1. APUNTES DE TEOR´ DE CONSUMO
IA
Gonzalo Hern´ndez Jim´nez
a e
Dana Marcela Chah´ Herrera
ın
29 de octubre de 2008
1. Introducci´n
o
La econom´ es una ciencia social que estudia c´mo los individuos y las
ıa o
sociedades eligen utilizar recursos escasos para producir bienes y servicios
que satisfacen sus necesidades.
En especial, lo concerniente a la satisfacci´n de necesidades ser´ el punto
o a
de partida de estos apuntes sobre las teor´ del Consumo. Vamos a suponer
ıas
que buena parte de las necesidades de los individuos y las sociedades son
satisfechas gracias al consumo de bienes y servicios.
“El consumo es el unico prop´sito final de toda producci´n: y el inter´s
´ o o e
del productor deber´ ser atendido solamente en tanto pueda ser necesario
ıa
para promover el del consumidor” (Smith, 1776).
Precisamente para hacer m´s clara la importancia del consumo como
a
variable econ´mica y comprender sus determinantes, la primera parte del
o
actual curso de Macroeconom´ Avanzada I del Departamento de Econom´
ıa ıa
de la Pontificia Universidad Javeriana se concentra en este tema de estudio.
Adem´s de la motivaci´n derivada de la propia definici´n de Econom´ el
a o o ıa,
Consumo, como variable macroecon´mica, es interesante por dos razones
o
m´s:
a
1. El Consumo representa entre el 50 y el 70 por ciento del Producto
Interno Bruto de los pa´
ıses. En Colombia, por ejemplo, la participaci´n
o
del Consumo en el PIB oscila alrededor de 65 por ciento.
1

2. Figura 1: El consumo como porcentaje del PIB
Las figuras 1 y 2 nos muestran datos para Colombia y para otros grupos
de pa´
ıses.
2. Comprender los determinantes del Consumo significa comprender tam-
bi´n los determinantes del Ahorro, variable clave en la determinaci´n
e o
del nivel de producto o la tasa de crecimiento del producto de largo
plazo de acuerdo con varios modelos de crecimiento econ´mico. Suele
o
decirse que Consumo y Ahorro son dos caras de la misma moneda1 .
Debido a su participaci´n en el PIB como componente de la Demanda
o
Agregada y a su estrecha relaci´n con el Ahorro, el Consumo es parte fun-
o
damental de los an´lisis econ´micos tanto de corto como de largo plazo.
a o
1
“Hasta lo que se, todo el mundo est´ de acuerdo en entender el ahorro como el exceso
a
de ingreso sobre lo que es gastado en consumo´´(Keynes, 1936, cap´ ıtulo 7, traducci´n
o
libre).
2

3. Figura 2: El consumo como porcentaje del PIB y el crecimiento del consumo
y del PIB real en Colombia
En concordancia con el curso de Macroeconom´ Avanzada I, en estos
ıa
apuntes se discutir´n fundamentalmente 4 aproximaciones para explicar el
a
comportamiento del Consumo como variable macroecon´mica: la funci´n key-
o o
nesiana de consumo y tres modelos basados en elecci´n intertemporal: el
o
modelo de Fisher, la hip´tesis de renta permanente y la hip´tesis de ciclo de
o o
vida.
2. Funci´n Keynesiana de Consumo
o
Para Keynes (1936), el objetivo final era comprender qu´ determina el
e
volumen de empleo de una econom´ Keynes construy´ toda una teor´ al-
ıa. o ıa
ternativa a la teor´ cl´sica en la que el Consumo, como elemento de la
ıa a
funci´n de demanda agregada cobraba un protagonismo especial.
o
3

4. En la Teor´ General, la siguiente ecuaci´n representa el comportamiento
ıa o
del Consumo:
Cw = χ(Yw ) (2.1)
donde C es el consumo y Y es el ingreso neto2 .
Partiendo de esta ecuaci´n llegamos a especificaciones m´s modernas co-
o a
mo:
C = C(Y − T ) (2.2)
donde (Y − T ) es el ingreso disponible.
Esta ecuaci´n en su versi´n lineal ser´
o o ıa:
C = α + β(Y − T ) α > 0, 0 < β < 1 (2.3)
donde α y β son coeficientes que representan el consumo aut´nomo y la
o
propensi´n marginal a consumir respectivamente.
o
Esta ecuaci´n recoge los determinantes del consumo que Keynes se˜ alaba
o n
y la forma que deb´ tener la funci´n de consumo. La forma funcional debe
ıa o
tener en cuenta los siguientes aspectos:
1. El consumo depende principalmente del ingreso agregado.
2. De acuerdo con una “ley sicol´gica” que ´l observaba, los hombres est´n
o e a
dispuestos, como por una regla en promedio, a incrementar su consumo
cuando el ingreso se incrementa, pero no tanto como se increment´ su o
dCw
ingreso ( dYw es positiva pero menor a 1). Para Keynes, las necesidades
subjetivas asociadas al consumo incluyen caracter´ ısticas sicol´gicas de
o
la naturaleza humana, pr´cticas sociales e instituciones que improba-
a
blemente cambian en periodos cortos de tiempo, a menos que aparezcan
circunstancias anormales o revolucionarias. Esto explica, por ejemplo,
por qu´ en la funci´n keynesiana de consumo la propensi´n marginal a
e o o
consumir es un par´metro y no una variable.
a
2
Ambas variables para Keynes estaban medidas en t´rmino de unidades salariales y el
e
ingreso neto consist´ en el ingreso que el consumidor ten´ en mente en el momento de
ıa ıa
decidir sobre su nivel de consumo.
4

5. 3. Como regla, un nivel m´s alto de ingreso tender´ a ampliar la brecha
a a
entre ingreso y consumo. Es decir, cuando el ingreso se incrementa,
las personas destinan una proporci´n m´s alta de su ingreso hacia el
o a
ahorro.
Para hacer evidente esta ultima conjetura, dividamos ambos lados de la
´
ecuaci´n (2.3) por (Y − T )
o
C α
= +β (2.4)
Y −T Y −T
De esta manera tenemos al lado izquierdo la proporci´n del ingreso disponible
o
destinado al consumo.
Si le restamos 1 a esta proporci´n, tenemos la proporci´n del ingreso
o o
disponible destinado al ahorro, que claramente es creciente a medida que el
ingreso disponible aumenta. Esta participaci´n tambi´n es conocida como la
o e
propensi´n media a ahorrar.
o
C α
1− =1− −β (2.5)
Y −T Y −T
Se propone desarrollar el ejercicio 1 de la secci´n 9.
o
Emp´ ıricamente, la funci´n keynesiana de consumo suele predecir bastan-
o
te bien el comportamiento del consumo en series de tiempo para periodos
cortos y en estudios de datos a nivel de hogares, sin embargo, falla en sus
predicciones en series de tiempo para periodos largos. Esto se evidenci´ con
o
algunos trabajos en los que se utilizaron los datos estad´
ısticos para Estados
Unidos recopilados en Kuznets (1946).
La figura 3 muestra la formaci´n de capital neto como porcentaje del
o
ingreso nacional en Estados Unidos desde 1869 hasta 1928. Esta variable que
est´ muy correlacionada con la tasa de ahorro y permanece constante a lo
a
largo del tiempo sugiere que la tercera conjetura keynesiana no se cumple.
5

6. Figura 3: Formaci´n de capital neto como porcentaje del ingreso nacional en
o
Estados Unidos
2.1. Funci´n keynesiana de consumo: caso colombiano
o
Miremos las implicaciones de la funci´n keynesiana en el caso colombiano.
o
La figura 4 muestra la relaci´n entre consumo e ingreso disponible para el
o
periodo 1950-2005 y la figura 5 la propensi´n media al ahorro para el mismo
o
periodo.
Como podemos ver, las dos primeras conjeturas parecen ajustarse a los
datos, sin embargo, la propensi´n media al ahorro es relativamente cons-
o
tante en el tiempo (con excepci´n del periodo post apertura econ´mica que
o o
ha estado acompa˜ ado de una marcada disminuci´n de la tasa de ahorro
n o
privada).
6

7. Figura 4: Consumo e ingreso disponible en Colombia
3. Algunos comentarios sobre la funci´n key-
o
nesiana
Adem´s de los problemas emp´
a ıricos al predecir la propensi´n media al
o
ahorro, suele atribuirse como un problema te´rico de la funci´n keynesiana
o o
el que no se tenga en la cuenta que las decisiones de consumo y por lo tanto
de ahorro pueden ser resultado de un problema intertemporal, en el que
las personas deciden de acuerdo con expectativas sobre ingresos futuros y
deciden el su consumo a lo largo del tiempo.
Aunque ser´ muy interesante ver c´mo los economistas pueden analizar a
a o
trav´s de modelos estos temas, vale la pena aclarar que Keynes no evadi´ en
e o
su Teor´ General la intertemporalidad del consumo por ingenuidad o desco-
ıa
nocimiento. Para Keynes, los cambios en la tasa de descuento y los precios
relativos entre bienes presentes y futuros eran parte de algunos factores obje-
7

