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Límites y continuidad
2º Bachillerato
Límite de una función en un punto: definición intuitiva
Importante: si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser
un número y además único.
• Cuando x se acerca a 1 por la derecha f(x) se acerca a – 2
• Cuando x se acerca a 1 por la izquierda f(x) se acerca a – 2
x 0,98 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1
f(x) –1,9412 –1,9703 –1,9970 –1,9997 no existe –2,0003 –2,003 –2,0303 –2,3333
Se escribe
x1
lim
x2
– 1
x2
– 3x + 2
= – 2
Si a y b son dos números, la expresión
ax
f(x)lim

=b
quiere decir que si la variable independiente x toma valores próximos al número a,
los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b
Ejemplo: La función f(x) =
x
2
– 1
x
2
– 3x + 2 no está definida en los puntos 1 y 2. ¿Cómo se comporta
cuando x toma valores cada vez más próximos a 1?
En x=1 no
existe la
función, sin
embargo, los
límites
laterales
coinciden
Límite de una función en un punto: definición formal
Def: Sean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto
x = a si para todo número real  > 0 existe otro número real  > 0, tal que si
0 < |x – a | <   |f(x) – L | < 
Para cada  > 0 Hay un > 0 0 < |x – a | < |f(x) – L | < 
La condición 0 < | x – a | <  prohibe que x tome el valor a.
No es necesario que la función esté definida en a.
Límites laterales de una función
Ejemplo: la función Ent(x) = «mayor nº entero menor o igual a x» tiene una gráfica como
la siguiente. Se observa que:

x3+lim Ent(x) = 3

x3
–lim Ent(x) = 2
Como los límites laterales no coinciden la
función no tiene límite cuando x3.
3
 Se dice que el número b es el límite de f(x) cuando x tiende hacia a por la dere-
cha (izquierda) , si al tomar valores x estrictamente mayores (menores) próximos
al número a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b. Se
designa
xa
+lim f (x) = b (
xa
–(lim f (x)= b).
 Una función se dice que tiene límite en un punto si y sólo si existen los límites
laterales y ambos son iguales.
Existencia de límite en a
Existe el límite de la función f(x) cuando la variable x se aproxima al valor “a” si y solo si existen los límites
laterales y:
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥)
Teorema de la unicidad del límite
Enunciado: Si una función tiene límite en un punto, es único.
Demostración: La demostración se hace por reducción al absurdo
Suponemos que f(x) tiene 2 límites distintos b y c, si x tiende a “a”. Y b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite)  E(b, )  1  x  E*(a,1) f(x) E(b, )
limx->af(x)=c => (por def. de límite)  E(c, )  2   x  E*(a, 2) f(x)  E(c, )
Consideremos un ε tal que E(b, )∩ E(c, ) = Ø.
Por ej. c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2 y sea δ = min {1 , 2}
Para todo x perteneciente al E*(a, δ ) se cumple
 f(x) pertenece a E(b, )
 f(x) pertenece a E(c, )
Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos. El absurdo
procede de suponer b ≠ c. Por lo tanto b = c.
Propiedades de los límites de funciones
    .)(lim)(limreal,númerounesSi5.
)(lim)( qxg
ax
xg
ax
q
pxfxfp ax  

  .)(lim)(lim)()(lim1. qpxgxfxgxf
axaxax


  .)(lim)(lim)()(lim.3 qpxgxfxgxf
axaxax


.
)(lim
)(lim
)(
)(
lim,ceroesnoSi4.
q
p
xg
xf
xg
xf
q
ax
ax
ax









Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que .qxgpxf
axax


)(limy)(lim
2. Si k es un número real lim(k · f(x)) = k · lim f(x) = k · p
• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es mas infinito si la
función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se
tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se
designa :
•· Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es menos infinito si
la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se
tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se
designa:
Límites infinitos de una función en un punto: definición

x0+
lim
1
| x |
= 

x0–
lim
1
| x |
= 

x0
lim
1
| x |
= 
Ejemplo: observando la gráfica de la
función f(x) =
1
| x |
se ve que:


