E book itzayana nava montiel

I t z a y a n a N a v a M o n t i e l P á g i n a 1 | 63

1.- Introducción a la solución de ecuaciones no lineales.
 Método de punto fijo.
 Método de Newton.
 Método de Newton Modificado.
 Método de Cuasi-Newton.
2.- Interpolación & aproximación polinomial.
2.1.- Interpolación polinomial.
 Formula de Lagrange.
 Diferencias divididas.
 Interpolación de Newton.
 Método de Hermite.
2.2.- Teoría de Aproximación.
 Spline cubico.
 Mínimos cuadrados.
3.- Diferencia e integración numérica.
3.1.- Derivación numérica.
 Extrapolación de Richardson.
3.2.- Formulas de Newton-Codes
 Regla trapezoidal
 Regla de Simpson 1/3
 Regla de Simpson 3/8
3.3.-Integración de Romberg

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es
posible formular problemas matemáticos de tal forma que
puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender
esquemas numéricos a fin de resolver problemas
matemáticos, escribir programas y resolverlos en una
computadora y usar correctamente el software existente para
dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el
uso de computadoras, sino que también amplia la pericia
matemática y la comprensión.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para
“aproximar” de una manera eficiente las soluciones de
problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar
soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando
sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere
de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que
producen la aproximación al problema matemático.

Se generalizan e integran los métodos para solución de
ecuaciones algebraicas de la forma f(x) = 0 con los métodos
de solución de sistemas de ecuaciones, Ax = b, para resolver
un sistema de varias ecuaciones con varias incógnitas cuya
representación es:
f1(x1, x2, …, xn) = 0
f2(x1, x2, …, xn) = 0
:
fn (x1, x2, …, xn) = 0
Donde fi (x1, x2, …, xn) = 0 para 1 = 1, 2, …, n es una función
(lineal o no) de las variables independientes, x1, x2, …, xn.
La primera técnica para resolver sistemas no lineales consiste
en escribir las ecuaciones que componen el sistema de la
forma: fi (x1, x2, …, xn) = 0 para i = 1, 2, …, n, y se trataran
de encontrar los valores (x1, x2, …, xn) que satisfagan todas
las ecuaciones del sistema.
 Cada una de las ecuaciones se resuelve para una
variable de tal manera que se obtenga:
xi = gi (x1, x2, …, xn) para i = 1, 2, …, n.

 Las ecuaciones se toman como fórmulas recursivas para
obtener una estimación a partir de una estimación previa, para
lo que se escriben de la siguiente forma:
xi (k+1) = gi (x1 k, x2 k, …, xn k) para i = 1, 2, …, n
 Se comienza con valores iniciales (x1 0, x2 0, …, xn 0), se
calculan nuevos valores (x1 1, x2 1, …, xn 1) y se repite el
proceso, esperando que en cada iteración los valores se
aproximen a la raíz buscada, la cual cumple con: xi = gi (x1,
x2, …, xn) para i = 1, 2, …, n.
DEFINICIÓN:
Un punto fijo de un sistema de n ecuaciones xi = gi (x1, x2, …,
xn)
para i = 1, 2, …, n, es un punto (𝑥̅̅1̅, 𝑥̅̅2̅, …, 𝑥̅̅ 𝑛̅) tal que 𝑥̅ 𝑖 = 𝑔𝑖
(𝑥̅̅1̅, 𝑥̅̅2̅, …, 𝑥̅̅ 𝑛̅).
Para las funciones de (1.2), el método del punto fijo es 𝑥̅ 𝑖 𝑘+1
= 𝑔𝑖 (𝑥̅̅1̅ 𝑘, 𝑥̅̅2̅ 𝑘, …, 𝑥̅̅ 𝑛̅ 𝑘) para k = 0, 1, … (1.3).
TEOREMA:
∑ |
𝝑𝒈𝒊
𝝑𝒙̅𝒋
𝒏
𝒋=𝟏 |≤M≤1
 El método del punto fijo genera una sucesión
convergente al punto fijo.
 Si las condiciones anteriores no se cumplen, entonces la
iteración podría ser divergente.

 Si el método converge, la hace lineal.
Resolver el siguiente ejercicio con el método de punto fijo
multivariable, con sustituciones simultáneas:
*𝑓1( 𝑥, 𝑦) = 𝑥2
− 𝑦 − 2 = 0
*𝑓2( 𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 − 3 = 0
* Sumar -4x a cada lado 𝑓1
* Sumar -5y a cada lado 𝑓2
Graficamos la función.

