1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión-Barinas
Péndulo Simple
Profesor: Juan Molina
Nidal Suleiman
8.511.448
Noviembre del 2013

2. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Movimiento armónico simple: es
una energía mecánica de un
sistema
Período alrededor de una
posición de equilibrio
Movimiento amortiguado y
forzado, es cuando existen
agentes discipativos como la
fricción o la viscozidad y causados
por un agente externo
Movimiento Oscilatorio
Parámetros del movimiento:
Amplitud A.
Fase inicial cero
Período T, frecuencia lineal f y
angular
PÉNDULO SIMPLE
Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual
suspendida de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y
sin rozamiento.
Al separar la masa de su posición de equilibrio y soltarla, oscila a ambos lados de dicha
posición, realizando un movimiento vibratorio.
En la posición de uno de los extremos se podemos representar las fuerzas, según
observamos en el gráfico:
El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que
se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:

3. Por tanto la segunda componente del peso, perpendicular a la anterior, es la fuerza
resultante que origina el movimiento oscilante:
Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple:
.
Comprobamos en la tabla siguiente, con datos de ángulos y sus senos, esta
afirmación.
Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo:
Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es proporcional a la
elongación (X) y de signo contrario, con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A.
S. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos,
que vemos a continuación:
,con la ecuación obtenida anteriormente
vemos que la pulsación es:
,y teniendo en cuenta que
donde T es el período: Tiempo utilizado en realizar una oscilación completa, llegamos a:

4. FUNDAMENTOS
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida
del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.
Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con
la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria
circular, un arco de una circunferencia de
radio l. Estudiaremos su movimiento en la
dirección tangencial y en la dirección
normal.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula
de masa m son dos
el peso mg
La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes,
mg·senq en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.
Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de
su trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe
man=T-mg·cosq
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos
determinar la tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de
equilibrio, T=mg+mv2/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero,
T=mgcosq0
Principio de conservación de la energía

5. En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se
transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de
equilibrio.
Comparemos dos posiciones del péndulo:
En la posición extrema θ=θ0, la energía es
solamente potencial.
E=mg(l-l·cosθ0)
En la posición θ, la energía del péndulo es
parte cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva
v2=2gl(cosθ-cosθ0)
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cosθ-2cosθ0)
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición
angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la
posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando
θ=θ0(la velocidad es nula).
Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
La aceleración de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe
mat=-mg·senq
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es
at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial
(1)

6. El movimiento oscilatorio resultante queda caracterizado por los
siguientes parámetros:
Oscilación completa o ciclo:es el desplazamiento de la esfera desde uno
de sus extremos más alejados de la posición de equilibrio hasta su punto
simétrico (pasando por la posición de equilibrio) y desde este punto de nuevo
hasta la posición inicial, es decir, dos oscilaciones sencillas.
Periodo:es el tiempo empleado por la esfera en realizar un ciclo u
oscilación completa.
Frecuencia:es el número de ciclos realizados en la unidad de tiempo.
Amplitud:es el máximo valor de la elongación o distancia hasta el punto
de equilibrio, que depende del ángulo αentre la vertical y el hilo.
Para pequeñas amplitudes (senαα), el movimiento oscilatorio del
péndulo es armónico simple, y el periodo de oscilación Tviene dado por la
fórmula:
Es decir, el tiempo de oscilación no depende ni de la masa “m”ni (para
amplitudes pequeñas) de la amplitud inicial, por lo que puede calcularse g a
partir de medidas de tiempos (“T”) y longitudes (“l” ):
G=4
2
* L/T2
El valor de g disminuye con la profundidad (hacia el interior de la Tierra)
y con la altura (hacia el espacio exterior) tomando su valor máximo para un
radio igual al terrestre. En la superficie terrestre, gvaría con la latitud (la tierra
no es esférica sino que posee una forma más irregular denominada geoide): el
valor de ges menor en el ecuador que en los polos (ge = 9.78049 m/s2, gp =
9.83221 m/s2). También gvaría con la altitud respecto al nivel del mar y con las
anomalías de densidad de la corteza terrestre.
La fuerza centrífuga también varía el móduloy la dirección de
laaceleración de la gravedad a distintas latitudes (es máxima en el ecuador,
donde ω2 R 0.03 m/s2).

7. El péndulo simple, además de servir para calcular el valor de g con una
considerable precisión, tiene muchas otras aplicaciones. Seutiliza generalmente
enla fabricación de relojes para la medición del tiempo. Pero también sirve,
puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la
rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean
León Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los
Inválidos en Paris (latitud49º). Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al
extremo libre; el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el péndulo
señalaba la trayectoria: demostró experimentalmente que el plano de oscilación
del péndulo giraba11º 15’ cada 1hora, y por tanto que la Tierra rotaba.
APLICACIONES EN LA INGENIERÍA CIVIL
-
Contrapeso en edificios muy altos para evitar que oscile por la
fuerza del viento
Contrapeso en puentes para evitar la resonancia
La bola de las grúas de demolición actúan como un péndulo
La vibración que produce el vibro compactador en los suelos
La plomada para conseguir la verticalidad en una pared de
bloques.
CONCLUSIÓN
Las oscilaciones están presente en nuestra vida y en nuestro día a día.
Aunque michas veces no las podemos apreciar como es el caso de la luz y el
sonido, estos se mueven bajo frecuencia de oscilación