)(lim xf
ax


)(lim xf
ax
Límite infinito en un punto: definición formal
Ejemplo: En la medida en que x se acerca o 0, con valores positivos ¿a quién se acerca
f(x) = (x+1) / x?
x+
lim
x + 1
x = +
x 1 0,1 0,01 0,01  0+
f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001  +
De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que:
x–
lim
x + 1
x = –
Límites finitos en el infinito: Definición
x 10 102
103
104
 + 
f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001  1
Ejemplo (comportamiento en el infinito, límite finito) : En la medida en que x se
hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?
Lxf
x


)(lim
x+
lim
x + 1
x
= 1
Se dice que el nº L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (menos infinito), si
la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomen
valores de x suficientemente grandes (en valor absoluto). De denota
Lxf
x


)(lim
Límites infinitos en el infinito: Definición
x+ 
lim x2
= + 
En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca
f(x) = x2?
x 10 102
103
104
 + 
f(x) = x2
102
104
106
108
 + 
Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número real M
se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si x > K donde K debe ser
función de M.
Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.
Cálculo de límites
Límites simples
Algunos límites típicos
x

x
lim








1 +
a
x = ea
, para todo a
Cuando las funciones verifican se pueden obtener directamente
por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x
por el de a hacia el que tiende.
)()(lim afxf
ax


sen x

x0
lim
x
= 1
x

x
lim
e
xp = , para todo p
ln x

x
lim
xp = 0, para todo p > 0
Cálculo de límites simples: ejemplos
x0
lim
x2
cos x + e2x
ln (x + 1) + x3
+ 1 =
0 .
1 + e0
ln 1 + 0 + 1 = 1
x1
lim







3 2x3
– 2x + 1
x3
–x + 1
(x2
– 2x + 1)
=







3 2 .
13
–2 .
1 + 1
13
– 1 + 1
(12
–2.
1+1)
= 10
= 1
x3
lim
–2x2
+ 3
x3
– 2x + 5 =
–2 .
32
+ 3
33
– 2 .
3 + 5
= –
15
16
x0
lim








x2
– 100 +
x3
+ x – 1
x2
– 1 = –100 + 1 = – 99
Indeterminaciones: tipos
Cuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sin
conocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicando las propiedades de los límites
podemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ninguna propiedad
que nos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado.
Este resultado no depende de las funciones f y
g. El límite es determinado.
Este límite depende de las funciones f y g. El
límite es indeterminado.
xa
lim f(x) = 2
xa
lim g(x) = 3
Entonces
xa
lim
f(x)
g(x) =
2
3
xa
lim f(x) = 0
xa
lim g(x) = 0
No es posible obtener
xa
lim
f(x)
g(x) . Para
poder salvar la indeterminación hemos
de conocer f y g.
Tipos de
indeterminaciones
L
0 / L 0 0
0

 0 .   –  0
00
1

•En las del tipo L/0 con L no nulo, se calculan los límites laterales
•En las del tipo 0/0 Si hay raíces, se multiplica por el conjugado de la expresión con
raíces y luego se factoriza y simplifica
• Si no hay raíces, se factoriza y simplifica
•En las del tipo Se dividen numerador y denominador por la máxima potencia
•En las del tipo Se transforman, mediante operaciones, en uno de los anteriores
•En las del tipo
•Si no hay radicales se hacen operaciones y se transforma en uno de los anteriores
•Si hay radicales, se multiplica y se divide por el conjugado y se transforma en uno
del tipo
•En las de los tipos Se aplican logaritmos o la expresión correspondiente
Cuadro de indeterminaciones: Forma de resolverlas
Tipos de
indeterminaciones
L
0 / L 0 0
0

 0 .   –  0
00
1



0


 10, 00
y
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L  0
En estos casos el límite si existe es + o – dependiendo del signo de la función
a izquierda y derecha del valor al cual tiende la variable.

