Este documento describe el método de Newton para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Explica la fórmula iterativa para calcular las raíces reales de un sistema de n ecuaciones, presenta un algoritmo para implementar el método, y muestra un ejemplo numérico para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Finalmente, propone una función para automatizar el método en MATLAB.

1. 48
3.5 Raíces reales de sistemas de ecuaciones no-lineales
En general este es un problema difícil, por lo que conviene intentar reducir el número de
ecuaciones y en caso de llegar a una ecuación, poder aplicar alguno de los métodos conocidos.
Si no es posible reducir el sistema, entonces se intenta resolverlo con métodos especiales para
sistemas de ecuaciones no-lineales.
Debido a que el estudio de la convergencia de estos métodos es complicado, se prefiere utilizar
algún método eficiente, de tal manera que numéricamente pueda determinarse la convergencia o
divergencia con los resultados obtenidos.
Una buena estrategia consiste en extender el método de Newton, cuya convergencia es de
segundo orden, al caso de sistemas de ecuaciones no lineales. En esta sección se describe la
fórmula para resolver un sistema de n ecuaciones no lineales y se la aplica a la solución de un
sistema de dos ecuaciones. Al final de este capítulo se propone una demostración más formal de
esta fórmula.
3.5.1 Fórmula iterativa de segundo orden para calcular raíces reales de sistemas de
ecuaciones no-lineales
Sean F: f1, f2, …, fn sistema de ecuaciones no lineales con variables X: x1, x2, …, xn. Se
requiere calcular un vector real que satisfaga al sistema F
En el caso de que F contenga una sola ecuación f con una variable x, la conocida fórmula
iterativa de Newton puede escribirse de la siguiente manera:
df (k) −1 (k)
x (k + 1) x (k) − (
= ) f , k=0, 1, 2, … (iteraciones)
dx
Si F contiene n ecuaciones, la fórmula se puede extender, siempre que las derivadas existan:
∂F(k) −1 (k)
X (k + 1) =
X (k) − ( ) F = (k) )−1F(k)
X (k) − (J
∂X
En donde:
 ∂f1(k) ∂f1(k) ∂f1(k) 
 ... 
x (k + 1)
 x 
(k)
f 
(k)  ∂x 1 ∂x 2 ∂x n 

1
 
1
  
1  ∂f (k) ∂f2(k) ∂f2(k) 
x(k + 1) (k) (k)
 , X (k) =  x  , F(k) =  f  , J(k)  2 ... 
X (k + 1) = 2 2 2
=  ∂x 1 ∂x 2 ∂x n 
 ...   ...   ... 
 (k + 1)   (k)   (k)   ... ... ... ... 
 xn 
   xn 
   fn 
   
 ∂fn(k)
∂fn
(k)
∂fn 
(k)
 ... 
 ∂x 1 ∂x 2 ∂x n 
J es la matriz jacobiana
Esta ecuación de recurrencia se puede usar iterativamente con k=0, 1, 2, … partiendo de un
vector inicial X (0) generando vectores de aproximación: X (1) , X (2) , X (3) , …
3.5.2 Convergencia del método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales
En forma general la convergencia de este método para sistemas no lineales requiere que:
a) f1, f2, … fn así como sus derivadas sean continuas en la región de aplicación.
b) El determinante del Jacobiano no se anule en esta región
c) El valor inicial y los valores calculados pertenezcan a esta región, la cual incluye a la raíz
que se intenta calcular