Se despeja la variable x de la primera ecuación, tomando para
la primera función -4x, obteniendo, 𝑥2
− 4𝑥 − 𝑦 − 2 = −4𝑥 de
misma manera se hace con la segunda ecuación, pero
despejando y con -5y, obteniendo 2𝑥𝑦 − 5𝑦 − 3 = 5𝑦 dando
como resultado:
Verificar si el sistema converge con las condiciones en las
fórmulas de derivadas parciales, empezando con el vector
propuesto
= (0 + 0) <1
= (0 + 0.2) <1
Evaluamos con el vector . Existe un cambio de
signos, lo que asegura que existe en esos intervalos una raíz
Ejemplo la primera iteración
*𝑥1
= (−
2)2+0+4(2)+2
4
)
*𝑦1
= (
−2(2)(0)+5(0)+3
5
)
valores de x, valores de y.
Para calcular el error utilizamos

La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente
aproximación
xi=1.69805213
yi=0.88337297
Con un error de: 1.21914E-05

El método se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones no
lineales, es linealizar y resolver repetidamente; esta es la
estrategia que emplea el método de Newton para resolver una
sola ecuación no lineal y que se generaliza para sistemas no
lineales.
Usando notación vectorial para escribir el sistema (1) se tiene:
F(X) = 0
Definiendo los vectores columna como
F = [f1, f2, …, fn)]t
X = [x1, x2, …, xn] t
La extensión del método de Newton para sistemas no lineales
es:
X (k + 1) = X(k) – [F´ (x (k))] -1 F (x (k))
Donde F´ (x (k)) es la matriz jacobiana.
Un sistema de ecuaciones no lineales puede representarse de
la siguiente manera:
f1(x1, x2, …, xn) = 0
f2(x1, x2, …, xn) = 0
:
fn (x1, x2, …, xn) = 0

Donde fi (x1, x2, …, xn) = 0 para i = 1, 2, …, n es una función
(lineal o no) de las variables independientes x1, x2, …, xn.
PRELIMINARES:
El primero de estos conceptos es la derivada; cuando se trabaja
con funciones de varias variables, se emplean las derivadas
parciales. La generalización de derivada para sistemas de
funciones de varias variables es la matriz jacobiana.
DEFINICIÓN:
Matriz jacobiana: Sean fi(x1,x2, …, xn), con 1  i  n, funciones
con n variables (xj) independientes.
Su matriz jacobiana J (x1, x2, …, xn), está dada por las
derivadas parciales de cada una de las funciones con respecto
a cada una de las variables:
𝑓1𝑥1 𝑓1𝑥2 ⋯ 𝑓1𝑥𝑛
𝑓2𝑥1 𝑓2𝑥2 ⋯ 𝑓2𝑥𝑛
𝑱 = 𝑓3𝑥1 𝑓3𝑥2 ⋯ 𝑓3𝑥𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑓𝑛𝑥1 𝑓𝑛𝑥2 ⋯ ⋯ 𝑓𝑛𝑥𝑛
La diferencial: En una función de varias variables, la diferencial
es el instrumento que se usa para mostrar el efecto de los
cambios de las variables independientes en las variables
dependientes.
Supóngase que los valores de las funciones fi (x1, x2, …, xn)
se conocen en el punto (x1 0, x2 0, …, xn 0) y se desean
estimar sus valores en un punto cercano (x1, x2, …, xn).

Si se denotan con fi los cambios diferenciales en las variables
dependientes y por xi los cambios diferenciales en las
variables independientes, esto puede escribirse con notación
matricial de la siguiente manera:
𝑓1𝑥1 𝑓1𝑥2 ⋯ ⋯ 𝑓1𝑥𝑛 ∆𝑥1 𝑓1
𝑓2𝑥1 𝑓2𝑥2 ⋯ ⋯ 𝑓2𝑥𝑛 ∆𝑥2 𝑓2
𝑓3𝑥1 𝑓3𝑥2 ⋯ ⋯ 𝑓3𝑥𝑛 ∆𝑥3 = − 𝑓3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑓𝑛𝑥1 𝑓𝑛𝑥2 ⋯ ⋯ 𝑓𝑛𝑥𝑛 ∆𝑥𝑛 𝑓𝑛
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de
Newton-Raphson
*𝑓1( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 9
*𝑓2( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 − 1
*𝑓3( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧2
Se calculan las derivadas parciales de cada función
*𝑓1𝑥 = 2𝑥 𝑓1𝑦 = 2𝑦 𝑓1𝑧 = 2𝑥
*𝑓2𝑥 = 𝑦𝑧 𝑓2𝑦 = 𝑥𝑧 𝑓2𝑧 = 𝑥𝑦
*𝑓3𝑥 = 1 𝑓3𝑦 = 1 𝑓3𝑧 = −2𝑧

