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Ecuacion Diferencial de Clairaut, Ejercicios
Resueltos
BY MANUEL ALEJANDRO VIVAS RIVEROL
ecuacionesdiferencialesaplicaciones.com
ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com
1 Motivación para estudiar
Si lees hasta el final del artículo, comprenderás y podrás resolver la ecuacion difer-
enciale de Clairaut, para poder abordar con confianza sus aplicaciones en el mundo de
los fenómenos no-lineales.
Este artículo te ayudará a:
→ Desmitificar las Ecuaciones Diferenciales de Clairaut (EDC) y comprender su fun-
cionamiento de forma intuitiva.
→ Aplicar una metodología clara y efectiva para resolver cualquier ecuación diferen-
cial de Clairaut.
→ Conocer las aplicaciones prácticas de las EDC en diversas áreas del conocimiento.
1
Figure 1. Alexis-Claude Clairaut
Para los alumnos, este artículo ofrece una oportunidad única para superar la percep-
ción de dificultad y encontrar la relevancia práctica de este tema a través de ejemplos
concretos y una metodología clara de resolución.
A su vez, los docentes encontrarán en estas páginas recursos valiosos para enseñar
este tema de manera más efectiva, con ejercicios resueltos paso a paso y ejemplos apli-
cados que mejorarán la comprensión de sus estudiantes.
Y para los profesionales ingenieros, este artículo ofrece una perspectiva renovada
sobre la utilidad y aplicabilidad de las ecuaciones de Clairaut en su campo laboral,
proporcionando herramientas prácticas y soluciones efectivas para resolver problemas
reales de manera eficiente
¿Te apasionan las matemáticas y quieres convertirte en un experto en ecuaciones
diferenciales? Este artículo es tu punto de partida ideal.
Considero más valiente al que conquista sus deseos, que al que conquista
sus enemigos, ya que la victoria más dura es la victoria sobre uno mismo.
-Aristóteles
2 SECTION 1
2 El Alma al Descubierto: Los Secretos de Caliraut Reve-
lados
Figure 2. Clairaut, defendió la aplicabilidad de las matemáticas y realizo aportes en varias áreas de
las ciencias a pesar de las dificultades que tuvo que sortear.
Alexis-Claude Clairaut fue un matemático y astrónomo francés nacido el 13 de mayo
de 1713 en París y fallecido el 17 de mayo de 1765 en la misma ciudad. Desde una edad
temprana, Clairaut mostró un talento excepcional para las matemáticas.
Fue considerado un niño prodigio. A los 12 años escribió un desarrollo sobre cuatro
curvas geométricas, y llegó a alcanzar tal progreso en el tema (bajo la tutela de su padre),
que a la edad de 13 años leyó ante la Academia francesa un resumen de las propiedades
de las cuatro curvas que había descubierto. Tres años más tarde, completó un tratado
sobre curvas de doble curvatura, Recherches sur les courbes a double courbure, que la
valió su admisión a la Academia de Ciencias Francesa tras su publicación en 1731, a
pesar de que aún no contaba con la mínima edad legal de 18 años para ser admitido.
Aspectos destacados de su vida y logros:
− Expedición a Laponia: Participó en la expedición a Laponia en 1736, dirigida
por Pierre Louis Maupertuis, para determinar los grados del meridiano terrestre.
Esta experiencia marcó su carrera y lo introdujo en el mundo de la geodesia y
la geografía matemática.
EL ALMA AL DESCUBIERTO: LOS SECRETOS DE CALIRAUT REVELADOS 3
− Debate sobre la forma de la Tierra: Clairaut se convirtió en un ferviente defensor
del achatamiento del globo terráqueo por los polos en lugar de por el ecuador. Sus
investigaciones sobre fluidos contribuyeron a esta postura. Además, centró sus
estudios en la astronomía lunar.
− Cálculo del regreso del cometa Halley: En 1758, calculó el regreso del cometa
Halley con un error inferior a treinta días. Este logro demostró su destreza en
la predicción astronómica.
− Contribuciones matemáticas: Clairaut realizó investigaciones sobre curvas de doble
curvatura, la perpendicular trazada por M. Cassini y el nuevo método de Cassini
para conocer la forma de la Tierra. También desarrolló la teoría de la Luna.
Clairaut era conocido por su dedicación al trabajo y su incansable búsqueda del
conocimiento. Su mente analítica y su capacidad para resolver problemas lo convirtieron
en un modelo a seguir para muchos matemáticos de su época y posteriores.
1. Personalidad:
Alexis-Claude Clairaut fue un prodigio precoz, dominando el cálculo a los
10 años y presentando trabajos ante la Academia Francesa a los 13 años. Su
tenacidad inquebrantable lo llevó a superar una infancia marcada por la enfer-
medad y la pobreza, demostrando un espíritu independiente al desafiar las normas
establecidas por la Academia Francesa con sus ideas innovadoras. Apasionado por
la ciencia desde joven, dedicó su vida al estudio de las matemáticas, la astronomía
y la física.
2. Psicología:
Ambicioso y autoexigente, Clairaut buscaba constantemente la excelencia en
su trabajo y no se conformaba con respuestas tradicionales, siempre buscando
nuevas soluciones. Era honesto y directo, expresando sus opiniones sin reservas,
incluso si estas iban en contra de la corriente predominante.
3. Dificultades:
Clairaut enfrentó desafíos debido a su salud frágil, luchando contra la tubercu-
losis durante gran parte de su vida. Su carácter independiente le generó tensiones
con algunos colegas, y a pesar de sus numerosos logros, no recibió el mismo
reconocimiento que otros matemáticos de su época.
4. Curiosidades:
Fue el miembro más joven en ser admitido en la Academia Francesa de Ciencias.
Se le atribuye la invención del teorema de Clairaut, que relaciona las derivadas par-
ciales de una función. Clairaut fue un firme defensor del uso de las matemáticas
para resolver problemas del mundo real.
Clairaut también realizó importantes investigaciones en el campo de las ecuaciones
diferenciales, siendo pionero en el estudio de las ecuaciones de Clairaut, que llevan su
nombre. Su trabajo en este campo sentó las bases para el desarrollo posterior de la
teoría de ecuaciones diferenciales y tuvo un impacto significativo en áreas como la física
teórica y la ingeniería.
3 Aplicaciones de la Ecuacion Diferencial de Clairaut
4 SECTION 3
Algunas de las áreas donde se pueden aplicar los conocimientos sobre el manejo y
solución de la ecuación de Clairaut se enlistan a continuación.
→ Mecánica:
La ecuación diferencial de Clairaut se utiliza en mecánica para modelar el
movimiento de los cuerpos bajo la influencia de fuerzas como la gravedad y la
fricción del aire. Por ejemplo, al resolver problemas de lanzamiento de proyec-
tiles, podemos utilizar la ecuación de Clairaut para determinar la trayectoria del
objeto en función del tiempo y su posición en el espacio. La forma general de
la ecuación de movimiento parabólico es:
y = x tan(𝜃) −
gx 2
2v0
2
cos(𝜃)
→ Termodinámica:
En termodinámica, las ecuaciones diferenciales de Clairaut se aplican para
estudiar procesos como la expansión de gases en un cilindro con pistón móvil.
