algebra

1. UN SERMÓN LARGO LLEVA A UN BUEN
PROBLEMA
El sermón era largo y hacia mucho calor en el templo. Era difícil
mantenerse despierto. Por un rato, el joven Franklin Figit se divirtió
ojeando el boletín dominical. Cansado de esto, trató de doblarlo de
maneras cada vez complicadas. Fue entonces cuando le surgió una idea
brillante. “Me pregunto que pasaría” se dijo así mismo, “si tomara un
boletín gigante, lo doblara a la mitad, luego nuevamente a la mitad y así
hasta haberlo doblado 40 veces. ¿Qué altura tendría el paquete de papel
formado de esta manera?”
El joven Franklin formuló una pregunta muy interesante. ¿Cuál cree
usted que sea la respuesta correcta? ¿10 pulgadas? ¿3 pies? ¿500 pies?
Haga su apuesta y escriba al margen. Cuando en esta sección se llegue a
la respuesta correcta, lo más probable es que quedaría muy sorprendido.
Empecemos ahora mismo a analizar el problema. Si el problema
tuviera “c” unidades de grosor (c = 0.01 pulgadas sería un valor razonable),
después de doblar una vez tendrían 2c unidades de grosor. Después de
dos dobleces, mediría 2x2c unidades de grueso y después de doblar el
boletín 40 veces se tendría un grosor de
2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2
.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2
Nadie que tenga sentido de la economía y de la elegancia, escribiría
la multiplicación cuarenta veces dos de esta manera. Para indicar un
producto de este tipo, la mayor parte de la gente y todos los matemáticos
prefieren escribir. El número 40 se llama exponente y nos indica el número
de veces que hay que multiplicar a 2 consigo mismo. Al número se le llama
una potencia de 2 y se lee: “dos a la cuadragésima potencia”, o “2 a la
cuarenta”.
En el caso general, si “b” es cualquier número 





,...,5,,
4
3
iπ y “n” un
entero positivo, entonces: bn
= 
factoresn
bbbbbb .......

2. TEORÍA DEEXPONENTES
INDICADOR:
Identifica y resuelve situaciones problemáticas, aplicando las leyes de
exponentes correctamente.
INDICADOR:
Identifica y resuelve situaciones problemáticas, aplicando las leyes de
exponentes correctamente.
DE DESCARTES A NEWTON
La nueva razón, la autentica revolución del mundo moderno, culminó
en los siglos XVII y XVIII con una renovación completa del universo del
conocimiento.
Hasta el siglo XVI, la ciencia había permanecido íntimamente ligado
a la teología y a la filosofía, las investigaciones empíricas que la habían
hecho durante el renacimiento, sobre todo en el terreno de la medicina y
en el de la astronomía, habían sido violentamente combatidas por la
iglesia y la obra de un Leonardo de Vinci, que intentaba reunir en un
conjunto coherente todo el saber de su tiempo quedó como una
Si desea triunfar debes
abrir nuevos caminos
en vez de recorrer las
viejas rutas de los éxitos
ajenos.
EL GRAN MOVIMIENTO INTELECTUAL
Comienza en el año 1620 tiene por artífices a Galileo, Kepler,
Descartes, Leibniz y Newton. Profesores de universidad provocan
conflictos teológicos, ya que la iglesia, que había condenado a Galileo,
no integra el progreso científico en su visión del mundo. Discípulo de
Aristóteles, no puede aceptar un mundo en movimiento, regido por leyes
matemáticas y, sin embargo, los sabios del siglo XVII con instrumentos
de óptica y cálculo perfeccionado demuestran que es el sol el que está
en el centro del universo y que la sangre no es un líquido estancado. Sin
embargo, por la mayoría de los creyentes ponen la religión “en
entredicho”. A la muerte de Cristina de Suecia, el grupo de sabios que la
rodeaba se dispersa por toda Europa, perseguidos frecuentemente por la
contra reforma. Pero los contactos entre científicos se multiplican
gracias a un amigo de Descartes, el padre Mersenne, quien se encarga
de difundir las ideas mas revolucionarias, empezando por las de Galileo.
I. Galileo se instaló en Florencia en 1585. Se dedicó a estudiar
principios de Arquímedes.
II. Kepler, gracias a su estudio de Marte, este discípulo de Copérnico
reinterpreta el movimiento de los planetas: describen una elipse
girando alrededor del sol.
III. Descartes, introdujo las matemáticas en el seno de las ciencias y la