Dados los valores iniciales (2,0,3) y un error de 0.0001
Iteramos el método de Newton-Raphson.
La solución al sistema de ecuaciones es
(2.4990227,0.24171102,1.65551615)

Este método de Newton-Raphson modificado consiste en
aplicar n (n número de ecuaciones) veces el método de Newton
univariable, una para cada variable.
Cada vez que se hace esto, se consideran las otras variables
fijas.
Sea el sistema: 𝑓𝑖 (𝑥1, 𝑥2, ⋯, 𝑥𝑛) = 0 con i = 1, 2, …, n.
Se eligen los valores iniciales (𝑥1 0, 𝑥2 0, ⋯, 𝑥𝑛 0) y empleando
el método de Newton se calcula un nuevo valor, aunque al
tratarse de una ecuación de varias variables se emplea la
derivada parcial evaluada en los valores iniciales:
Con lo cual se obtendría (𝑥1 1, 𝑥2 1, ⋯, 𝑥𝑛 1) y se procede de
forma sucesiva hasta alcanzar una tolerancia previamente
establecida.

Solucionar el siguiente ejercicio con el método de Newton
Modificado, con tolerancia 0.0005:
*𝑓1( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦^
2 + 𝑧2
= 9
*𝑓2( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥yz = 1
*𝑓3( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧2
= 0
Igualamos las ecuaciones a
*𝑓1( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥+2y2
+ z2
− 9 = 0
*𝑓2( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑥𝑦𝑧 − 1 = 0
*𝑓3( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧2
= 0
Calculamos ahora las derivadas parciales de cada función
*
𝑑𝑓1
𝑑𝑥
= 2𝑥
*
𝑑𝑓2
𝑑𝑦
= 𝑥𝑧
*
𝑑𝑓3
𝑑𝑧
= −2𝑧
Proponemos iniciar con el vector x^0= [2.5,-0.5,-1.5]

Sustituimos en la función original y en la
derivada parcial, cada elemento de (x, y, z)
con su respectiva función.
Y para los siguientes valores de (x, y, z) aplicamos la fórmula
respectivamente y obtendremos sus siguientes valores
Seguimos con el mismo método hasta pasar la tolerancia,
para eso nos guiamos con el error del valor más grande del
elemento (x, y, z) de ki+1 menos la de ki.

La tabla queda así.

Solución del sistema de ecuaciones x^8=[2.57238784,
0.25531925, 1.52229233]
El método de Newton tiene como principal desventaja el cálculo
y evaluación de las derivadas parciales y la inversión de la
matriz jacobiana.
Este método requiere n evaluaciones funcionales por iteración
y también disminuye el número de cálculos aritméticos a O (n
2), ya que reemplaza a la matriz Jacobiana con una matriz de
aproximación que se actualiza en cada iteración. Su desventaja
radica en que se pierde la convergencia cuadrática de Newton,
al ser sustituida por una convergencia denominada superlineal.
El método de Broyden consiste en que a partir de una
aproximación inicial X (0) a la solución F(x) = 0, se calcula la
siguiente aproximación X (1) por el método de Newton. No
obstante, para calcular X (2) ya no se hace con el método de
Newton y se recurre al método de la secante. En el método de
la secante univariable se emplea la siguiente fórmula para
sustituir el cálculo de la derivada:
𝑓´(𝑥1) = 𝑓 (𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0

Dado que, en el caso de los sistemas no lineales, X (1) – X (0)
es un vector, el cociente correspondiente esta indefinido.
El método procede de manera semejante al método de Newton,
porque la matriz J (X (1)) es reemplazada por una matriz A que
tiene la propiedad de que:
𝐴 (𝑋 (1) − 𝑋 (0)) = 𝐹 (𝑋 (1)) − 𝐹 (𝑋 (0))
TEOREMA DE SHERMAN MORRISON:
Si A es una matriz no singular y X y Y son vectores, entonces A
+ XYt es no singular, siempre que Y t A -1 X  -1. Además, en
este caso.
Es decir, esta fórmula también permite calcular (A (k)) -1,
eliminando la necesidad de invertir una matriz en cada
iteración.
Para ello primero se obtiene la inversa de la ecuación.
Haciendo
Se puede reescribir como: (A (k)) -1 = (A + XYt) -1, lo que se
ajusta al teorema, sustituyendo en la ecuación (1.8) y
desarrollando.