Esta ecuación nos permite relacionar las variables termodinámicas como la pre-
sión, el volumen y la temperatura durante el proceso, lo que facilita el análisis y
la predicción del comportamiento del sistema. La ecuación de estado de los gases
ideales relaciona la presión, el volumen y la temperatura de un gas:
PV = nRT
→ Electromagnetismo:
Figure 3. La ecuación de Clairaut se utiliza para modelar el comportamiento de los campos
eléctricos y magnéticos
En electromagnetismo, la ecuación de Clairaut se utiliza para modelar el com-
portamiento de los campos eléctricos y magnéticos, así como la propagación de
ondas electromagnéticas en diferentes medios. Por ejemplo, al estudiar la propa-
gación de una onda de radio, podemos utilizar la ecuación de Clairaut para
relacionar la amplitud y la frecuencia de la onda con su velocidad de propagación
y dirección. La ecuación de onda electromagnética describe la propagación de
ondas de luz:
∇2
E −
1
c2
𝛿2
E
𝛿t 2
= 0
APLICACIONES DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT 5
→ Acústica:
En acústica, la ecuación diferencial de Clairaut se emplea para estudiar la
propagación del sonido en diferentes medios y analizar fenómenos como la reflexión
y la refracción del sonido. Por ejemplo, al modelar la propagación del sonido
en una sala de conciertos, podemos utilizar la ecuación de Clairaut para deter-
minar la distribución de la presión acústica en función de la posición y el tiempo.
Esto nos permite optimizar la acústica de la sala, considerando aspectos como
la ubicación de los altavoces, la forma y materiales de las paredes, así como la
disposición de los asientos para garantizar una experiencia auditiva óptima para
el público. Además, al estudiar la reflexión y la refracción del sonido en difer-
entes superficies, podemos prever y corregir posibles problemas de eco, distorsión
o pérdida de calidad del sonido en el entorno. La ecuación de Clairaut en acús-
tica se expresa como:
𝛿2
P
𝛿x 2
−
1
c2
𝛿2
P
𝛿t 2
= 0
4 Metodología
Paso 1. - Forma estándar. Corroboramos que la ED tenga la forma:
y = xy′ + f (y′)
Paso 2. Sustituimos y′= p, donde p =p(x), para encontrar la solución general de la
forma paramétrica transformando la ED a una ED de terminos algebraicos más mane-
jables, es decir:
y = xp + g(p) (1)
Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos
dp
dx
:
dy
dx
= xp′ + p + g′(p)p′
dy
dx
= (x + g′(p))p′ + p
(x + g′(p))p′ =
dy
dx
− p
Sustituimos:
dy
dx
= p:
(x + g′(p))p′ = p − p
(x + g′(p))p′ = 0
De éste modo tenemos dos casos:
x + g′(p) = 0 (2)
6 SECTION 4
y
dp
dx
= 0
Paso 4. Resolvemos las EDs Para los dos casos:
--- Caso 1. Solución general: Si
dp
dx
= 0, note que es una ED directa, por lo que su
integración es, p = c, donde c ≔ constante.
Reemplazando el valor de p en (1) se obtiene:
y = cx + g(c)
que es la famila de rectas solución de la ED de Clairaut.
--- Caso 2. Soluciones paramétricas. De (1) y (2), tenemos:
x = −g′(p)
y = −pg′(p) + g(p) (3)
que son las ecuaciones paramétricas solución de la ED. Éstas soluciones en general
representan la solución singular de la ED de Clairaut, ya que en la mayoría de los
casos las soluciones paramétricas de la ED de Caliraut, no contienen la constante de
integración.
Paso 5. Solución singular (envolvente).
→ Básicamente buscamos eliminar el parámetro p en la ecuación (1) y obtener una
solución de la forma: F (x, y) = 0.
→ Ésto se puede obtener simplemente despejando el valor de p en (2), dejandolo en
términos de x y sustituyendolo en (1).
→ Tambien podemos sustituir el despeje anteriro en la ecuacion paramétrica (3).
Si quieres automatizar tus soluciones con programación, utilizando un programa
potente y fácil de aprender como sagemath, te recomendamos nuestro producto: Clairaut
Ecuaciones Diferenciales (códigos), que son códigos en sagemath para que automatices
tus solucions, estes seguro de éstas sin perder tiempo y puedas hacer simulación.
5 Ecuacion Diferencial de Clairaut, Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1. Resolver
y= xy′ +(y′)3
Solución.
Paso 1. Forma estándar.
Ya tenemos la forma estándar
Paso 2. Sustituimos y′ = p.
y= xp + p3
(4)
ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 7
Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos
dp
dx
.
dy
dx
= xp′ +p +3p2
p′
dy
dx
= (x + 3p2
)p′ +p
(x + 3p2
)p′ =
dy
dx
−p
Sustituimos:
dy
dx
= p.
(x + 3p2
)p′ = p −p
(x + 3p2
)p′ = 0
De éste modo, tenemos dos casos:
x + 3p2
= 0 (5)
dp
dx
= 0 (6)
Paso 4. Resolvemos la ED, para los dos casos.
— Caso 1. Solución general. Si
dp
dx
=0, entonces:
p =c
De modo que sustituyendo en (4), tenemos:
y = xp + p3
y = cx + c3
Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es:
y =cx +c3
— Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (4) y (5), tenemos:
x = −3p2
y = −3p3
+ p3
y = −2p3
Es decir, las soluciones paramétricas son:
x = −3p2
(7)
y = −2p3
(8)
Éstas soluciones paramétricas representan la solución singular de la ED de Clairaut estudiada para
éste caso. La forma de la solución singular en función de x,y, se deduce a continuación.
Paso 5. Solución singular.
Si despejamos p de (7), tenemos:
p2
= −
x
3
Por lo que sustituyendo en (8), tenemos:
y = −2p3
y = −2(
(
(
(
(
(
( −
x
3)
)
)
)
)
)
)3
y = −2 −
x
3
3
2
y2
= 4 −
x
3
3
y2
= −
4
27
x 3
8 SECTION 5
De modo que la envolvente y solución singular es:
27y2
= −4x 3
La gŕafica de las soluciones y la envolvente de la ED es:
Figure 4. Rectas solución de la ED de Clairaut y=xy′−(y′)3
. La solución singular está en color
purpura.
Ejercicio 2. Resolver
(x 2
− 1)(y′)2
− 2xyy′ + y2
−1 =0
Solución.
Paso 1. Forma estándar.
Podemos notar que la ED es de la forma:
(x 2
−1)(y′)2
− 2xyy′ +y2
− 1 = 0
x 2
(y′)2
−(y′)2
− 2xyy′ +y2
− 1 = 0
(y −xy′)2
−(y′)2
− 1 = 0
La cual puede ser dividda en dos ecuaciones, como sigue:
(y −xy′)2
= (y′)2
+ 1
y −xy′ = (y′)2
+ 1
De modo que tenemos las ecuaciones:
y =xy′ + (y′)2
+ 1 (9)
y
y =xy′ − (y′)2
+ 1 (10)
Las cuales tienen la forma estándar de la ED de Clairaut.
Paso 2. Sustituimos y′ = p, en la ED (9).
y= xp + p2
+1 (11)
ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 9
Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos
dp
dx
.
dy
dx
= xp′ +p +
1
2
(p2
+ 1)
−
1
2
2pp′
dy
dx
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(x +
p
(p2 +1)
1
2 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ +p
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(x +
p
(p2 + 1)
1
2 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ =
dy
dx
−p
Sustituimos
dy
dx
= p.
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(x +
p
(p2 + 1)
1
2 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ =
dy
dx
− p
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(x +
p
(p2 + 1)
1
2 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ = p − p
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(x +
p
(p2 + 1)
1
2 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ = 0
De éste modo tenemos dos casos:
dp
dx
= 0 (12)
x +
p
(p2 + 1)
1
2
= 0 (13)
Paso 4. Resolvemos la ED, para los dos casos.
