neumeros pseudolaeatorios

1. Generación de números aleatorios
Introducción
Existe una cierta variación en cuanto al término (números aleatorios o seudoaleato-
rios) a utilizar para referirse a las secuencias de números, obtenidos mediante algún
método automático de generación digital, que se ajustan a una distribución uniforme
en el intervalo [0,1). A partir de ahora utilizaremos el término de números aleatorios
para referirnos a áquellos que cumplen lo anterior.
En 1951 D.H. Lehmer1 , uno de los pioneros en computación y, especialmente, en
teoría computacional de números, proporcionó la siguiente definición para números
aleatorios:
Una secuencia aleatoria es una noción difusa... en la que cada término es impre-
decible para el no iniciado y cuyos dígitos deben pasar una serie de pruebas tradi-
cionales para los estadísticos...
Aunque los diferentes métodos de generación de números aleatorios aparecen, casi
siempre, descritos en libros de simulación, su utilización se extiende a muchas otras
aplicaciones de las computadoras, como experimentos estadísticos, juegos de orde-
nador, criptografía, protocolos de seguridad, etc.
Una secuencia de números aleatorios debe tener dos propiedades importantes,
uniformidad e independencia. La función densidad de probabilidad debe cumplir:
1 si 0 ≥ x ≥ 1
f (x) =
0 en el caso contrario
1 x2 1 1
E(R) = 0 xdx = 2 |0 = 2
1 2 x3 1
V (R) = 0 x dx − (E(R))2 = 3 |0 − ( 1 )2 =
2
1
3 − 1
4 = 1
12
Las consecuencias de la uniformidad e independencia referidas anteriormente son:
1
D. H. Lehmer. Mathematical methods in large-scale computing units. In Proc. 2nd Sympos. on Large-Scale
Digital Computing Machinery, pages 141– 146. Harvard University Press, 1951.
1

2. - Si (0,1) se divide en n clases o subintervalos de igual longitud, el número espe-
rado de observaciones en cada subintervalo es N/n, donde N es el número total
de observaciones.
- La probabilidad de observar un valor en un determinado subintervalo es inde-
pendiente de las anteriores.
Definición formal:
Un generador de números aleatorios (nomenclatura inglesa: RNG) puede ser defi-
nido como una estructura G = (S, s0 , T, U, G), donde S es un conjunto conjunto finito
de estados, s0 ∈ S es el estado inicial, T : S → S es la función de transición, U es un
conjunto finito de símbolos de salida, y G : S → U es la función de salida. El gener-
ador comienza con el estado inicial s0 (llamado semilla) y evoluciona de acuerdo con
si := T (si−1 ), para i ≥ 1 y en cada paso i, obtiene la observación ui := G(si ). Se espera
que las observaciones se comporten como si fueran valores de variables aleatorias in-
dependientes e idénticamente distribuidas, uniformemente sobre U. El conjunto U es,
a veces, un conjunto de enteros de la forma 0, . . . m − 1, o un conjunto finito de valores
entre 0 y 1, representación aproximada de la distribución U[0,1). A partir de ahora se
va a considerar este último caso. Puesto que S es finito, la secuencia de estados es, al
final, periódica. El periodo es el entero positivo mas pequeño ρ tal que, dado algún
entero τ ≥ 0 y para todo n ≥ τ , sρ+n = sn . El τ mas pequeño con esa propiedad se
denomina transitorio. Cuando τ = 0 la secuencia se dice que es puramente periódica.
Independientemente de los criterios de calidad estadística, para la elección de un
generador de números aleatorios, también se consideran relevantes: la velocidad, las
necesidades de memoria, la transportabilidad, la repetibilidad, la facilidad de imple-
mentación y la disponibilidad de saltos hacia adelante.
En Kahaner2 se definen cinco características sobre las que se debería valorar cualquier
generador de números aleatorios:
Calidad. Se deben satisfacer los tests estadísticos adecuados. Antes de la repeti-
ción de la secuencia debiera haber un periodo lo suficientemente largo.
Eficiencia. El generador debiera ser rápido. Debe precisar la menor cantidad de
almacenamiento posible.
Repetibilidad. El método debe depender de una semilla, para permitir que un
experimento se pueda repetir.
Transportabilidad. Si un método dado se implementa sobre un sitema diferente
debe producir los mismos resultados.
2
D. Kahaner. Numerical Methods and Software, Prentice Hall Series in Computational Mathematics
(1977)
2