8. Figura 5: Tasa de ahorro en Colombia
tivos que influ´ en la propensi´n a consumir3 , sin embargo, estos elementos
ıan o
intertemporales eran para Keynes irrelevantes en periodos cortos de tiempo4 .
Otro factor objetivo que para Keynes explicaba la propensi´n a consumir
o
eran las expectativas sobre ingresos presentes y futuros. Keynes tambi´n
e
dej´ de lado este factor argumentando que aunque puede afectar la propen-
o
si´n a consumir de alg´ n individuo en particular, es poco probable que lo
o u
3
Keynes tambi´n hace referencia a factores subjetivos que motivan a las personas a con-
e
sumir, como la b´ squeda de independencia, la avaricia o el placer derivado de incrementar
u
el gasto de consumo, entre muchos otros. Este tema es analizado en la actualidad por eco-
nomistas y sic´logos que trabajan conjuntamente en la explicaci´n de los determinantes
o o
del consumo de las personas.
4
“No hay mucha gente que alterar´ su forma de vida debido a que la tasa de inter´s ha
a e
ca´do de 5 a 4 por ciento, si el ingreso agregado es el mismo que el de antes del cambio”
ı
(Keynes, 1936, cap´ ıtulo 8).
8

9. haga con la comunidad como un todo. Adem´s, planteaba que era un tema
a
con demasiada incertidumbre para ejercer demasiada influencia.
Keynes alcanz´, tal como lo pretend´ una funci´n de consumo
o ıa, o
“fairly stable” en la que se tuvieran en la cuenta los elementos
que para ´l eran los m´s relevantes, dejando de lado aquellos, que
e a
siendo conocidos, introduc´ıan demasiado ruido en circunstancias
ordinarias.
Las siguientes tres teor´ basadas en lo conocido como fundamentales,
ıas,
partir´n del concepto de que las personas consumen porque de este consumo
a
derivan utilidad. Weil (2005) se pregunta en sus notas sobre consumo ¿por
qu´ las personas consumen? y responde: porque las hace felices.
e
4. Consumo y Felicidad
En la actualidad, se calcula para 95 pa´ un indicador subjetivo de fe-
ıses
licidad. Al responder la pregunta ¿qu´ tanto disfruta su vida? las personas
e
reportan su nivel de felicidad en una escala de 1 a 10, donde 10 representa
el valor m´s alto nivel de satisfacci´n. De acuerdo con Veenhoven (2006),
a o
los factores que parecen explicar las diferencias entre los ´
ındices de felicidad
de los pa´ son la disponibilidad de bienes y servicios, la igualdad social,
ıses
la libertad pol´
ıtica, el acceso al conocimiento y algunas caracter´ ısticas so-
cioecon´micas como la prosperidad, el crecimiento econ´mico, la seguridad
o o
econ´mica y la igualdad del ingreso.
o
Aunque usualmente se muestra la correlaci´n entre ingreso y felicidad,
o
la figura 6 muestra la correlaci´n entre consumo per-c´pita y felicidad para
o a
diferentes pa´ 5 en el periodo 1995-2005. Al igual que lo descrito por una
ıses
funci´n de utilidad convencional, los datos parecen describir concavidad. A
o
mayor consumo, mayor felicidad, pero a medida que aumenta el consumo,
cambios en el consumo provocan cambios cada vez menores en la felicidad.
Colombia reporta uno de los niveles m´s altos de felicidad a nivel mundial
a
con un ´
ındice de 8.1. Nos sentimos tan felices como los suizos que tienen un
5
La gr´fica s´lo contiene datos para 83 pa´
a o ıses, ya que los datos de consumo per-c´pita
a
no estaban disponibles para los 12 pa´ ıses restantes. Los pa´ ıses que se excluyeron son:
Angola, Bosnia, Cyprus, Irak, Ivory Coast, Malta, Montenegro, Nigeria, Singapur, Taiwan,
Uzbekistan, South Korea
9

10. nivel de consumo per c´pita 15 veces m´s alto y m´s felices que los peruanos
a a a
o los rumanos que tienen un nivel de consumo promedio parecido al nuestro.
Tal vez lo que ocurre es que somos optimistas o felices por naturaleza. Sin
embargo, s´ hay una tendencia: entre m´s ingreso o consumo, m´s felices en
ı a a
promedio.
Figura 6: Consumo y felicidad
Para modelar el supuesto de que el consumo hace felices a las personas,
revisemos la funci´n de utilidad.
o
5. Funci´n de Utilidad
o
Para poder representar la idea de que el consumo hace felices a las perso-
nas, describamos una funci´n de utilidad que asigna valores a las diferentes
o
cestas de consumo, dependiendo del placer que ´stas le generan a un agente
e
10

11. representativo. Es importante resaltar que esta funci´n de utilidad es ordi-
o
nal y no cardinal, es decir, no nos interesa el valor que toma la funci´n de
o
utilidad, sino el valor relativo cuando la comparamos con otras cestas de
consumo.
De esta manera, trabajaremos con una funci´n de utilidad, tal que
o
U = U(C), cuya representaci´n gr´fica ser´ la que se aprecia en la figura 7.
o a ıa
Figura 7: Funci´n de utilidad
o
Esta funci´n de utilidad debe cumplir con algunas caracter´
o ısticas im-
portantes para nuestro an´lisis: utilidad marginal positiva pero decreciente,
a
aditividad y aversi´n al riesgo.
o
5.1. Utilidad marginal decreciente
Como podemos apreciar en la figura 7, cuando el individuo aumenta su
cantidad de consumo, su utilidad aumenta. Este aumento en la utilidad cau-
sado por una unidad adicional de consumo es lo que llamamos utilidad mar-
ginal. Nos damos cuenta tambi´n que el aumento que experimenta la utilidad
e
es cada vez menor a medida que aumenta el consumo. Decimos, por tanto,
que la utilidad marginal es decreciente. Una unidad adicional de consumo
para un individuo que consum´ poco, aumenta m´s el nivel de utilidad que
ıa a
11

12. en el caso de un individuo que ya ten´ un alto nivel de consumo. Por ello,
ıa
para valores mayores de C, la gr´fica se ve cada vez m´s plana.
a a
∂2U
Matem´ticamente, debe cumplirse que ∂U > 0 y
a ∂C ∂C 2
< 0 para garantizar
utilidad marginal positiva pero decreciente.
5.2. Aditividad de la funci´n de utilidad
o
Otra caracter´ıstica que deber´ tener la funci´n de utilidad ser´ la de adi-
a o a
tividad. Es decir, que podamos sumar las funciones de utilidad instant´neas.
a
Para la construcci´n de los modelos intertemporales que revisaremos m´s
o a
adelante, es necesario que podamos contar con una funci´n de utilidad que
o
represente la satisfacci´n del individuo por el consumo realizado en diferentes
o
momentos de tiempo.
V = U(C1 ) + U(C2 ) + · · · + U(Ct ) (5.1)
En el caso de un individuo que debe decidir su senda de consumo para t pe-
riodos, la utilidad total ser´ la suma de las funciones de utilidad instant´neas.
a a
5.3. Aversi´n al riesgo
o
Todos los d´ nos enfrentamos a situaciones de incertidumbre. No sa-
ıas
bemos si vamos a ganar la loter´ si el precio de los alimentos va a subir,
ıa,
si va a haber un terremoto o si vamos a pasar macroeconom´ avanzada I6 .
ıa
Debido a que estos eventos afectan las decisiones de consumo, es importante
que veamos qu´ implicaciones tiene nuestra funci´n de utilidad c´ncava.
e o o
Para enfrentar la incertidumbre, las personas se crean expectativas acer-
ca de lo que va a ocurrir en el futuro. Los economistas abordamos la forma
como se construyen estas expectativas a trav´s del concepto de utilidad es-
e
perada. Esta utilidad esperada parecer´ poder ser calculada de dos maneras
ıa
diferentes. Ahora veremos que s´lo una de esas formas es correcta.
o
Supongamos que el salario de un individuo depende del comportamiento
del precio de las acciones. Por lo tanto, este individuo tiene incertidumbre
acerca de la cantidad de dinero que puede ganar el siguiente mes. Supongamos
6
Esto por supuesto puede ser m´s controlado que el terremoto.
a
12