— Caso 1. Solución general. Si
dp
dx
=0, entonces:
p =c
De modo que sustituyendo en (11), tenemos:
y = xp + p2
+ 1
y = cx + c2
+ 1
Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es:
y= cx + c2
+1
— Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (11) y (13), tenemos:
x =
−p
(p2 + 1)
1
2
y =
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
( −p
(p2 +1)
1
2 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)p + p2
+ 1
y =
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
( −p2
(p2 +1)
1
2 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)+ p2
+ 1
y =
−p2
+ p2
+ 1
(p2 + 1)
1
2
y =
1
(p2 + 1)
1
2
Es decir, las soluciones paramétricas son:
x =
−p
(p2 + 1)
1
2
(14)
y =
1
(p2 + 1)
1
2
(15)
Éstas soluciones paramétricas representan la solución singular de la ED de Clairaut estudiada para
éste caso. La forma de la solución singular en función de x,y, se deduce a continuación.
Paso 5. Solución singular.
10 SECTION 5
Si despejamos p de (14), tenemos:
x =
−p
(p2 + 1)
1
2
x 2
=
p2
(p2 + 1)
(p2
+1)x 2
= p2
p2
x 2
+x 2
= p2
x 2
= p2
−x 2
p2
x 2
= (1− x 2
)p2
p2
=
x 2
1− x 2
Por lo que sustituyendo en (15), tenemos:
y =
1
(p2 +1)
1
2
y =
1
x 2
1 − x 2 + 1
1
2
y2
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
( 1
x 2
1 − x 2 + 1
1
2
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)2
y2
=
1
x 2
1 − x 2 + 1
y2
=
1
x 2
+ 1 − x 2
1 − x 2
y2
=
1− x 2
1
y2
= −x 2
+ 1
De modo que la envolvente y solución singular es:
y2
+ x 2
= 1
La gŕafica de las soluciones y la envolvente de la ED es:
Figure 5. Gráfica para las curvas solución de la ED de Clairaut y=xy′+ (y′) +1. En la gráfica
se muestra parte de la envolvente o solución singular y2
+x 2
= 1.
ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 11
Figure 6. Gráfica para las curvas solución de la ED de Clairaut y=xy′− (y′) + 1. En la gráfica
se muestra parte de la envolvente o solución singular y2
+x 2
= 1.
Figure 7. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y = xy′ +
(y′) +1 y y = xy′ − (y′) +1 en colores varios. En la gráfica se muestra la envolvente com-
pleta o solución singular y2
+x 2
= 1, en color cyan.
Si quieres automatizar tus soluciones con programación, utilizando un programa
potente y fácil de aprender como sagemath, te recomendamos nuestro producto: Clairaut
Ecuaciones Diferenciales (códigos), que son códigos en sagemath para que automatices
tus solucions, estes seguro de éstas sin perder tiempo y puedas hacer simulación.
Ejercicio 3. Resolver
y =xy′ −tan(y′) (16)
Solución.
Paso 1. Forma estándar.
Ya tenemos la forma estándar.
12 SECTION 5
Paso 2. Sustituimos y′ = p.
y = xy′ −tan(y′)
y = xp −tan(p) (17)
Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos
dp
dx
.
y = xp − tan(p)
dy
dx
= xp′ +p −(tan(p)2
+1)p′
dy
dx
= (x − (tan(p)2
+ 1))p′ + p
(x −(tan(p)2
+1))p′ =
dy
dx
−p
Sustituimos
dy
dx
= p.
(x − (tan(p)2
+ 1))p′ = p −p
(x − (tan(p)2
+ 1))p′ = 0
De éste modo tenemos dos casos:
dp
dx
= 0 (18)
x −(tan(p)2
+1) = 0 (19)
Paso 4. Resolvemos la ED, para los dos casos.
— Caso 1. Solución general. Si
dp
dx
=0, entonces:
p =c
De modo que sustituyendo en (17), tenemos:
y = xp −tan(p)
y = cx −tan(c)
Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es:
y= cx − tan(c)
— Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (19), tenemos:
x = tan(p)2
+1
x = sec(p)2
Por tanto de (17):
y = p sec(p)2
− tan(p)
Es decir, las soluciones paramétricas son:
x = sec(p)2
(20)
y = p sec(p)2
− tan(p) (21)
Éstas soluciones paramétricas representan la solución de la ED de Clairaut estudiada. A contin-
uación la solución singular (envolvente) en términos de x, y.
Paso 5. Solución singular.
Si despejamos p de (20), tenemos:
x = sec(p)2
x
√ = sec(p)
p = sec( x
√ )−1
ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 13
Por lo que sustituyendo en (21), tenemos:
y = sec( x
√ )−1
sec(sec( x
√ )−1
)2
−tan(sec( x
√ )−1
)
y = x
√ x
√ sec( x
√ )−1
− x −1
y = x sec( x
√ )−1
− x −1
De modo que la envolventa o solución singular es:
y= x sec( x
√ )−1
− x − 1
La gráfica de las soluciones y la envolvente de la ED es:
Figure 8. Rectas solución de la ED de Clairaut y=xy′−tan(y′). La solución singular, obtenida
mediante las ecuaciones (20) y (21) está en color magenta.
Ejercicio 4. Resolver
y= xy′ +
y′
1 +(y′)2
(22)
Solución.
Paso 1. Forma estándar.
Ya tiene la forma estándar la ecuación.
Paso 2. Sustituimos y′ = p.
y =xp +
p
1 +p2
(23)
Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos
dp
dx
.
dy
dx
= xp′ + p +
(1+ p2
)
1
2
p′ −p
1
2
(1+ p2
)
−
1
2
2pp′
1 +p2
dy
dx
= xp′ +
(1+ p2
)
1
2 − p2
(1 +p2
)
−
1
2 p′
1 +p2
+ p
dy
dx
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
x +
(1 + p2
) − p2
(1 + p2
)
−
1
2
1 +p2
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
p′ +p
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
x +
1
(1 + p2
)
1
2
1+ p2
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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)
p′ =
dy
dx
−p
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
(
(
(
(
(
(
(x +
1
(1 +p2)
3
2 )
)
)
)
)
)
)
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)
)
)
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)
)
)p′ =
dy
dx
−p
Sustituimos:
dy
dx
= p.
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(x +
1
(1 +p2)
3
2 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ = p −p
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(x +
1
(1 +p2)
3
2 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ = 0
14 SECTION 5
De éste modo, tenemos dos casos:
dp
dx
= 0 (24)
x +
1
(1+ p2)
3
2
= 0 (25)
Paso 4. Resolvemos la ED, para los dos casos.
— Caso 1. Solución general. Si
dp
dx
=0, entonces:
p =c
De modo que sustituyendo en (23), tenemos:
y = xp +
p
1+ p2
y = cx +
c
1+ c2
Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es:
y= cx +
c
1+ c2
— Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (23) y (25), tenemos:
x = −
1
(1+ p2)
3
2
y = −
p
(1+ p2)
3
2
+
p
(1 +p2)
1
2
y =
p(1+ p2
) −p
(1 +p2)
3
2
y =
p + p3
−p
(1+ p2)
3
2
y =
p3
(1+ p2)
3
2
Es decir, las soluciones paramétricas son:
x =
−1
(1 +p2)
3
2
(26)
y =
p3
(1 +p2)
3
2
(27)
Éstas soluciones paramétricas representan la solución singular de la ED de Clairaut estudiada para
éste caso. La forma de la solución singular (envolvente) en función de x,y, se deduce a continuación.