3. Simplicidad. El generador debe ser suficientemente sencillo de implementar y
utilizar.
A continuación se detallan algunos de los métodos de generación, atendiendo a su
actualidad más que a su desarrollo histórico.
Secuencias lineales recursivas.
La mayoría de los RNG están basados en congruencias lineales de la forma:
xn = (a1 xn−1 + . . . + ak xn−k ) mod m
donde m se llama módulo, a1 , . . . , ak son enteros entre −m + 1 y m − 1 llamados
multiplicadores con (ak = 0) y k es el orden de la recurrencia. Se puede definir el
k
estado de la recurrencia en el paso n como sn = (xn , . . . , xn+k−1 ) ∈ Zm . La longitud
del periodo máximo es m k − 1.
Método de congruencias aditivas.
Es un método rápido, puesto que no necesita realizar multiplicación. Se precisa
una secuencia de números x1 , x2 . . . , xn . El generador produce una extensión de la
secuencia xn+1 , xn+2 , . . . de la forma siguiente:
xi = (xi−1 + xi−n ) mod m
Por definición a = b mod m si a − b es divisible por m (resto 0). Por ejemplo, en módulo
4, los números 2, 6, 10, 14 son equivalentes porque (10 − 2), (10 − 6) . . . son todos di-
visibles por 4. Hay que tener en cuenta que, cuando utilizamos módulo m, los valores
que resultarán estarán comprendidos entre 0 y m-1.
Ejemplo:
Sea una secuencia de enteros dados: x1 , x2 , x3 , x4 y x5 (57, 34, 89, 92 y 16), por tanto n =
5. Consideremos m = 100. La secuencia anterior puede ser ampliada por este método:
x6 = (x5 + x1 ) mod 100 = 73 mod 100 = 73
x7 = (x6 + x2 ) mod 100 = 107 mod 100 = 7
x8 = (x7 + x3 ) mod 100 = 96 mod 100 = 96
...
Xi
Los números aleatorios se obtienen a partir de la relación : Ui−n = m para i =
n + 1, n + 2, . . .. En el caso anterior los números serían:
3

4. X6
U1 = 100 = 0,73
X7
U2 = 100 = 0,07
X8
U3 = 100 = 0,96
...
En general estos métodos parten de la idea de la secuencia de Fibonacci xn que es
generada de la forma siguiente:
xn = xn−1 + xn−2
Los números obtenidos por la modificación de la secuencia :
xn = (xn−1 + xn−2 ) mod m
no tienen buenas propiedades aleatorias. Existe una extensión de esta idea de la forma:
xn = (xn−5 + xn−17 ) mod 2k
Marsaglia(1983) considera que este generador pasa la mayoría de los tests estadísticos.
Utiliza, sin embargo, 17 posiciones de memoria con 17 enteros no todos impares.
La suma ya es módulo 2k en las máquinas de k bits con complemento a 2. El peri-
odo de este generador es sk (217 − 1). Para k=8, 16, 32 el periodo es 1,6 × 107 , 4,3 × 109
y 2,8 × 1014 respectivamente.
Generadores de congruencias lineales
Una gran mayoría de los generadores utilizados actualmente utilizan esta técnica
introducida por Lehmer en 1951. Una secuencia de números enteros Z1 , Z2 , . . . está
definida por la fórmula recursiva:
Zi = (aZi−1 + c) mod m
donde el módulo m, el multiplicador a, el incremento c y la semilla o valor de comien-
zo Z0 son enteros no negativos.
Evidentemente, por definición, se verifica que:
0 ≤ Zi < m
Para obtener un número aleatorio de la distribución uniforme [0,1) se debe hacer Ui =
Zi
m . Además de ser no negativos se debe verificar que:
4