Esta fórmula permite calcular la inversa de una matriz con
sumas y multiplicaciones de matrices, con lo que se reduce el
esfuerzo computacional al orden n 2.
Una vez determinada X (2), el método se repite para
determinar X (3), usando [A (2)] -1 que se obtiene a partir de
(1.9) con A (1) y con X (2) y X (1) en lugar de X (1) y X (0). En
general, una vez determinado X (i), se calcula X (i +1) por
medio de:
𝑋 (𝑖+1) = 𝑋 (𝑖) − 𝐴𝑖 −1𝐹 (𝑋 (𝑖))
Si el método se aplica como se describe en las ecuaciones
anteriores el número de evaluaciones funcionales disminuye de
n 2 + n a n (las necesarias para evaluar F (X (i)), pero todavía
se requieren O (n 3) cálculos para resolver el sistema lineal
asociado de nxn.
Solucionar el siguiente ejercicio con el método de
Quasi-Newton, con 5 iteraciones y buscar dos raíces
*𝑓1( 𝑥, 𝑦) = 4𝑥2
− 3𝑦2
− 4𝑥 − 1 = 0
*𝑓2( 𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − cos( 𝑥 + 1) + 1

Se sacan
las
derivadas parciales de cada ecuación con respecto a x y y.
*𝑓1𝑥 = 8𝑥 − 4 𝑓1𝑦 = −6𝑦
*𝑓2𝑥 = sin( 𝑥 + 1) 𝑓2𝑦 = 2
Esto nos crea la matriz jacobiana
*𝑥(0)
= [−1,1.5]
Evaluamos con los valores de nuestro vector inicial en las
derivadas parciales obteniendo:
*−𝑓1(−1) = −12 − 𝑓1(1.5) = −9
*−𝑓2(−1) − 𝑓2(1.5) = 2
Sacamos la matriz inversa de 2x2

Evaluamos en las funciones principales con los valores del
vector inicial X0 obteniendo en f1 y f2 respectivamente.
Se aplica la fórmula de newton-raphson para obtener X1.
*𝑥( 𝑘 + 1) = 𝑥𝑘 − [( 𝐽) − 1][𝐹( 𝑥𝑘)]
Para la segunda iteración obtenemos deltaX y deltaF
Delta X0
=
Delta F0
=
De acuerdo a la fórmula de Sherman Morrison sacamos el
valor de A inversa.
*(𝐴(1))
^
− 1 =

Cuando se obtiene la matriz inversa, aplicamos la fórmula
iterativa para obtener X(i+1)
*
𝑥(𝑖+1)
= 𝑥(𝑖)
− (𝐴𝑖)^ − 1𝐹(𝑥(𝑖)
)
Entonces X2
=
Tabla para encontrar la solución más aproximada

Este método reduce el problema restringido en n variables en
uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones
pueden ser resultas.
(INTERPOLACIÓN).
Si se tiene un conjunto de n + 1 puntos (xi, yi) para i = 0, 1,
..., n para representar a y como una función de valuación única
de x, es posible encontrar un polinomio único de grado n que
pasa por los puntos. Por ejemplo, es posible encontrar una
recta única que pasa por dos puntos, y es posible encontrar un
polinomio cuadrático único que pasa por tres puntos.
La ecuación polinomial para y se puede modelar mediante
y los n + 1 puntos se pueden usar para escribir n + 1
ecuaciones para los coeficientes ai. Estas ecuaciones son:
y constituyen un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. La
solución del sistema se puede determinar aplicando métodos
numéricos para este fin.
INTERPOLACIÓN O AJUSTE DE CURVAS:

Para aproximar f(x) por medio de un polinomio a partir de
puntos tabulados, se pueden aplicar dos criterios: el de
interpolación polinomial o el de ajuste de curvas.
La técnica de interpolación consiste en encontrar una función
polinomial que ajuste de forma exacta, es decir, que pase por
los puntos dados en la tabla. Los métodos de ajuste de curvas
consisten en hallar un polinomio que pase entre los puntos y
que satisfaga la condición de minimizar el error entre los puntos
tabulados y el polinomio.
FÓRMULA DE LAGRANGE
Los polinomios de Lagrange se pueden determinar
especificando algunos puntos en el plano por los cuales debe
pasar.
Consideremos el problema de determinar un polinomio de
grado 1 que pase por los puntos distintos (x0, y0) y (x1, y1).
Este problema es el mismo que el de aproximar una función f,
para la cual f(x0) = y0 y f(x1) = y1, por medio de un polinomio
de primer grado, interpolando entre, o coincidiendo con, los
valores de f en los puntos dados.
Sea el polinomio
cuando x = x0
cuando x = x1

así que P tiene las propiedades requeridas.
TEOREMA:
Si x0, x1, ... , xn son (n + 1) números diferentes y f es una
función cuyos valores están dados en estos puntos, entonces
existe un único polinomio P de grado a los más n con la
propiedad de que ( ) ( ) k k f x  P x para cada k = 0, 1, ... ,n.
Este polinomio está dado por:
A partir de la tabla de datos
obtener una estimación para la
presión del soplete cuando este
tenga un espesor de 12mm.
Para un polinomio con dos puntos
sería