Paso 5. Solución singular.
Si despejamos p de (26), tenemos:
x =
−1
(1 +p2)
3
2
x
2
3 =
1
1 +p2
1 +p2
=
1
x
2
3
p2
=
1
x
2
3
− 1
p2
=
1 −x
2
3
x
2
3
ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 15
Por lo que sustituyendo en (27), tenemos:
y =
p3
(1+ p2)
3
2
y =
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(1 − x
2
3
x
2
3 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
) 1 − x
2
3
x
2
3 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(1+
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(1 − x
2
3
x
2
3 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
3
2
y =
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(1 − x
2
3
x
2
3 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
3
2
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(1+
1 − x
2
3
x
2
3 )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
3
2
y
2
3 =
1 − x
2
3
x
2
3
1+
1 − x
2
3
x
2
3
y
2
3 =
1 − x
2
3
x
2
3
x
2
3 + 1 − x
2
3
x
2
3
y
2
3 =
1− x
2
3
1
De modo que la envolventa o solución singular es:
y
2
3 +x
2
3 = 1
La gráfica de las soluciones y la envolvente de la ED es:
Figure 9. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y =xy′ +
y′
1 + (y′)
en
color verde. En la gráfica se muestra parte de la envolvente o solución singular y2
+x 2
=1, en color
magenta.
Para graficar la envolvente se puede utilizar las soluciones paraméricas encontradas.
16 SECTION 5
Figure 10. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y=xy′ −
y′
1 + (y′)
en
color verde. En la gráfica se muestra parte de la envolvente o solución singular y2
+x 2
=1, en color
magenta.
Para graficar la envolvente se puede utilizar las ecuaciones paramétricas encontradas intercambian-
dolo los signos.
Figure 11. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y=xy′+
y′
1 + (y′)
y
y=xy′−
y′
1 + (y′)
en color verde. En la gráfica se muestra la envolvente completa o solución singular
y
2
3
+ x
2
3
= b
3
2
, en color magenta, donde b es un número complejo.
Ejercicio 5. Resolver
y −xy′ =
a
2y′
ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 17
Donde: a es constante.
Solución. Ejercicio.
Paso 1. Forma estándar.
La forma estándar casi está dada.
y =xy′ +
a
2y′
Paso 2. Sustituimos y′ = p.
y =xp +
a
2p
(28)
Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos
dp
dx
.
dy
dx
= xp′ + p −
a
2
p−2
p′
dy
dx
= xp′ + p −
a
2p2
p′
dy
dx
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(x −
a
2p2)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ + p
(
(
(
(
(
(
(
(
(x −
a
2p2)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ =
dy
dx
− p
Sustutuimos:
dy
dx
= p.
(
(
(
(
(
(
(
(
(x −
a
2p2)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ = p − p
(
(
(
(
(
(
(
(
(x −
a
2p2)
)
)
)
)
)
)
)
)p′ = 0
De éste modo tenemos dos casos:
dp
dx
= 0 (29)
x −
a
2p2
= 0 (30)
Paso 4. Resolvemos las ED, para los dos casos.
— Caso 1. Solución general. Si
dp
dx
=0, entonces:
p = c
De modo que sustituyendo en (28), tenemos:
y = xp +
a
2p
y = cx +
a
2c
Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es:
y =cx +
a
2c
— Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (28) y (30), tenemos:
x = −
a
2p2
y = −
ap
2p2
+
a
2p
y =
a
2p
+
a
2p
y =
a
p
Es decir, las soluciones paramétricas son:
x =
a
2p2
(31)
y =
a
p
(32)
18 SECTION 5
Éstas soluciones paramétricas representan la solución singular de la ED de Clairaut estudiada
para éste caso. La forma de la solución singular (envolvente) en función de x, y, se deduce a con-
tinuación.
Paso 5. Solución singular.
Si despejamos p de (31), tenemos:
x =
a
2p2
p =
a
2x
Por lo que sustituyendo en (32), tenemos:
y =
a
a
2x
1
2
y2
=
a2
a
2x
y2
=
2a2
x
a
y2
= 2ax
De modo que la envolventa o solución singular es:
y2
= 2ax
La gráfica de las soluciones y la envolvente de la ED es:
Figure 12. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y −xy′ =
a
2y′
en color verde. En la gráfica se muestra la envolvente o solución singular y2
=2ax, en color
magenta.
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20 SECTION 6
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7 Bibliografía
1. Rainville, Earl D., Bedient, Phillip E., y Bedient, Richard E. (1981). "Elementary
Differential Equations". Prentice Hall.
2. Moya, Luis María. (2007). "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias". Editorial
Reverte.
3. Vergel Ortega, M., Rincón Leal, O. L., & Ibargüen Mondragón, E. (2022). Ecua-
ciones Diferenciales Aplicaciones. Editorial Universidad de Nariño.
4. Simmons, George F. (2007). "Differential Equations with Applications and Histor-
ical Notes". McGraw-Hill.
5. Zill, Dennis G. (2012). "A First Course in Differential Equations with Modeling
Applications". Cengage Learning.
6. Braun, Martin. (2005). "Differential Equations and Their Applications". Springer.
7. Polyanin, Andrei D. (2002). "Handbook of Exact Solutions of Ordinary Differential
Equations". CRC Press.
8. Varona Malumbres, Jose Luis. (2004). "Métodos Clásicos de Resolución de Ecua-
ciones Diferenciales Ordinarias". Paraninfo.
9. Castro Cepeda, Lidia. (2010). "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias". Pearson
Educación.
10. Herman, R. L. (2008). "A First Course in Differential Equations for Scientists and
Engineers". Brooks/Cole.
