa de la Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.0.2 Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.0.3 Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.0.4 Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE 47
6.1 En la Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 En la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 El Potencial de Helmholtz o Energía Libre de Helmholtz . . . . . . . . . 51
6.2.2 La Entalpía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.3 La Función de Gibbs o Energía Libre de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.4 Potencial Gran Canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.5 Otros Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 EJERCITACION 53
A TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO 56
A.1 Transformaciones correlativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A.2 Transformaciones de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2020. Pág.: vii

INDICE GENERAL
B CALCULOS REFERENTES A LA DEFINICION DE FUNCION CONVEXA 67
C TEOREMA DE EULER 70
D BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO 71
D.1 JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIER 1768 -1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
D.2 PIERRE-SIMON LAPLACE 1749 - 1827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
D.3 JULIUS PLÜCKER 1801 - 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
D.4 GIUSEPPE LODOVICO LAGRANGIA (JOSEPH LOUIS LAGRANGE) 1736 - 1813 . 78
D.5 SIR WILLIAM ROWAN HAMILTON 1805 - 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
D.6 FRANÇOIS JACQUES DOMINIQUE MASSIEU 1832 - 1896 . . . . . . . . . . . . . 87
D.7 LEONHARD EULER 1707 - 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
D.8 HERMANN LUDWIG FERDINAND VON HELMHOLTZ 1821 - 1894 . . . . . . . . . 91
D.9 JOSIAH WILLARD GIBBS 1839 - 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
BIBLIOGRAFIA 95
INDICE ALFABETICO 100
ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2020. Pág.: viii

INDICE DE FIGURAS
1.1 (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Repre-
sentación de una familia de relaciones fundamentales F = F (v). . . . . . . 3
1.2 Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente
de una familia de líneas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 (a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente
v = v (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo. . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Función F (u) convexa en el intervalo [ua; ub]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 El Epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre" la curva. . . . . . 9
1.7 Función F (u) cóncava en el intervalo [ua; ub]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio 2
; 3
2
es una función es-
trictamente convexa y en el dominio 3
2
; 5
2
es una función estrictamente
cóncava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Representación gráfica de la desigualdad (1.9) que expresa la condición
de convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 Gráfica de la función F (u) = 1
u
para u > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11 Gráfica de la función F (u) = e u
para 6 0 y u > 0. . . . . . . . . . . . . . . 15
1.12 Gráfica de la función F (u) = au2
+ bu + c con a < 0 y u variable real. . . . . . 15
1.13 Gráfica de la función F (u) = e u
+ u con > 0 y u variable real. . . . . . . . 16
1.14 Gráfica de la función F (u1; u2) = u2
1 + u2
2 2u1u2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 + u2
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 + u2
2 4u1u2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.17 Gráfica de la función F (u1; u2) = ln u1 + ln u2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ix

INDICE DE FIGURAS
2.1 Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación
fundamental de una variable F = F (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A.1 Recta polar del punto P0
(x0
; y0
) respecto de la circunferencia x2
+ y2
= 1,
con centro en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.2 (a) Se fija P en el plano obteniéndose su curva asociada C0
P en el plano
0
. (b) Se fija P0
en el plano 0
obteniéndose su curva asociada CP0 en el
plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.3 (a) Movimiento de P en el plano y sus consecuencias en el plano 0
. (b)
Movimiento de P0
en el plano 0
y sus consecuencias en el plano . . . . . . 62
A.4 (a) Si se tiene un punto Q0
que pertenece a la curva C0
P, entonces su curva
asociada CQ0 debe pasar por P. (b) Si se tiene un punto Q que pertenece
a la curva CP0 , entonces su curva asociada C0
Q debe pasar por P0
. . . . . . . 64
A.5 Visión analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.6 Dos curvas K y K1 que están en contacto en un punto P se transforman
en otras dos K0
y K0
1 que también se tocan pero ahora en un punto P0
. . . . 66
B.1 Detalles referentes a la definición de Función Convexa. . . . . . . . . . . . . 67
D.1 Jean-Baptiste Joseph Fourier 1768 -1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
D.2 Pierre-Simon Laplace 1749 - 1827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
D.3 Giuseppe Lodovico Lagrangia (Joseph Louis Lagrange) 1736-1813 . . . . . . 79
D.4 Sir William Rowan Hamilton 1805-1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
D.5 Leonhard Euler 1707 - 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
D.6 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz 1821-1894 . . . . . . . . . . . . . . 91
D.7 Josiah Willard Gibbs 1839-1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2020. Pág.: x

PREFACIO
A
quí va el Prefacio.
Terenzio Soldovieri C.
xi

PREFACIO
Albert Einstein 1879 - 1955
“Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos
las mismas cosas”. “Lo más incomprensible del Universo, es que sea compren-
sible”. “Lo importante es no dejar de hacerse preguntas”. “Nunca consideres
el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar
en el bello y maravilloso mundo del saber”. “La alegría de ver y entender es
el más perfecto don de la naturaleza”.
ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2020. Pág.: xii

CAPITULO 1
LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y
DEFINICIONES BASICAS
Contenido
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 De…nición de la Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Funciones covexas y cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Propiedades de las funciones convexas y cóncavas . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 ¿Cómo determinar si una función es convexa o cóncava? . . . . . . . . . . 12
1.1 Introducción
La palabra Transformación se refiere a la acción o procedimiento mediante el cual
algo se modifica, altera o cambia de forma manteniendo su identidad. Bajo ciertas
circunstancias particulares, es útil almacenar la información contenida en una determi-
nada función de una forma diferente. Dos ejemplos comunes son las Transformaciones
de Fourier [Ref. 1, 2, 3, 4] y de Laplacey
[Ref. 5, 6, 7]. Estas expresan la función como la
suma de exponenciales (reales o complejas), mostrando la información contenida en la
Ver apéndice D.1 para una biografía resumida de Fourier.
y
Ver apéndice D.2 para una biografía resumida de Laplace.
1

CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
función original en términos de la suma de cada componente contenida en la misma,
más que en términos de su valor. En Mecánica Cuántica, una Transformación de Fourier
permite pasar de la representación de posición a la de momento y viceversa [Ref. 8,9].
En la Física, la Transformación de Legendre provee un cambio de variables que per-
mite expresar ecuaciones de movimiento, u otras relaciones físicas, en términos de can-
tidades dinámicas más convenientes para un análisis teórico o experimental dado. Es-
pecíficamente, es una herramienta matemática comúnmente utilizada en Mecánica
Estadística y Termodinámica [Ref. 10,11,12], donde permite escribir relaciones termod-
inámicas en términos de conjuntos alternativos de variables independientes, para así
definir los Potenciales Termodinámicos estudiados en los cursos básicos de Termod-
inámica. Es utilizada también en Mecánica Clásica [Ref. 13, 14, 15, 16, 17] y Teoría de
Campos [Ref. 18], para establecer la correspondencia entre los marcos Lagrangiano y
Hamiltoniano de los sistemas dinámicos. También es usada en otras áreas de la física
como, por ejemplo, en Materia Condensada [Ref. 19].
1.2 Definición de la Transformación de Legendre
A continuación se presentará el problema matemático que concluye en la necesi-
dad de definir la Transformación de Legendre.
Supóngase que se tiene una relación matemática cualquiera representada por la
función F,
F = F (u1; u2; :::; un) = F (ui) , con i = 1; 2; 3; : : : ; n (1.1)
que será llamada Relación Fundamental para señalar que contiene toda la informa-
ción necesaria para caracterizar la relación matemática dada. Ahora, supóngase que
se desea expresar F mediante una función G diferente,
G = G (v1; v2; :::; vn) = G (vi) , con i = 1; 2; 3; : : : ; n (1.2)
en la que los argumentos vi sean precisamente las derivadas de la función F respecto
a las antiguas variables ui,
vi =
@F (uj)
@ui
(1.3)
tomando estas nuevas variables como independientes sin perder nada de la informa-
ción contenida en la relación fundamental.
La solución al anterior problema matemático no se logra por el simple artilugio de
escribir las ui en términos de las vi usando (1.3) y reemplazándolas en la relación funda-
mental (1.1).
ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2020. Pág.: 2

Figura 1.1: (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Representación de una familia de relaciones fundamen-
tales F = F (v).
Para comprender mejor lo inadecuado de este procedimiento piénsese en el caso
más sencillo de una sola variable u. Si la relación fundamental F = F (u) está represen-
tada como se muestra en la figura 1.1a y se elimina u mediante la expresión para la
pendiente v,
v =
dF (u)
du
(1.4)
una breve reflexión indica que con tal procedimiento se perdería algo del contenido
matemático de la relación fundamental F = F (u) puesto que:
1. Desde el punto de vista geométrico es evidente que el conocimiento de F en fun-
ción de la pendiente v no permitirá reconstruir la curva F = F (u). En efecto, cualquiera
de las curvas de la figura 1.1b satisface la relación F = F (v).
2. Desde el punto de vista analítico la relación F = F (v) es una ecuación diferencial
de primer orden y su integración da una F = F (u) en la que queda indeterminada
una constante de integración. Así pues, se ve que la aceptación de F = F (v) como
relación fundamental en lugar de F = F (u) implicaría la pérdida de parte de la infor-
mación contenida originalmente en la relación fundamental. En efecto, supóngase
que se tiene una función F = F (u), así la derivada es la pendiente en cada punto
de la curva y viene dada por (1.4). Ahora, si se quiere obtener F como función de v
se puede pensar en integrar (1.4),
F =
Z
vdu + C

donde C es una constante de integración. Entonces,
F =
Z
2
4v
dv
du
1
u=F 1(v)
3
5 dv + C = F (v; C)
Resulta obvio que, aunque la función inversa F 1
estuviese bien definida, sólo con la
información de F (u) no es posible determinar unívocamente F pues hay una con-
stante C indeterminada.
A pesar de la conveniencia de disponer de v como variable independiente, este
sacrificio del contenido informativo es completamente inaceptable. La solución acept-
able al problema planteado [Ref. 10,11] es suministrada por la dualidad entre la geometría
convencional del punto y la Geometría de Plücker de las líneasz
.
Figura 1.2: Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de líneas tangentes.
El concepto esencial en la geometría de Plücker de las líneas es que una curva
dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de líneas
tangentes (ver figura 1.2) o como lugar geométrico de los puntos que satisfacen la
relación fundamental F = F (u). Por consiguiente, cualquier expresión que permita
construir la familia de líneas tangentes determina la curva tan satisfactoriamente como
la relación F = F (u).
z
La geometría de Plücker propone una relación funcional para las rectas a través de los pares ordenados
(v; G (v)) donde v es la pendiente y G (v) la ordenada al origen. Ver apéndice D.3 para una biografía
resumida de Plücker.