3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
INDICADORES:
Valoran la utilidad del lenguaje algebraico para generalizar y operar con
cantidades desconocidas en situaciones reales.
Reducen términos semejantes correctamente.
INDICADORES:
Valoran la utilidad del lenguaje algebraico para generalizar y operar con
cantidades desconocidas en situaciones reales.
Reducen términos semejantes correctamente.
EL PADRE DEL ÁLGEBRA
La época fue en el siglo XVI. Francia y España estaban en guerra.
Como en cualquier guerra, ambos bandos enviaban sus mensajes en
código para ocultar sus planes al enemigo. Obviamente, el secreto era
de suma importancia. Empero, los secretos españoles no se podían
conservar. No es que no lo intentaran. Más cuando los franceses
capturaban un correo español, leían el mensaje con tanta precisión
como lo podía hacer cualquier español. ¿Cómo podía ser esto? Los
españoles sabían que sus códigos estaban siendo descifrados.
¿Cómo podía cualquier francés descifrarlos? En realidad, ¿cómo
podía cualquier hombre hacerlo, a menos que tuviera la clave? La
conclusión fue obvia. Algo más que un hombre debía estar trabajando
para Francia. Los franceses debían tener pacto con el demonio.
¡Debían estar usando magia negra!.
Los españoles se quejaron con el Papa. Pero el Papa era demasiado
sabio para interferir porque no era el demonio quien estaba
desbaratando los códigos; era un abogado francés llamado Vieta. No
era mediante la magia como hacía su trabajo, sino mediante las
matemáticas. Porque Vieta era un abogado con una afición, y esa
afición era el Algebra. Descifrar códigos no era para él sino resolver
ecuaciones.
El Rey de Francia contrajo con Vieta una deuda de gratitud. De igual
modo la tienen generaciones de estudiantes de Algebra. Y es que
Vieta no sólo descifró los códigos españoles sino que simplificó
No temas que tu
vida acabe, teme que
quizá nunca
empiece.

4. POLINOMIOS
INDICADORES:
Identifican y denotan un polinomio de acuerdo a su definición perfectamente.
Determinan los grados relativo y absoluto de un polinomio correctamente.
Resuelven situaciones problemáticas utilizando polinomios especiales de manera eficaz
INDICADORES:
Identifican y denotan un polinomio de acuerdo a su definición perfectamente.
Determinan los grados relativo y absoluto de un polinomio correctamente.
Resuelven situaciones problemáticas utilizando polinomios especiales de manera eficaz
LA NOCIÓN CLÁSICA DEL POLINOMIO
Un ejemplo sencillo: Situémonos en el conjunto R, que es el del álgebra
elemental, y denominemos “x” un número real cualquiera (lo cual, como
recordamos, se escribe x ∈ R). He aquí un ejemplo de cálculo
susceptible de ser efectuado sobre los números como x.
Supongamos que x designa una longitud indeterminada (medida en metros); entonces x
2
designará la superficie de un cuadrado de lado x y x
3
el volumen de un cubo de arista x.
Imaginemos que una persona compra:
Una cuerda cuya longitud equivale tres veces a la longitud de x, es decir 3x metros y cuyo
precio es de 2 soles el metro; esta cuerda cuesta pues:
3x . 2 = 6x soles
Un tablero de contrachapado de superficie 2x
2
(en metros cuadrados), al precio de 12
soles el metro cuadrado; por lo tanto, este tablero cuesta 2x
2
. 12 = 24x
2
soles.
Un tonel de vino de capacidad igual a x
3
(en metro cúbicos), al precio de 2 soles el litro
(de 2000 soles el metro cúbico, puesto que un metro cúbico hay 1000 litros); cueste
2000x
3
soles.
Después de estas compras, le quedan 50 soles se pide expresar la suma que esta
persona tenía inicialmente. Es perfectamente evidente que esta suma depende de x y
que no se puede conocer, puesto que x es indeterminado; sin embargo puede expresarse
en soles bajo la forma.
50 + 6x + 24x
2
+ 2000x
3
(1)
Una expresión como (1) se denomina polinomio de una indeterminada (la indeterminada
es x); se representa con frecuencia por P(x), que se lee “P de x” (P es la inicial de la
palabra “polinomio”. Las compras de una segunda persona llevarían a establecer por
ejemplo, el polinomio:
P1(x) = 30 + 2x- 15x
2
+ 50x
3
El signo “-” delante de 15x
2
significa una deuda equivalente a la suma de 15x
2
soles. Para
otra persona podría tenerse: P2(x) = 15 – 2x+ 2x
2
,etc.
Lo que distingue de los polinomios P, P1, P2, ….., no es la presencia de la indeterminada
x a la potencia 1, a la potencia2, etc, sino el conjunto de coeficientes:
(50,6,24, 2000) para el primer polinomio
Nuestro objetivo en la
vida no es superar a los
demás sino superarnos
a nosotros mismos.