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Ecuacion Diferencial de Clairaut, Ejercicios Resueltos

  • 1. Ecuacion Diferencial de Clairaut, Ejercicios Resueltos BY MANUEL ALEJANDRO VIVAS RIVEROL ecuacionesdiferencialesaplicaciones.com ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com 1 Motivación para estudiar Si lees hasta el final del artículo, comprenderás y podrás resolver la ecuacion difer- enciale de Clairaut, para poder abordar con confianza sus aplicaciones en el mundo de los fenómenos no-lineales. Este artículo te ayudará a: → Desmitificar las Ecuaciones Diferenciales de Clairaut (EDC) y comprender su fun- cionamiento de forma intuitiva. → Aplicar una metodología clara y efectiva para resolver cualquier ecuación diferen- cial de Clairaut. → Conocer las aplicaciones prácticas de las EDC en diversas áreas del conocimiento. 1
  • 2. Figure 1. Alexis-Claude Clairaut Para los alumnos, este artículo ofrece una oportunidad única para superar la percep- ción de dificultad y encontrar la relevancia práctica de este tema a través de ejemplos concretos y una metodología clara de resolución. A su vez, los docentes encontrarán en estas páginas recursos valiosos para enseñar este tema de manera más efectiva, con ejercicios resueltos paso a paso y ejemplos apli- cados que mejorarán la comprensión de sus estudiantes. Y para los profesionales ingenieros, este artículo ofrece una perspectiva renovada sobre la utilidad y aplicabilidad de las ecuaciones de Clairaut en su campo laboral, proporcionando herramientas prácticas y soluciones efectivas para resolver problemas reales de manera eficiente ¿Te apasionan las matemáticas y quieres convertirte en un experto en ecuaciones diferenciales? Este artículo es tu punto de partida ideal. Considero más valiente al que conquista sus deseos, que al que conquista sus enemigos, ya que la victoria más dura es la victoria sobre uno mismo. -Aristóteles 2 SECTION 1
  • 3. 2 El Alma al Descubierto: Los Secretos de Caliraut Reve- lados Figure 2. Clairaut, defendió la aplicabilidad de las matemáticas y realizo aportes en varias áreas de las ciencias a pesar de las dificultades que tuvo que sortear. Alexis-Claude Clairaut fue un matemático y astrónomo francés nacido el 13 de mayo de 1713 en París y fallecido el 17 de mayo de 1765 en la misma ciudad. Desde una edad temprana, Clairaut mostró un talento excepcional para las matemáticas. Fue considerado un niño prodigio. A los 12 años escribió un desarrollo sobre cuatro curvas geométricas, y llegó a alcanzar tal progreso en el tema (bajo la tutela de su padre), que a la edad de 13 años leyó ante la Academia francesa un resumen de las propiedades de las cuatro curvas que había descubierto. Tres años más tarde, completó un tratado sobre curvas de doble curvatura, Recherches sur les courbes a double courbure, que la valió su admisión a la Academia de Ciencias Francesa tras su publicación en 1731, a pesar de que aún no contaba con la mínima edad legal de 18 años para ser admitido. Aspectos destacados de su vida y logros: − Expedición a Laponia: Participó en la expedición a Laponia en 1736, dirigida por Pierre Louis Maupertuis, para determinar los grados del meridiano terrestre. Esta experiencia marcó su carrera y lo introdujo en el mundo de la geodesia y la geografía matemática. EL ALMA AL DESCUBIERTO: LOS SECRETOS DE CALIRAUT REVELADOS 3
  • 4. − Debate sobre la forma de la Tierra: Clairaut se convirtió en un ferviente defensor del achatamiento del globo terráqueo por los polos en lugar de por el ecuador. Sus investigaciones sobre fluidos contribuyeron a esta postura. Además, centró sus estudios en la astronomía lunar. − Cálculo del regreso del cometa Halley: En 1758, calculó el regreso del cometa Halley con un error inferior a treinta días. Este logro demostró su destreza en la predicción astronómica. − Contribuciones matemáticas: Clairaut realizó investigaciones sobre curvas de doble curvatura, la perpendicular trazada por M. Cassini y el nuevo método de Cassini para conocer la forma de la Tierra. También desarrolló la teoría de la Luna. Clairaut era conocido por su dedicación al trabajo y su incansable búsqueda del conocimiento. Su mente analítica y su capacidad para resolver problemas lo convirtieron en un modelo a seguir para muchos matemáticos de su época y posteriores. 1. Personalidad: Alexis-Claude Clairaut fue un prodigio precoz, dominando el cálculo a los 10 años y presentando trabajos ante la Academia Francesa a los 13 años. Su tenacidad inquebrantable lo llevó a superar una infancia marcada por la enfer- medad y la pobreza, demostrando un espíritu independiente al desafiar las normas establecidas por la Academia Francesa con sus ideas innovadoras. Apasionado por la ciencia desde joven, dedicó su vida al estudio de las matemáticas, la astronomía y la física. 2. Psicología: Ambicioso y autoexigente, Clairaut buscaba constantemente la excelencia en su trabajo y no se conformaba con respuestas tradicionales, siempre buscando nuevas soluciones. Era honesto y directo, expresando sus opiniones sin reservas, incluso si estas iban en contra de la corriente predominante. 3. Dificultades: Clairaut enfrentó desafíos debido a su salud frágil, luchando contra la tubercu- losis durante gran parte de su vida. Su carácter independiente le generó tensiones con algunos colegas, y a pesar de sus numerosos logros, no recibió el mismo reconocimiento que otros matemáticos de su época. 4. Curiosidades: Fue el miembro más joven en ser admitido en la Academia Francesa de Ciencias. Se le atribuye la invención del teorema de Clairaut, que relaciona las derivadas par- ciales de una función. Clairaut fue un firme defensor del uso de las matemáticas para resolver problemas del mundo real. Clairaut también realizó importantes investigaciones en el campo de las ecuaciones diferenciales, siendo pionero en el estudio de las ecuaciones de Clairaut, que llevan su nombre. Su trabajo en este campo sentó las bases para el desarrollo posterior de la teoría de ecuaciones diferenciales y tuvo un impacto significativo en áreas como la física teórica y la ingeniería. 3 Aplicaciones de la Ecuacion Diferencial de Clairaut 4 SECTION 3
  • 5. Algunas de las áreas donde se pueden aplicar los conocimientos sobre el manejo y solución de la ecuación de Clairaut se enlistan a continuación. → Mecánica: La ecuación diferencial de Clairaut se utiliza en mecánica para modelar el movimiento de los cuerpos bajo la influencia de fuerzas como la gravedad y la fricción del aire. Por ejemplo, al resolver problemas de lanzamiento de proyec- tiles, podemos utilizar la ecuación de Clairaut para determinar la trayectoria del objeto en función del tiempo y su posición en el espacio. La forma general de la ecuación de movimiento parabólico es: y = x tan(𝜃) − gx 2 2v0 2 cos(𝜃) → Termodinámica: En termodinámica, las ecuaciones diferenciales de Clairaut se aplican para estudiar procesos como la expansión de gases en un cilindro con pistón móvil. Esta ecuación nos permite relacionar las variables termodinámicas como la pre- sión, el volumen y la temperatura durante el proceso, lo que facilita el análisis y la predicción del comportamiento del sistema. La ecuación de estado de los gases ideales relaciona la presión, el volumen y la temperatura de un gas: PV = nRT → Electromagnetismo: Figure 3. La ecuación de Clairaut se utiliza para modelar el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos En electromagnetismo, la ecuación de Clairaut se utiliza para modelar el com- portamiento de los campos eléctricos y magnéticos, así como la propagación de ondas electromagnéticas en diferentes medios. Por ejemplo, al estudiar la propa- gación de una onda de radio, podemos utilizar la ecuación de Clairaut para relacionar la amplitud y la frecuencia de la onda con su velocidad de propagación y dirección. La ecuación de onda electromagnética describe la propagación de ondas de luz: ∇2 E − 1 c2 𝛿2 E 𝛿t 2 = 0 APLICACIONES DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT 5