El procedimiento para encontrar G = G (v) lo proporciona la llamada Transformación
de Legendre. Una Transformación de Legendre de una función de n variables indepen-
dientes,
F = F (u1; u2; : : : ; un) = F (ui) , i = 1; 2; 3; : : : ; n
da como resultado una nueva función,
G = G (v1; v2; : : : ; vn) = G (vi) , i = 1; 2; 3; : : : ; n
en la que se sustituye una o más de las variables ui de F por las derivadas vi =
@F(uj)
@ui
(variables conjugadas) de la función F respecto a esas variables, de manera que no se
pierda nada de la información original contenida en F, es decir, F y G deben contener
idéntica información y las mismas unidades.
En otras palabras,
Una Transformación de Legendre es un procedimiento matemático
mediante el cual se reemplaza una función de varias variables con una
nueva función que depende de las derivadas parciales de la función
original con respecto algunas de las variables independientes originales.
Si se tiene una relación fundamental F (u) de una variable u (análogamente ocur-
repara una de varias variables ui), la Transformación de Legendre proporciona una
forma más conveniente de almacenar la información en la función cuando son satisfe-
chas las siguientes condiciones:
1. La función F (u) es suave, es decir, tiene “suficientes” derivadas continuas.
2. La función F (u) es estrictamente convexa en el intervalo considerado.
3. Es más fácil medir, controlar o pensar sobre la derivada de F con respecto a u que
hacerlo directamente respecto a u.
Debido a la condición 1, la derivada de F (u) con respecto a u puede servir como
un sustituto de u, es decir, hay un mapeo uno a uno entre u y dF(u)
du
. La Transformación
de Legendre muestra cómo crear una función que contenga la misma información que
F (u) pero que, en vez de ser función de u, sea función de v (u) = dF(u)
du
.
Una forma gráfica de constatar cómo el valor de la pendiente v puede sustituir el
valor de u en una función convexa (la convexidad de una función será abordada en la

Figura 1.3: (a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente v = v (u).
siguiente sección) puede verse considerando el ejemplo mostrado en la figura 1.3a. En
dicha figura la curva dibujada representa una función F (u) convexa. Al moverse a lo
largo de la curva hacia la derecha (el sentido en que u se incrementa), la pendiente v
de la tangente a la curva se incrementa continuamente. En otras palabras, si se grafica
la pendiente v como una función de u, resultará una curva suavemente creciente,
como se muestra en la figura 1.3b. Si la segunda derivada de F (u) existe en cualquier
rango de u en la cual F (u) está definida (que es parte de la condición de que F (u)
sea suave), entonces existe un valor único de la pendiente v para cada valor de u y
viceversa. En lenguaje matemático apropiado, se dice que existe una relación 1 1
entre v y u.
Este tipo de transformación recibió la denominación antes indicada después de que
A. Legendre las investigó por primera vez en 1789. La Transformación de Legendre es
un ejemplo particular de las Transformaciones de Contactox
[Ref. 20,21], por esta razón
también es conocida como la Transformación de Contacto de Legendre.
1.3 Funciones covexas y cóncavas
En virtud de la condición 2, mecionada en la sección anterior, es pertinente a
este nivel hacer una pequeña revisión acerca de las funciones convexas y cóncavas
[Ref. 22,23,24], haciendo incapié en los aspectos de relevancia para el presente texto.
x
Véase el apéndice A.

1.3.1 Funciones convexas
Antes de definir lo que és una Función Convexa, es pertinente definir Conjunto Con-
vexo.
Figura 1.4: (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo.
Un conjunto S es convexo si no existen puntos A y B en S tales que
en el segmento de recta entre A y B exista, al menos, un punto que no
pertenece a S (ver figura 1.4).
Es de hacer notar que se incluye el conjunto vacío dentro de la definición de con-
junto convexo. La definición también incluye conjuntos unitarios donde A y B tienen
que ser el mismo punto y por lo tanto la línea entre A y B es el mismo punto.
Ahora bien,
Sea S Rn
un conjunto convexo no vacío y sea F : S ! R, se dice
que F es una Función Convexa en S si y sólo si,
F [ ua + (1 ) ub] 6 F (ua) + (1 ) F (ub) (1.5)
8 2 [0; 1] ^ 8ua; ub 2 S, como se muestra gráficamente en la figura 1.5.
Véase el apéndice B para una explicación de la figura 1.5. Geométricamente, F =
F (u) será convexa si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de
la función se sitúa siempre encima o a la altura de ésta, es decir, en su Epigrafo. EL
Epigrafo de una función es la zona "arriba" de la función, como se muestra en la figura
1.6. Análogamente, el conjunto de puntos en o por debajo de esta función es un
Hipografo.

Figura 1.5: Función F (u) convexa en el intervalo [ua; ub].
Una Función Estrictamente Convexa es aquella en que,
F [ ua + (1 ) ub] < F (ua) + (1 ) F (ub) (1.6)
8 2 (0; 1) ^ 8ua; ub 2 S con ua 6= ub.
1.3.2 Funciones cóncavas
Sea S Rn
un conjunto convexo no vacío y sea F : S ! R, se dice
que F es una Función Cóncava en S si y solo si F es convexa, es decir,
cuando se verifica que,
F [ ua + (1 ) ub] > F (ua) + (1 ) F (ub) (1.7)
8 2 [0; 1] ^ 8ua; ub 2 S, como se muestra gráficamente en la figura 1.7.
y además,
Una Función Estrictamente Cóncava es aquella en que,
F [ ua + (1 ) ub] > F (ua) + (1 ) F (ub) (1.8)
8 2 (0; 1) ^ 8ua; ub 2 S con ua 6= ub.

Figura 1.6: El Epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre" la curva.
Geométricamente, F = F (u) será cóncava si el segmento que une dos puntos cua-
lesquiera de la gráfica de la función se sitúa siempre por debajo de ésta, es decir, en
su Hipografo.
Las funciones lineales son cóncavas y convexas a la vez, dado que cumplen la
definiciones (1.4) y (1.6) como una igualdad entre los dos miembros. Sin embargo, por
lo anterior, no son extrictamente convexas ni extrictamente cóncavas. Por el contrario,
la función coseno F (u) = Cos (u), mostrada en la figura 1.8, no es cóncava ni convexa
sobre todo su dominio R pero, sin embargo, sobre ciertos subdominios si tiene algunas
de estas propiedades. Así, en el dominio 2
; 3
2
es una función convexa, mientras que
en el dominio 3
2
; 5
2
es una función cóncava, siéndolo estrictamente en ambos casos.
Es de hacer notar que,
Las definiciones que se han presentado sobre funciones covexas y
cóncavas no exigen ni la continuidad ni la diferenciabilidad de la fun-
ción.
1.3.3 Propiedades de las funciones convexas y cóncavas
Siguientemente se presentarán algunas propiedades, sin demostrarlas [Ref. 25, 26,
27], relacionadas con el carácter cóncavo o convexo de las funciones: sea S un con-
junto convexo y no vacío,
1. Si la función F es cóncava en S, entonces F es convexa en S.

Figura 1.7: Función F (u) cóncava en el intervalo [ua; ub].
2. Si la función F es convexa en S, entonces F es cóncava en S.
3. Si la función F es estrictamente cóncava en S, entonces F es estrictamente con-
vexa en S.
4. Si la función F es estrictamente convexa en S, entonces F es estrictamente cón-
cava en S.
5. La suma de funciones convexas sigue siendo una función convexa.
6. La suma de funciones cóncavas sigue siendo una función cóncava.
7. Si las n funciones Fi, i = 1; 2; 3; : : : ; n son convexas en S, entonces su combinación
lineal,
n
X
i=1
iFi, con i > 0 (escalares)
es convexa en S.
8. Si las n funciones Fi, i = 1; 2; 3; : : : ; n son cóncavas en S, entonces su combinación
lineal,
n
X
i=1
iFi, con i > 0 (escalares)
es cóncava en S.
9. Las funciones lineales son a la vez cóncavas y convexas, pero no estrictamente.

Figura 1.8: Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio 2
; 3
2
es una función estrictamente convexa y en el dominio
3
2
; 5
2
es una función estrictamente cóncava.
10. Si F y Q son funciones convexas y Q es creciente, entonces la función compuesta
F Q es convexa.
11. Si F es una función cóncava y Q es convexa y decreciente, entonces la función
compuesta F Q es convexa.
12. Si F y Q son funciones cóncavas y Q es creciente, entonces la función compuesta
F Q es cóncava.
13. Si F es una función convexa y Q es cóncava y decreciente, entonces la función
compuesta F Q es cóncava.
14. Si F es una función convexa y creciente, entonces F 1
es una función cóncava o,
equivalentemente, si F es una función cóncava y creciente, entonces F 1
es una
función convexa.
15. Si F es una función convexa y decreciente, entonces F 1
es una función convexa
o, equivalentemente, si F es una función cóncava y decreciente, entonces F 1
es
cóncava.
16. El producto de funciones cóncavas no ha de ser necesariamente una función cón-
cava.
17. El producto de funciones convexas no ha de ser necesariamente una función con-
vexa.