x2–
lim
1
x – 2
= – 

x2+
lim
1
x – 2
= + 

x2
lim
1
x – 2 no existe

x2–
lim
1
(x – 2)2 = + 

x2+
lim
1
(x – 2)2 = + 

x2
lim
1
(x – 2)2 = + 
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0
Cuando el
xa
lim
P(x)
Q(x) es indeterminado
0
0 siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e-
mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por (x – a)

x3
lim
–18+ 21x– 8x2
+ x3
x2
– 9
=
x3
lim
(x – 3)2
(x – 2)
(x– 3)(x+ 3)
=
x3
lim
(x – 3)(x– 2)
(x + 3)
=
0
6 = 0
Indet
0
0

x
3
2
lim
–18+ 33 x – 20 x2
+ 4 x3
9 – 12x + 4 x2 =
x
3
2
lim
(x – 2)(2x– 3)2
(2x– 3)2 =
x
3
2
lim (x– 2)=
–1
2
Indet
0
0
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo /
En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.
ln x = y
x
lim
–2x3
+ 3x– 5
–x3
– 2x + 5 =
Indet


x
lim
–2 +
3
x2 –
5
x3
–1 –
2
x2 +
5
x3
=
–2
–1 = 2
x
lim
ln (ln x)
ln x =
y
lim
ln y
y = 0
Indet


Cuando el
x
lim
P(x)
Q(x)
es indeterminado

 siendo P(x) y Q(x) polinomios,
podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más
alta de x que aparezca en ambos.
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo  – 
En estos casos es aconsejable operar previamente para simplificar, si es posible, la
expresión antes de tomar el límite.
Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multi-
plicar y dividir por la expresión conjugada.
x
lim (x3
– x2
) =
Indet  – 
x
lim x2(x– 1) =  .
 =
x
lim [ x2
+ 1 – x2
– 1] =
Indet  – 
x
lim
[ x2
+ 1 – x2
– 1] [ x2
+ 1+ x2
– 1]
[ x2
+ 1+ x2
– 1]
=
=
x
lim
(x2
+ 1) – (x2
– 1)
[ x2
+ 1 + x2
– 1]
=
x
lim
2
x2
+ 1 + x2
– 1
=
2
 = 0