  • 6. → Acústica: En acústica, la ecuación diferencial de Clairaut se emplea para estudiar la propagación del sonido en diferentes medios y analizar fenómenos como la reflexión y la refracción del sonido. Por ejemplo, al modelar la propagación del sonido en una sala de conciertos, podemos utilizar la ecuación de Clairaut para deter- minar la distribución de la presión acústica en función de la posición y el tiempo. Esto nos permite optimizar la acústica de la sala, considerando aspectos como la ubicación de los altavoces, la forma y materiales de las paredes, así como la disposición de los asientos para garantizar una experiencia auditiva óptima para el público. Además, al estudiar la reflexión y la refracción del sonido en difer- entes superficies, podemos prever y corregir posibles problemas de eco, distorsión o pérdida de calidad del sonido en el entorno. La ecuación de Clairaut en acús- tica se expresa como: 𝛿2 P 𝛿x 2 − 1 c2 𝛿2 P 𝛿t 2 = 0 4 Metodología Paso 1. - Forma estándar. Corroboramos que la ED tenga la forma: y = xy′ + f (y′) Paso 2. Sustituimos y′= p, donde p =p(x), para encontrar la solución general de la forma paramétrica transformando la ED a una ED de terminos algebraicos más mane- jables, es decir: y = xp + g(p) (1) Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos dp dx : dy dx = xp′ + p + g′(p)p′ dy dx = (x + g′(p))p′ + p (x + g′(p))p′ = dy dx − p Sustituimos: dy dx = p: (x + g′(p))p′ = p − p (x + g′(p))p′ = 0 De éste modo tenemos dos casos: x + g′(p) = 0 (2) 6 SECTION 4
  • 7. y dp dx = 0 Paso 4. Resolvemos las EDs Para los dos casos: --- Caso 1. Solución general: Si dp dx = 0, note que es una ED directa, por lo que su integración es, p = c, donde c ≔ constante. Reemplazando el valor de p en (1) se obtiene: y = cx + g(c) que es la famila de rectas solución de la ED de Clairaut. --- Caso 2. Soluciones paramétricas. De (1) y (2), tenemos: x = −g′(p) y = −pg′(p) + g(p) (3) que son las ecuaciones paramétricas solución de la ED. Éstas soluciones en general representan la solución singular de la ED de Clairaut, ya que en la mayoría de los casos las soluciones paramétricas de la ED de Caliraut, no contienen la constante de integración. Paso 5. Solución singular (envolvente). → Básicamente buscamos eliminar el parámetro p en la ecuación (1) y obtener una solución de la forma: F (x, y) = 0. → Ésto se puede obtener simplemente despejando el valor de p en (2), dejandolo en términos de x y sustituyendolo en (1). → Tambien podemos sustituir el despeje anteriro en la ecuacion paramétrica (3). Si quieres automatizar tus soluciones con programación, utilizando un programa potente y fácil de aprender como sagemath, te recomendamos nuestro producto: Clairaut Ecuaciones Diferenciales (códigos), que son códigos en sagemath para que automatices tus solucions, estes seguro de éstas sin perder tiempo y puedas hacer simulación. 5 Ecuacion Diferencial de Clairaut, Ejercicios Resueltos Ejercicio 1. Resolver y= xy′ +(y′)3 Solución. Paso 1. Forma estándar. Ya tenemos la forma estándar Paso 2. Sustituimos y′ = p. y= xp + p3 (4) ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 7
  • 8. Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos dp dx . dy dx = xp′ +p +3p2 p′ dy dx = (x + 3p2 )p′ +p (x + 3p2 )p′ = dy dx −p Sustituimos: dy dx = p. (x + 3p2 )p′ = p −p (x + 3p2 )p′ = 0 De éste modo, tenemos dos casos: x + 3p2 = 0 (5) dp dx = 0 (6) Paso 4. Resolvemos la ED, para los dos casos. — Caso 1. Solución general. Si dp dx =0, entonces: p =c De modo que sustituyendo en (4), tenemos: y = xp + p3 y = cx + c3 Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es: y =cx +c3 — Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (4) y (5), tenemos: x = −3p2 y = −3p3 + p3 y = −2p3 Es decir, las soluciones paramétricas son: x = −3p2 (7) y = −2p3 (8) Éstas soluciones paramétricas representan la solución singular de la ED de Clairaut estudiada para éste caso. La forma de la solución singular en función de x,y, se deduce a continuación. Paso 5. Solución singular. Si despejamos p de (7), tenemos: p2 = − x 3 Por lo que sustituyendo en (8), tenemos: y = −2p3 y = −2( ( ( ( ( ( ( − x 3) ) ) ) ) ) )3 y = −2 − x 3 3 2 y2 = 4 − x 3 3 y2 = − 4 27 x 3 8 SECTION 5
  • 9. De modo que la envolvente y solución singular es: 27y2 = −4x 3 La gŕafica de las soluciones y la envolvente de la ED es: Figure 4. Rectas solución de la ED de Clairaut y=xy′−(y′)3 . La solución singular está en color purpura. Ejercicio 2. Resolver (x 2 − 1)(y′)2 − 2xyy′ + y2 −1 =0 Solución. Paso 1. Forma estándar. Podemos notar que la ED es de la forma: (x 2 −1)(y′)2 − 2xyy′ +y2 − 1 = 0 x 2 (y′)2 −(y′)2 − 2xyy′ +y2 − 1 = 0 (y −xy′)2 −(y′)2 − 1 = 0 La cual puede ser dividda en dos ecuaciones, como sigue: (y −xy′)2 = (y′)2 + 1 y −xy′ = (y′)2 + 1 De modo que tenemos las ecuaciones: y =xy′ + (y′)2 + 1 (9) y y =xy′ − (y′)2 + 1 (10) Las cuales tienen la forma estándar de la ED de Clairaut. Paso 2. Sustituimos y′ = p, en la ED (9). y= xp + p2 +1 (11) ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 9
  • 10. Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos dp dx . dy dx = xp′ +p + 1 2 (p2 + 1) − 1 2 2pp′ dy dx = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (x + p (p2 +1) 1 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )p′ +p ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (x + p (p2 + 1) 1 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = dy dx −p Sustituimos dy dx = p. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (x + p (p2 + 1) 1 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = dy dx − p ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (x + p (p2 + 1) 1 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = p − p ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (x + p (p2 + 1) 1 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = 0 De éste modo tenemos dos casos: dp dx = 0 (12) x + p (p2 + 1) 1 2 = 0 (13) Paso 4. Resolvemos la ED, para los dos casos. — Caso 1. Solución general. Si dp dx =0, entonces: p =c De modo que sustituyendo en (11), tenemos: y = xp + p2 + 1 y = cx + c2 + 1 Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es: y= cx + c2 +1 — Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (11) y (13), tenemos: x = −p (p2 + 1) 1 2 y = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( −p (p2 +1) 1 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )p + p2 + 1 y = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( −p2 (p2 +1) 1 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )+ p2 + 1 y = −p2 + p2 + 1 (p2 + 1) 1 2 y = 1 (p2 + 1) 1 2 Es decir, las soluciones paramétricas son: x = −p (p2 + 1) 1 2 (14) y = 1 (p2 + 1) 1 2 (15) Éstas soluciones paramétricas representan la solución singular de la ED de Clairaut estudiada para éste caso. La forma de la solución singular en función de x,y, se deduce a continuación. Paso 5. Solución singular. 10 SECTION 5