1.3.4 ¿Cómo determinar si una función es convexa o cóncava?
Obsérvese que no es fácil determinar si una función es convexa o cóncava por
definición. Por ello es conveniente disponer de unas condiciones necesarias y sufi-
cientes que permitan determinarlo, estudiando otros elementos más operativos.
Siempre que la función dada sea al menos dos veces derivable, se puede determi-
nar su carácter convexo o cóncavo.
1.3.4.1 En caso de funciones de una variable
Figura 1.9: Representación gráfica de la desigualdad (1.9) que expresa la condición de convexidad.
Si la función F = F (u) es derivable entonces la convexidad equivale a la condi-
ción que expresa la desigualdad,
d
dx
F (ua) 6
F (ub) F (ua)
ub ua
6
d
dx
F (ub) (1.9)
como se muestra gráficamente en la figura 1.9. Esto significa que la pendiente de la
curva entre los puntos ua y ub está contenida entre los valores extremos de la derivada,
lo cual equivale a que la derivada sea creciente en todo el dominio de F. Si F es
dos veces derivable, el carácter creciente de la primera derivada implica que que la
segunda derivada sea positiva,
d2
du2 F (u) > 0
Para una función
convexa
(1.10)

y para una función estrictamente convexa,
d2
du2 F (u) > 0
Para una función
estrictamente convexa
(1.11)
Mediante un razonamiento análogo al anterior se puede encontrar que para las
funciones cóncavas se debe cumplir que,
d2
du2 F (u) 6 0
Para una función
cóncava
(1.12)
y,
d2
du2 F (u) < 0
Para una función
estrictamente cóncava
(1.13)
para una función estrictamente cóncava.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 1.1
Determinar si la función,
F (u) =
1
u
con u > 0, es cóncava o covexa. Ver figura 1.10.
SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta,
d2
du2
F (u) =
2
u3
> 0
lo cual indica que es estrictamente convexa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 1.2
F (u) = e u
con 6 0 y u > 0 variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 1.11.
d2
du2
F (u) = 3
e u
6 0
lo cual indica que es cóncava.

Figura 1.10: Gráfica de la función F (u) = 1
u
para u > 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 1.3
F (u) = au2
+ bu + c
con a < 0 y u variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 1.12.
d2
du2
F (u) = 2a < 0
lo cual indica que es estrictamente cóncava.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 1.4
F (u) = e u
+ u
con > 0 y u variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 1.13.
d2
du2
F (u) = 2
e u
> 0
lo cual indica que es convexa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura 1.11: Gráfica de la función F (u) = e u para 6 0 y u > 0.
Figura 1.12: Gráfica de la función F (u) = au2 + bu + c con a < 0 y u variable real.
1.3.4.2 En caso de funciones de varias variables
Antes de indicar cómo saber si una función de varias variables es convexa o cón-
cava se definirá la Matriz Hessiana H y sus menores principales.

Figura 1.13: Gráfica de la función F (u) = e u + u con > 0 y u variable real.
La matriz Hessiana H de una función de n variables F =
F (u1; u2; :::; un) = F (ui), con i = 1; 2; 3; : : : ; n, es la matriz cuadrada
simétrica n n formada por las segundas derivadas de F (ui) y cuyos
elementos vienen dados por,
Hij =
@F (uk)
@ui@uj
(1.14)
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada cuya transpuesta es igual a ella misma.
Explícitamente la matriz Hessiana se escribe como,
H =
0
B
B
B
B
B
B
B
@
@2F
@u2
1
@2F
@u1@u2
@2F
@u1@u3
@2F
@u1@un
@2F
@u2@u1
@2F
@u2
2
@2F
@u2@u3
@2F
@u2@un
@2F
@u3@u1
@2F
@u3@u2
@2F
@u2
3
@2F
@u3@un
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
@2F
@un@u1
@2F
@un@u2
@2F
@un@u3
@2F
@u2
n
1
C
C
C
C
C
C
C
A
(1.15)
Se llaman Menores Principales Dominantes Dk de la matriz Hessiana H a los n deter-
minantes,
Dk =
@2F
@u2
1
@2F
@u1@u2
@2F
@u1@u3
@2F
@u1@uk
@2F
@u2@u1
@2F
@u2
2
@2F
@u2@u3
@2F
@u2@uk
@2F
@u3@u1
@2F
@u3@u2
@2F
@u2
3
@2F
@u3@uk
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
@2F
@uk@u1
@2F
@uk@u2
@2F
@uk@q3
@2F
@u2
k
, con k = 1; 2; 3; : : : ; n (1.16)

o explícitamente,
D1 = @2F
@u2
1
! D2 =
@2F
@u2
1
@2F
@u1@u2
@2F
@u2@u1
@2F
@u2
2
! D3 =
@2F
@u2
1
@2F
@u1@u2
@2F
@u1@u3
@2F
@u2@u1
@2F
@u2
2
@2F
@u2@u3
@2F
@u3@u1
@2F
@u3@u2
@2F
@u2
3
! ! Dn =
@2F
@u2
1
@2F
@u1@u2
@2F
@u1@u3
@2F
@u1@un
@2F
@u2@u1
@2F
@u2
2
@2F
@u2@u3
@2F
@u2@un
@2F
@u3@u1
@2F
@u3@u2
@2F
@u2
3
@2F
@u3@un
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
@2F
@un@u1
@2F
@un@u2
@2F
@un@u3
@2F
@u2
n
Ahora bien, es posible asociar el carácter de la función F = F (ui) con el estado de
la matriz Hessiana H la cual es mostrada en la siguiente tabla:
F (ui) H
Valores propios
de H
Dk
1
Estrictamente
convexa
Definida
positiva
> 0 Dk > 0, k = 1; 2; 3; : : : ; n
2 Convexa
Semidefinida
positiva
> 0 Dk > 0, k = 1; 2; 3; : : : ; n
3 Cóncava
Semidefinida
negativa
6 0
8
>
<
>
:
Dk 6 0, k impar.
y
Dk > 0, k par.
4
Estrictamente
cóncava
Definida
negativa
< 0
8
>
<
>
:
Dk < 0, k impar.
y
Dk > 0, k par.
y si la función no es convexa ni cóncava, entonces se dice que es indefinida.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 1.5
Determinar si la función F : R2
! R,
F (u1; u2) = u2
1 + u2
2 2u1u2
es cóncava o covexa. Ver figura 1.14.
SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (1.15) a partir de la función dada,
H =
@2F
@u2
1
@2F
@u1@u2
@2F
@u2@u1
@2F
@u2
2
!
=
2 2
2 2
!
(1.17)

Figura 1.14: Gráfica de la función F (u1; u2) = u2
1 + u2
2 2u1u2.
y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (1.16),
2
6
4
D1 = 2 > 0
D2 =
2 2
2 2
= 0
(1.18)
cumpliéndose el caso 2 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es semidefinida
positiva en todo R2
. Por lo tanto, F (u1; u2) es convexa en todo R2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 1.6
! R,
F (u1; u2) = u4
1 + u2
2
H =
@2F
@u2
1
@2F
@u1@u2
@2F
@u2@u1
@2F
@u2
2
!
=
12u2
1 0
0 2
!
(1.19)
2
6
4
D1 = 12u2
1 > 0
D2 =
12u2
1 0
0 2
= 24u2
1 > 0
(1.20)
cumpliéndose el caso 2 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es semidefinida
positiva en todo R2
. Por lo tanto, F (u1; u2) es convexa en todo R2
.

1 + u2
2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 1.7
! R,
F (u1; u2) = u4
1 + u2
2 4u1u2
1 + u2
2 4u1u2.

H =
@2F
@u2
1
@2F
@u1@u2
@2F
@u2@u1
@2F
@u2
2
!
=
12u2
1 4
4 2
!
(1.21)
2
6
4
D1 = 12u2
1 > 0
D2 =
12u2
1 4
4 2
= 24u2
1 16 > 0
(1.22)
El signo de D2 depende de u1 lo que indica que la matriz Hessiana no es semidefinida
positiva ni negativa en todo R2
. Por esta razón la función F (u1; u2) es indefinida en todo
R2
, pudiendo ser convexa o cóncava en algunos subconjuntos de R2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 1.8
Determinar si la función F : (0; 1) (0; 1) ! R,
F (u1; u2) = ln u1 + ln u2
Figura 1.17: Gráfica de la función F (u1; u2) = ln u1 + ln u2.
H =
@2F
@u2
1
@2F
@u1@u2
@2F
@u2@u1
@2F
@u2
2
!
=
1
u2
1
0
0 1
u2
2
!
(1.23)

2
6
6
4
D1 = 1
u2
1
< 0
D2 =
1
u2
1
0
0 1
u2
2
= 1
u2
1u2
2
> 0
(1.24)
cumpliéndose el caso 4 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es definida neg-
ativa en todo (0; 1) (0; 1). Por lo tanto, F (u1; u2) es cóncava en todo (0; 1) (0; 1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPITULO 2
TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA
UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Contenido
2.1 Obtención mediante un enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Obtención mediante un enfoque diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de una
variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Obtención mediante un enfoque geométrico
Para encontrar la forma de realizar esta transformación se tomará, por este mo-
mento, una ruta geométrica [Ref. 28, 29, 30, 31]. Considérese la gráfica de F (u) versus
u mostrada en la figura 2.1. Escójase ahora un valor de u que represente la abcisa del
punto donde la recta tangente toca a F (u), por lo tanto, F (u) será la ordenada de
dicho punto. La ordenada del punto de corte de la tangente a la curva con el eje
horizontal (“eje F”) está representado por G. Es fácil entonces ver a partir del triángulo
ABC que,
Tg =
F + G
u
=
dF (u)
du
= v (2.1)
22