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3.5.3 Algoritmo del método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales
Dado un sistema de ecuaciones F = 0, sea J su matriz Jacobiana. El siguiente algoritmo genera
una sucesión de vectores que se espera tienda al vector solución:
(0)
1) Elegir el vector inicial X
2) Generar la sucesión de vectores con la fórmula iterativa:
X (k + 1) X (k) − (J(k) )−1F(k) , k=0, 1, 2, …
=
(k)
3) Si el método converge, la sucesión de vectores X tenderá hacia un vector que
satisface al sistema de ecuaciones F = 0
Ejemplo. Encuentre las raíces reales del sistema:
f1 (x, y) = (x − 2)2 + (y − 1)2 + xy − 3 = 0
f 2 (x,= xe x + y + y − 3 0
y) =
En el caso de dos ecuaciones con dos variables, sus gráficos pueden visualizarse en el plano.
Las raíces reales son las intersecciones.
La siguiente figura obtenidap(con MATLAB muestra el gráfico de las dos ecuaciones.
y e y) 3 0
4
3
2
1
y
0
-1
-2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x
El gráfico se obtuvo con los siguientes comandos de MATLAB y el editor de gráficos:
>> syms x y
>> f=[(x-2)^2 + (y-1)^2+x*y-3, x*exp(x+y)+y-3];
>> ezplot(f(1),[0,4,-2,4]),grid on,hold on
>> ezplot(f(2),[0,4,-2,4])
No es posible reducir el sistema a una ecuación, por lo que se debe utilizar un método para
resolverlo simultáneamente con la fórmula propuesta:
Obtención de la solución con el método de Newton para dos ecuaciones:
f1 (x, y) = (x − 2)2 + (y − 1)2 + xy − 3 = 0
f 2 (x,= xe x + y + y − 3 0
y) =
 x (0)  0.5 
Comenzar con el vector inicial = = 
X (0) 
(0)
 tomado del gráfico
 y  1.0 

3. 50
Matriz jacobiana y vectores:
 ∂f1 ∂f1 
 ∂x ∂y   2x + y − 4 x + 2y − 2 
= =  x + y
J  
 ∂f2 ∂f2   e (1 + x) xe x + y + 1 
 ∂x ∂y 
 
x  f1  (x − 2)2 + (y − 1)2 + xy − 3 
X =   ,= = 
F  
 y  f2   xe x + y + y − 3 
Ecuación de recurrencia
X (k + 1) X (k) − (J(k) )−1F(k)
=
Primera iteración: k=0
X (1) X (0) − (J(0) )−1F(0)
=
−1
 x (1)  0.5   2(0.5) + 1 − 4 0.5 + 2(1) − 2  (0.5 − 2)2 + (1 − 1)2 + 0.5(1) − 3 
=   −  0.5 + 1
(1)   
 y  1.0   e (1 + 0.5) 0.5e 0.5 + 1 + 1  
 0.5e0.5 + 1 + 1 − 3 
−1
 x (1)  0.5   −2 0.5   −0.25 
=   − 
(1)    
 y  1.0  6.7225 3.2408  0.2408 
 x (1)  0.5   −0.3293 0.0508   −0.25  0.4055 
 (1)  =  
 − = 
 y  1.0   0.6830 0.2032  0.2408  1.1218 
3.5.4 Práctica computacional
Obtención de las raíces de las ecuaciones para el ejemplo anterior calculando directamente en la
ventana de comandos de MATLAB mediante la ecuación de recurrencia:
X (k + 1) X (k) − (J(k) )−1F(k)
=
>> syms x y
>> f1=(x-2)^2 + (y-1)^2+x*y-3;
>> f2=x*exp(x+y)+y-3;
>> J=[diff(f1,x) diff(f1,y); diff(f2,x) diff(f2,y)]
J=
[ 2*x + y - 4, x + 2*y - 2]
[ exp(x + y) + x*exp(x + y), x*exp(x + y) + 1]
>> F=[f1; f2];
>> X=[x;y];
>> x=0.5; y=1;
>> X=eval(X) Valores iniciales
X=
0.500000000000000
1.000000000000000
>> X=X-inv(eval(J))*eval(F) Primera iteración

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X=
0.405451836483295
1.121807345933181
>> x=X(1); y=X(2);
>> X=X-inv(eval(J))*eval(F) Segunda iteración
X=
0.409618877363502
1.116191209478471
>> x=X(1); y=X(2);
>> X=X-inv(eval(J))*eval(F)
X=
0.409627787030011
1.116180137991844
>> x=X(1); y=X(2);
>> X=X-inv(eval(J))*eval(F)
X=
0.409627787064807
1.116180137942813
>> x=X(1); y=X(2);
>> X=X-inv(eval(J))*eval(F)
X=
0.409627787064807
1.116180137942814
>> eval(f1) Verificar la solución
ans =
-4.440892098500626e-016
>> eval(f2)
ans =
4.440892098500626e-016
3.5.5 Instrumentación computacional del método de Newton para un sistema de n
ecuaciones no-lineales.
Sea F: f1, f2, …, fn ecuaciones con variables independientes X: x1, x2, …, xn.
Ecuación de recurrencia:
X (k + 1) X (k) − (J(k) )−1F(k) , k=0, 1, 2, …
=
En donde J es la matriz jacobiana del sistema
Entrada
f: Vector con las ecuaciones
v: Vector con las variables independientes
u: Vector con valores iniciales para las variables
Salida
u: Vector con los nuevos valores calculados para las variables
Nota: La convergencia será controlada interactivamente reusando la función esde la ventana
de comandos. Por las propiedades de este método, la convergencia o divergencia será muy
rápida.