5. 0 < m, a < m, c < m, Z0 < m
Objeciones: No es una secuencia aleatoria pura, ya que:
Z1 = (aZ0 + c) mod m
Z2 = (aZ1 + c) mod m = (a2 Z0 + ca + c) mod m
Z3 = (aZ2 + c) mod m = (a3 Z0 + ca2 + ca + c) mod m
...
Por inducción:
Zi = (ai Z0 + cai−1 + cai−2 + . . . + c) mod m
Zi = (ai Z0 + c(ai−1 + ai−2 + . . . + 1)) mod m
i
Zi = ai Z0 + c(a −1) mod m
a−1
por lo que cualquier Zi está completamente determinado por m, a, c y Z0 . A pesar
de todo, eligiendo adecuadamente los parámetros, se consigue que los Ui obtenidos
aparezcan como pertenecientes a una U(0,1) cuando se realizan distintos tests sobre
ellos.
Otra objeción a realizar es que los números Ui solo pueden tomar valores racionales
(m−1)
0,1 2
m, m, . . . m , por tanto la probabilidad de obtener un valor de Ui entre 0,1 y 0,9 es
m m
0 cuando debiera ser 0,8 > 0. Ahora bien, si se elige un m suficientemente grande
m
los puntos en el intervalo [0,1) serán muy densos, ya que si elegimos un m ≥ 109
hay como mínimo mil millones de valores posibles para Ui espaciados todos la misma
distancia. Se considera que esto es una aproximación lo suficentemente buena para la
mayoría de los planteamientos.
Dada la forma de la expresión Zi es inevitable el comportamiento como un bucle,
es decir, que en el momento que se repita un Zi todos los siguentes serán iguales a
los obtenidos hasta ese momento. La longitud de cada uno de esos ciclos se conoce
como periodo del generador y se representa por p. Como Zi solo depende de Zi−1 y
se verifica que 0 ≤ Zi ≤ m − 1 es claro que p ≤ m. Si p = m el generador se llama de
periodo total.
Ejemplo:
Sea m = 16, a = 5, c = 3 y Z0 = 7, la secuencia de los Zi obtenidos será:
Zi = (5Zi−1 + 3) mod 16
5

6. i Zi Ui i Zi Ui i Zi Ui i Zi Ui
0 7 - 5 10 0.625 10 9 0.563 15 4 0.250
1 6 0.375 6 5 0.313 11 0 0.000 16 7 0.438
2 1 0.063 7 12 0.750 12 3 0.188 17 6 0.375
3 8 0.500 8 15 0.938 13 2 0.125 18 1 0.063
4 11 0.688 9 14 0.875 14 13 0.813 19 8 0.500
Está claro que en simulación se necesitan generadores con periodos largos, fijando
un m grande sería conveniente conseguir que tuviera periodo total.
Teorema:
El generador definido de la forma Zi = (aZi−1 + c) mod m tiene periodo total si y solo
si se cumplen las siguientes condiciones:
c y m son primos entre sí.
Si q es un número primo que divide a m entonces q divide a (a-1)
Si 4 divide a m entonces 4 divide a (a-1).
Dependiendo del valor de c el comportamiento de los generadores puede ser distinto
por lo que se distinguen generadores mixtos (c > 0) y generadores multiplicativos
(c = 0).
Ejemplos:
IMSL utliza un generador multiplicativo con los siguientes parámetros:
a = 75 = 16,807
m = 231 − 1 = 2,147,483,647
c=0
Como m es un número primo, el periodo p, es igual a (m-1). Suponiendo que la semilla
fuera X0 = 123,457 se obtendría :
X1 = 75 (123457) mod (231 − 1) = 2,074,941,799
X1 = 2,074,941,799
X1
U1 = 231
= 0,9662
X2 = 75 (2,074,941,799) mod (231 − 1) = 559,872,160
6