CAPITULO 2. TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Figura 2.1: Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación fundamental de una variable F = F (u).
de aquí que,
G (v) = uv F (u)
Transformación de Legendre
para una variable independiente
(2.2)
donde la función G (v) se denomina Transformación de Legendre de F (u). A la variable
v se le da el nombre de Variable Conjugada de u.
Se tienen ahora dos posibles situaciones:
1. Se conoce la relación F (u) y se quiere hallar G (v): este es el caso que representa
la Transformación de Legendre (2.2). Si se conoce F (u) entonces se tiene también
v = dF(u)
du
, de donde se puede despejar u como función de v para reemplazarla en
(2.2). De esta manera G queda como una función sólo de v, G = G (v).
2. Se conoce la relación G (v) y se quiere hallar F (u): al despejar F de (2.2) resulta,
F (u) = uv G (v)
Transformación de Legendre Inversa
para una variable independiente
(2.3)
donde,
u =
dG (v)
dv
(2.4)

Ahora, si se conoce G (v) entonces a partir de (2.4) se puede despejar v como fun-
ción de u y reemplazarla en (2.3). De esta manera F queda como una función sólo
de u, F = F (u). Esta es la Transformación de Legendre Inversa de la función G (v).
2.2 Obtención mediante un enfoque diferencial
Se obtendrá ahora la Transformación de Legendre (2.2) mediante un enfoque difer-
encial [Ref. 30,31]. Al diferenciar la función F = F (u) resulta,
dF =
dF
du
du (2.5)
si ahora se hace,
v =
dF
du
(2.6)
entonces se puede escribir que,
dF = vdu (2.7)
Por otro lado,
d (uv) = udv + vdu (2.8)
de manera que, al restar (2.7) de (2.8) resulta,
d (uv) dF = udv + vdu vdu
d (uv F) = udv
dG = udv
donde se ha introducido la función,
G = uv F (2.9)
que es la Transformación de Legendre buscada. Puesto que se han tomado diferen-
ciales de u y v, es posible tomar estas dos cantidades como variables independientes
de la nueva función G.
2.3 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para fun-
ciones de una variable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.1
Sea F (u) = u3
, encontrar su Transformación de Legendre.
SOLUCION: de (2.2),
G (v) = uv u3
(2.10)
y de (2.1),
v =
dF (u)
du
=
d
du
u3
= 3u2
) u (v) =
v
3
1
2
(2.11)
por lo tanto, al sustituir (2.11) en (2.10) resulta,
G (v) =
v
3
1
2
v
v
3
3
2
o,
G (v) = 2 v
3
3
2
(2.12)
que es la Transformación de Legendre pedida.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 2.2
Sea F (u) = au2
+ bu + c (a, b y c constantes), encontrar su Transforma-
ción de Legendre.
SOLUCION: de (2.2),
G (v) = uv au2
+ bu + c (2.13)
y de (2.1),
v =
dF (u)
du
=
d
du
au2
+ bu + c = 2au + b ) u (v) =
1
2a
(v b) (2.14)
G (v) =
1
2a
(v b) v
(
a
1
2a
(v b)
2
+ b
1
2a
(v b) + c
)
o,
G (v) = 1
4a
(v b)2
c (2.15)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 2.3
Sea F (u) = eu
+ 1, encontrar su Transformación de Legendre.
SOLUCION: de (2.2),
G (v) = uv (eu
+ 1) (2.16)

y de (2.1),
v =
dF (u)
du
=
d
du
(eu
+ 1) = eu
) u (v) = ln v (2.17)
G (v) = v ln v (v + 1)
o,
G (v) = v (ln v 1) 1 (2.18)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 2.4
Sea F (u) = u ln u, encontrar su Transformación de Legendre.
SOLUCION: de (2.2),
G (v) = uv u ln u (2.19)
y de (2.1),
v =
dF (u)
du
=
d
du
(u ln u) = ln u + 1 ) u (v) = ev 1
(2.20)
G (v) = ev 1
v ev 1
ln ev 1
o,
G (v) = ev 1
(2.21)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPITULO 3
TRANSFORMACION DE LEGENGRE PARA
MAS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Contenido
3.1 Obtención . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Obtención
Ahora bien, todo el desarrollo anterior es válido para el caso de más de una vari-
able independiente. Esto se puede mostrar a partir de un enfoque diferencial como el
de la sección 2.2. En efecto, dada una función de n variables independientes,
F = F (u1; u1; u3; : : : ; un) = F (uj) , con j = 1; 2; 3; : : : ; n
su diferencial total viene dado por,
dF (uj) =
@F
@u1
du1 +
@F
@u2
du2 +
@F
@u3
du3 + : : : +
@F
@un
dun =
n
X
i=1
@F (uj)
@ui
dui (3.1)
y si se hace,
vi =
@F (uj)
@ui
27

CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE LEGENGRE PARA MAS DE UNA VARIABLE
INDEPENDIENTE
entonces,
dF (uj) =
n
X
i=1
vidui (3.2)
Por otro lado es posible escribir que,
d (u1v1) = u1dv1 + v1du1
d (u2v2) = u2dv2 + v2du2
d (u3v3) = u3dv3 + v3du3
.
.
.
d (unvn) = undvn + vndun
(3.3)
que al ser sumadas miembro a miembro resulta en,
d (u1v1) + d (u2v2) + d (u3v3) + + d (unvn) = u1dv1 + v1du1 + u2dv2 + v2du2 + u3dv3 + v3du3
+ + undvn + vndun
d (u1v1 + u2v2 + u3v3 + + unvn) = (u1dv1 + u2dv2 + u3dv3 + + undvn) + (v1du1 + v2du2
+v3du3 + + vndun)
de donde,
d
n
X
i=1
uivi
!
=
n
X
i=1
uidvi +
n
X
i=1
vidui (3.4)
Ahora, al restar miembro a miembro (3.2) de (3.4) se obtiene,
d
n
X
i=1
uivi
!
dF (uj) =
n
X
i=1
uidvi +
n
X
i=1
vidui
n
X
i=1
vidui
| {z }
=0
d
" n
X
i=1
uivi dF (uj)
#
=
n
X
i=1
uidvi
de donde,
dG (vj) =
n
X
i=1
uidvi (3.5)
en la cual,
G (vj) =
n
X
i=1
uivi F (uj) , j = 1; 2; 3; : : : ; n
Transformación de Legendre
para n variables independientes uj
(3.6)
con,
vi =
@F(uj)
@ui
(3.7)

INDEPENDIENTE
ciones de varias variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 3.1
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1; v2) de la función,
F (u1; u2) = eu1
+ u2
2
SOLUCION: este es un caso de n = 2 variables independientes, por lo tanto, de (3.6)
se puede escribir,
G (v1; v2) = u1v1 + u2v2 eu1
+ u2
2 (3.8)
y de (3.7),
v1 =
@F
@u1
=
@
@u1
eu1
+ u2
2 = eu1
) u1 = ln v1 (3.9)
v2 =
@F
@u2
=
@
@u2
eu1
+ u2
2 = 2u2 ) u2 =
1
2
v2 (3.10)
por lo tanto, al sustituir (3.9) y (3.10) en (3.8) resulta,
G (v1; v2) = v1 ln v1 +
1
2
v2v2
"
v1 +
1
2
v2
2
#
(3.11)
o,
G (v1; v2) = v1 (ln v1 1) + 1
4
v2
2 (3.12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 3.2
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1; v2; v3) de la función,
F (u1; u2; u3) = u2
1 + cu3 Sen u2
donde c es una constante.
se puede escribir,
G (v1; v2; v3) = u1v1 + u2v2 + u3v3 u2
1 + cu3 Sen u2 (3.13)

INDEPENDIENTE
y de (3.7),
v1 =
@F
@u1
=
@
@u1
u2
1 + cu3 Sen u2 = 2u1 ) u1 =
1
2
v1 (3.14)
v2 =
@F
@u2
=
@
@u2
u2
1 + cu3 Sen u2 = cu3 Cos u2 ) u3 =
1
c
v2 sec u2 (3.15)
v3 =
@F
@u3
=
@
@u3
u2
1 + cu3 Sen u2 = c Sen u2 ) u2 = Sen 1 1
c
v3 (3.16)
de las cuales,
u1 =
1
2
v1 (3.17)
u2 = Sen 1 1
c
v3 (3.18)
u3 =
1
c
v2 sec Sen 1 1
c
v3 =
v2
p
c2 v2
3
(3.19)
por lo tanto, al sustituir (3.17) a (3.19) en (3.13) resulta,
G (v1; v2; v3) =
1
2
v1v1 + v2 Sen 1 1
c
v3 + v3
v2
p
c2 v2
3
(
1
2
v1
2
+ c
v2
p
c2 v2
3
Sen Sen 1 1
c
v3
)
(3.20)
o,
G (v1; v2; v3) = 1
4
v2
1 + v2 Sen 1 1
c
v3 (3.21)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 3.3
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1; v2; v3; v4) de la fun-
ción,
F (u1; u2; u3; u4) = u2 ln u1 Cos u3 + u2u4
donde c es una constante.
se puede escribir,
G (v1; v2; v3; v4) = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 (u2 ln u1 Cos u3 + u2u4) (3.22)