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Alternativamente, se puede incorporar a la instrumentación un ciclo con un máximo de
iteraciones para que las iteraciones se realicen dentro de la función.
Las derivadas parciales se obtienen con la función diff y la sustitución de los valores de u en las
variables se realiza con la función subs. La solución se la obtiene con la inversa de la matriz de
las derivadas parciales J.
function u = snewton(f, v, u) %Sistemas no lineales
n=length(f);
for i=1:n %Obtención de la matriz jacobiana J
for j=1:n
J(i,j)=diff(f(i),v(j));
end
end
for i=1:n %Sustitución del vector u en J
for j=1:n
for k=1:n
if findstr(char(J(i,j)),char(v(k)))>0
J(i,j)=subs(J(i,j),v(k),u(k));
end
end
end
end
for i=1:n
for j=1:n
f(i)=subs(f(i),v(j),u(j)); %Sustitución del vector u en el vector f
end
end
u=u-inv(eval(J))*eval(f); %Obtención de la nueva aproximación u
Ejemplo. Use la función snewton para encontrar una raíz real del sistema
f1 (x, y) = (x − 2)2 + (y − 1)2 + xy − 3 = 0
f 2 (x,= xe x + y + y − 3 0
y) =
>> syms x y
>> f1=(x-2)^2 + (y-1)^2+x*y-3;
>> f2=x*exp(x+y)+y-3;
>> f=[f1;f2];
>> v=[x;y];
>> u=[0.5; 1]; Valores iniciales tomados del gráfico
>> u=snewton(f, v, u)
u=
0.405451836483295
1.121807345933181
>> u=snewton(f, v, u)
u=
0.409618877363502
1.116191209478472
>> u=snewton(f, v, u)
u=
0.409627787030011
1.116180137991845

6. 53
>> u=snewton(f, v, u)
u=
0.409627787064807
1.116180137942814
>> u=snewton(f, v, u)
u=
0.409627787064807
1.116180137942814
Se observa la rápida convergencia.
Para verificar que son raíces reales de las ecuaciones debe evaluarse f
>> subs(f1,{x,y},{u(1),u(2)})
ans =
4.440892098500626e-016
>> subs(f2,{x,y},{u(1),u(2)})
ans =
0
Los valores obtenidos son muy pequeños, por lo cual se aceptan las raíces calculadas
Para calcular la otra raíz, tomamos del gráfico los valores iniciales cercanos a esta raíz.
>> u=[2.4; -1.5];
>> u=snewton(f, v, u)
u=
2.261842718297048
-1.535880731849205
>> u=snewton(f, v, u)
u=
2.221421001369104
-1.512304705819129
>> u=snewton(f, v, u)
u=
2.220410814294533
-1.511478104887419
>> u=snewton(f, v, u)
u=
2.220410327256473
-1.511477608846960
>> u=snewton(f, v, u)
u=
2.220410327256368
-1.511477608846834
>> u=snewton(f, v, u)
u=
2.220410327256368
-1.511477608846835
>> subs(f1,{x,y},{u(1),u(2)}) (Comprobar si es una solución del sistema)
ans =
-8.881784197001252e-016
>> subs(f2,{x,y},{u(1),u(2)})
ans =
8.881784197001252e-016

