1. CURSO:
Mecánica De Vuelo
PROFESOR:
Arriola Guevara, Luis
ALUMNO:
Huamani Quispe, Jhon
TEMA:
Ejercicios de pequeñas
perturbaciones
2014

2. PÉNDULOS
Péndulo simple
Un ejemplo de movimiento armónico simple es el movimiento de un péndulo. Un péndulo
simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por una cuerda de
longitud l y de masa despreciable.Si lapartícula se llevaa la posiciónB de modo que la cuerda
haga un ángulo θ con la vertical OC, y luego se suelta, el péndulo oscilará entre B y la posición
simétrica B’.
Para determinarlanaturalezade lasoscilaciones,debemosescribirlaecuaciónde movimiento
de la partícula. La partícula se mueve en un arco de circulo de radio l = OA. Las fuerzas que
actúan sobre lapartícula sonsu pesomgy latensiónTa lo largode la cuerda.De la figura,se ve
que la componente tangencial de la fuerza es , donde el signomenosse debe
a que se opone al desplazamientos=CA.Laecuacióndel movimientotangenciales y,
como la partícula se mueve a lo largo de un círculo de radio l, podemos usar la ecuación
(Reemplazando R por l) para expresar la aceleración
tangencial.
Esto es . La ecuación del movimiento tangencial es por consiguiente
Esta ecuaciónnoes del mismotipoque la ecuación debidoala presenciadel
senθSin embargo,si el ánguloθ espequeño,locual es ciertosi laamplitudde las oscilaciones
espequeña, podemosusarlaaproximaciónsenθ≈θyescribirpara el movimientodel péndulo
E Esta es la ecuación diferencial idéntica a la ecuación

3. Si reemplazamosx porθ,estavezrefiriéndonosal movimientoangularynoal movimientolineal.
Por ellopodemosllegar a la conclusión que, dentro de nuestra aproximación, el movimiento
Angular del péndulo es armónico simple con El ángulo θ puede así expresarse en
La forma , el período de oscilación está dado por la expresión
Nótese que el período es independiente de la masa del péndulo. Para mayores amplitudes, la
aproximación senθ ≈θ no es válida.
Ejercicios:
Calcularla tensiónenla cuerda de un pénduloenfuncióndel ánguloque hace la cuerda con la
vertical
Solución:
Para calcular la tensión T, primero obtenemos la fuerza centrípeta sobre la partícula
Ya que, de la figura del péndulo simple está dada por mg cosθ. Luego igualando esta
Expresiónala masamultiplicadaporlaaceleracióncentrípeta (nótese que l esel
radio),conestoobtenemos
Para conseguirlavelocidadusamoslaconservaciónde laenergíaconsiderandocomonivel 0,
el puntode suspensióndel péndulo:

4. Péndulo compuesto:
Un péndulocompuesto(ofísico) escualquiercuerporígidoque puede oscilarlibremente
alrededorde uneje horizontal bajolaacciónde la gravedad.SeaZZ’el eje horizontal yC el
centrode masadel cuerpo.
Cuandola líneaOC hace un ánguloθ con la vertical,el torque alrededordel eje zactuante
Sobre el cuerpo es donde d esla distanciaOCentre el eje zy el centro
De masa C. Si es el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje z, y
Es la aceleraciónangular. Aplicandolasegundaleyde Newtonparalarotación
Obtenemos:
Suponiendoque las oscilacionessonde pequeñaamplitud,podemossuponerque senθ≈θ, de
modoque la ecuacióndel movimiento es
Podemoscompararestaecuacióndel movimientocompararconla ecuación
Demostrandoque el movimientoangularoscilatorioesarmónicosimple,con
Por consiguiente,el periodode lasoscilacioneses

5. Ejercicios: El sistema mostrado en la figura consiste de una barra de masa despreciable,
pivotadaenO, Una masa m pequeñaenel extremoopuestoaO y un resorte de constante ken
la mitad de la barra. En la posiciónmostradael sistemase encuentraen equilibrio.Síse jala la
barra hacia abajo un ángulo pequeño y se suelta, ¿cuál es el periodo de las oscilaciones?
SOLUCION: supongamos al sistema desviado un ángulo θ:
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación:
El resorte esel únicoelementoque causaunafuerzarecuperativa,el efectodelpesode la
masa estácompensadoporel efectodel estiramientopreviodelreste paraponeral sistemaen
posiciónhorizontal
Tenemosque
Para ángulos pequeños:senθ≈θy cosϑ ≈1
Así:
Ecuación de movimientoarmónicosimple con