13. que con una probabilidad igual a 0.5, el individuo ganar´ un salario que le
a
permitir´ consumir 500 pesos y con una probabilidad igual a 0.5 el individuo
a
ganar´ un salario que le permitir´ consumir 1000 pesos.
a a
Podr´
ıamos calcular:
Utilidad esperada del consumo
EU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000)
o la
Utilidad del valor esperado del consumo
UE(C) = U(0,5 ∗ 500 + 0,5 ∗ 1000)
La primera forma es la que usaremos como nuestra funci´n objetivo cuan-
o
do hay incertidumbre. Veamos por qu´ es sensato que aceptemos esta defini-
e
ci´n y descartemos la segunda.
o
En el ejemplo del individuo que enfrenta incertidumbre acerca de su con-
sumo, podemos darnos cuenta claramente que los dos eventos que pueden
ocurrir son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir al mismo
tiempo. El individuo podr´ consumir 500 o podr´ consumir 1000, pero en
a a
ning´ n momento va a consumir una cantidad intermedia entre las dos.
u
Eso es precisamente lo que est´ mostrando la utilidad esperada del
a
consumo, ya que con una probabilidad de 0.5 el individuo va a obtener
utilidad por consumir 500 y con una probabilidad de 0.5 el individuo va a
obtener utilidad por consumir 1000.
De esta manera se garantiza adem´s la independencia entre los posibles
a
resultados. Si uno de los dos eventos no ocurre, eso no debe perturbar en
lo m´s m´
a ınimo al evento que s´ sucede. En el caso en que el evento que
ı
ocurra sea el segundo (que el individuo consuma 1000), el hecho de que el
individuo no consuma 500 no influir´ de ninguna forma. Esta funci´n de
a o
utilidad esperada es com´ nmente conocida como Funci´n de Utilidad Von
u o
Neumann-Mortgenstern.
13

14. Cuando las personas se enfrentan a estas situaciones de incertidumbre
corren el riesgo de ganar o perder. Algunos individuos disfrutan ese riesgo, es
decir son amantes al riesgo; otros son indiferentes, es decir son neutrales al
riesgo; pero hay otros, la mayor´ que hacen lo posible por evitarlo, es decir,
ıa,
son adversos al riesgo7 .
Si suponemos aversi´n al riesgo para los individuos, ´stos tendr´n una
o e a
funci´n de utilidad c´ncava que cumple con la desigualdad de Jensen, es
o o
decir, se cumple que la utilidad del valor esperado del consumo es mayor
que la utilidad esperada del consumo. Esta desigualdad puede verse con
la figura 8. La utilidad de 750 (valor esperado del consumo) es mayor a
EU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000).
Figura 8: Aversi´n al riesgo
o
De esta manera, vemos que la concavidad de la funci´n de utilidad que
o
describe la propiedad de utilidad marginal decreciente describe simult´nea-
a
mente aversi´n al riesgo.
o
7
Algunos estudiantes se consideran amantes al riesgo hasta el momento en que enfrentan
la siguiente apuesta: si sale cara al lanzar una moneda usted obtendr´ dos puntos m´s en
a a
su primer parcial (si sac´ 3, por ejemplo, ahora tendr´ 5), si sale sello se le restar´n dos
o a a
puntos a su examen (si sac´ 3, por ejemplo, ahora tendr´ 1). ¿Acepta la apuesta?
o a
14

15. 5.4. La Funci´n de Utilidad CRRA
o
Una funci´n de utilidad que cumple con las caracter´
o ısticas que hemos con-
siderado importantes hasta el momento es la Funci´n de Utilidad de Aver-
o
si´n Relativa al Riesgo Constante, CRRA.
o
Ct1−σ
U(Ct ) = σ>0 (5.2)
1−σ
Es una funci´n con utilidad marginal positiva pero decreciente y adem´s
o a
incorpora aversi´n al riesgo en las decisiones de consumo de los individuos.
o
Para probar que la CRRA tiene utilidad marginal positiva, miramos la
primera derivada de la funci´n:
o
∂U(Ct ) 1 − σ −σ
= C
∂Ct 1−σ t
∂U(Ct )
= Ct−σ > 0
∂Ct
La utilidad marginal es positiva: si aumenta el consumo en una unidad adi-
cional, la utilidad tambi´n aumenta.
e
La segunda derivada de la funci´n respecto al consumo nos confirma que
o
la utilidad marginal es decreciente:
∂ 2 U(Ct ) −(1+σ)
2
= −σCt <0
∂Ct
Dado que la segunda derivada es negativa (porque σ > 0) y la primera
derivada positiva, entonces la utilidad marginal es positiva pero decreciente:
si aumenta el consumo en una unidad adicional la utilidad va a aumentar,
pero cada vez en una menor cuant´ ıa.
El par´metro de importancia en nuestra funci´n de utilidad CRRA es
a o
σ, el cual se conoce generalmente como el coeficiente de aversi´n relativa al
o
15

16. riesgo8 . Como es un par´metro que mide aversi´n, asumimos que entre m´s
a o a
grande sea su valor m´s adverso al riesgo es el individuo. (Si σ = 0, se dice
a
que el individuo es neutral al riesgo9 ).
Recordemos que una manera de medir la aversi´n al riesgo de los indi-
o
viduos es mirando la curvatura de la funci´n de utilidad. Entre m´s curva
o a
es esta ultima, m´s adverso al riesgo es el individuo. σ es el par´metro que
´ a a
mide la curvatura de la funci´n de utilidad.
o
Si graficamos la funci´n de utilidad CRRA en tercera dimensi´n (por la
o o
8
Para la funci´n CRRA podemos calcular dos ´
o ındices de aversi´n al riesgo. El primero
o
de ellos es el ´
ındice de aversi´n absoluta al riesgo de Arrow-Pratt, el cual est´ dado
o a
por
U ′′
− (5.3)
U′
lo cual es equivalente a
dU ′ 1 1 −σ σ
− = −σC −σ−1 −σ = − = (5.4)
dC U ′ C C C
El resultado de (5.4) muestra una propiedad interesante de la CRRA: a medida que
el nivel de consumo es m´s alto la aversi´n absoluta al riesgo es menor. Esto puede
a o
explicar por ejemplo por qu´ personas con niveles altos de consumo est´n m´s dispuestas
e a a
a enfrentar apuestas que personas con niveles bajos.
El segundo ´ ındice de aversi´n al riesgo es el ´
o ındice de aversi´n relativa al riesgo
o
constante, el cual est´ dado por
a
U ′′
−C (5.5)
U′
lo cual es equivalente a
dU ′ C C
− = −σC −σ−1 −σ = σ (5.6)
dC U ′ C
Como podemos darnos cuenta, el ´ ındice de aversi´n absoluta al riesgo de Arrow-Pratt de-
o
pende del nivel de consumo, mientras que el ´
ındice de aversi´n relativa al riesgo constante,
o
como su nombre lo dice, no depende del nivel de consumo.
Desarrollar ejercicio 2 de la secci´n 9.
o
9
si σ = 0 la funci´n CRRA se convierte en U (C) = C. Gr´ficamente ser´ una l´
o a ıa ınea
recta de pendiente positiva igual a 1. En este caso, la figura 8 mostrar´ que no se satisface
ıa
la desigualdad de Jensen.
16

17. propiedad de aditividad), podemos apreciar que para valores mayores de σ,
la funci´n se hace cada vez m´s curva.
o a
La figura 9 nos muestra la funci´n de utilidad CRRA cuando σ=0.3 y la
o
figura 10 cuando σ=0.8.
Figura 9: Funci´n de utilidad CRRA cuando σ=0.3
o
Si giramos la funci´n de utilidad graficada en la figura 10 hasta desapa-
o
recer el eje correspondiente a C2 vemos claramente la funci´n de utilidad
o
cuando el consumo del periodo dos se mantiene constante. (Ver figura 11).
Si graficamos la funci´n de utilidad CRRA en dos dimensiones, la figura
o
12 nos muestra que para valores mayores de σ, la concavidad de la funci´no
de utilidad CRRA es m´s marcada, haciendo m´s evidente la desigualdad de
a a
Jensen10 .
10
σ es la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo que est´ dada por
a
la siguiente ecuaci´n:
o
dU ′ C U ′′
= C ′ = −σ (5.7)
dC U ′ U
A medida que σ aumenta en valor absoluto, la utilidad marginal se hace cada vez m´s a
el´stica al consumo. Es decir, a medida que aumenta sigma, un aumento del consumo en
a
1 por ciento va a disminuir la utilidad marginal en m´s de 1 por ciento. Por eso, entre
a
mayor es σ, mayor es la curvatura de la funci´n de utilidad.
o
17

18. Figura 10: Funci´n de utilidad CRRA cuando σ=0.8
o
Figura 11: Funci´n de utilidad CRRA
o
Al mirar la ecuaci´n (5.2), tambi´n podemos darnos cuenta que cuando
o e
σ > 1, la CRRA se vuelve negativa. Sin embargo, gracias a que la CRRA
describe utilidad marginal positiva, a medida que aumenta el consumo, la
utilidad se hace cada vez menos negativa, es decir, aumenta. La figura 13 nos
muestra esa situaci´n.
o
18