7. 54
3.5.6 Uso de funciones de MATLAB para resolver sistemas no-lineales
La función solve de MATLAB se puede usar para resolver sistemas no lineales como el ejemplo
anterior:
>> syms x y
>> f1=(x-2)^2 + (y-1)^2+x*y-3;
>> f2=x*exp(x+y)+y-3;
>> f=[f1;f2];
>> [x,y]=solve(f)
x=
0.40962778706480689876647619089358
y=
1.116180137942813562571698234565
El método solve de MATLAB proporciona solamente una de las dos soluciones. Con esto
concluimos que no siempre los programas computacionales disponibles producen todas las
respuestas esperadas.
3.5.7 Obtención de la fórmula iterativa de segundo orden para calcular raíces reales de
sistemas de ecuaciones no lineales
Se considera el caso de dos ecuaciones y luego se generaliza a más ecuaciones
Sean f1(x1, x2) = 0, f2(x1, x2) = 0 dos ecuaciones no-lineales con variables x1, x2.
Sean r1, r2 valores reales tales que f1(r1, r2) = 0, f2(r1, r2) = 0, entonces (r1, r2) constituye una
raíz real del sistema y es de interés calcularla.
Suponer que f1, f2 son funciones diferenciables en alguna región cercana al punto (r1, r2)
Con el desarrollo de la serie de Taylor expandimos f1, f2 desde el punto (x1 , x (k) ) al punto
(k)
2
(x1 + 1) , x (k + 1) )
(k
2
∂f1(k) ∂f (k)
f1(k + 1) = + (x1 + 1) − x1 )
f1(k) (k (k)
+ (x (k + 1) − x (k) ) 1 + O(x1 + 1) − x1 )2 + O(x 2 + 1) − x 2 )2
(k (k) (k (k)
∂x 1 ∂x 2
2 2
∂f2(k) ∂f (k)
f2(k + 1) = + (x1 + 1) − x1 )
f2(k) (k (k)
+ (x (k + 1) − x (k) ) 2 + O(x1 + 1) − x1 )2 + O(x 2 + 1) − x 2 )2
(k (k) (k (k)
∂x 1 ∂x 2
2 2
Por simplicidad se ha usado la notación: f1(k) = f1 (x1 , x (k) ) , f1(k + 1) = f1 (x1 + 1) , x (k + 1) ) , etc.
(k)
2
(k
2
En los últimos términos de ambos desarrollos se han escrito únicamente los componentes de
interés, usando la notación O( ).
Las siguientes suposiciones, son aceptables en una región muy cercana a (r1, r2):

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(x1 , x (k) ) cercano a la raíz (r1, r2)
(k)
2
Si el método converge cuadráticamente entonces (x1 + 1) , x (k + 1) ) estará muy cercano a (r1, r2)
(k
2
Por lo tanto se puede aproximar:
f1 (x1 + 1) , x (k + 1) ) ≈ 0
(k
2
f2 (x1 + 1) , x 2 + 1) ) ≈ 0
(k (k
Por otra parte, si (x 1 , x 2 ) es cercano a (x1 + 1) , x (k + 1) ) , las diferencias serán pequeñas y al
(k) (k) (k
2
elevarse al cuadrado se obtendrán valores más pequeños y se los omite.
Sustituyendo en el desarrollo propuesto se obtiene como aproximación el sistema lineal:
∂f1(k) (k) ∂f
(k)
0 = + (x1 + 1) − x1 )
f1(k) (k (k)
+ (x 2 + 1) − x 2 ) 1
(k
∂x 1 ∂x 2
∂f2(k) (k) ∂f
(k)
0 = + (x1 + 1) − x1 )
f2(k) (k (k)
+ (x 2 + 1) − x 2 ) 2
(k
∂x 1 ∂x 2
En notación matricial:
−F(k) J(k) (X (k + 1) − X (k) )
=
Siendo
 ∂f1(k) ∂f1(k) 
 
 f1(k)   x1 
(k)
 x1 + 1) 
(k
∂x 1 ∂x 2 
F (k)
=  (k)  , X (k)
=  (k)  , X (k + 1)
=  (k + 1)  , J(k) =  (k)
 f2   x2   x2   ∂f ∂f2(k) 
 2 
 ∂x 1
 ∂x 2  
J(k) X (k + 1) J(k) X (k) − F(k)
=
X (k + 1) X (k) − (J(k) )−1F(k) ,
= | J(k) |≠ 0
Es la ecuación de recurrencia que se puede usar iterativamente con k=0, 1, 2, … partiendo de
un vector inicial X (0) generando vectores de aproximación: X (1) , X (2) , X (3) , …
La notación matricial y la ecuación de recurrencia se extienden directamente a sistemas de n
ecuaciones no lineales f1, f2, …, fn con variables x1, x2, …, xn. La matriz de las derivadas
parciales J se denomina jacobiano. La ecuación de recurrencia se reduce a la fórmula de
Newton si se tiene una sola ecuación.