7. X2
U2 = 231
= 0,2607
NOTA.- La rutina de IMSL divide por (m+1) en lugar de hacerlo por m; sin embargo,
para un valor tan grande como el de m, el efecto es despreciable.
SIMSCRIPT II.5 utiliza un generador semejante con a = 630,360,016
Java Este es el generador utilizado para implementar el método nextDouble en la
clase java.util.Random de la biblioteca estándar Java3 . Está basado en una recurrencia
lineal con periodo de longitud 248 , pero cada valor de salida está construido tomando
dos valores sucesivos de la recurrencia lineal, de la forma siguiente:
xi+1 = (25214903917xi + 11) mod 248
ui = (227 x2i /222 + x2i+1 / 221 )/ 253
Conviene indicar que el generador rand48 de la biblioteca estándar Unix utiliza la
misma recurrencia, pero produce su salida utilizando simplemente: ui = xi /248 .
Visual Basic El generador utilizado en Microsoft Visual Basic4 es un generador de
congruencias lineales (LCG) con un periodo de longitud 224 , definido por:
xi = (1140671485xi−1 + 12820163) mod 224
ui = xi /224
Excel El generador implementado en Microsoft Excel5 es en esencia un LCG (gen-
erador de congruencias lineales), excepto que su recurrencia está dada por:
ui = (9821,0ui−1 + 0,211327) mod 1
Está implementado directamente para los ui en la aritmética de punto flotante. Su
longitud de periodo depende normalmente de la precisión de los números en coma
flotante utilizados para su implementación. En la documentación no está perfecta-
mente definido. A efectos de pruebas de validez no se utiliza el algoritmo sino que se
genera una secuencia muy grande que se guarda en un archivo para su comprobación
posterior.
LCG16807 Este es un generador de congruencias lineales definido por:
xi = 16807xi−1 mod (231 − 1)
ui = xi /(231 − 1)
3
(http://java.sun.com/j2se/1.3/docs/api/java/util/Random.html)
4
(http://support.microsoft.com/support/kb/articles/Q231/8/47.ASP)
5
(http://support.microsoft.com/directory)
7

8. con periodo de longitud 231 − 2, y propuesto originalmente por Lewis, Goodman,
and Miller (1969). Este LCG se ha utilizado ampliamente en muchas bibliotecas de
software para estadística, simulación, optimización, etc. así como en bibliotecas de
sistemas operativos. Se ha recomendado en varios libros, por ejemplo, Bratley, Fox, y
Schrage (1987) y en artículos, Law y Kelton (1982). Como curiosidad, este generador
es utilizado en Arena y uno similar se utilizó en AutoMod (con el mismo módulo
pero con el multiplicador 742938285) hasta hace poco, cuando los gestores de estos
productos tuvieron la buena idea de reemplazarlo por MRG32k3a. También se utiliza
en otros productos de sofware de simulación.
MRG32k3a Este es el generador propuesto por L’Ecuyer (1999a). Combina dos
generadores multiplicativos de orden 3 y su periodo tiene una longitud de aproxi-
madamente 2191 .
MT19937 Es el generador “trenzado” Mersene propuesto por Matsumoto y Nishimu-
ra6 (1998). Tiene el periodo de longitud más grande: 219937 − 1 y unas cualidades es-
tadísticas muy buenas. Es uno de los generadores que oferta actualmente Matlab (ver-
sión 7.1).
Generadores de Tausworthe.
Están relacionados con los métodos criptográficos, operan sobre los bits para for-
mar números aleatorios. Se define una secuencia b1 , b2 , . . . de dígitos binarios por re-
currencia.
bi = (c1 bi−1 + c2 bi−2 + . . . + cq bi−q ) mod 2
donde c1 , c2 , . . . cq son contantes que pueden tomar el valor 0 o 1.
El periodo máximo es 2q − 1. En casi todas las aplicaciones de los generadores de
este tipo se suelen utilizar solo dos coeficientes ck distintos de 0, por tanto
bi = (bi−r + bi−q ) mod 2
para enteros r y q que cumplen 0 < r < q.
Hay que tener en cuenta que la suma de bits módulo 2 corresponde a la operación
XOR.
0 si bi−r = bi−q
bi =
1 si bi−r = bi−q
6
Matsumoto, M. y T. Nishimura. Mersene twister: a 623- dimensionally equidistributed uniform
pseudo-random number generator. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 8 (1):3-30
8