19. Figura 12: Funciones de utilidad CRRA
Como nos interesa la ordinalidad de la funci´n de utilidad basta como
o
restricci´n para σ que sea mayor a cero.
o
5.4.1. CRRA con σ = 1
Un caso particular de la funci´n de utilidad CRRA, se da cuando σ = 1.
o
La funci´n CRRA queda convertida en una funci´n logar´
o o ıtmica. Veamos paso
a paso c´mo llegamos a esa conclusi´n.
o o
Empecemos por replantear la funci´n de utilidad CRRA:
o
Ct1−σ − 1
U(Ct ) = (5.8)
1−σ
Esta transformaci´n simplemente afecta el nivel de la funci´n.
o o
Si evaluamos el l´ ımite cuando σ → 1, nos queda una expresi´n de la
o
0
forma 0 . En este caso, lo m´s conveniente ser´ utilizar la regla de L’Hospital.
a a
Recordemos que ´sta consiste en derivar con respecto al par´metro de inter´s,
e a e
en este caso σ, tanto el numerador como el denominador. Sin embargo, derivar
la ecuaci´n (5.8) con respecto a σ parece complicado. Facilitemos entonces
o
19

20. Figura 13: Funci´n de Utilidad CRRA con σ > 1
o
este procedimiento reexpresando la ecuaci´n (5.8).
o
Ct Ct−σ − 1
U(Ct ) = (5.9)
1−σ
que es igual a
Ct e−σ ln Ct − 1
U(Ct ) = (5.10)
1−σ
Como nos interesa ver cu´l es el l´
a ımite de la anterior expresi´n cuando σ → 1:
o
Ct e−σ ln Ct − 1
l´
ım (5.11)
σ→1 1−σ
utilicemos L’Hospital y tenemos:
−Ct e−σ ln Ct ln Ct
l´
ım (5.12)
σ→1 −1
l´ Ct e−σ ln Ct ln Ct
ım (5.13)
σ→1
20

21. Si evaluamos (5.13), tenemos finalmente que:
l´ Ct e−σ ln Ct ln Ct = ln Ct
ım (5.14)
σ→1
Hemos comprobado que la funci´n de utilidad CRRA se convierte en la fun-
o
ci´n logar´
o ıtimica cuando σ → 1. La funci´n de utilidad logar´
o ıtmica ser´ muy
a
conveniente en los modelos de consumo intertemporal que veremos a conti-
nuaci´n.
o
6. Modelo de Fisher
Presentado seis a˜ os antes de la publicaci´n de la Teor´ General, el
n o ıa
modelo conocido como modelo de consumo de Fisher es el primero en forma-
lizar el problema de elecci´n intertemporal propuesto por Eugen von B¨hm-
o o
Bawerk11 . En el an´lisis de von B¨hm-Bawerk, las elecciones a trav´s del
a o e
tiempo pod´ abordarse como cualquier problema econ´mico en el que las
ıan o
personas deben decidir sobre la asignaci´n de dos bienes que son escasos. De-
o
cidir por ejemplo entre ca˜ ones o mantequilla12 . En estas notas, la disyuntiva
n
ser´ Consumo Hoy vs. Consumo Ma˜ ana.
a n
En su obra de 1930, The Theory of Interest, Irving Fisher mostr´ el fa-
o
miliar plano cartesiano en el que el eje de las abscisas representa el consumo
presente y el eje de las ordenadas el consumo futuro. As´ las curvas de in-
ı,
diferencia representan las preferencias del agente econ´mico representativo
o
sobre su consumo intertemporal y en la restricci´n presupuestal las posibi-
o
lidades de consumo presente y futuro que este agente puede alcanzar dados
sus ingresos.
Revisemos la presentaci´n moderna de este modelo con sus diferentes
o
variantes.
11
Economista austroh´ ngaro cuya obra m´s importante fue Capital and Interest (1889)
u a
12
Este trade-off mencionado casi siempre en los cursos de Principios de Econom´ fue
ıa
resultado de un comentario de Joseph Goebbels, jefe de opini´n del r´gimen de Adolf
o e
Hitler.
21

22. 6.1. Caso 1: Modelo de Fisher para dos periodos sin
tasa de inter´s y sin tasa de descuento intertem-
e
poral
Supongamos inicialmente un agente que va a decidir cu´nto consumir
a
en el periodo 1 (hoy por ejemplo) y cu´nto va a consumir en el periodo
a
2 (ma˜ ana por ejemplo). Este agente no tiene activos iniciales y de igual
n
manera los activos son cero al culminar el periodo 2. Es decir no deja herencias
(intencionales o no intencionales)13 ni deudas. Sin embargo, recibe ingresos
W1 en el periodo 1 e ingresos W2 en el periodo 2. Esos ingresos limitados
le permiten consumir. No va a ser relevante indagar sobre el origen de esos
ingresos en este modelo.
Para el caso m´s sencillo, vamos a suponer que el precio relativo entre
a
el consumo del periodo 1 y el consumo del periodo 2 es igual a 1. La tasa
de inter´s es entonces igual a cero. Este supuesto se traduce en que los aho-
e
rros hechos en el primer periodo no generan rentabilidad financiera, de igual
manera, endeudarse no cuesta nada.
La funci´n de utilidad para este agente es la suma de las funciones de
o
utilidad instant´neas. Esto es posible gracias al supuesto de aditividad que
a
discutimos en la secci´n 5.2. Adem´s, para esta versi´n del modelo de Fisher,
o a o
vamos a suponer que este agente no descuenta la utilidad del futuro.
V = U(C1 ) + U(C2 ) (6.1)
Este agente representativo ahorra la parte del ingreso que no consume. Por
supuesto, este ahorro podr´ ser negativo. En ese caso estar´ consumiendo
ıa ıa
m´s que su ingreso del primer periodo.
a
S1 = W1 − C1 (6.2)
En el periodo 2, debe consumir tanto el ingreso del periodo 2 como los ahorros
realizados en el periodo anterior. Decimos “debe” porque de lo contrario
violar´
ıamos el supuesto inicial de activos cero al finalizar los dos periodos.
13
Es posible que las personas dejen herencias porque les importa la felicidad de sus hijos
o nietos pero tambi´n es posible que las dejen porque simplemente la muerte los sorprende
e
con activos positivos que iban a ser destinados al consumo en un horizonte de vida que
habr´ podido ser m´s largo.
ıa a
22

23. Si el ahorro fue negativo, deber´ por supuesto pagar su deuda. As´ como los
a ı
agentes no pueden dejar herencias tampoco dejan deudas.
C2 = S1 + W2 (6.3)
Reemplazando la ecuaci´n (6.2) en (6.3) obtenemos (6.4) que nos dice simple-
o
mente que la suma de los ingresos debe ser igual a la suma de los consumos en
ambos periodos. Esta igualdad nos confirma que la unica fuente de consumo
´
son los ingresos de cada periodo y por lo tanto el supuesto de activos iguales
a cero al iniciar y al terminar los dos periodos.
W1 + W2 = C1 + C2 (6.4)
Teniendo presente que las funciones de utilidad instant´neas cumplen las
a
caracter´ısticas de la secci´n 5, entonces podemos solucionar matem´ticamen-
o a
te este problema escribiendo el lagrangiano que en realidad es la funci´n de
o
utilidad restringida por la ecuaci´n (6.4).
o
L = U(C1 ) + U(C2 ) + λ[W1 + W2 − C1 − C2 ]
Las condiciones de primer orden son:
∂L
1. ∂C1
= U ′ (C1 ) − λ = 0 ⇒ λ = U ′ (C1 )
∂L
2. ∂C2
= U ′ (C2 ) − λ = 0 ⇒ λ = U ′ (C2 )
∂L
3. ∂λ
= W1 + W2 − C1 − C2 = 0
De la primera y la segunda condici´n de primer orden podemos deducir
o
que C1 = C2 . Si introducimos esta condici´n en la restricci´n presupuestaria,
o o
obtenemos que
W1 + W2
C1 = C2 = (6.5)
2
El resultado de este problema es que el individuo suaviza completamente
su consumo en ambos periodos. El consumo del periodo 1 es exactamente
igual al consumo del periodo 2. La igualdad de las utilidades marginales
tiene una explicaci´n intuitiva importante. Si el consumo del primer periodo
o
fuera mayor al consumo del segundo periodo, entonces, U ′ (C1 ) < U ′ (C2 ),
caso en el cual valdr´ la pena reducir el consumo del periodo 1 y aumentar
ıa
el consumo del periodo 2 de tal manera que la utilidad total aumentar´ ıa.
23

