Este documento describe diferentes tipos de indeterminaciones que surgen al calcular límites, como 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞. Explica cómo resolver cada una de estas indeterminaciones mediante operaciones como factorizar, dividir por el mayor exponente, o multiplicar y dividir por el conjugado. También introduce el número e y cómo puede usarse para resolver la indeterminación 1∞ al calcular límites de funciones exponenciales cuando x tiende a infinito.

1. INDETERMINACIONES
Tipos de indeterminaciones.-
Al estudiar los limites en R (R ampliada) había casos en los que no era posible saber cual era el
limite de la suma, producto, cociente, etc.
Estos casos son:
* ∞ - ∞,
*0*∞
*0/0
*∞/∞
* 1∞ , 00, ∞0 (Las dos ultimas se estudiaran en cursos superiores mediante la regla de L`Hopital).
Estas formas se llaman indeterminaciones.
Pn ( x) a n x n + a n −1 x n −1 + .... + a 0  0 
* Forma 0/0: Si lim f(x) = lim = lim m −1
=   el teorema del resto
x → a Q ( x) x →a b x m + b + .... + b0  0 
m −1 x
x →a
m m
nos asegura que por anularse para x=a, ambos polinomios son divisibles por (x-a). Simplificando
desaparece la indeterminación.
Si esta indeterminación aparece cuando x tiende a ∞ la resolución es trivial.
* Forma ∞ / ∞ :
(Nota . Es ya sabido que el limite de las funciones de la forma (k/xn) es 0).
La indeterminación de la forma ∞ / ∞ procede del cociente de dos polinomios cuando x tiende a ∞.
"La indeterminación se elimina dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x que
aparezca en el numerador o en el denominador."
REGLA PRACTICA
 ∞ si n > m

Pn ( x) a n x n + a n− 1 x n− 1 + .... + a 0  a n
lim f(x) = lim = lim =  si n = m
x → ∞ Q ( x) x → ∞ b x m + b x m − 1 + .... + b
0  bm
x→ ∞
m m m− 1
 0 si n < m
Nota: La misma regla sirve para exponente fraccionario, es decir, para el caso de tener raíces.
Si esta indeterminación aparece cuando x tiende a un numero real “a” la resolución es trivial.
LIMITE DE FUNCIONES IRRACIONALES
* Forma 0/0: Suele desaparecer la indeterminación, multiplicando numerador y denominador por el
conjugado del que tenga la raíz.

2. * Forma ∞ / ∞: Para resolver la indeterminación basta observar los grados “reales” de las
expresiones polinomicas y no polinomicas del numerador y el denominador. Una vez observado
aplicar el mismo resultado de la forma ∞ / ∞.
* Forma ∞ - ∞
La forma indeterminada ∞ - ∞ procede del limite de una suma de funciones en las que una de
ellas tiene por limite +∞ y otra -∞ . El caso es trivial a menos que una de ellas sea irracional.
"La indeterminación se elimina multiplicando y dividiendo el binomio por el binomio conjugado
de la diferencia dada."
* Forma 0 ⋅ ∞
Estos limites se transforman en 0/0 ó ∞ / ∞ mediante operaciones sencillas, al menos en los casos
que estudiaremos en el presente curso.
* El numero "e". Forma 1∞
Como ya se vio en el álgebra de limites el limite lim
x →a
[ f(x)] g ( x ) L
= L1 2 . Sin embargo hay ocasiones
en que esta potencia no tiene ningún sentido: 1 ∞ , 00, ∞0. Se trata, pues, de casos de
indeterminación, que se resuelven con ayuda del llamado “numero e”.
El numero irracional "e" aparece en matemáticas cuando se calcula el limite cuando x tiende a ∞ de la
x
 1
función f ( x) = 1 + 
 x
Utilidad
- Permite resolver la indeterminación del tipo 1∞.
- Como base de un sistema de logaritmos (ya estudiado).
x
 1
Calculo aproximado e = x →∞ 1 +  = 2,71828182845……..
lim
 x
x 1 2 3 4 1000 10.000 100.000 1.000.000
x
 1
1 +  2 2,25 2.370337 2.441406 2.716924 2.718146 2.718255 2.7182805
 x
0
Otras expresiones del numero "e"
1.- lim (1+1/x)x+p = e p=cte
2.- lim (1+1/x)xp = ep p=cte
3.- lim (1+p/x)x = ep p=cte
Limites del tipo "e"
Teorema 1: Sea f una función tal que lim f(x) = ∞ con a∈R o a=±∞, entonces se tiene que
x→ a
f ( x)
 1 
lim 1 +
  = e.
x→ a
 f ( x) 


3. Teorema 2: Sean f y g dos funciones tales que lim f(x) =1 y lim g(x) = ∞ (a cualquiera)
x→ a x→ a
entonces
lim [f(x)]
g ( x) l im ( f ( x ) − )⋅g ( x )
1
=e x→a
x→a