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Presentación1

  • 2.
  • 3. Límite de una función en un punto: definición intuitiva Importante: si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser un número y además único. • Cuando x se acerca a 1 por la derecha f(x) se acerca a – 2 • Cuando x se acerca a 1 por la izquierda f(x) se acerca a – 2 x 0,98 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 f(x) –1,9412 –1,9703 –1,9970 –1,9997 no existe –2,0003 –2,003 –2,0303 –2,3333 Se escribe x1 lim x2 – 1 x2 – 3x + 2 = – 2 Si a y b son dos números, la expresión ax f(x)lim  =b quiere decir que si la variable independiente x toma valores próximos al número a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b Ejemplo: La función f(x) = x 2 – 1 x 2 – 3x + 2 no está definida en los puntos 1 y 2. ¿Cómo se comporta cuando x toma valores cada vez más próximos a 1?
  • 4. En x=1 no existe la función, sin embargo, los límites laterales coinciden
  • 5. Límite de una función en un punto: definición formal Def: Sean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto x = a si para todo número real  > 0 existe otro número real  > 0, tal que si 0 < |x – a | <   |f(x) – L | <  Para cada  > 0 Hay un > 0 0 < |x – a | < |f(x) – L | <  La condición 0 < | x – a | <  prohibe que x tome el valor a. No es necesario que la función esté definida en a.
  • 6. Límites laterales de una función Ejemplo: la función Ent(x) = «mayor nº entero menor o igual a x» tiene una gráfica como la siguiente. Se observa que:  x3+lim Ent(x) = 3  x3 –lim Ent(x) = 2 Como los límites laterales no coinciden la función no tiene límite cuando x3. 3  Se dice que el número b es el límite de f(x) cuando x tiende hacia a por la dere- cha (izquierda) , si al tomar valores x estrictamente mayores (menores) próximos al número a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b. Se designa xa +lim f (x) = b ( xa –(lim f (x)= b).  Una función se dice que tiene límite en un punto si y sólo si existen los límites laterales y ambos son iguales.
  • 7. Existencia de límite en a Existe el límite de la función f(x) cuando la variable x se aproxima al valor “a” si y solo si existen los límites laterales y: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥)
  • 8. Teorema de la unicidad del límite Enunciado: Si una función tiene límite en un punto, es único. Demostración: La demostración se hace por reducción al absurdo Suponemos que f(x) tiene 2 límites distintos b y c, si x tiende a “a”. Y b > c. limx->af(x)=b => (por def. de límite)  E(b, )  1  x  E*(a,1) f(x) E(b, ) limx->af(x)=c => (por def. de límite)  E(c, )  2   x  E*(a, 2) f(x)  E(c, ) Consideremos un ε tal que E(b, )∩ E(c, ) = Ø. Por ej. c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2 y sea δ = min {1 , 2} Para todo x perteneciente al E*(a, δ ) se cumple  f(x) pertenece a E(b, )  f(x) pertenece a E(c, ) Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos. El absurdo procede de suponer b ≠ c. Por lo tanto b = c.
  • 9. Propiedades de los límites de funciones     .)(lim)(limreal,númerounesSi5. )(lim)( qxg ax xg ax q pxfxfp ax      .)(lim)(lim)()(lim1. qpxgxfxgxf axaxax     .)(lim)(lim)()(lim.3 qpxgxfxgxf axaxax   . )(lim )(lim )( )( lim,ceroesnoSi4. q p xg xf xg xf q ax ax ax          Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que .qxgpxf axax   )(limy)(lim 2. Si k es un número real lim(k · f(x)) = k · lim f(x) = k · p
  • 10. • Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es mas infinito si la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa : •· Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es menos infinito si la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa: Límites infinitos de una función en un punto: definición  x0+ lim 1 | x | =   x0– lim 1 | x | =   x0 lim 1 | x | =  Ejemplo: observando la gráfica de la función f(x) = 1 | x | se ve que:   )(lim xf ax   )(lim xf ax
  • 11. Límite infinito en un punto: definición formal Ejemplo: En la medida en que x se acerca o 0, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x? x+ lim x + 1 x = + x 1 0,1 0,01 0,01  0+ f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001  + De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que: x– lim x + 1 x = –
  • 12. Límites finitos en el infinito: Definición x 10 102 103 104  +  f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001  1 Ejemplo (comportamiento en el infinito, límite finito) : En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x? Lxf x   )(lim x+ lim x + 1 x = 1 Se dice que el nº L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (menos infinito), si la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomen valores de x suficientemente grandes (en valor absoluto). De denota Lxf x   )(lim