24. Figura 14: Optimizaci´n del Consumo
o
La suavizaci´n del consumo depende de la propiedad de utilidad marginal
o
decreciente de la funci´n de utilidad que estamos utilizando. Esta propiedad,
o
como vimos en la secci´n 5, est´ estrechamente ligada con que los agentes
o a
son adversos al riesgo (aunque por ahora no se ha incluido ning´ n elemento
u
de incertidumbre).
Si el ingreso de alguno de los periodos aumenta, la restricci´n presu-
o
puestal se desplazar´ permitiendo que el individuo alcance una curva de
a
indiferencia m´s alta. Independientemente de cu´l ingreso cambie, el indivi-
a a
duo distribuir´ el incremento de ingreso en el consumo de ambos periodos,
a
persistiendo as´ su preferencia por suavizar su consumo intertemporal.
ı
El ahorro ser´ el elemento clave para que el individuo pueda suavizar su
a
consumo. Si el consumo ´ptimo del primer periodo es mayor al ingreso del
o
primer periodo, el agente se endeudar´ (se convierte en prestatario) y luego
a
en el periodo 2 saldar´ sus deudas. Si el consumo ´ptimo del primer periodo
a o
es menor al ingreso del primer periodo, el agente, convertido en prestamista,
utilizar´ sus ahorros para su consumo del segundo periodo.
a
24

25. 6.2. Caso 2: ahora con tasa de inter´s
e
El modelo presentado en el caso 1 puede complementarse incluyendo una
tasa de inter´s como remuneraci´n a los activos financieros de los presta-
e o
mistas o un costo de financiaci´n para los prestatarios. Las ecuaciones que
o
representan este modelo ser´ las siguientes:
ıan
V = U(C1 ) + U(C2 ) (6.6)
S1 = W1 − C1 (6.7)
pero ahora el consumo del segundo periodo est´ dado por:
a
C2 = (1 + r)S1 + W2 (6.8)
Y al combinar las ultimas dos ecuaciones obtenemos la siguiente restricci´n
´ o
presupuestal, que nos dice que el valor presente de los ingresos debe ser igual
al valor presente de los consumos en ambos periodos:
W2 C2
W1 + = C1 + (6.9)
1+r 1+r
La funci´n de utilidad restringida ser´ ahora:
o a
W2 C2
L = U(C1 ) + U(C2 ) + λ[W1 + 1+r
− C1 − 1+r
]
La soluci´n a este problema de optimizaci´n estar´ determinada por la
o o a
siguiente condici´n:
o
U ′ (C1 ) = U ′ (C2 )(1 + r) (6.10)
Esta condici´n muy parecida a la condici´n obtenida en el caso 1 refleja el
o o
efecto sustituci´n que la tasa de inter´s tendr´ sobre las decisiones de con-
o e a
sumo. Sin embargo, para conocer el efecto de un incremento o reducci´n de
o
la tasa de inter´s sobre los niveles de consumo de ambos periodos, es impor-
e
tante recordar que adem´s del efecto sustituci´n, los cambios en los precios
a o
relativos tambi´n generan un efecto ingreso. Mientras el efecto sustituci´n es
e o
independiente de que el individuo sea prestamista o prestatario, la condici´n
o
inicial ser´ esencial para determinar el efecto ingreso.
a
25

26. Figura 15: Optimizaci´n del consumo con tasa de inter´s
o e
6.2.1. Efecto sustituci´n y efecto ingreso de un aumento en la tasa
o
de inter´s en el caso de un prestatario
e
Empecemos por analizar el caso de un prestatario, es decir, de una perso-
na cuyo ahorro en el primer periodo es negativo y por lo tanto pide prestado.
Efecto sustituci´n: Al aumentar la tasa de inter´s es preferible susti-
o e
tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que los
intereses que debe pagar sobre el dinero que pide prestado en el primer
periodo son mayores con la subida de la tasa de inter´s.
e
Efecto ingreso: Al aumentar la tasa de inter´s, el individuo tendr´ que
e a
contar con una ca´ generalizada de su ingreso que lo hace menos
ıda
rico. Por lo tanto hay incentivos para disminuir el consumo en ambos
periodos.
Como podemos ver en la figura 16, el efecto sustituci´n y el efecto ingreso
o
van en la misma direcci´n para el primer periodo, por lo que el efecto final
o
en el periodo uno es una disminuci´n del consumo. En el periodo dos, el
o
efecto final sobre el consumo depende de si el efecto sustituci´n prima sobre
o
el efecto ingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´n. Para
o
26

27. conocer las magnitudes de estos efectos ser´ necesario contar con una funci´n
a o
de utilidad expl´
ıcita.
Figura 16: efecto sustituci´n y efecto ingreso para el caso de un prestatario
o
La figura 17 muestra el caso de un prestatario que aumenta su consumo
del periodo dos ya que el efecto sustituci´n prima sobre el efecto ingreso.
o
La figura 18 muestra el caso de un prestatario que disminuye su consumo
del periodo dos ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´n.
o
6.3. Efecto sustituci´n y efecto ingreso de un aumento
o
en la tasa de inter´s en el caso de un prestamista
e
Efecto sustituci´n: Al aumentar la tasa de inter´s es preferible susti-
o e
tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que los
intereses que recibe por el dinero que presta en el primer periodo son
mayores con la subida de la tasa de inter´s.
e
27

28. Figura 17: El caso de un prestatario que aumenta su consumo del periodo
dos cuando aumenta la tasa de inter´s
e
Efecto ingreso: Al aumentar la tasa de inter´s, el individuo con-
e
tar´ con un aumento generalizado de su ingreso que lo hace m´s ri-
a a
co. Por lo tanto hay incentivos para aumentar el consumo en ambos
periodos.
Como podemos ver en la figura 19, el efecto sustituci´n y el efecto ingreso van
o
en la misma direcci´n para el segundo periodo, por lo que el efecto final en
o
el periodo dos es un aumento del consumo. En el periodo uno, el efecto final
sobre el consumo depende de si el efecto sustituci´n prima sobre el efecto
o
ingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´n.
o
La figura 20 muestra el caso de un prestamista que disminuye su consumo
del periodo uno ya que el efecto sustituci´n prima sobre el efecto ingreso.
o
La figura 21 muestra el caso de un prestamista que aumenta su consumo
del periodo uno ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´n.
o
28

29. Figura 18: El caso de un prestatario que disminuye su consumo del periodo
dos cuando aumenta la tasa de inter´s
e
En el trabajo de Juan Nicol´s Hern´ndez (2006), en el que se hace una
a a
revisi´n de los determinantes macroecon´micos del consumo total de los ho-
o o
gares en Colombia, se comprueba que la elasticidad del consumo a la tasa
de inter´s real es negativa. En la revisi´n de la literatura del trabajo de
e o
Hern´ndez (2006) se referencia el trabajo de Leonardo Duarte (2003) quien
a
encuentra que cuando la tasa de inter´s disminuye en un punto porcentual, el
e
consumo aumenta en 0.13 puntos porcentuales. En otro trabajo, el realizado
por L´pez, G´mez y Rodr´
o o ıguez (1996) se encuentra que ante una disminuci´n
o
de la tasa de inter´s en un punto porcentual, el consumo per c´pita aumenta
e a
entre 0.6 y 1 punto porcentual.
29

30. Figura 19: efecto sustituci´n y efecto ingreso para el caso de un prestamista
o
6.4. Caso 3: incluyendo una tasa de descuento inter-
temporal
Tanto en el caso 1 como en el caso 2 del modelo de Fisher que hemos
presentado, la funci´n de utilidad corresponde a una suma de las funciones
o
de utilidad instant´neas en la que U(C1) y U(C2) tienen la misma impor-
a
tancia. Sin embargo, podemos modelar unos agentes econ´micos que suelen
o
ser impacientes y descuentan la utilidad del consumo futuro.
Si les preguntamos a los lectores de estos apuntes ¿cu´ndo prefiere tener
a
vacaciones? ¿hoy o en dos meses? (manteniendo todo lo dem´s constante,
a
como tasa de inter´s, salarios, etc´tera, es decir, si nos interesa unicamente
e e ´
que nos revele su preferencia sobre el consumo presente vs el consumo futuro),
en la mayor´ de los casos la respuesta ser´ que prefiere las vacaciones hoy.
ıa ıa
Esta “impaciencia” puede ser modelada incluyendo un factor que descuen-
te la utilidad futura en relaci´n con la utilidad de consumir en el presente.
o
Los determinantes sicol´gicos, neurol´gicos, incluso filos´ficos de esta “im-
o o o
30