9. Para inicializar la secuencia hay que dar valor a los primeros bi hasta q. Esto es equiv-
alente a proporcionar la semilla Z0 en los geneneradores de congruencias.
Ejemplo (Lewis y Payne 1973):
Si r = 3 y q = 5 consideremos b1 , b2 , . . . b5 = 1
Para i ≥ 6 bi = (bi−3 + bi−5 ) mod 2
Los primeros 42 bits son :
1111 1 000 11 01 110 1 0100 0010 0 101 10 01 111 10001 10 . . .
El periodo de los bits es 31 (2q − 1)
La cuestión es: una vez obtenida la secuencia de bits bi , como se transforma dicha
secuencia en números aleatorios U(0,1). Una posibilidad es juntar l consecutivos bi
para formar un número de l bits entre 0 y 2l − 1 que será dividido por 2l . En el ejemplo
anterior si se elige l = 4, se obtiene la secuencia:
15 8 13 13 4 2 5 9 15 1
, , , , , , , , , ,...
16 16 16 16 16 16 16 16 16 16
l debe ser como máximo la longitud de palabra del ordenador, también se pueden
elegir secuencias de elementos dejando algunos bits sin utilizar cada vez.
Ventajas:
- Independientes del ordenador y de su tamaño de palabra.
- Se pueden obtener secuencias de longitud considerable como 2521 − 1 > 10156 y
aún mayores incluso en micros de 16 bits.
Inconvenientes:
- Aunque globalmente suelen presentar propiedades de aleatoriedad buenas, a
veces, localmente no las tienen.
- En general proporcionan malos resultados en las pruebas de rachas hacia arriba
y hacia abajo.
- Aunque la correlación de primer orden (un número con el siguiente) es casi cero
se sospecha que algunos generadores pueden proporcionar valores elevados de
correlaciones de orden elevado.
- No todos los polinomios primitivos tiene las mismas cualidades.
9

10. Combinaciones de generadores.
Si se combinan dos secuencias de números aleatorios Xi e Yi se produce una nueva
secuencia Zi que reduce la no aleatoriedad. Si Xi e Yi están distribuidas sobre el rango
0 → (m − 1) se podría elegir una de estas opciones:
1. Zi = (Xi + Yi ) mod m.
2. Utilizar Yi para barajar Xi y hacer Zi igual a la secuencia barajada.
3. Zi = Xi XOR Yi .
No hay garantía que una combinación del tipo 1 o 3 elimine la no aleatoriedad. Com-
binando un generador de congruencias con otro de Tausworthe se pueden atenuar
muchas de las situaciones no deseadas que se producen. Wichmann y Hill7 informan
de buenos resultados utilizando el método 1), es decir, combinando generadores (en
este caso tres):
Xi+1 = 171 Xi mod 30269
Yi+1 = 172 Yi mod 30307
Zi+1 = 170 Zi mod 30323
Xi+1 Yi+1 Zi+1
Por tanto Ui+1 = + +
30269 30307 30323
El periodo es del orden de 1013 . Estos cálculos no precisan mas de 16 bits por lo
que se considera un buen generador para ordenadores de 16 bits 8 .
L’Ecuyer (1988)9 recomienda combinar:
Xi+1 = 40014 × Xi mod 2147483563
Yi+1 = 40692 × Yi mod 2147483399
en la forma:
Zi+1 = (Xi − Yi ) mod 2147483562
Zi+1
si Zi+1 ≥ 0
2,147,483,563
El número aleatorio devuelto es: Ui+1 = 2,147,483,562 El periodo obtenido
si Zi+1 = 0
2,147,483,563
es (m1 − 1) ∗ (m2 − 1)/2 ≈ 2 1018 , con m1 = 2147483563 y m2 = 2147483399. L’Ecuyer
7
Wichman, B.A. and I.D. Hill, Algorithm AS 183: An Efficient and Portable Pseudo-Random Number Gen-
erator, Applied Statistics, 31, 188-190, 1982.
8
En una nota publicada por Microsoft, indican que la versión del RANDU de 2003 implementa este
algoritmo. http://support.microsoft.com/kb/828795
9
P. L’Ecuyer. Efficient and portable combined random number generators. Communications of the ACM,
(31), 6, 742–751, 1988
10