  • 13. Límites infinitos en el infinito: Definición x+  lim x2 = +  En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = x2? x 10 102 103 104  +  f(x) = x2 102 104 106 108  +  Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número real M se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si x > K donde K debe ser función de M. Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.
  • 14. Cálculo de límites Límites simples Algunos límites típicos x  x lim         1 + a x = ea , para todo a Cuando las funciones verifican se pueden obtener directamente por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x por el de a hacia el que tiende. )()(lim afxf ax   sen x  x0 lim x = 1 x  x lim e xp = , para todo p ln x  x lim xp = 0, para todo p > 0
  • 15. Cálculo de límites simples: ejemplos x0 lim x2 cos x + e2x ln (x + 1) + x3 + 1 = 0 . 1 + e0 ln 1 + 0 + 1 = 1 x1 lim        3 2x3 – 2x + 1 x3 –x + 1 (x2 – 2x + 1) =        3 2 . 13 –2 . 1 + 1 13 – 1 + 1 (12 –2. 1+1) = 10 = 1 x3 lim –2x2 + 3 x3 – 2x + 5 = –2 . 32 + 3 33 – 2 . 3 + 5 = – 15 16 x0 lim         x2 – 100 + x3 + x – 1 x2 – 1 = –100 + 1 = – 99
  • 16. Indeterminaciones: tipos Cuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sin conocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicando las propiedades de los límites podemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ninguna propiedad que nos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado. Este resultado no depende de las funciones f y g. El límite es determinado. Este límite depende de las funciones f y g. El límite es indeterminado. xa lim f(x) = 2 xa lim g(x) = 3 Entonces xa lim f(x) g(x) = 2 3 xa lim f(x) = 0 xa lim g(x) = 0 No es posible obtener xa lim f(x) g(x) . Para poder salvar la indeterminación hemos de conocer f y g. Tipos de indeterminaciones L 0 / L 0 0 0   0 .   –  0 00 1 
  • 17. •En las del tipo L/0 con L no nulo, se calculan los límites laterales •En las del tipo 0/0 Si hay raíces, se multiplica por el conjugado de la expresión con raíces y luego se factoriza y simplifica • Si no hay raíces, se factoriza y simplifica •En las del tipo Se dividen numerador y denominador por la máxima potencia •En las del tipo Se transforman, mediante operaciones, en uno de los anteriores •En las del tipo •Si no hay radicales se hacen operaciones y se transforma en uno de los anteriores •Si hay radicales, se multiplica y se divide por el conjugado y se transforma en uno del tipo •En las de los tipos Se aplican logaritmos o la expresión correspondiente Cuadro de indeterminaciones: Forma de resolverlas Tipos de indeterminaciones L 0 / L 0 0 0   0 .   –  0 00 1    0    10, 00 y
  • 18. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L  0 En estos casos el límite si existe es + o – dependiendo del signo de la función a izquierda y derecha del valor al cual tiende la variable.  x2– lim 1 x – 2 = –   x2+ lim 1 x – 2 = +   x2 lim 1 x – 2 no existe  x2– lim 1 (x – 2)2 = +   x2+ lim 1 (x – 2)2 = +   x2 lim 1 (x – 2)2 = + 
  • 19. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0 Cuando el xa lim P(x) Q(x) es indeterminado 0 0 siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e- mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por (x – a)  x3 lim –18+ 21x– 8x2 + x3 x2 – 9 = x3 lim (x – 3)2 (x – 2) (x– 3)(x+ 3) = x3 lim (x – 3)(x– 2) (x + 3) = 0 6 = 0 Indet 0 0  x 3 2 lim –18+ 33 x – 20 x2 + 4 x3 9 – 12x + 4 x2 = x 3 2 lim (x – 2)(2x– 3)2 (2x– 3)2 = x 3 2 lim (x– 2)= –1 2 Indet 0 0
  • 20. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo / En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación. ln x = y x lim –2x3 + 3x– 5 –x3 – 2x + 5 = Indet   x lim –2 + 3 x2 – 5 x3 –1 – 2 x2 + 5 x3 = –2 –1 = 2 x lim ln (ln x) ln x = y lim ln y y = 0 Indet   Cuando el x lim P(x) Q(x) es indeterminado   siendo P(x) y Q(x) polinomios, podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más alta de x que aparezca en ambos.
  • 21. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo  –  En estos casos es aconsejable operar previamente para simplificar, si es posible, la expresión antes de tomar el límite. Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multi- plicar y dividir por la expresión conjugada. x lim (x3 – x2 ) = Indet  –  x lim x2(x– 1) =  .  = x lim [ x2 + 1 – x2 – 1] = Indet  –  x lim [ x2 + 1 – x2 – 1] [ x2 + 1+ x2 – 1] [ x2 + 1+ x2 – 1] = = x lim (x2 + 1) – (x2 – 1) [ x2 + 1 + x2 – 1] = x lim 2 x2 + 1 + x2 – 1 = 2  = 0