  • 11. Si despejamos p de (14), tenemos: x = −p (p2 + 1) 1 2 x 2 = p2 (p2 + 1) (p2 +1)x 2 = p2 p2 x 2 +x 2 = p2 x 2 = p2 −x 2 p2 x 2 = (1− x 2 )p2 p2 = x 2 1− x 2 Por lo que sustituyendo en (15), tenemos: y = 1 (p2 +1) 1 2 y = 1 x 2 1 − x 2 + 1 1 2 y2 = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 1 x 2 1 − x 2 + 1 1 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )2 y2 = 1 x 2 1 − x 2 + 1 y2 = 1 x 2 + 1 − x 2 1 − x 2 y2 = 1− x 2 1 y2 = −x 2 + 1 De modo que la envolvente y solución singular es: y2 + x 2 = 1 La gŕafica de las soluciones y la envolvente de la ED es: Figure 5. Gráfica para las curvas solución de la ED de Clairaut y=xy′+ (y′) +1. En la gráfica se muestra parte de la envolvente o solución singular y2 +x 2 = 1. ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 11
  • 12. Figure 6. Gráfica para las curvas solución de la ED de Clairaut y=xy′− (y′) + 1. En la gráfica se muestra parte de la envolvente o solución singular y2 +x 2 = 1. Figure 7. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y = xy′ + (y′) +1 y y = xy′ − (y′) +1 en colores varios. En la gráfica se muestra la envolvente com- pleta o solución singular y2 +x 2 = 1, en color cyan. Si quieres automatizar tus soluciones con programación, utilizando un programa potente y fácil de aprender como sagemath, te recomendamos nuestro producto: Clairaut Ecuaciones Diferenciales (códigos), que son códigos en sagemath para que automatices tus solucions, estes seguro de éstas sin perder tiempo y puedas hacer simulación. Ejercicio 3. Resolver y =xy′ −tan(y′) (16) Solución. Paso 1. Forma estándar. Ya tenemos la forma estándar. 12 SECTION 5
  • 13. Paso 2. Sustituimos y′ = p. y = xy′ −tan(y′) y = xp −tan(p) (17) Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos dp dx . y = xp − tan(p) dy dx = xp′ +p −(tan(p)2 +1)p′ dy dx = (x − (tan(p)2 + 1))p′ + p (x −(tan(p)2 +1))p′ = dy dx −p Sustituimos dy dx = p. (x − (tan(p)2 + 1))p′ = p −p (x − (tan(p)2 + 1))p′ = 0 De éste modo tenemos dos casos: dp dx = 0 (18) x −(tan(p)2 +1) = 0 (19) Paso 4. Resolvemos la ED, para los dos casos. — Caso 1. Solución general. Si dp dx =0, entonces: p =c De modo que sustituyendo en (17), tenemos: y = xp −tan(p) y = cx −tan(c) Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es: y= cx − tan(c) — Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (19), tenemos: x = tan(p)2 +1 x = sec(p)2 Por tanto de (17): y = p sec(p)2 − tan(p) Es decir, las soluciones paramétricas son: x = sec(p)2 (20) y = p sec(p)2 − tan(p) (21) Éstas soluciones paramétricas representan la solución de la ED de Clairaut estudiada. A contin- uación la solución singular (envolvente) en términos de x, y. Paso 5. Solución singular. Si despejamos p de (20), tenemos: x = sec(p)2 x √ = sec(p) p = sec( x √ )−1 ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 13
  • 14. Por lo que sustituyendo en (21), tenemos: y = sec( x √ )−1 sec(sec( x √ )−1 )2 −tan(sec( x √ )−1 ) y = x √ x √ sec( x √ )−1 − x −1 y = x sec( x √ )−1 − x −1 De modo que la envolventa o solución singular es: y= x sec( x √ )−1 − x − 1 La gráfica de las soluciones y la envolvente de la ED es: Figure 8. Rectas solución de la ED de Clairaut y=xy′−tan(y′). La solución singular, obtenida mediante las ecuaciones (20) y (21) está en color magenta. Ejercicio 4. Resolver y= xy′ + y′ 1 +(y′)2 (22) Solución. Paso 1. Forma estándar. Ya tiene la forma estándar la ecuación. Paso 2. Sustituimos y′ = p. y =xp + p 1 +p2 (23) Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos dp dx . dy dx = xp′ + p + (1+ p2 ) 1 2 p′ −p 1 2 (1+ p2 ) − 1 2 2pp′ 1 +p2 dy dx = xp′ + (1+ p2 ) 1 2 − p2 (1 +p2 ) − 1 2 p′ 1 +p2 + p dy dx = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( x + (1 + p2 ) − p2 (1 + p2 ) − 1 2 1 +p2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) p′ +p ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( x + 1 (1 + p2 ) 1 2 1+ p2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) p′ = dy dx −p ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (x + 1 (1 +p2) 3 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = dy dx −p Sustituimos: dy dx = p. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (x + 1 (1 +p2) 3 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = p −p ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (x + 1 (1 +p2) 3 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = 0 14 SECTION 5
  • 15. De éste modo, tenemos dos casos: dp dx = 0 (24) x + 1 (1+ p2) 3 2 = 0 (25) Paso 4. Resolvemos la ED, para los dos casos. — Caso 1. Solución general. Si dp dx =0, entonces: p =c De modo que sustituyendo en (23), tenemos: y = xp + p 1+ p2 y = cx + c 1+ c2 Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es: y= cx + c 1+ c2 — Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (23) y (25), tenemos: x = − 1 (1+ p2) 3 2 y = − p (1+ p2) 3 2 + p (1 +p2) 1 2 y = p(1+ p2 ) −p (1 +p2) 3 2 y = p + p3 −p (1+ p2) 3 2 y = p3 (1+ p2) 3 2 Es decir, las soluciones paramétricas son: x = −1 (1 +p2) 3 2 (26) y = p3 (1 +p2) 3 2 (27) Éstas soluciones paramétricas representan la solución singular de la ED de Clairaut estudiada para éste caso. La forma de la solución singular (envolvente) en función de x,y, se deduce a continuación. Paso 5. Solución singular. Si despejamos p de (26), tenemos: x = −1 (1 +p2) 3 2 x 2 3 = 1 1 +p2 1 +p2 = 1 x 2 3 p2 = 1 x 2 3 − 1 p2 = 1 −x 2 3 x 2 3 ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 15
  • 16. Por lo que sustituyendo en (27), tenemos: y = p3 (1+ p2) 3 2 y = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (1 − x 2 3 x 2 3 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 − x 2 3 x 2 3 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (1+ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (1 − x 2 3 x 2 3 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 3 2 y = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (1 − x 2 3 x 2 3 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 3 2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (1+ 1 − x 2 3 x 2 3 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 3 2 y 2 3 = 1 − x 2 3 x 2 3 1+ 1 − x 2 3 x 2 3 y 2 3 = 1 − x 2 3 x 2 3 x 2 3 + 1 − x 2 3 x 2 3 y 2 3 = 1− x 2 3 1 De modo que la envolventa o solución singular es: y 2 3 +x 2 3 = 1 La gráfica de las soluciones y la envolvente de la ED es: Figure 9. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y =xy′ + y′ 1 + (y′) en color verde. En la gráfica se muestra parte de la envolvente o solución singular y2 +x 2 =1, en color magenta. Para graficar la envolvente se puede utilizar las soluciones paraméricas encontradas. 16 SECTION 5
  • 17. Figure 10. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y=xy′ − y′ 1 + (y′) en color verde. En la gráfica se muestra parte de la envolvente o solución singular y2 +x 2 =1, en color magenta. Para graficar la envolvente se puede utilizar las ecuaciones paramétricas encontradas intercambian- dolo los signos. Figure 11. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y=xy′+ y′ 1 + (y′) y y=xy′− y′ 1 + (y′) en color verde. En la gráfica se muestra la envolvente completa o solución singular y 2 3 + x 2 3 = b 3 2 , en color magenta, donde b es un número complejo. Ejercicio 5. Resolver y −xy′ = a 2y′ ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 17