31. Figura 20: El caso de un prestamista que disminuye su consumo del periodo
uno cuando aumenta la tasa de inter´s
e
paciencia” son tan variados como interesantes. El libro Time and Decision
(2003) es una excelente referencia para quienes quieran profundizar en este
tema. En este libro se citan diferentes trabajos, por ejemplo, el de algunos
fil´sofos para los cuales descontar la utilidad futura es resultado de la d´bil
o e
relaci´n que podemos establecer entre nuestro yo actual y nuestro yo futuro.
o
Pensar en nuestra utilidad futura puede ser como pensar en la utilidad de otra
persona, por lo tanto se justifica asignarle mayor importancia al presente, es
decir, a lo que podemos sentir y no es tan dif´ de imaginar.
ıcil
De igual manera, neur´logos y sic´logos se han preocupado siempre por
o o
explicar las diferencias en los niveles de paciencia. Entre las explicaciones
est´ que las personas con da˜ os en la corteza pre-frontal del cerebro no tie-
a n
nen en la cuenta las consecuencias futuras de sus acciones y sus elecciones
s´lo dependen de premios o remuneraciones inmediatas. As´ mismo, en expe-
o ı
rimentos con animales, se ha identificado que algunos componentes qu´ ımicos,
como el Prozac, pueden elevar el grado de paciencia.
31

32. Figura 21: El caso de un prestamista que aumenta su consumo del periodo
uno cuando aumenta la tasa de inter´s
e
Para nuestro modelo, no ser´ esencial conocer todos los posibles determi-
a
nantes del descuento intertemporal, sin embargo, vale la pena reconocer estos
elementos como una fuente inagotable de estudio en la que la ciencia econ´mi-
o
ca y la sicolog´ pueden converger y trabajar juntas. Adem´s, estos aportes
ıa a
interdisciplinarios confrontan constantemente los supuestos que manejamos
los economistas al describir el comportamiento y la toma de decisiones de
nuestros agentes econ´micos.
o
Matem´ticamente, por ahora, veamos c´mo podemos incorporar el des-
a o
cuento intertemporal en nuestro modelo de Fisher. Utilizando la tasa de
descuento θ, vamos a decir que la utilidad total, para dos periodos, es igual
a:
U(C2 )
V = U(C1 ) + (6.11)
1+θ
32

33. Esta funci´n para T periodos de tiempo ser´ igual a:
o ıa
U(C2 ) U(C3 ) U(CT )
V = U(C1 ) + + + ...+ (6.12)
1+θ (1 + θ)2 (1 + θ)T −1
Esta funci´n de utilidad con descuento intertemporal fue presentada por
o
Paul Samuelson en 1937 en el art´ ıculo “A note on Measurement of Utility” y
ha sido acogida en muchos trabajos por su sencillez. Podemos observar que
si las preferencias de un agente son descritas por esta funci´n, este individuo
o
valora menos la utilidad futura que la utilidad presente. Adem´s, el descuento
a
entre el periodo 1 y el periodo 2 es exactamente igual al descuento aplicado
entre los periodos 2 y 3 o entre los periodos T − 1 y T . Esta caracter´ ıstica
es especialmente criticada por economistas y sic´logos que de acuerdo con
o
sus estudios consideran que las personas pueden ser m´s pacientes al tener
a
que decidir sobre su asignaci´n de consumo entre periodos lejanos de tiempo
o
que cuando tienen que decidir en periodos cercanos de tiempo. Si tenemos
que elegir entre vacaciones hoy o el pr´ximo a˜ o, somos m´s impacientes que
o n a
si tenemos que decidir hoy entre unas vacaciones en 10 a˜ os o en 11 a˜ os.
n n
El descuento exponencial utilizado en la funci´n de Samuelson no puede
o
describir ese fen´meno mientras que una funci´n con descuento hiperb´lico
o o o
s´
ı.
Este caso, en el que los niveles de paciencia cambian en el tiempo, no
es el unico problema de la funci´n de utilidad con la que trabajaremos14 y
´ o
aunque en cursos m´s avanzados se trabajar´ con funciones m´s complejas,
a a a
por ahora, consideremos esta primera aproximaci´n para ser incluida en el
o
modelo de Fisher.
Para el modelo de dos periodos, el lagrangiano quedar´ igual a:
ıa
U (C2 ) W2 C2
L = U(C1 ) + 1+θ
+ λ[W1 + 1+r
− C1 − 1+r
]
La restricci´n presupuestal no cambia y las condiciones de primer orden
o
ser´
ıan:
∂L
1. ∂C1
= U ′ (C1 ) − λ = 0
∂L U ′ (C2 ) λ
2. ∂C2
= 1+θ
− 1+r
=0
14
Ver Time and Decision (cap. 1)
33

34. ∂L W2 C2
3. ∂λ
= W1 + 1+r
− C1 − 1+r
=0
Que al ser organizadas nos permiten llegar a la expresi´n:
o
U ′ (C1 ) 1+r
= (6.13)
U 2
′ (C ) 1+θ
Esta ultima expresi´n que s´lo se diferencia de (6.10) en el factor de des-
´ o o
cuento, describe los incentivos que tendr´ el individuo para sustituir consumo
a
presente o futuro de acuerdo con la interacci´n entre la tasa de inter´s y la
o e
tasa de descuento intertemporal. La tasa de descuento intertemporal es la
tasa a la que el individuo quiere descontar la utilidad futura y la tasa de
inter´s es la tasa a la que puede. Si la tasa a la que puede (r) es mayor a la
e
tasa a la que quiere (θ) entonces seguramente tendr´ incentivos para susti-
a
tuir consumo presente por consumo futuro. A diferencia del caso 2 en el que
la tasa de descuento intertemporal era igual a cero, ahora esta tasa podr´ ıa
anular el efecto de la tasa de inter´s.
e
6.5. Restricciones crediticias
El modelo de Fisher puede considerar otras variantes que hacen m´s rea-
a
lista su descripci´n. Por ejemplo, podemos incluir el que los agentes enfrenten
o
restricciones crediticias. Si los consumidores no tienen acceso al mercado de
cr´dito, por asimetr´ de informaci´n o carencia de colaterales, no podr´n
e ıa o a
financiar un consumo presente que exceda el ingreso del primer periodo.
Las personas que se enfrentan a restricciones crediticias son personas con
bajos ingresos que no pueden acceder a un cr´dito en un banco o personas
e
que han dejado de pagar sus obligaciones en el pasado y son castigados con
la negaci´n de nuevos cr´ditos.
o e
Esta consideraci´n ser´ capturada en el modelo dependiendo de dos esce-
o a
narios:
1. Cuando la restricci´n crediticia no es relevante.
o
2. Cuando la restricci´n crediticia s´ es relevante.
o ı
El primer caso se da cuando la persona que enfrenta la restricci´n crediti-
o
cia es un ahorrador. Esto significa que este individuo no estaba interesado en
34

35. Figura 22: Restricci´n presupuestaria con restricci´n crediticia relevante
o o
pedir dinero prestado para financiar sus necesidades, por lo que su decisi´n o
de consumo no se va a ver afectada.
El segundo caso, se da si la decisi´n ´ptima de consumo, sin restricciones,
o o
hace que el individuo sea un prestatario. En este caso, la restricci´n crediticia
o
evita que el individuo pueda consumir m´s que su ingreso del primer periodo,
a
por lo tanto, la restricci´n crediticia s´ es relevante y le costar´ al individuo
o ı a
en t´rminos de utilidad. Podr´ como m´ximo consumir su ingreso del primer
e a a
periodo y no podr´ suavizar su consumo tanto como esperaba. La figura 22
a
muestra las limitaciones en las posibilidades de consumo impuestas por la
restricci´n crediticia.
o
Cuando las restricciones crediticas son relevantes, un aumento del ingreso
presente ser´ acompa˜ ado seguramente por un incremento del consumo del
a n
primer periodo. En esta situaci´n el comportamiento del consumo ser´ bas-
o a
tante parecido al que predice la funci´n keynesiana de consumo con excepci´n
o o
de que la propensi´n marginal a consumir ser´ igual a 1.
o a
Claramente, las restricciones crediticias relevantes limitan las elecciones
de un consumidor en un modelo intertemporal.
35