*𝑃1( 𝑥) = (
𝑥−𝑥1
𝑥0−𝑥1
) ∗ 𝑌0 + (
𝑥−𝑥0
𝑥1−𝑥0
)𝑌1
Para eso delimitamos en la tabla los valores de x en los cuales
se trabajan.
x0=10 y x1=15
Y yi respectivamente entonces sustituimos en P1(X)
*𝑃1( 𝑥) = 1.7
Ahora para un polinomio de grado dos, igual delimitamos
nuestras celdas a trabajar y adecuamos los valores de xi y yi.
A
continuación, calculamos los coeficientes de Lagrange Ln, k y

los multiplicamos respectivamente con la imagen de xi, donde
x=12 (el valor buscado).
Y para el polinomio P2(x) será igual a la suma de cada
producto de yi con el coeficiente de Lagrange.
*𝑃2( 𝑥) = 1.7
Para el polinomio de tercer grado repetimos el paso anterior,
ahora con cuatro elementos de la tabla
*𝑃3( 𝑥) = 1.64285714
Se observa que utilizamos más elementos de la tabla la
precisión del valor de f(x) es más preciso.

Los métodos de interpolación iterada (Lagrange) sirven para
determinar los valores de los polinomios de interpolación de
grado sucesivamente mayor en un punto particular.
Cada uno de los elementos en la tabla de interpolación depende
del punto que se está evaluando, así que la tabla no se puede
usar para encontrar una representación explícita del polinomio
que aproxima a la función.
Fórmula de diferencias divididas.
Supóngase que Pn es un polinomio de grado a lo más n que
coincide con la función f en los números distintos x0, x1, ... ,
xn. Las diferencias divididas de f con respecto a x0, x1, ... , xn
se pueden derivar demostrando que Pn tiene la representación:
con constantes apropiadas a0, a1, ... , an.
Entonces, evaluando Pn en x0 queda solamente el término
constante a0, es decir, a0 = Pn(x0) = f(x0).
Similarmente, cuando Pn se evalúa en x1:

así que:
Es aquí donde se introduce la notación de diferencia dividida.
La diferencia dividida cero de la función f, con respecto a xi, se
denota por f[xi], y es simplemente la evaluación de f en xi.
f[xi] = f(xi)
Las diferencias divididas restantes se definen inductivamente,
la 1ª diferencia dividida de f con respecto a xi y xi+1, se denota
por f[xi , xi+1.] y está definida como:
Cuando las (k – 1) diferencias divididas
se han determinado, la k-ésima diferencia dividida de f relativa
a xi, xi+1, xi+2, ... , xi+k está dada por

De esta manera, el polinomio de interpolación toma la forma:
a esta última ecuación se le conoce como la fórmula de
diferencia dividida interpolante de Newton.
Tabla de Diferencia Divididas.
Usando la notación estándar, la tabla de diferencia dividida
queda así:

Un polinomio se puede ajustar no solo a los valores de la
función sino también a las derivadas en los puntos. Los
polinomios ajustados a los valores de la función y de su
derivada se llaman polinomios de interpolación de Hermite o
polinomios osculantes.
El conjunto de los polinomios osculantes es una generalización
de los polinomios de Taylor y los polinomios de Lagrange. Estos
polinomios tienen la propiedad de que, dados n + 1 números
distintos, x0, x1, x2, ..., xn y los enteros no negativos m0, m1,
m2, ..., mn, el polinomio osculante que aproxima a una función
f ∈ Cm [a, b], donde m = máx {m0, m1, m2, ..., mn} y xi ∈ [a,
b] para cada i = 0, 1, ... , n es el polinomio de menor grado
con la propiedad de que coincide con la función f y todas sus
derivadas de orden menor o igual a mi en xi para cada i = 0,
1, ... , n . El grado de este polinomio osculante será a lo más
ya que el número de condiciones a satisfacer es ∑= + + n i mi
n 0 ()1 y un polinomio de grado M tiene M + 1 coeficientes que
pueden usarse para satisfacer estas condiciones.