  • 18. Donde: a es constante. Solución. Ejercicio. Paso 1. Forma estándar. La forma estándar casi está dada. y =xy′ + a 2y′ Paso 2. Sustituimos y′ = p. y =xp + a 2p (28) Paso 3. Derivamos respecto de x y despejamos dp dx . dy dx = xp′ + p − a 2 p−2 p′ dy dx = xp′ + p − a 2p2 p′ dy dx = ( ( ( ( ( ( ( ( (x − a 2p2) ) ) ) ) ) ) ) )p′ + p ( ( ( ( ( ( ( ( (x − a 2p2) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = dy dx − p Sustutuimos: dy dx = p. ( ( ( ( ( ( ( ( (x − a 2p2) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = p − p ( ( ( ( ( ( ( ( (x − a 2p2) ) ) ) ) ) ) ) )p′ = 0 De éste modo tenemos dos casos: dp dx = 0 (29) x − a 2p2 = 0 (30) Paso 4. Resolvemos las ED, para los dos casos. — Caso 1. Solución general. Si dp dx =0, entonces: p = c De modo que sustituyendo en (28), tenemos: y = xp + a 2p y = cx + a 2c Es decir, la solución general y familia de rectas soluciones de la ED, es: y =cx + a 2c — Caso 2. Soluciones paramétricas. Si consideramos (28) y (30), tenemos: x = − a 2p2 y = − ap 2p2 + a 2p y = a 2p + a 2p y = a p Es decir, las soluciones paramétricas son: x = a 2p2 (31) y = a p (32) 18 SECTION 5
  • 19. Éstas soluciones paramétricas representan la solución singular de la ED de Clairaut estudiada para éste caso. La forma de la solución singular (envolvente) en función de x, y, se deduce a con- tinuación. Paso 5. Solución singular. Si despejamos p de (31), tenemos: x = a 2p2 p = a 2x Por lo que sustituyendo en (32), tenemos: y = a a 2x 1 2 y2 = a2 a 2x y2 = 2a2 x a y2 = 2ax De modo que la envolventa o solución singular es: y2 = 2ax La gráfica de las soluciones y la envolvente de la ED es: Figure 12. Gráficas para las curvas de la solución general de la ED de Clairaut y −xy′ = a 2y′ en color verde. En la gráfica se muestra la envolvente o solución singular y2 =2ax, en color magenta. Si quieres automatizar tus soluciones con programación, utilizando un programa potente y fácil de aprender como sagemath, te recomendamos nuestro producto: Clairaut Ecuaciones Diferenciales (códigos), que son códigos en sagemath para que automatices tus solucions, estes seguro de éstas sin perder tiempo y puedas hacer simulación. ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT, EJERCICIOS RESUELTOS 19
  • 20. 6 Conviertete en un Expert@ Figure 13. Todo gran cambio empieza con un primer paso. Te invitamos a sumergirte en el mundo fascinante de las ecuaciones diferenciales de Caliraut y convertirte en un verdadero experto en el amplio campo de las ecuaciones diferenciales lineales y no-lineales. Para ésto ponemos a tu disposición un serie de recursos bien pensados para tu avance paulatino hacia tu desarrollo profesional. 1 Automatiza tus Soluciones Primero, te recomendamos adquirir nuestro producto: Clairaut Ecuaciones Diferen- ciales (códigos), donde encontrarás 5 ejemplos resueltos paso a paso con sagemath de los ejercicios que están en ésta publicación. Con este producto, obtendrás acceso a 5 ejemplos resueltos paso a paso, utilizando SageMath, que te ayudarán a comprender mejor los conceptos presentados en este artículo. 20 SECTION 6
  • 21. Figure 14. Adquiere: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Sagemath Python Lineales y No Lin- eales paso a paso Además, si deseas dominar el arte de resolver ecuaciones diferenciales de Clairaut con facilidad y precisión, te recomendamos nuestro producto: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Sagemath Python Lineales y No Lineales paso a paso. Con este artículo, obtendrás acceso a 10 ejemplos explicados paso a paso de forma analitica y sobre todo, codificada con python y sagemath, que te ayudarán a automatizar todos tus procedimientos para las 10 principales ecuaciones diferenciales de primer orden, lineales y no-lineales, para que nunca más dudes de tus respuestas y aprendas a fondo los algoritmos y conceptos de cada ED. 2 Lleva tu Conocimiento al Siguiente Nivel Para aquellos que desean llevar su comprensión y habilidades al siguiente nivel, ofre- cemos cursos especializados en ecuaciones diferenciales e inteligencia artificial. Estos cursos están diseñados tanto para estudiantes como para profesionales que desean dominar este campo de estudio utilizando herramientas de última generación. CONVIERTETE EN UN EXPERT@ 21
  • 22. ¡Haz clic en los enlaces a continuación para obtener más información y comenzar tu posisionamiento en el pináculo de tu sector iniciando un viaje hacia la maestría en ecuaciones diferenciales con inteligencia artificial! Figure 15. Inscríbete a nuestro programa completo: Ecuaciones Diferenciales, Modelado, Aplicaciones e Inteligencia Artificial, y desarrolla todo tu potencial profesional. 3 Otros cursos especializados − ¿Qué son las Ecuaciones Diferenciales? − Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden, Lineales y No-Lineales − Ecuaciones Diferenciales con Series de Potencias − Caos y Ecuaciones Diferenciales Con nuestros cursos, aprenderás a modelar matemáticamente poblaciones y a simu- larlas mediante métodos numéricos. Además, explorarás cómo aplicar este conocimiento en diversos campos de estudio y aplicaciones prácticas. 22 SECTION 6
  • 23. Figure 16. Inscríbete a nuestro programa completo: Ecuaciones Diferenciales, Modelado, Aplicaciones e Inteligencia Artificial, y desarrolla todo tu potencial profesional. − Ecuaciones Diferenciales, Modelado, Aplicaciones e Inteligencia Artificial Si buscas una experiencia educativa única que te sumerja en el mundo del mode- lado matemático, la programación simbólica y numérica, nuestro programa completo te brindará todo lo que necesitas. Desde el modelado matemático hasta la programación simbólica y numérica, nuestro programa te sumerge en una experiencia educativa única, despierta tu curiosidad y te impulsa a alcanzar nuevos niveles de conocimiento y habil- idad. Conviértete en un experto en ecuaciones diferenciales de Clairaut y lleva tus habil- idades matemáticas al siguiente nivel. El conocimiento está a tu alcance, ¡empieza tu viaje hacia la maestría hoy mismo! 4 ¿Encontraste lo que buscabas? ¿Quieres comenzar desde cero? Te recomiendo nuestro artículo: Tipos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y su Clasificación. ¿Quieres una visión general desde cero? Te recomiendo nuestro artículo: Domina las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Guía Esencial 2024. CONVIERTETE EN UN EXPERT@ 23
  • 24. ¿Quieres más profundidad en el conocimiento de las ecuaciones no-lineales de primer orden? Te recomiendo nuestros artículos: Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli Ecuaciones Diferenciales de Riccati Ecuaciones Diferenciales de Lagrange Ejemplo de aplicación de EDs no-lineales: Ecuación Logística ¿Quieres aprender Ecuaciones Diferenciales lineales? Ecuación Diferencial lineal Ejercicio Resuelto (Problema 17, G. Zill) 7 Bibliografía 1. Rainville, Earl D., Bedient, Phillip E., y Bedient, Richard E. (1981). "Elementary Differential Equations". Prentice Hall. 2. Moya, Luis María. (2007). "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias". Editorial Reverte. 3. Vergel Ortega, M., Rincón Leal, O. L., & Ibargüen Mondragón, E. (2022). Ecua- ciones Diferenciales Aplicaciones. Editorial Universidad de Nariño. 4. Simmons, George F. (2007). "Differential Equations with Applications and Histor- ical Notes". McGraw-Hill. 5. Zill, Dennis G. (2012). "A First Course in Differential Equations with Modeling Applications". Cengage Learning. 6. Braun, Martin. (2005). "Differential Equations and Their Applications". Springer. 7. Polyanin, Andrei D. (2002). "Handbook of Exact Solutions of Ordinary Differential Equations". CRC Press. 8. Varona Malumbres, Jose Luis. (2004). "Métodos Clásicos de Resolución de Ecua- ciones Diferenciales Ordinarias". Paraninfo. 9. Castro Cepeda, Lidia. (2010). "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias". Pearson Educación. 10. Herman, R. L. (2008). "A First Course in Differential Equations for Scientists and Engineers". Brooks/Cole. 24 SECTION 7