1. Investigación Operativa Lic. Soria, Analía Celina
4º año de Ingeniería Industrial
Programación Lineal (PL)
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden
resolver la siguiente situación.
El objetivo es Optimizar, una función objetivo, lo cual implica maximizar o minimizar
una función lineal de varias variables sujeta a: una serie de restricciones ó limitaciones,
expresadas por inecuaciones ó ecuaciones lineales.
Se aplica a problemas de economía, administración, militares, agrícolas, alimenticios,de
transporte, de salud, etc., que están relacionados con la optimización, maximización ó
minimización de una función objetivo sujeta a un sistema de igualdades o
desigualdades. Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones
objetivos.
Como se mencionó anteriormente la Función Objetivo se encuentra sujeta a un conjunto
de restricciones ó limitaciones como puede ser limitaciones al uso de un recurso, como
ejemplo podemos citar limitaciones a materia prima ó materiales, horas de trabajo,
mano de obra, dinero disponible, etc. Este tipo de problemas se los conoce como
problemas de decisión que a la vez se pueden expresar en forma matemática, aquellos
problemas donde la función objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o
desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal.
La programación lineal ofrece bases para desarrollar otros métodos de solución ó
técnicas de Investigación Operativa como programación entera, estocástica y la no
lineal.
Un problema es lineal porque su función objetivo y restricciones que se imponen al
sistema son lineales, quiere decir que cumplen con las propiedades de
Proporcionalidad y Aditividad.
Proporcionalidad: El valor de cada variable, X1, X2……..Xn debe ser directamente
proporcional en la función objetivo y uso de los recursos, o sea que las variaciones de
las variables deben afectar en forma proporcional a la función objetivo y al conjunto de
restricciones.
Aditividad: Requiere que la función objetivo sea la suma directa de las contribuciones
de cada variable y las restricciones deben ser la suma de los usos individuales de cada
variable del recurso correspondiente. Como ejemplo podemos mencionar dos productos
que compiten en el mercado, si el aumento en la venta de uno de ellos hace que la venta
del otro sea menor, entonces ambos productos no satisfacen la condición de aditividad.
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Solución gráfica de problemas de PL
El análisis gráfico es eficiente para enfrentar la resolución de modelos de Programación
Lineal con 2 variables, donde el dominio de puntos factibles (en caso de existir) se
encontrará en el primer cuadrante (restricciones de no negatividad que se imponen al
modelo), como producto de la intersección de las distintas restricciones del problema
lineal. Para modelos con 3 ó más variables la solución gráfica es imposible de aplicar,
por lo cual resolvemos los mismos mediante cálculos analíticos.
Una de las propiedades básicas de un modelo de Programación Lineal que admite
solución, es que ésta se encontrará en el vértice o frontera (tramo) del dominio de
puntos factibles, a este espacio factible de soluciones se lo llama polígono de
soluciones, todos los puntos dentro de éste espacio gráfico, y sobre las líneas
exteriores que lo forman son puntos factibles de solución, la solución óptima se
encontrará en un punto extremo del polígono. Es decir, luego de graficar el dominio
ó polígono, evaluamos los distintos vértices de modo de elegir "el mejor" candidato
según sea nuestro caso (el valor de la función objetivo será la que nos permitirá
discriminar cual es el mejor candidato dependiendo si estamos maximizando o
minimizando).
Ejemplo:
Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de
acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%.
Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo
60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor
que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para
obtener el máximo interés anual?
Para construir el modelo matemático de este problema debemos:
1º Determinar que resultado buscamos, ¿Cuáles son las variables del problema?
2º ¿Qué restricciones ó limitaciones se imponen a las variables y a la función objetivo?
3º ¿Cuál es el objetivo que debe alcanzarse para determinar la Solución óptima, de entre
todos los valores factibles de las variables?
Hacemos un resumen verbal del problema, en este caso debemos determinar cuánto
invertir en acciones de tipo A y en acciones de tipo B para maximizar el interés anual,
satisfaciendo las restricciones que se imponen en cuanto a la disponibilidad de dinero e
inversión máxima y mínima para cada acción.
1º Identificar las variables: Como necesitamos determinar las cantidades a invertir
para cada acción que cotiza en la bolsa.
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A
Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B
2º Determinamos todas las restricciones que se imponen al sistema:
Existe una restricción en cuanto al dinero total a invertir en ambas acciones.
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Una restricción de inversión máxima en acciones de tipo A.
Una restricción de inversión mínima en acciones de tipo B.
Una restricción que impone que lo invertido en A debe ser menor al doble de lo
invertido en B.
Debemos considerar en todos los casos las restricciones de no negatividad.
Restricciones:
1º x + y <=210000,00
2º x <=130000
3º y >=60000
4º x <=2y
5º x,y >=0
3º Determinación de la Función Objetivo
Como dato contamos con el rendimiento de la inversión para cada acción, por lo tanto la
función objetivo será la maximización total del rendimiento de lo invertido.