DEFINICIÓN:
Sean x0, x1, x2, ..., xn, n+1 números distintos en [a, b] y mi
un entero no-negativo asociado a xi para i = 0, 1, ..., n. Sean
El polinomio osculante que aproxima a f es el polinomio P de
menor grado tal que
Nótese que cuando n = 0, el polinomio osculante que aproxima
a f es simplemente el polinomio de Taylor de grado m0 para f
en x0. Cuando mi = 0 para i = 0, 1, ..., n; el polinomio que
interpola a f en x0, x1, x2, ..., xn esto es, el polinomio de
Lagrange. La situación que se presenta cuando mi = 1 para
cada i = 0, 1, ..., n da una clase de polinomios llamados
polinomios de Hermite.
TEOREMA:
Si f ∈ C1 [a, b] y x0, x1, x2, ..., xn ∈ [a, b] son distintos, el
único polinomio de menor grado que coincide con f y f’ en x0,
x1, x2, ..., xn es un polinomio de grado a lo más 2n + 1 dado
por

donde
En este contexto, Ln, j denota al j-ésimo coeficiente polinomial
de Lagrange de grado n.
Donde el término del error:
para alguna ε con a < ε < b.
Un automóvil realiza un recorrido por una carretera recta y se
cronometra su recorrido en varios puntos, los cuales se
muestran en la tabla.
t(seg) 0 3 5 8 13
d(pies) 0 225 385 625 993

v(pes/seg) 75 77 80 74 72

Otra manera de ajustar un polinomio a un conjunto de datos
es un spline cúbico, solo que éste lo hace a través de una curva
suave, la cual puede ser de varios grados. En general, un
conjunto de polinomios de n-ésimo grado se ajusta entre cada
par de puntos adyacentes, gi(x), desde xi hasta xi+1. Si el
grado del spline es uno (solo hay rectas entre los puntos), lo
cual se vería así:

El problema con el spline lineal es que la pendiente es
discontinua en los puntos (nodos).
Los splines de grado mayor que uno tienen pendiente continua.
Aunque los splines pueden ser de cualquier grado, los cúbicos
son los más conocidos.
La aproximación mediante splines (trazadores) cúbicos se
aplica a n pares ordenados de datos. Se buscan n-1 curvas que
conectan los puntos 1 y 2, 2 y 3, ..., (n - 1) y n. Además, se
requiere que las dos curvas que conectan los puntos (k-1) y k
y los puntos k y (k+1) tengan la misma pendiente en el punto

k. De esta manera, el ajuste de la curva resultante es continuo
y suave.
Un
polinomio cúbico es el polinomio de menor grado que
generalmente satisface las condiciones para el ajuste de curva.
Se escribe la ecuación para un polinomio cúbico, gi(xi) en el
i-ésimo intervalo, entre los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1):
gi(xi) = ai (x - xi) 3 + b i (x - xi) 2 + c i (x - xi) + di
La función de spline cúbico que se desea es de la forma:
g(x) = gi(xi) sobre el intervalo [xi, xi+1] para i = 0, 1, ..., n-1
y cumple las condiciones:

gi(xi) = yi i = 0, 1, ..., n-1 Indica que se ajusta a cada
uno de los puntos
gn-1(xn) = yn
gi(xi+1) = gi-1(xi+1)
Implica la continuidad en las
curvas
g’i(xi+1) = g’i-1(xi+1)
g”i(xi+1) = g”i-1(xi+1)
Estas dos últimas condiciones
implican continuidad en
pendiente y curvatura.
Estas 3 últimas para
i = 0, 1, ..., n-2
Si hay n + 1 puntos, el número de intervalos y el número de
gi(x) es n, entonces hay cuatro veces n incógnitas que son las
{ai, b i, c i, di} para i = 0, 1, ..., n – 1.
De (a) obtenemos que d i = yi i = 0, 1, ..., n-1.
De la ecuación (b):
gi(x) = ai (x - xi) 3 + b i (x - xi) 2 + c i (x - xi) + yi con h =
xi+1- xi como el ancho del último intervalo
gi(xi) = aih 3 + b ih 2 + c ih + yi para i = 0, 1, ..., n-1
Para relacionar las pendientes y las curvaturas de los splines de
unión, se deriva gi(x):
g’i(xi) = 3aih 2 + 2bih + c i
g” i(xi) = 6aih + 2b i

Aprovechando que g” i(xi) es lineal en el intervalo [xi, xi+1]
hacemos
Si = g” i(xi) i = 0, 1, ..., n-1
Sn = g”n-1(xn)
Entonces Sn = 6ai(xi – xi) + 2bi = g”i(xi) = 2bi
Si+1 = g”i(xi+1) = 6ai(xi+1 – xi) + 2bi
= 6aihi + 2b i
Despejando las incógnitas:
Sustituyendo los valores de ai, bi y di en gi(x) = yi+1 para
despejar ci:
Dado que las pendientes de las dos cúbicas que se unen en
(xi, yi) son iguales
y’i = 3ai(x – xi) 2 + 2bi(x – xi) + ci
Para la ecuación en el i-ésimo intervalo, con x = xi , la ecuación
anterior es:
y’i = 3ai(xi – xi) 2 + 2bi(xi – xi) + c i = ci

En el intervalo previo, de xi-1 a xi , la pendiente en su extremo
derecho es:
y’i = 3ai-1(xi – xi-1) 2 + 2bi-1(xi – xi-1) + ci-1
y’i = 3ai-1hi-1 2 + 2bi-1hi-1 + ci-1
Al igualar lo anterior y sustituir para a, b, c, d sus relaciones en
términos de S y y:
al simplificar
Esta última ecuación es válida en cada punto interno i = 1, 2,
... , n – 1, lo cual proporciona n-1 ecuaciones que relacionan
los n+1 valores Si .