INDEPENDIENTE
y de (3.7),
v1 =
@F
@u1
=
@
@u1
(u2 ln u1 Cos u3 + u2u4) =
u2
u1
(3.23)
v2 =
@F
@u2
=
@
@u2
(u2 ln u1 Cos u3 + u2u4) = ln u1 + u4 (3.24)
v3 =
@F
@u3
=
@
@u3
(u2 ln u1 Cos u3 + u2u4) = Sen u3 (3.25)
v4 =
@F
@u4
=
@
@u4
(u2 ln u1 Cos u3 + u2u4) = u2 (3.26)
de las cuales,
u1 =
v4
v1
(3.27)
u2 = v4 (3.28)
u3 = Sen 1
(v3) (3.29)
u4 = v2 ln
v4
v1
(3.30)
G (v1; v2; v3; v4) =
v4
v1
v1 + v4v2 + v3 Sen 1
(v3) + v2 ln
v4
v1
v4
v4 ln
v4
v1
Cos Sen 1
(v3) + v4 v2 ln
v4
v1
(3.31)
o,
G (v1; v2; v3; v4) = v4
h
1 + v2 ln v4
v1
i
+
p
1 v2
3 + v3 Sen 1
(v3) (3.32)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPITULO 4
LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS Y
SU FORMA VECTORIAL
Contenido
4.1 Tipos de variables en una Transformación de Legendre . . . . . . . . 32
4.2 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias
variables con una o más variables pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 La Transformación de Legendre en forma vectorial . . . . . . . . . . . 39
4.1 Tipos de variables en una Transformación de Legendre
En una Transformación de Legendre podemos distinguir dos tipos de variables [Ref. 16]:
las Variables Activas y las Variables Pasivas.
A las variables que se incluyen en la sumatoria de (3.6), es decir, las
variables que se transforman se les denominan Variables Activas y las vari-
ables adicionales que no son parte de la transformación como tal, pero
tienen estatus de parámetros, se les denominan Variables Pasivas.
32

CAPITULO 4. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS
Y SU FORMA VECTORIAL
La expresión general para la transformación de una función con n variables activas
ui y m variables pasivas wj queda ahora escrita como,
G (vj; wk) =
n
X
i=1
uivi F (uj; wk) , j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m
Transformación de Legendre para n variables activas uj
y m variables pasivas wk
(4.1)
con,
vi =
@F(uj;wk)
@ui
(4.2)
Es posible encontrar cómo están relacionadas las derivadas parciales, con respecto
a las variables pasivas, de las funciones F y G. En efecto, supóngase que se tiene
F = F (u1; u2; w) y G = G (v1; v2; w), donde w es una variable pasiva, y que satisfacen las
expresiones,
v1 =
@F
@u1
| {z }
v1=v1(u1;u2;w)
v2 =
@F
@u2
| {z }
v2=v2(u1;u2;w)
(4.3)
u1 =
@G
@v1
| {z }
u1=u1(v1;v2;w)
u2 =
@G
@v2
| {z }
u2=u2(v1;v2;w)
(4.4)
donde (4.3) define v1 y v2 como funciones de u1, u2 y w; y (4.4) define u1 y u2 como
funciones de v1, v2 y w.
De (4.1) se tiene que,
F (u1; u2; w) + G (v1; v2; w) = u1v1 + u2v2 (4.5)
Al díferenciar esta expresión con respecto a w resulta (aplicando la regla de la ca-
dena),
@F
@u1
@u1
@w
+
@F
@u2
@u2
@w
+
@F
@w
@w
@w
|{z}
=1
+
@G
@v1
@v1
@w
+
@G
@v2
@v2
@w
+
@G
@w
@w
@w
|{z}
=1
=
@u1
@w
v1 + u1
@v1
@w
+
@u2
@w
v2 + u2
@v2
@w
o,
@F
@w
+
@G
@w
= v1
@F
@u1
| {z }
=0 por (4.3)
@u1
@w
+ v2
@F
@u2
| {z }
=0 por (4.3)
@u2
@w
+ u1
@G
@v1
| {z }
=0 por (4.4)
@v1
@w
+ u2
@G
@v2
| {z }
=0 por (4.4)
@v2
@w
= 0 (4.6)
de aquí que,
@F
@w
+ @G
@w
= 0 ! @F
@w
= @G
@w
(4.7)

que es la relación buscada y se mantiene para cada una de las variables pasivas, es
decir, habrá una relación de este tipo para cada una de las variables pasivas presentes.
En general,
@F(ui;wi)
@wk
+ @G(vi;wi)
@wk
= 0 ! @F(ui;wi)
@wk
= @G(vi;wi)
@wk
, i = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m (4.8)
ciones de varias variables con una o más variables pa-
sivas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 4.1
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1; v2; w) de la función,
F (u1; u2; w) = 2u2
1 3u1u2 + u2
2 + 3wu1
donde w es una variable pasiva. Verifique que,
@F
@w
+
@G
@w
= 0
SOLUCION: de (4.1),
G (v1; v2; w) = u1v1 + u2v2 2u2
1 3u1u2 + u2
2 + 3wu1 (4.9)
y de (4.2),
v1 =
@F
@u1
=
@
@u1
2u2
1 3u1u2 + u2
2 + 3wu1 = 4u1 3u2 + 3w (4.10)
v2 =
@F
@u2
=
@
@u2
2u2
1 3u1u2 + u2
2 + 3wu1 = 3u1 + 2u2 (4.11)
Al resolver el sistema formado por (4.10) y (4.11) para u1 y u2 resulta,
u1 = 2v1 3v2 + 6w (4.12)
u2 = 3v1 4v2 + 9w (4.13)
por lo tanto, al sustituir (4.12) y (4.13) en (4.9), y después de algunos cálculos algebraicos
elementales resulta,
G (v1; v2; w) = (v1 3w)2
+ v2 (9w 3v1 2v2) (4.14)

Por otro lado, deben cumplirse las identidades (4.8). En efecto,
@F
@w
+
@G
@w
=
@
@w
2u2
1 3u1u2 + u2
2 + 3wu1
+
@
@w
(v1 3w)2
+ v2 (9w 3v1 2v2)
= 3u1 + 6 (v1 3w) + 9v2
= 3 ( 2v1 3v2 + 6w)
| {z }
por (4.12)
+ 6 (v1 3w) + 9v2 = 0
verificándose así que @F
@w
+ @G
@w
= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 4.2
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1; v2; v3; w1; w2) de la
función,
F (u1; u2; u3; w1; w2) = 7u1u3 + 2u2
2 5w1u3 w2
2
donde w1 y w2 son variables pasivas. Verifique además que,
@F
@w1
+
@G
@w1
= 0 y
@F
@w2
+
@G
@w2
= 0
SOLUCION: de (4.1),
G (v1; v2; v3; w1; w2) = u1v1 + u2v2 + u3v3 7u1u3 + 2u2
2 5w1u3 w2
2 (4.15)
y de (4.2),
v1 =
@F
@u1
= 7u3 (4.16)
v2 =
@F
@u2
= 4u2 (4.17)
v3 =
@F
@u3
= 7u1 5w1 (4.18)
de las cuales se obtiene,
u1 =
1
7
(v3 + 5w1) (4.19)
u2 =
1
4
v2 (4.20)
u3 =
1
7
v1 (4.21)
G (v1; v2; v3; w1; w2) = 1
8
v2
2 + 1
7
v1 (v3 + 5w1) + w2
2 (4.22)

@F
@w1
+
@G
@w1
=
@F
@w1
7u1u3 + 2u2
2 5w1u3 w2
2
+
@
@w1
1
8
v2
2 +
1
7
v1 (v3 + 5w1) + w2
2
= 5u3 +
5
7
v1
= 5
1
7
v1
| {z }
por (4.21)
+
5
7
v1 = 0
y,
@F
@w2
+
@G
@w2
=
@
@w2
7u1u3 + 2u2
2 5w1u3 w2
2
+
@
@w2
1
8
v2
2 +
1
7
v1 (v3 + 5w1) + w2
2
= 2w2 + 2w2 = 0
@w1
+ @G
@w1
= 0 y @F
@w2
+ @G
@w2
= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 4.3
Encuentre la Transformación de Legendre G (v; w) de la función,
F (u; w) =
1
2
mR2
u2
mgR Cos w
donde w es una variable pasiva, m y R son constantes. Verifique que,
@F
@w
+
@G
@w
= 0
SOLUCION: de (4.1),
G (v; w) = uv
1
2
mR2
u2
mgR Cos w (4.23)
y de (4.2),
v =
@F
@u
=
@
@u
1
2
mR2
u2
mgR Cos w = mR2
u ) u =
v
mR2
(4.24)
que al sustituir en (4.23) resulta,
G (v; w) =
v
mR2
v
1
2
mR2 v
mR2
2
mgR Cos w (4.25)

o,
G (v; w) = 1
2
v2
mR2 + mgR Cos w (4.26)
@F
@w
+
@G
@w
=
@
@w
1
2
mR2
u2
mgR Cos w
+
@
@w
1
2
v2
mR2
+ mgR Cos w
= 0
@w
+ @G
@w
= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 4.4
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1; v2; v3; w1; w2; w3) de la
función,
F (u1; u2; u3; w1; w2; w3) = w1u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2u2
donde w1, w2 y w3 son variables pasivas. Verifique que,
@F
@w1
+
@G
@w1
= 0,
@F
@w2
+
@G
@w2
= 0 y
@F
@w3
+
@G
@w3
= 0
SOLUCION: de (4.1),
G (v1; v2; v3; w1; w2; w3) = u1v1 + u2v2 + u3v3 (w1u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2u2) (4.27)
y de (4.2),
v1 =
@F
@u1
=
@
@u1
(w1u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2u2) =
w1u2
u1
(4.28)
v2 =
@F
@u2
=
@
@u2
(w1u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2u2) = w1 ln u1 + w2 (4.29)
v3 =
@F
@u3
=
@
@u3
(w1u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2u2) = w3 Sen u3 (4.30)
de las cuales resulta,
u1 = e
v2 w2
w1 (4.31)
u2 =
v1
w1
e
v2 w2
w1 (4.32)
u3 = Sen 1 v3
w3
(4.33)

