pendulo simple y oscilante

1. Péndulo simple
El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de
masam que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso.
Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible
a la teoría.
El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales,
compuestos o físicos, únicos que pueden construirse
Método de Newton
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la
partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical,
y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo
la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -
Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la
longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea
armónico.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del
movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su
propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial
del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para
manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza
recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner
siendo la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

2. Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la
presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del
péndulo simple no es armónico simple, en general.
Método de Lagrange
El lagrangiano del sistema es
donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y es la longitud
del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue
y obtenemos la ecuación del movimiento es
de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.
Pequeñas oscilaciones

3. Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.
Para pequeñas oscilaciones, la función que representa la elongación angular con el
tiempo, , es casi sinusoidal; para mayores amplitudes la oscilación ya no es sinusoidal.
La figura muestra un movimiento de gran amplitud (negro), junto a un
movimiento de pequeña amplitud (gris).
Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea
siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de
θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos
apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a
que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento
angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:
siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el
período de las mismas:
Las magnitudes y son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones
iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas
tienen dimensiones de ángulo plano.

4. Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno.
Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. % Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. %
0 0,00000 0,00000 0,00 15 0,26180 0,25882 1,15
2 0,03491 0,03490 0,02 20 0,34907 0,34202 2,06
5 0,08727 0,08716 0,13 25 0,43633 0,42262 3,25
10 0,17453 0,17365 0,51 30 0,52360 0,50000 4,72
El PÉNDULO OSCILANTE
En la ingeniería mecánica (así como en las otras ingenierías) a menudo se
enfrentan problemasrelacionados con el movimiento periódico de cuerpos libres. Los
métodos de ingeniería requierenfundamentalmente que se conozca de la posición y la
velocidad del cuerpo en función del tiempo.Estas funciones del tiempo invariablemente son
ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuacionesdiferenciales, en general, se basan en la
segunda ley de Newton del movimiento.C o n s i d e r e m o s e l p é n d u l o s i m p l e .
La partícula de peso W se suspende de un hilo de
p e s o despreciable, de longitud
l
. Las únicas fuerzas que actúan sobre la partícula son un peso y la tensiónR del hilo. La
posición de la partícula en cualquier tiempo se especifica completamente en términosdel
ángulo