11. y otros autores han planteado, como se ha indicado anteriormente, nuevas combina-
ciones de generadores para obtener periodos mucho más largos.
Consideraciones sobre la selección de la semilla.
Normalmente la selección de la semilla para el comienzo de una secuencia de un
generador no debe afectar a los resultados de la simulación. Si el generador es de
periodo total y solo se precisa una variable, cualquier semilla es válida. Cuando se
precisan distintas semillas por necesitar varias variables aleatorias diferentes en la
misma simulación, se debe tener bastante cuidado. Casi todas las simulaciones usuales
pertenecen a este tipo, por ejemplo, para simular una cola se necesita una llegada
aleatoria y un tiempo de servicio aleatorio. Las normas que se dan a continuación son
para este tipo de casos. Las dos primeras valen para el caso de una sola variable.
1. No utilizar el cero
Aunque puede ser una semilla válida para los generadores de congruencias lin-
eales mixtos, llevará a cero a los generadores de congruencias lineales multi-
plicativos o a los de Tausworthe.
2. Prohibir valores pares
En teoría los valores pares son igual de buenos que los impares. De hecho para
los generadores de periodo total, todos los valores de semilla no cero son igual-
mente buenos. Si un generador no es de periodo total, por ejemplo uno multi-
plicativo con módulo m = 2k , la semilla debe ser impar. Para impedir este tipo
de situaciones por desconocimiento del tipo de generador es recomendable uti-
lizar semillas impares.
3. No subdividir una serie (stream)
Utilizar una única serie para todas las variables es un error muy común. por
ejemplo, si u1 , u2 , . . . es la secuencia generada por u0 , se podría pensar en utilizar
u1 para generar los tiempos entre llegadas y u2 los tiempos de servicio y así
sucesivamente u3 , u4 . . . Esto puede producir una correlación muy fuerte entre
las variables.
4. Utilizar series (stream) no solapadas
Cada serie precisa una semilla separada. Si las semillas son tales que las series
se solapan, existirá una correlación entre las series y las secuencias obtenidas no
serán independientes.
La idea es que si precisamos 10.000 números disponemos de una semilla para u0
y otra para u10,000 .
En función de la recursividad de los números aleatorios se puede conocer cual
es el número siguiente :
c(an −1)
xn = an x0 + a−1 mod m
11

12. En algunos libros (Jain 91, pag 455) se proporcionan relaciones de semillas para
secuencias de 100.000 en 100.000, para el generador xn = 75 xn−1 mod (231 − 1)
5. Reutilizar semillas para sucesivas réplicas de la misma simulación
6. No utilizar semillas aleatorias
No se recomienda seleccionar semillas aleatorias. En particular no utilizar dos
números aleatorios sucesivos, obtenidos del generador, como semillas. Utilizar,
por ejemplo, la hora del día produce dos problemas:
La simulación no puede ser reproducida.
No es posible garantizar que series múltiples no se solapen entre si.
12

13. Referencias
Las referencias básicas para este punto son:
Jerry Banks, John S. Carson, Barry L. Nelson Discrete-Event System Simulation
Prentice-Hall, 1996.
James E. Gentle Random Number Generation and Monte Carlo Methods Springer-
Verlag, 1998.
Raj Jain The Art of Computer Systems Performance Analysis Techniques for Experi-
mental Design, Measurement, Simulation, and Modeling John Wiley & Sons, 1992
Averill M. Law, W. David Kelton Simulation Modeling and Analysis McGraw-Hill,
1991.
Otras referencias son:
P. Bratley, B.L. Fox y L. Schrage A Guide to Simulation. 2a edición Springer-Verlag,
1987.
George S. Fishman Discrete-Event Simulation. Tiene un tratamiento teórico muy
completo respecto a la selección de los parámetros de los generadores. Springer-
Verlag, 2001.
Pierre L’Ecuyer Software for Uniform Random Number Generation: Distinguishing
the good and the bad Winter Simulation Conference, 2001
En la dirección http://csrc.nist.gov/rng/rng6_4.html hay documentación y distintos
tipos de pruebas para números aleatorios.
13