36. Para el caso colombiano, se ha encontrado evidencia emp´ ırica que sopor-
ta la influencia de las restricciones crediticias en las decisiones de consumo a
largo plazo. Juan Nicol´s Hern´ndez comprueba en su trabajo del 2006 que
a a
en presencia de restricciones crediticias, la elasticidad del consumo al ingreso
es mayor que en ausencia de dichas restricciones. Esto nos hace corroborar
que para el caso colombiano, las restricciones crediticias hacen que los con-
sumidores se comporten como lo predice la funci´n keynesiana de consumo,
o
impidiendo as´ que los individuos suavicen su consumo completamente. En
ı,
ese trabajo, se toma como proxy de las restricciones crediticias las ventas y
avances con tarjetas de cr´dito.
e
6.6. Tasa de colocaci´n vs. tasa de captaci´n
o o
Aunque con frecuencia trabajamos con una sola tasa de inter´s r, si vamos
e
a un banco a pedir un pr´stamo seguramente la tasa de inter´s sobre la cual
e e
nos van a prestar el dinero (tasa de colocaci´n) es mucho m´s alta que la tasa
o a
de inter´s sobre la cual nos pagar´ ese mismo banco si depositamos nuestro
e ıa
dinero en una cuenta de ahorros (tasa de captaci´n).
o
Recordemos que la pendiente de la restricci´n presupuestal es igual a
o
(1 + r). Si la tasa de inter´s de pedir dinero prestado es mayor a la tasa
e
de inter´s de prestarlo, la restricci´n presupuestal tomar´ la forma que se
e o ıa
muestra en la figura 23.
Como nos muestra la gr´fica, en el segmento donde el ingreso del indivi-
a
duo es menor a su consumo, es decir, cuando el individuo pide prestado, la
pendiente de la restricci´n presupuestal es mayor que cuando el individuo es
o
un ahorrador.
La restricci´n crediticia de la secci´n anterior puede verse como un caso
o o
particular en el que la tasa de inter´s de pedir prestado es infinita.
e
6.7. Modelo de Fisher para m´s de dos periodos
a
Luego de haber entendido el an´lisis econ´mico del modelo de Fisher para
a o
dos periodos podemos extenderlo para T periodos conservando el an´lisisa
discreto de las secciones anteriores.
36

37. Figura 23: Restricci´n presupuestaria con tasa de inter´s diferenciable
o e
Consideremos una persona que desea planear su consumo para los perio-
dos comprendidos entre 0 y T − 1. Esta persona obtiene utilidad de acuerdo
a la funci´n de utilidad:
o
T −1
U(Ct )
V = (6.14)
t=0
(1 + θ)t
Conservando los supuestos del modelo para dos periodos, esta persona em-
pieza y termina su vida con activos igual a cero. Es decir, A0 = 0 y AT = 0.
Esto ultimo quiere decir que dicha persona gasta todos sus ingresos, incluidos
´
sus activos acumulados, antes de morir. No deja herencias ni deudas.
Para construir la restricci´n presupuestal, miremos los activos en cada
o
periodo de tiempo. En el periodo 1 los activos ser´n iguales a:
a
A1 = (1 + r)(W0 − C0 ) (6.15)
Los activos en el periodo 2 ser´n iguales a:
a
A2 = (1 + r)(W1 − C1 ) + (1 + r)2 (W0 − C0 ) (6.16)
37

38. Si continuamos hasta el periodo T , los activos del individuo estar´ dados
ıan
por la siguiente ecuaci´n:
o
AT = (1 + r)(WT −1 − CT −1 ) + (1 + r)2(WT −2 − CT −2 ) + · · ·+ (1 + r)T (W0 − C0 )
(6.17)
Donde AT debe ser igual a cero para satisfacer el supuesto de activos
iguales a cero al finalizar la vida.
Dividiendo ambos lados de la ecuaci´n (6.17) por (1 + r)T y teniendo en
o
cuenta que AT = 0 tenemos que:
WT −1 − CT −1 WT −2 − CT −2
0= + + · · · + (W0 − C0 ) (6.18)
(1 + r)T −1 (1 + r)T −2
Si expresamos la ecuaci´n (6.18) en sumatorias obtenemos que:
o
T −1
Wt − Ct
0= (6.19)
t=0
(1 + r)t
Podemos reorganizar los t´rminos de la sumatoria para finalmente llegar
e
a nuestra restricci´n presupuestal, que muestra, como esper´bamos, que el
o a
valor presente de los ingresos es igual al valor presente de los consumos.
T −1 T −1
Wt Ct
= (6.20)
t=0
(1 + r)t t=0
(1 + r)t
Una vez tenemos la funci´n de utilidad y la restricci´n presupuestal pro-
o o
cedemos a calcular los consumos ´ptimos.
o
T −1 T −1
U(Ct ) Wt − Ct
L= +λ
t=0
(1 + θ)t t=0
(1 + r)t
Las condiciones de primer orden en este ejercicio de T periodos ser´n calcu-
a
ladas para dos periodos adyacentes: t y t + 1.
∂L U ′ (Ct ) λ
1. ∂Ct
= (1+θ)t
− (1+r)t
=0
∂L U ′ (Ct+1 ) λ
2. ∂Ct+1
= (1+θ)t+1
− (1+r)t+1
=0
∂L T −1 Wt −Ct
3. ∂λ
= t=0 (1+r)t =0
38

39. Igualando λ encontramos la expresi´n que resume la condici´n de optimalidad
o o
del consumo.
U ′ (Ct )(1 + θ)t+1 (1 + r)t+1
= (6.21)
U ′ (Ct+1 )(1 + θ)t (1 + r)t
U ′ (Ct )
(1 + θ) = (1 + r) (6.22)
U ′ (Ct+1 )
U ′ (Ct ) 1+r
= (6.23)
U t+1 )
′ (C 1+θ
La explicaci´n econ´mica de esta ecuaci´n es id´ntica a la utilizada para
o o o e
el modelo de Fisher de dos periodos.
6.7.1. Condici´n de optimalidad con una funci´n de utilidad CRRA
o o
Si trabajamos con una funci´n de utilidad de la forma U(Ct ) = ln Ct
o
(CRRA con σ = 1), podemos obtener la condici´n de optimalidad, aplicando
o
la ecuaci´n (6.23).
o
1
Ct 1+r
1 = (6.24)
Ct+1
1+θ
Reorganizando la ecuaci´n obtenemos que la condici´n de optimalidad para
o o
este tipo de funci´n de utilidad est´ dada por
o a
Ct+1 1+r
= (6.25)
Ct 1+θ
Para la funci´n de utilidad CRRA con σ = 1 la ecuaci´n (6.23) ser´ igual a:
o o ıa
Ct−σ 1+r
−σ = (6.26)
Ct 1+θ
σ
Ct+1 1+r
= (6.27)
Ct 1+θ
1
Ct+1 1+r σ
= (6.28)
Ct 1+θ
En este caso, σ funciona como un par´metro que matiza las diferencias
a
entre tasa de inter´s y tasa de descuento intertemporal. Este resultado no es
e
sorprendente cuando recordamos que σ mide la aversi´n al riesgo y explica la
o
tendencia a suavizar el consumo que tiene el individuo. As´ r sea muy grande
ı
frente a θ un valor muy alto de σ ser´ suficiente para que Ct+1 sea muy
ıa
parecido a Ct .
39

40. 6.8. La restricci´n presupuestal en tiempo continuo:
o
para generalizar el modelo de Fisher
La evoluci´n de los activos en el caso continuo est´ determinada por la
o a
ecuaci´n diferencial lineal de primer orden:
o
dA(t) ˙
= A = rA(t) + w(t) − c(t) (6.29)
dt
La forma general de este tipo de ecuaciones diferenciales es:
x − A(t)x = b(t)
˙
donde x = x(t).
En el caso que estamos estudiando, a(t) es constante y corresponde a la
tasa de inter´s. Aunque es posible tambi´n considerar la tasa de inter´s como
e e e
una variable que depende del tiempo, trabajaremos por ahora el caso m´s a
sencillo.
La ecuaci´n puede ser re-escrita de la siguiente forma:
o
˙
A − rA(t) = w(t) − c(t) (6.30)
Para solucionar esta ecuaci´n, utilizaremos el factor de descuento e−rt que es
o
conocido como factor integrante.
˙
Ae−rt − rA(t)e−rt = [w(t) − c(t)]e−rt (6.31)
−rt
Puede observarse que el lado izquierdo de la ecuaci´n corresponde a dA(t)e ,
o dt
entonces,
dA(t)e−rt
= [w(t) − c(t)]e−rt (6.32)
dt
Antes de integrar, vale la pena hacer un cambio de variable con el fin de
evitar m´s adelante una confusi´n. Pensemos entonces que:
a o
˙
F (s) = f (s). Podemos decir entonces que:
t
F (s) = F (0) + f (t)dt
0
40

41. Integrando y evaluando la integral en el intervalo [0, s] llegamos a:
s
A(s)e−rs = A(0) + [w(t) − c(t)]e−rt dt (6.33)
0
donde A(0) es la constante de integraci´n.
o
Despejando A(s) y haciendo uso del supuesto de que los activos en el
periodo 0 son 0, A(0) = 0:
s
A(s) = [w(t) − c(t)]er(s−t) dt (6.34)
0
Ahora, si s = T , donde T es el periodo final:
T
A(T ) = [w(t) − c(t)]er(T −t) dt (6.35)
0
Pero adem´s, se sabe que A(T ) = 0, ya que otro supuesto del modelo es que
a
no se dejan activos (positivos o negativos) al final del periodo 15
T T
r(T −t)
w(t)e dt = c(t)er(T −t) dt (6.36)
0 0
Si dividimos ambos lados de la ecuaci´n por erT (en el caso discreto, dividimos
o
T
por (1 + r) llegamos a la expresi´n de la restricci´n presupuestal para el
o o
caso continuo donde el valor presente de todos los flujos de ingreso es igual
al valor presente de todos los flujos de consumo.
T T
w(t)e−rt dt = c(t)e−rt dt (6.37)
0 0
6.9. Tasa de crecimiento del consumo usando la fun-
ci´n de utilidad CRRA
o
Una vez definida la restricci´n presupuestal para el caso continuo revise-
o
mos ahora la tasa de crecimiento del consumo (caso continuo) si trabajamos
con una funci´n de utilidad CRRA.
o
15
Este supuesto es consistente con la funci´n de utilidad utilizada en el modelo de
o
Fisher. No hay razones por la cuales un agente racional deje de consumir por completo sus
activos. Las herencias, por ejemplo, no generan utilidad. Adem´s, debido a la restricci´n
a o
presupuestaria, el agente (representativo) no puede consumir m´s que el total de sus
a
activos, dejando as´ deudas.
ı
41