Si llamamos Z a la maximización total del rendimiento
f(Z) se define como
Max Z = 0,10 x + 0,08 y
Los valores de las variable x e y constituyen soluciones factibles, se respetan todas la
restricciones que se imponen al modelo.
Definimos el modelo matemático completo como:
Max Z = 0,10 x + 0,08 y
s.a.: (sujeto a: un conjunto de restricciones)
1º x + y <=210000,00
2º x <=130000
3º y >=60000
4º x <=2y
5º x e y >=0
Un vez que construimos el modelo debemos solucionarlo, como se trata de un modelo
con 2 variables la solución se puede encontrar en forma gráfica.
Graficamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región
factible o polígono de soluciones (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones).
Para graficar las rectas convertimos las desigualdades en igualdades y damos valor cero
a una de las variables, obteniendo el valor de la otra, tomamos como ejemplo la
restricción 1º:
1º x + y =210000,00 Si x=0 y=210000,00 Si y=0 x=210000,00
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Para determinar el polígono de soluciones debemos identificar el área que abarca cada
desigualdad siguiendo el sentido de la misma, ya que el polígono está formado por el
área común a todas las restricciones, para esto analizamos un punto en el gráfico y
determinamos si cumple con la desigualdad, según se detalla:
1º x + y <=210000,00 podemos analizar el punto x=0,y=0 (origen) entonces si
reemplazamos en la desigualdad 0 + 0 <=210000, cumple con la desigualdad por lo
tanto el área que abarca la misma incorpora al origen (punto analizado).
Cuando la recta asociada a la desigualdad pasa por el origen como se observa en la
restricción 4º
4º x <=2y analizamos un punto distinto al origen como puede ser x=40 (en miles),
y=0 entonces si reemplazamos en la desigualdad 40 <=0, en este caso no cumple con la
misma y por lo tanto abarca el área contraria al punto analizado.
Nota: La representación gráfica se realiza en programa Tora. Considere que los valores tanto en la
ordenada como en la abscisa deben tomarse en miles de unidades monetarias.
Si dibujamos la curva de la función Z dando un valor arbitrario a la misma (en azul) y la
desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice más alejado es el punto D
(130000, 80000), y por tanto es la solución óptima, porque estamos maximizando la
función Z, en este punto Z = 19400,00; llega a su máximo valor. Este resultado se puede
verificar en forma analítica resolviendo las intersecciones de los puntos A, B, C, D y E
que son los puntos extremos del polígono de soluciones.
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Punto A: Definido por la ecuación 3 y la ordenada (y)
3º y =60000 x= 0 Z= 4.800,00
Punto B: Definido por las ecuaciones 3 y 4.
3º y =60000
4º x =2y x=120000 y=60000 Z= 16.800,00
Punto C: Definido por las ecuaciones 2 y 4.
2º x =130000
4º x =2y x=130000 y=65000 Z= 18.200,00
Punto D: Definido por las ecuaciones 1 y 2.
1º x + y =210000,00
2º x =130000 x=130000 y= 80000 Z= 19.400,00 Solución óptima.
Punto E: Definido por la ecuación 1 y la ordenada (y).
1º x + y =210000,00 x=0 y=210000 Z= 16.800,00
Respuesta: El problema pide
¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
La distribución de la inversión debe ser de 130000,00 euros en acciones de tipo A y
80000 en acciones de tipo B, el máximo interés corresponde a Z=16800,00 euros.
Cuando la función objetivo es la Minimización la curva de Z se desplaza en este
sentido, el punto óptimo será el vértice del polígono ó espacio no acotado más cercano
al origen, como se observa en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Min Z= 8X + 6Y
s.a.:
1º 2X + Y >= 10
2º 2X + 2Y >= 16
X e Y>= 0 Para resolver el problema graficamos el dominio de puntos factibles
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El área punteada representa el dominio de puntos factibles del problema. Se destaca
que este ejemplo corresponde a un dominio no acotado, lo que no implica que el
problema no tenga solución.
Por otra parte sabemos que el óptimo de un problema lineal se encuentra en un vértice o
frontera del dominio de puntos factibles. En este caso tenemos 3 vértices candidatos al
óptimo los Puntos son A,B y C. En el punto B (2,6), Z llega a su valor mínimo.
Punto A: Definido por la ecuación 1 y la ordenada (Y).
1º 2X + Y = 10 X=0 Y= 10 Z= 60,00
Punto B: Definido por las ecuaciones 1 y 2.
1º 2X + Y = 10
2º 2X + 2Y = 16 X=2 Y=6 Z= 52,00 Solución óptima.
Punto C: Definido por la ecuación 2 y la abscisa (X).
2º 2X + 2Y = 16 X=8 Y=0 Z= 64,00
Bibliografía:
o Investigación de Operaciones - Autor: Handy A. Taha.
o Investigación de Operaciones Aplicaciones y Algoritmos – Wayne L. Winston.
o Apuntes del docente.
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