5. INDICADOR:
Calcular operaciones con polinomios correctamente.
INDICADOR:
Calcular operaciones con polinomios correctamente.
LA EXISTENCIA DE LOS
NÚMEROS IRRACIONALES
Algunos números irracionales, como 2 , poseen una característica
especial: si tratamos de calcular su valor numérico, aplicando por
ejemplo el algoritmo de extracción de la raíz cuadrada, el resultado es
un decimal infinito no periódico, lo que significa que solo podrán
conocerse valores aproximados de dicho número; sin embargo, existen
diversas construcciones geométricas que permiten representar
segmentos cuya longitud haya de ser exactamente la del número
irracional en cuestión. Así, por ejemplo, la 2 es el valor de la longitud
de la diagonal de cualquier cuadrado que tenga por lado la unidad de
medida. Esto hace que, tras la elección de una longitud unidad, sea
posible representar sobre una recta el conjunto de todos los números
racionales y también, por lo menos, determinados números irracionales.
Esta representación, sin embargo, plantea un problema: ¿es posible
representar cualquier clase de número mediante un punto de la recta?,
y, recíprocamente, ¿es factible asignar a cada punto de la recta un
número de algún tipo? Tradicionalmente, la intuición geométrica había
servido para dar una respuesta afirmativa a estas cuestiones; ya que
existían números irracionales como 2 , 3 ó 5 , que podían
representarse como puntos de una recta mediante construcciones
geométricas que utilizaban exclusivamente la regla y el compás, se
pensaba que ello había de ser posible para todo número imaginable.
Pero existen unos números, los llamados números trascendentes (cuya
existencia se demostró en 1844 aunque se sabía de ella desde antes),
La soberanía del hombre
está oculta en su
conocimiento
La soberanía del hombre
está oculta en su
conocimiento
OPERACIONES CON
POLINOMIOS

6. INDICADOR:
Hallan productos en forma abreviada.
INDICADOR:
Hallan productos en forma abreviada.
SRINIVASA RAMANUJAN
La luz que irradió su vida alumbró tan sólo 32 años, Srinivasa
Ramanujan, el más famoso matemático de la India contemporánea,
escribió unos 3000 teoremas en muchas ramas de la matemáticas:
teoría de números, funciones elípticas, fracciones continuas y muchas
más.
Algunos de sus teoremas son “extraños”, según dice su colega británico
G.H. Ardí (1877 - 1947) y todavía se están estudiando.
Nació en el sur de la Indica, en una familia muy pobre, pero de casta
muy alta, tan pobre era que no podía comprar papel, inventaba su
matemática escribiendo con tiza en una pizarra. A los 26 años obtuvo
fondos para ir a Inglaterra a trabajar con G.H. Hardy.
Una vez, Ramanujan estaba muy enfermo en un hospital de Londres,
Hardy lo fue a visitar y dijo al llegar:
• Vine en el taxi 1729, el número me pareció banal y espero que
no sea de mal agüero.
• Al contrario –replicó Ramanujan –el número no es nada banal,
es un número muy interesante. Es el menor número que se
puede expresar como suma de dos cubos perfectos de dos
formas distintas:
1 729 = 1
3
+ 12
3
= 9
3
+ 10
3
Otra hazaña numérica de Ramanujan fue el haber conjeturado que el
número e
163π
, compuesto por 3 números irracionales, era un número
entero. En 1974, en las computadoras de la universidad de Arizona
(E.U.A), se comprobó que, efectivamente era el número 262 537 412
Los pies en la tierra,
pero la mirada en
las estrellas.
PRODUCTOS
NOTABLES

7. INDICADOR:
Hallan el cociente al dividir polinomios
INDICADOR:
Hallan el cociente al dividir polinomios
RENÉ DESCARTES
(1596 - 1650)
Famoso filósofo matemático, biólogo, físico y eminente
astrónomo francés: es autor del método llamado
cartesiano.
En su obra “La Geometría” puso los cimientos de la
geometría analítica, también llamada “Geometría
Cartesiana” en honor a su memoria. Es el estudio de la
geometría mediante un sistema de coordenadas.
La obra filosófica máxima de Descartes es “El Discurso del
Método” en esta obra busca el fundamento de la certeza
en el hecho indubitable de la conciencia del propio
pensamiento. En el campo del álgebra propuso un
teorema importante que permite hallar el residuo de una
La genialidad es 1%
de inspiración y 99%
de transpiración.
DIVISIÓN DEPOLINOMIOS