Para el spline cúbico, lo que necesitamos son una serie de
pasos ordenados para crear los polinomios que nos van a dar
el ajuste de curvas mejor adecuados en los intervalos de xi.
1.- Se ordenan los datos ascendentemente

2.- Calcular la distancia entre
cada par de puntos de hi, donde hi=(xi+1-xi)
3.- Construir el sistema de ecuaciones para los nodos internos

4.- Calcular el vector independiente,
mediante el cálculo de las primeras
diferencias divididas.
*𝑏 = 6[𝑓( 𝑥𝑛 − 1, 𝑥𝑛) − 𝑓𝑥(𝑥𝑛 − 2, 𝑥𝑛 − 1)
Y el vector independiente:
5.- Aplicar alguna de las condiciones a los extremos S0 y Sn,
con valor de 0.

6.-Resolver el sistema tridiagonal.
7.- Calculamos los trazadores cúbicos, con las siguientes
fórmulas:
*𝑎𝑖 =
𝑆(𝑖+1)−𝑆𝑖
6∗ℎ𝑖
*𝑏𝑖 =
𝑆𝑖
2
*𝑐𝑖 = (
𝑌(𝑖+1)−𝑌𝑖
ℎ𝑖
) − (
𝑆(𝑖+1)+2∗𝑆𝑖
6
) ∗ ℎ𝑖
*𝑑𝑖 = 𝑌𝑖
8.- Construir el polinomio y graficarlo.

Con ajuste por splines cúbicos, los polinomios resultantes
también pasan por los puntos, pero al ser polinomios cúbicos
en pequeños intervalos las oscilaciones son mínimas.
El método de mínimos cuadrados sirve para interpolar valores,
dicho en otras palabras, se usa para buscar valores
desconocidos usando como referencia otras muestras del
mismo evento.
El método consiste en acercar una línea o una curva, según
se escoja, lo más posible a los puntos determinados por la
coordenada [x, f(x)], que normalmente corresponden a
muestras de algún experimento.
Cabe aclarar que este método, aunque es sencillo de
implantar no es del todo preciso, pero si proporciona una
interpolación aceptable.
Como se comentó previamente se puede usar una recta o una
curva como base para calcular nuevos valores.

FÓRMULAS PARA MÍNIMOS CUADRADOS.
El problema de ajustar la mejor recta con mínimos cuadrados
a una colección de datos implica minimizar el error
total.
con respecto a los parámetros a0 y a1. Para que haya un
mínimo, debemos tener
Estas ecuaciones se simplifican en las ecuaciones normales
La solución de este sistema de ecuaciones es

Una tabla de diferencias divididas se puede utilizar para estimar
los valores de las derivadas. Recordemos que el polinomio de
interpolación de grado n que se satisface en los puntos p0, p1,
..., pn es en términos de diferencias divididas.
Si Pn(x) representa una buena aproximación de f(x), también
se podría obtener un polinomio que aproxime la derivada, f’(x),
diferenciando el polinomio Pn(x).
Derivándolo para obtener P’n(x):
Para obtener el término del error para P’n(x), se diferencia el
término del error de Pn(x)
Cuando este
término del error es diferenciado, se obtiene una suma que
tiene en uno de sus términos

lo cual es imposible de evaluar porque ε depende de x de una
manera desconocida. Sin embargo, si se toma x=xi (donde xi
es uno de los puntos tabulados), esta dificultad desaparece.
Entonces, el error de la aproximación de f’(x), cuando x = xi es
Determinar l’ (1.2) y comparar la respuesta con el resultado
exacto a partir de ( 𝑡) = (10𝑒
t
10) ∗ sen(2t)
Se pone como renglón principal el dato a buscar (1.2) y
calculamos las diferencias, con h=0.1

Verificamos la respuesta derivando la fórmula principal
*
𝑑
𝑑𝑡
= 10 ((𝑒
t
10)) ∗ (
1
10
) sen(2t) + cos(2t) ∗ 2e
t
10
Y evaluando con t=1.2 obtenemos
F’ (1.2) =-15.8665992
Concluimos que la diferencia progresiva tiene una mejor
aproximación.