G (v1; v2; v3; w1; w2; w3) = v1e
v2 w2
w1 + v2
v1
w1
e
v2 w2
w1 + v3 Sen 1 v3
w3
w1
v1
w1
e
v2 w2
w1 ln e
v2 w2
w1 w3 Cos Sen 1 v3
w3
+ w2
v1
w1
e
v2 w2
w1
(4.34)
o,
G (v1; v2; v3; w1; w2; w3) =
p
w2
3 v2
3 + v1e
v2 w2
w1 + v3 Sen 1 v3
w3
(4.35)
@F
@w1
+
@G
@w1
=
@
@w1
(w1u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2u2)
+
@
@w1
q
w2
3 v2
3 + v1e
v2 w2
w1 + v3 Sen 1 v3
w3
= u2 ln u1
v1
w2
1
(v2 w2) e
v2 w2
w1
=
v1
w1
e
v2 w2
w1 ln e
v2 w2
w1
v1
w2
1
(v2 w2) e
v2 w2
w1 = 0
@F
@w2
+
@G
@w2
=
@
@w2
+
@
@w2
q
w2
3 v2
3 + v1e
v2 w2
w1 + v3 Sen 1 v3
w3
= u2
v1
w1
e
v2 w2
w1
=
v1
w1
e
v2 w2
w1
| {z }
por (4.32)
v1
w1
e
v2 w2
w1 = 0
y,
@F
@w3
+
@G
@w3
=
@
@w3
+
@
@w3
q
w2
3 v2
3 + v1e
v2 w2
w1 + v3 Sen 1 v3
w3
= Cos u3 +
w3
p
w2
3 v2
3
v2
3
w3
p
w2
3 v2
3
= Cos Sen 1 v3
w3
+
w3
p
w2
3 v2
3
v2
3
w3
p
w2
3 v2
3
= 0
@w1
+ @G
@w1
= 0, @F
@w2
+ @G
@w2
= 0 y @F
@w3
+ @G
@w3
= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 La Transformación de Legendre en forma vectorial
Si las variables activas v1; v2; v3; : : : ; vn, u1; u2; u3; : : : ; un y las variables pasivas w1; w2; w3; : : : ; wm
son representadas mediante los vectores [Ref. 16],
!
v = (v1; v2; v3; : : : ; vn)
!
u = (u1; u2; u3; : : : ; un)
)
! variables activas
!
w = (w1; w2; w3; : : : ; wm) ! variables pasivas
(4.36)
entonces, 8
<
:
!
v = @F
@u1
; @F
@u2
; @F
@u3
; : : : ; @F
@un
= gradu F (!
u ; !
w )
!
u = @G
@v1
; @G
@v2
; @G
@v3
; : : : ; @G
@vn
= gradv G (!
v ; !
w )
(4.37)
de esta manera la expresión (4.1) puede ser reproducida mediante,
G (!
v ; !
w ) = !
u !
v F (!
u ; !
w ) (4.38)
Por último, en esta misma forma, las relaciones (4.8) entre las derivadas parciales con
respecto a las variables pasivas de las funciones F y G pueden ser escritas como,
@F
@w1
;
@F
@w2
;
@F
@w3
; : : : ;
@F
@wm
=
@G
@w1
;
@G
@w2
;
@G
@w3
; : : : ;
@G
@wm
o,
gradw F (!
u ; !
w ) = gradw G (!
v ; !
w ) (4.39)

CAPITULO 5
ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS
DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
Contenido
5.0.1 La inversa de la Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.0.2 Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.0.3 Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.0.4 Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
La construcción geométrica y las relaciones resultantes permiten mostrar rela-
ciones elegantes y útiles. En particular considérense las siguientes [Ref. 32,30]:
5.0.1 La inversa de la Transformación de Legendre
Ordinariamente, la inversa de una transformación es distinta de la transformación
en sí como, por ejemplo, ocurre con la transformación inversa de la Transformación de
Laplace. La Transformación de Legendre se distingue entre ellas ya que ella misma es su
inversa. Si se lleva a cabo la Transformación de Legendre por segunda vez, se recobra
la función original.
Se demostrará esta propiedad, por simplicidad, para el caso de una variable inde-
pendiente pero el resultado es válido para el caso de más de una variable indepen-
diente. Dada la función F = F (u), su Transformación de Legendre viene dada según
40

CAPITULO 5. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS DE LA TRANSFORMACION DE
LEGENDRE
(2.2) por,
G (v) = uv F (u) , con v =
dF (u)
du
Ahora, supóngase que se quiere la Transformación de Legendre de G (v) que será de-
nominada H (u ) para efectos de la presente demostración. Esta transformación, como
ya se sabe, se obtiene al usar (2.2) como sigue,
H (u ) = u v G (v) , con u =
dG (v)
dv
(5.1)
Según la propiedad de la inversa de la Transformación de Legendre, debe cumplirse
que H = F. En efecto, de (5.1),
H (u ) = u v [uv F (u)]
| {z }
por (2.2)
= (u u) v + F (u) (5.2)
pero,
u =
dG (v)
dv
=
d
dv
[uv F (u)]
| {z }
por (2.2)
= u + v
du
dv
dF (u)
du
du
dv
= u + v
du
dv
v
|{z}
por (2.1)
du
dv
= u (5.3)
por lo tanto, al sustituir el resultado (5.3) en (5.2), resulta,
H (u) = F (u) (5.4)
de aquí que,
La Transformación de Legendre de una Transformación de Legendre
es la función original, es decir, ella misma es su inversa. En otras palabras,
la Transformación de Legendre es Autodual o una Involución
[Ref. 33]
.
En matemática, una involución, función involutiva o también autodual es una fun-
ción matemática que es su propia inversa. La Transformación de Legendre inversa para
una función de n variables G (vj) viene dada por,
F (uj) =
n
X
i=1
uivi G (vj), j = 1; 2; 3; : : : ; n (5.5)
con,
ui =
@G(vj)
@vi
(5.6)

LEGENDRE
o en forma más general al incluir m variables pasivas,
F (uj; wk) =
n
X
i=1
uivi G (vj; wk) , j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m
Transformación de Legendre Inversa
para n variables activas vj y m variables pasivas wk
(5.7)
con,
ui =
@G(vj;wk)
@vi
(5.8)
cumpliendo cada variable pasiva con las condiciones (4.8).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 5.1
Encuentre la Transformación de Legendre de la transformación en-
contrada en el ejemplo 2.1,
G (v) = 2
v
3
3
2
SOLUCION: de (5.2),
F (u) = uv 2
v
3
3
2
(5.9)
y de (5.3),
u =
dG (v)
dv
=
d
dv
2
v
3
3
2
=
v
3
1
2
) v = 3u2
(5.10)
F (u) = 3u2
u 2
1
3
3u2
3
2
= u3
(5.11)
o,
F (u) = u3
(5.12)
que es, precisamente, la función cuya Transformación de Legendre es la G (v) dada en
el ejemplo 2.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 5.2
G (v1; v2) = v1 (ln v1 1) +
1
4
v2
2

LEGENDRE
SOLUCION: este es un caso de dos variables independientes, por lo tanto, de (5.2),
F (u1; u2) = u1v1 + u2v2 v1 (ln v1 1) +
1
4
v2
2 (5.13)
y de (5.3),
u1 =
@G
@v1
=
@
@v1
v1 (ln v1 1) +
1
4
v2
2 = ln v1 ) v1 = eu1
(5.14)
u2 =
@G
@v2
=
@
@v2
v1 (ln v1 1) +
1
4
v2
2 =
1
2
v2 ) v2 = 2u2 (5.15)
por lo tanto, al sustituir (5.14) y (5.15) en (5.13) resulta,
F (u1; u2) = u1eu1
+ 2u2u2 eu1
(ln eu1
1) +
1
4
(2u2)2
(5.16)
o,
F (u1; u2) = eu1
+ u2
2 (5.17)
que es, precisamente, la función cuya Transformación de Legendre es la G (v1; v2) dada
en el ejemplo 3.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO 5.3
G (v1; v2; v3; w1; w2) =
1
8
v2
2 +
1
7
v1 (v3 + 5w1) + w2
2
SOLUCION: este es un caso de tres variables independientes, por lo tanto, de (5.2),
F (u1; u2; u3; w1; w2) = u1v1 + u2v2 + u3v3
1
8
v2
2 +
1
7
v1 (v3 + 5w1) + w2
2 (5.18)
y de (5.3),
u1 =
@G
@v1
=
@
@v1
1
8
v2
2 +
1
7
v1 (v3 + 5w1) + w2
2 =
1
7
(v3 + 5w1) ) v3 = 7u1 5w1 (5.19)
u2 =
@G
@v2
=
@
@v2
1
8
v2
2 +
1
7
v1 (v3 + 5w1) + w2
2 =
1
4
v2 ) v2 = 4u2 (5.20)
u3 =
@G
@v3
=
@
@v3
1
8
v2
2 +
1
7
v1 (v3 + 5w1) + w2
2 =
1
7
v1 ) v1 = 7u3 (5.21)
F (u1; u2; u3; w1; w2) = 7u3u1 + 4u2u2 + u3 (7u1 5w1)
1
8
(4u2)2
+
1
7
7u3 (7u1 5w1 + 5w1) + w2
2 (5.22)

LEGENDRE
o,
F (u1; u2; u3; w1; w2) = 7u1u3 + 2u2
2 5w1u3 w2
2 (5.23)
que es, precisamente, la función cuya Transformación de Legendre es la G (v1; v2; v3; w1; w2)
dada en el ejemplo 4.2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.0.2 Valores extremos
Supóngase que la función F (u) es convexa (como en la figura 2.1), entonces debe
tener un mínimo. Suponiendo que esto ocurre, entonces el mínimo es único. Denótese
este punto por,
Fmín = F (umín) (5.24)
Por supuesto, la pendiente se anula en este punto, es decir, v (umín) = 0. Si se in-
troduce este punto en la expresión (2.2), que define la Transformación de Legendre,
resulta que el valor mínimo de F es,
Fmín = G (0) (5.25)
De forma similar, a partir del hecho de que F es la Transformación de Legendre de G,
se puede concluir que el valor mínimo de G es,
Gmín = F (0) (5.26)
Ahora bien, se puede usar (2.2) escrita en la forma,
G (v) + F (u) = uv (5.27)
(que muestra la simetría entre G (v) ; v y F (u) ; u explícitamente) para ver qué ocurre
para extremos generales. Supóngase que F (u) toma su valor extremo en uext, el cual
corresponde a una tangente horizontal, v = 0. De esta manera, a partir de (5.27),
G (0) + F (uext) = 0 (5.28)
De forma similar, G (v) tendrá un valor extremo en vext, donde u (vext) = 0 debido a (2.4),
de manera que,
G (vext) + F (0) = 0 (5.29)
Para apreciar el significado geométrico de esta ecuación sólo se necesita examinar
la figura 2.1 y ver que la intersección de la tangente a la curva F (u) con el eje vertical
nunca alcanza más allá de F (0).