42. Empecemos por definir la tasa de crecimiento del consumo
˙ Ct+∆t −Ct
C ∆t
= l´
ım (6.38)
C ∆t→0 C
Ct+∆t
˙
C Ct
−1
= l´
ım (6.39)
C ∆t→0 ∆t
donde 1
∆t σ
Ct+∆t 1+r
= (6.40)
Ct 1+θ
Esta ultima expresi´n puede ser obtenida de la condici´n de optimalidad del
´ o o
modelo de Fisher para m´s de dos periodos cuando solucionamos el lagran-
a
giano para los periodos adyacentes t y t + ∆t.
Teniendo en cuenta que para valores peque˜ os de x, ln(1 + x) ≃ x o
n
x
alternativamente 1+x ≃ e podemos reescribir la ecuaci´n (6.40) (asumiendo
o
valores peque˜ os para r y θ).
n
1
r ∆t σ
Ct+∆t e
= (6.41)
Ct eθ
reorganizando los t´rminos tenemos que
e
Ct+∆t (r−θ)∆t
=e σ (6.42)
Ct
Si reemplazamos la anterior ecuaci´n en la ecuaci´n (6.39), obtenemos que
o o
(r−θ)∆t
˙
C e σ −1
= l´
ım (6.43)
C ∆t→0 ∆t
ımite nos encontramos con una expresi´n 0 . Apli-
Al pretender calcular el l´ o 0
cando la regla de L’Hospital, obtenemos:
(r−θ)∆t
˙
C e σ r−θ σ
= l´
ım (6.44)
C ∆t→0 1
Si evaluamos lo anterior cuando ∆t → 0 obtenemos finalmente la tasa de
crecimiento del consumo dada por la siguiente ecuaci´n
o
˙
C 1
= (r − θ) (6.45)
C σ
42

43. La tasa a la que el consumo crece o decrece depende de la diferencia entre r
y θ.
Por otra parte, σ, el par´metro que mide la curvatura de la funci´n de utili-
a o
dad, matiza la tasa de crecimiento del consumo.
Ver ejercicios del 3 al 14 de la secci´n 9.
o
7. Hip´tesis del Ingreso Permanente
o
Este modelo fue desarrollado por el premio nobel de econom´ Milton
ıa
Friedman. La clave es la descomposici´n del ingreso en dos componentes: el
o
ingreso permanente y el ingreso transitorio.
Y = YP + YT (7.1)
donde YP representa el ingreso permanente y YT representa el ingreso tran-
sitorio.
El ingreso permanente, como su nombre lo indica, es la parte del ingreso
que persiste a lo largo de toda la vida. El ingreso transitorio es un componente
inesperado del ingreso. Un ejemplo del ingreso permanente es el salario que
gana un empleado por su trabajo. Un ejemplo de ingreso transitorio es el
ingreso que recibe una persona cuando gana la loter´ ıa.
El argumento principal de Friedman es que el consumo es una funci´n que
o
depende fundamentalmente del ingreso permanente y no del ingreso transito-
rio. Esto no significa que los individuos no consuman su ingreso transitorio,
significa que cambios en el comportamiento del consumo ser´n fundamen-
a
talmente explicados por cambios en el ingreso permanente. Por lo tanto, se
asume que el consumo no responde significativamente ante cambios en el
ingreso en el corto plazo.
Dado este razonamiento, una funci´n de consumo que logra expresar las
o
ideas de Friedman es
C = αYP (7.2)
donde α representa la proporci´n del ingreso permanente que es dedicada al
o
consumo. Llevando al extremo la ecuaci´n (7.2) (α = 1) tenemos:
o
C = YP (7.3)
43

44. Tal como se plantea en Romer (2001) miremos qu´ ocurre si especificamos
e
una regresi´n lineal en la que el consumo es la variable dependiente y el
o
ingreso corriente es la variable explicativa. Este ingreso corriente es el que
puede ser descompuesto en transitorio y permanente.
Ci = a + bYi + ei (7.4)
El ingreso transitorio ser´ definido como las desviaciones del ingreso perma-
a
nente respecto a su media suponiendo que el valor esperado de estas desvia-
ciones es igual a cero. As´ mismo, supongamos que el ingreso permanente y el
ı
ingreso transitorio no est´n correlacionados. Este supuesto tambi´n es bas-
a e
tante intuitivo ya que por ejemplo, el hecho de ganarse la loter´ no depende
ıa,
en absoluto del salario recibido mensualmente.
Volviendo a nuestra regresi´n del consumo, podemos darnos cuenta que la
o
regresi´n est´ hecha sobre una sola variable, en este caso, el ingreso corriente.
o a
Por lo tanto, el estimador de b, es decir, del coeficiente de la variable indepen-
diente es igual al cociente entre la covarianza de las variables independiente
y dependiente y la varianza de la variable independiente.
ˆ = Cov(Y, C)
b (7.5)
V ar(Y )
Como el ingreso corriente es igual al ingreso permanente m´s el ingreso tran-
a
sitorio, reemplazamos esa condici´n tanto en el numerador como en el deno-
o
minador.
ˆ = Cov(YP + YT , C)
b (7.6)
V ar(YP + YT )
Recordemos tambi´n que definimos el consumo como una funci´n del ingre-
e o
so permanente, de tal forma que C = YP . Por lo tanto, al reemplazar esa
expresi´n en (7.6) obtenemos:
o
ˆ = Cov(YP + YT , YP )
b (7.7)
V ar(YP + YT )
El numerador de (7.7) puede ser reescrito teniendo presente la definici´n de
o
covarianza.
¯ ¯ ¯
Cov(YP + YT , YP ) = E[(YP + YT − YP − YT )(YP − YP )] (7.8)
44

45. ¯
Multiplicando y teniendo en cuenta el supuesto YT = 0 obtenemos lo siguien-
te:
2 ¯ ¯2
Cov(YP + YT , YP ) = E[YP − 2YP YP + YP ] (7.9)
que es igual a
¯
Cov(YP + YT , YP ) = E[(YP − YP )2 ] = V ar[YP ] (7.10)
por lo tanto podemos reescribir la ecuaci´n (7.7) como:
o
ˆ= V ar(YP )
b (7.11)
V ar(YP ) + V ar(YT )
Como nos damos cuenta, usando los supuestos de la teor´ de ingreso perma-
ıa
nente, la pendiente de la funci´n estimada de consumo, es decir, ˆ depende
o b,
de la variaci´n relativa del ingreso permanente y del transitorio. Intuitiva-
o
mente podemos interpretar este resultado de la siguiente manera: ya que ˆ b
representa en cu´nto cambia el consumo cuando cambia el ingreso corrien-
a
te, un aumento en el ingreso corriente ir´ acompa˜ ado de un aumento en
a n
el consumo unicamente cuando la variaci´n del ingreso permanente sea m´s
´ o a
grande en relaci´n con la del ingreso transitorio.
o
As´ mismo, vemos que si la variaci´n del ingreso transitorio es bastante
ı o
alta en relaci´n con la variaci´n del ingreso permanente, el coeficiente esti-
o o
mado de la pendiente se har´ m´s peque˜ o, es decir, cambios en la renta
a a n
corriente no cambiar´n en gran medida el consumo, pues ´stos no fueron
a e
acompa˜ ados de grandes cambios en el ingreso permanente.
n
Volviendo a nuestra regresi´n, tambi´n es importante que estimemos la cons-
o e
tante del modelo, la cual puede ser calculada de la siguiente manera:
a = C − ˆY
ˆ ¯ b¯ (7.12)
Dado que el consumo es igual al ingreso permanente, la media del consumo
es igual a la media del ingreso permanente. De igual manera, dado que el
ingreso corriente es igual al ingreso permanente m´s el ingreso transitorio, la
a
media del ingreso corriente es igual a la media del ingreso permanente m´s a
la media del ingreso transitorio.
a = YP − ˆ YP + YT )
ˆ ¯ b( ¯ ¯ (7.13)
45