Permite construir a partir de una secuencia convergente otra
secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa
frecuentemente para mejorar los resultados de métodos
numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma
mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de
una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este
proceso es especialmente utilizado para definir un método de
integración: el Método de Romberg.
Para una función variable en x, la primera derivada está
definida por:
Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia
adelante, de forma que:
Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto en orden
de hacer un análisis del error, expandimos en forma de serie
de Taylor:
Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene
que:

FÓRMULAS DE NEWTONS-COTES:
Son 3 las fórmulas más importantes de Newton-Cotes, las
cuales se obtienen de integrar el polinomio de diferencias de
Newton (obsérvese que dx = hds).
Para n = 1
con un término del error

REGLA DEL TRAPECIO:
La primera de las fórmulas de Newton-Cotes está basada en
aproximar f(x) sobre (x0, x1) mediante una línea recta, de ahí
el nombre de “regla del trapecio”. La cual ya fue obtenida
mediante la integración de P1(xs); sin embargo, también puede
considerarse como una adaptación de la definición de la
integral definida como una suma. Al evaluar ∫ b a f (x)dx,
subdividiendo el intervalo de a a b en n subintervalos.
Sea h la constante ∆x. Dado que el área de un trapecio es el
promedio de la altura y las bases, para cada subintervalo se
tiene:
y para [a, b] subdividiendo en n intervalos de tamaño h
Con Newton – Cotes se vio que el error de la regla del trapecio
es

REGLAS DE SIMPSON:
La fórmula compuesta Newton-Cotes basada en un polinomio
cuadrático, es conocida como la regla de Simpson 1/3, y la que
está basada en un polinomio cúbico, se conoce como la regla
de Simpson 3/8, estos nombres de deben a los coeficientes de
las fórmulas.
REGLA DE SIMPSON 1/3:
La fórmula de 2º grado de Newton – Cotes integra un polinomio
cuadrático sobre dos intervalos del mismo ancho (a estos
intervalos se les suele llamar paneles). A continuación, se
construirá la regla compuesta de la ecuación.
la cual tiene el error local de O(h 5 ):
La fórmula compuesta que se aplica a una subdivisión del
intervalo de integración en n paneles (con n par) es:
con un término del error de:

Regla de Simpson 3/8:
La regla compuesta basada en un polinomio de 4 puntos o
cúbico se conoce como Simpson 3/8. Iniciando con la ecuación:
Se aplica a un conjunto de subintervalos, cuyo valor para n es
múltiplo de 3:
con un término del error:
Se aplica igual que la regla de Simpson 1/3. Si la función es
conocida se divide el intervalo de integración en n paneles
donde n debe ser divisible entre 3.
El cuerpo de revolución que se muestra en la figura se
obtiene de girar la curva dada por:
𝑌 = 1 + (
x
2
)
2
; 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
Entorno al eje x.

Calcular el volumen
*𝑓( 𝑥) = 𝑝𝑖 (1 + (
𝑥
2
)
2
)
2
; 0 ≤ x ≤ 2
Buscamos un número de subintervalos que soporte los 3
métodos, en este caso k=13, e intervalos=k-1, es decir, doce
secciones particionado todo estará.
Evaluando, la integral exacta es igual a 11.72861257
Como podemos observar es el método de Simpson 1/3 que
nos dio la aproximación más exacta al volumen de este sólido
de revolución.

En la integración de Romberg se utiliza la regla compuesta del
trapecio para obtener aproximaciones preliminares, y luego el
proceso de extrapolación de Richardson para mejorar las
aproximaciones. Como se sabe, las aproximaciones de la
integral mejoran su precisión conforme aumenta el número de
subintervalos por lo que se sigue un proceso secuencial de
tomar n subintervalos, luego n/2, luego n/8 y así hasta alcanzar
la precisión deseada.
El método se define de forma recursiva así:
La fórmula se generaliza para una sucesión de tamaños de paso
introduciendo: k el renglón y j la columna, j = 1 son las
estimaciones por la regla del trapecio con tamaño de paso hk,
con hk + 1 = hk/2. Entonces la fórmula anterior queda como

Ahora, para cada k = 2, 3, …, n, y aplicando la extrapolación
de Richardson a estos valores, continuando esta notación y j
= 2, … , k, una fórmula de aproximación O(hk 2j ) queda
definida como
Los resultados se muestran en la siguiente tabla

Trabajos citados
Ramírez, T. C. (7 de Enero de 2016-2017). Gauss Acatlán.
Obtenido de
http://gauss.acatlan.unam.mx/course/view.php?id=21

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