LEGENDRE
5.0.3 Simetrías y relaciones entre derivadas
Puesto que F (u) y G (v) son transformaciones de Legendre la una de la otra, es
de esperarse que existan numerosas relaciones simétricas. Las primeras relaciones de
simetría las constituyen las mismas relaciones que proporcionan la Transformación de
Legendre (2.2) y las relaciones entre v (2.1) y u (2.4),
G (v) + F (u) = uv
v = dF(u)
du
, u = dG(v)
dv
(5.30)
A partir de estas expresiones se puede obtener un conjunto de relaciones, entre F (u)
y G (v), que conducen a otras relaciones muy elegantes e interesantes entre derivadas
parciales [Ref. 30]. En efecto, al derivar (2.1) con respecto a u y (2.4) con respecto a v
resultan,
dv (u)
du
=
d2
F (u)
du2
(5.31)
du (v)
dv
=
d2
G (v)
dv2
(5.32)
que al ser multiplicadas miembro a miembro dan como resultado,
du
dv
dv
du
=
d2
G (v)
dv2
d2
F (u)
du2
o,
d2G(v)
dv2
d2F(u)
du2 = 1 (5.33)
que es una relación simétrica para la segunda derivada, ilustrando claramente la im-
portancia de la covexidad estricta ya que ninguno de los dos factores pueden anu-
larse.
Derivando (5.33) con respecto a u (igual resulta con respecto a v) se puede escribir
una relación simétrica para la tercera derivada,
d3G
dv3
d2G
dv2
3=2 +
d3F
du3
d2F
du2
3=2 = 0 (5.34)
Es posible obtener un conjunto infinito de relaciones como (5.33) y (5.34) para derivadas
de orden superior, derivando una y otra vez. Tal ejercicio también muestra que si F es
suave, entonces G también lo es. Las relaciones para derivadas superiores son más y
más complejas.

LEGENDRE
5.0.4 Otras propiedades
A continuación se presentarán, sin demostración, algunas propiedades adicionales de
la Transformación de Legendre donde, por razones de facilitar la notación, se usará el
asterisco para indicar la aplicación de la misma sobre una función dada:
1. Si F (u) = aQ (u) entonces,
F (v) = aQ
v
a
(5.35)
2. Si F (u) = Q (au) entonces,
F (v) = Q
v
a
(5.36)
3. Si F (u) = Q (u) + a entonces,
F (v) = Q (v) + a (5.37)
4. Si F (u) = Q (u + a) entonces,
F (v) = Q (v) + av (5.38)
5. Si F (u) = Q 1
(u) entonces,
F (v) = vQ
1
v
(5.39)
6. Mapea funciones convexas a funciones convexas.

CAPITULO 6
ALGUNAS APLICACIONES DE LA
TRANSFORMACION DE LEGENDRE
Contenido
6.1 En la Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 En la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 El Potencial de Helmholtz o Energía Libre de Helmholtz . . . . . . . . . . 51
6.2.2 La Entalpía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.3 La Función de Gibbs o Energía Libre de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.4 Potencial Gran Canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.5 Otros Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A continuación se presentarán, de una forma muy resumida, dos de las más impor-
tantes aplicaciones (entre muchas de ellas [Ref. 34, 35, 18, 36, 37, 19]) de la Transforma-
ción de Legendre en la Física: en la Mecánica Clásica y en la Termodinámica.
6.1 En la Mecánica Clásica
Como es estudiado en los cursos de Mecánica Clásica, ésta puede ser abordada
mediante tres tipos de formulaciones: la formulación Newtoniana, la formulación La-
grangiana y la formulación Hamiltonianay
. La primera es vectorial y las dos restantes
Ver apéndice D.4 para una biografía resumida de Lagrange.
y
Ver apéndice D.5 para una biografía resumida de Hamilton.
47

CAPITULO 6. ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
son energéticas [Ref. 13,14,15,16,17].
En el campo de la Mecánica Clásica, la Transformación de Legendre
es útil ya que permite construir la Mecánica Hamiltoniana a partir de la
Mecánica Lagrangiana y viceversa.
En la Mecánica Lagrangiana el comportamiento de un sistema mecánico dado
puede ser determinado a partir de su Lagrangiano L = L qi; qi; t , que es igual a la
diferencia entre su energía cinética total T y su energía potencial total U,
L qi; qi; t = T U (6.1)
que es una función explícita de las coordenadas generalizadas qi, las velocidades gen-
eralizadas qi y el tiempo t. Por otro lado, en la Mecánica Hamiltoniana, el compor-
tamiento del sistema mecánico viene dado a partir de su Hamiltoniano H = H (qi; pi; t),
que es una función explícita de las coordenadas generalizadas qi, los momentos gen-
eralizados (o momentos conjugados) pi y el tiempo t. En esta formulación los momentos
generalizados pueden ser obtenidos a partir de,
pi =
@L qj;qj;t
@qi
(6.2)
que es el equivalente a las variables vi en (4.2). Con todo esto se está en condiciones
ahora para construir el Hamiltoniano a partir del Lagrangiano, siendo así el primero la
Transformación de Legendre del segundo,
H (qi; pi; t) =
P
j
qjpj L qi; qi; t (6.3)
donde el miembro derecho debe ser escrito de tal manera que sólo quede en función
de qi, pi y t, para lo cual se emplea (6.2) para encontrar las qien función de los pi. Es fácil
notar aquí que las variables activas son las velocidades generalizadas ya que son ellas
las que se transforman en los momentos generalizados, mientras que las pasivas son las
velocidades generalizadas y el tiempo.
Ambas formulaciones energéticas de la Mecánica Clásica, antes mencionadas,
poseen su propio campo de aplicación en teoría y práctica, dependiendo de la sen-
cillez de cómputo de una situación en particular. Las coordenadas no tienen nece-
sariamente que ser rectilíneas o cartesianas, sino también ángulos, áreas, energías,
momentos, etc. Una escongencia óptima de estas últimas tomaría ventaja de las
simetrías físicas reales del sistema mecánico objeto de estudio. La formulación Hamilto-
niana tiene amplia aplicación en la Mecánica Cuántica [Ref. 38] y en Teoría de Cam-
pos [Ref. 39,40].

6.2 En la Termodinámica
F. Massieuz
, en 1869, fue el primero que usó las Transformaciones de Legendre en la
Termodinámica [Ref. 21,32]. En esta área se hace uso de la Transformación de Legendre
Negativa, es decir, con un cambio de signo en su construcción [Ref. 32,41]. Siguiendo
cálculos casi idénticosx
a los realizados en la sección 3.1 puede escribirse que,
G (vj; wk) = F (uj; wk)
n
X
i=1
uivi, j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m
Transformación de Legendre Negativa para n variables activas uj
y m variables pasivas wk
(6.4)
con,
vi =
@F(uj;wk)
@ui
(6.5)
la cual es completamente equivalente [Ref. 42] a (4.1). Nótese que el cambio de (6.4)
con respecto a (4.1) está en los signos de los términos del miembro derecho ya que
fueron intercambiados.
La ecuación fundamental de un sistema termodinámico puede escribirse tomando
como variable independiente tanto la entropía como la energía [Ref. 43, 11, 44, 12, 45,
41],
S = S (U; V; Ni) ! representación entrópica (6.6)
U = U (S; V; Ni) ! representación energética (6.7)
En estas dos representaciones los parámetros extensivos son las variables matemáti-
camente independientes, en tanto que los parámetros intensivos aparecen como con-
ceptos derivados{
. Esta situación está en contraste directo con la situación práctica
dictada por la comodidad en el laboratorio. El experimentador encuentra frecuente-
mente que los parametros intensivos son los que se pueden medir y controlar más fá-
cilmente y, por consiguiente, es verosímil pensar en los parámetros intensivos como
variables operativamente independientes y en los parámetros extensivos como mag-
nitudes operativamente derivadas.
z
Ver apéndice D.6 para una biografía resumida.
x
Réstese (3.4) de (3.2).
{
Las variables intensivas son propiedades independientes de la cantidad o masa de materia. Las vari-
ables extensivas dependen de la masa. Más aún, si el sistema termodinámico considerado está dividido
en varias partes. el valor total de la propiedad extensiva debe ser igual a la suma de los valores de las
partes.

En el campo de la Termodinámica, la Transformación de Legen-
dre permite encontrar los denominados Potenciales Termodinámicos, los
cuales son relevantes bajo condiciones constantes de las nuevas vari-
ables independientes.
Un sistema simple se caracteriza por las dos variables de configuración asociadas a
su mera existencia. Un sistema, para existir, ha de tener masa y extensión. Escogiéndose
la representación energética, se tienen los siguientes principios básicos:
1. Existen estados de equilibrio caracterizados macroscópicamente por la entropía S,
el volumen V y el número de moles Ni de sus componentes químicos.
2. Existe una función U = U (S; V; Ni), llamada Energía Interna, definida para los esta-
dos de equilibrio y con la propiedad de que su valor es mínimo compatible con las
ligaduras impuestas al sistema.
3. La Entropía S satisface algunas condiciones matemáticas: es continua, diferenciable
y es función homogénea de grado 1. Esto último se establece a partir del Teorema
de Eulerk
.
Al hallar la diferencial total de la función U = U (S; V; Ni) resulta que,
dU =
@U
@S V;Ni
dS +
@U
@V S;Ni
dV +
r
X
i=1
@U
@Ni S;V
dNi (6.8)
donde derivadas parciales son reemplazadas mediante símbolos especiales que
reciben el nombre de parámetro intensivos y se acostumbra a usar la siguiente no-
tación,
@U
@S V;Ni
T ! Temperatura (6.9)
@U
@V S;Ni
P ! Presión (6.10)
@U
@Ni S;V
i !
Potenciales Electroquímicos
o Potenciales Químicos
(6.11)
de manera que (6.8) se puede escribir ahora como,
dU = TdS PdV +
r
X
i=1
idNi (6.12)
k
Ver el apéndice D.7 para una biografía resumida de Euler y el apéndice C para el enunciado y
demostración del Teorema.

A las nuevas funciones obtenidas a partir de la energía interna U = U (S; V; Ni) me-
diante transformaciones de Legendre se las llama Potenciales Termodiámicos. A las
funciones obtenidas de la misma forma pero a partir de la representación entrópica
S = S (U; V; Ni) se las llama Funciones de Massieu. Es fácil notar que se pueden re-
alizar seis posibles Transformaciones de Legendre, es decir, se pueden obtener seis Po-
tenciales Termodinámicos distintos. De los seis, tres de ellos se usan de forma tan fre-
cuente que reciben nombre propio. Son el Potencial de Helmholtz o Energía Libre de
Helmholtz F, la Entalpía H y la Función de Gibbsyy
o Energía Libre de Gibbs G. Siguien-
temente se presentan estos seis potenciales,
6.2.1 El Potencial de Helmholtz o Energía Libre de Helmholtz
El Potencial Helmholtz F es la Transformación de Legendre parcial de U que reem-
plaza como variable independiente la Entropia S por la temperatura T, que son las
variables activas, y se toma como pasivas el resto de las variables,
F (T; V; Ni) = U TS (6.13)
Aquí, S y T son las variables activas de la transformación.
6.2.2 La Entalpía
La Entalpía H es la Transformación de Legendre parcial de U que reemplaza como
variable independiente el volumen V por la presión P, que son las variables activas, y
se toma como pasivas el resto de las variables,
H (S; P; Ni) = U + PV (6.14)
Aquí, V y P son las variables activas de la transformación.
6.2.3 La Función de Gibbs o Energía Libre de Gibbs
La Energía Libre de Gibbs G es la Transformación de Legendre que reemplaza si-
multáneamente como variables independientes la Entropía S por la temperatura T y el
volumen V por la presión P, que son las variables activas, tomándose como pasivas el
resto de las variables,
G (T; P; Ni) = U TS + PV (6.15)
Aquí, S, T, V y P son las variables activas de la transformación.
yy

6.2.4 Potencial Gran Canónico
El Potencial Gran Canónico es un Potencial Termodinámico que aparece, de forma
natural, en la teoría de la Mecánica Estadística de un sistema simple de un componente
y viene dado por la Transformación de Legendre,
U (T; V; i) = U TS
r
P
i=1
iNi (6.16)
6.2.5 Otros Potenciales
Otras transformaciones posibles de la energía U = U (S; V; Ni) para un sistema sim-
ple, que se utilizan con escasa frecuencia y que por consiguiente no reciben denomi-
nación especifica, vienen dados por las siguientes expresiones,
U (S; V; i) = U
r
X
i=1
iNi (6.17)
U (S; P; i) = U + PV
r
X
i=1
iNi (6.18)

CAPITULO 7
EJERCITACION
1. Sea F (u) = un
, encontrar su transformada de Legendre. Resp.: G (v) = (n 1) v
n
n
n 1
.
2. Sea F (u) = 1
2
ku2
(k constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.:
G (v) = 1
2k
v2
.
3. Sea F (u) = 1
u ( constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.: G (v) =
1 1
v 1 .
4. Encuéntrese la transformada de Legendre,
G = G (v1; v2)
de la función,
F (u1; u2) = 2u2
1 + 3u1u2 + u2
2
Resp.: G (v1; v2) = v2
1 + 3v1v2 2v2
2.
G = G (v1; v2; v3)
de la función,
F (u1; u2; u3) = au2
1 + bu2
3 + u2u1
donde a y b son constantes. Resp.: G (v1; v2; v3) = v1v2 + 1
4b
v2
3 av2
2
G = G (v; w)
53

CAPITULO 7. EJERCITACION
de la función,
F (u; w) = w u2
w 4
donde w es una variable pasiva. Verifique que,
@F
@w
+
@G
@w
= 0
Resp.: G (v; w) = 1
4w2 v2
+ 4w.
G = G (v1; v2; w1; w2)
de la función,
F (u1; u2; w1; w2) = 2u2
1w1 + 3u1u2w2 + u2
2
donde w1 y w2 son variables pasivas. Verifique que,
@F
@w1
+
@G
@w1
= 0,
@F
@w2
+
@G
@w2
= 0
Resp.: G (v1; v2; w1; w2) =
2v2
2w1+v2
1 3v1w2v2
8w1 9w2
2
.
8. Encuentre la transformada de Legendre,
G = G (v1; v2; v3; w1; w2; w3)
de la función,
F (u1; u2; u3; w1; w2; w3) = u2 (w1 + w2u1) + u3 (w2 w3u3)
donde w1, w2 y w3 son variables pasivas. Verifique que,
@F
@w1
+
@G
@w1
= 0,
@F
@w2
+
@G
@w2
= 0
y
@F
@w3
+
@G
@w3
= 0
Resp.: G (v1; v2; v3; w1; w2; w3) = 1
w2
(v2 w1) v1 + 1
4w3
(2w2 v3) v3 w2
2.
9. Si G = G (v) es la transformada de Legendre de F = F (u), muestre la relación
simétrica de las transformaciones de Legendre para la tercera derivada,
d3G
dv3
d2G
dv2
3=2
+
d3F
du3
d2F
du2
3=2
= 0
derivando la relación simétrica ya mostrada en el desarrollo del capítulo,
d2
G (v)
dv2
d2
F (u)
du2
= 1

CAPITULO 7. EJERCITACION
9.1. con respecto a u y
9.2. con respecto a v.
10. Muestre que si G = G (vi) es la transformada de Legendre de F = F (ui), entonces la
transformada de Legendre de G = G (vi) es precisamente F = F (ui).
11. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
1 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.
19. Obtenga la Transformación de Legendre Negativa,
G (vj) = F (uj)
n
X
i=1
uivi, vi =
@F (uj)
@ui
, con j = 1; 2; 3; : : : ; n
mediante diferenciación de la función F = F (uj).

APENDICE A
TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y
DE CONTACTO
En el presente apéndice se tratará el tema referente a las Transformaciones Geométri-
cas Correlativas y de Contacto, que se agrupan en las llamadas Transformaciones con
Cambio del Elemento de Espacio.
Ambas se pueden agrupar en transformaciones que hacen cambiar la naturaleza
de los elementos espaciales transformados. Aquí se considerará sólo el caso bidimen-
sional de ambas en el que, fijando un sistema de ejes coordenados, un punto P se
transforma en otro distinto P0
y sus respectivas coordenadas (x; y) y (x0
; y0
) se relacio-
nan mediante cierta expresión analítica, la cual define el tipo de transformación a ser
estudiada.
A.1 Transformaciones correlativas
En esta sección, como primera clase de estas correspondencias con cambio de nat-
uraleza en los elementos homólogos , se considerarán las llamadas Transformaciones
Correlativas.
[Ref. 20]
Dos elementos, uno del conjunto origen y otro del conjunto imagen, se dice que son homólogos, si están
relacionados según una correspondencia f.
56

APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
Las Transformaciones Correlativas son aquellas que hacen corresponder
un punto a una recta en el caso bidimensional y un punto a un plano en el
caso tridimensional, o viceversa para ambos casos. Por esto último, algunas
veces, se les llama también Transformaciones Dualísticas.
Aquí serán consideradas aquellas que transforman un punto a una recta en el plano,
es decir, sólo el caso bidimensional. La idea a desarrollar consiste en usar las constantes
u y v de la ecuación,
ux + vy = 1 (A.1)
como coordenadas de la recta que ella representa, pudiéndose operar con estas co-
ordenadas de la misma forma como se hace con las coordenadas de los puntos.
Figura A.1: Recta polar del punto P0 (x0; y0) respecto de la circunferencia x2 + y2 = 1, con centro en el origen.
Para hacer el estudio de la transformación correlativa, considérense dos planos
y 0
. En el plano los puntos tienen coordenadas (x; y) y las rectas son ux + vy = 1,
mientras que en el plano 0
los puntos tienen coordenadas (x0
; y0
). Si las coordenadas
x0
; y0
están ligadas a las u, v de las rectas del primer plano mediante,
(
u = (x0
; y0
)
v = (x0
; y0
)
(A.2)
entonces a cada punto (x0
; y0
) del plano 0
le corresponde una recta en el plano ,
cuya ecuación resulta de sustituir (A.2) en (A.1). El caso más secillo se da cuando,
(
u = x0
v = y0
(A.3)

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