Este documento explica la programación lineal, incluyendo su definición, historia, proceso de 5 pasos (tablas, restricciones, función objetivo, representación gráfica, interpretación), y un ejemplo de campo que aplica estos conceptos. El ejemplo analiza los datos de una empresa para determinar la mejor distribución de ventas de dos ofertas de productos sobrantes para maximizar las ganancias.

1. <br /> Colegio América<br />Programación Lineal<br />Integrantes:<br />Rodrigo Brocq<br />Victor Bosleman<br />Antonella Fabiani<br />Nae Matsuda<br />Diego Talledo<br />Piero Vinelli<br />Curso: Matemática 5ºB<br />Profesor: Luis Dávila <br /> <br />Índice<br />1- Programación lineal<br /> 1.1 ¿Qué es la programación lineal?<br /> 1.2 ¿Cómo surgió?<br /> 1.3 Tablas<br /> 1.4 Restricciones<br /> 1.5 Función de objetivos<br /> 1.6 Representación gráfica del problema<br /> 1.7 Interpretación del la funcion de objetivo<br />2. Experiencia de Campo: Análisis del resultados<br /> 2.1 Problema<br /> 2.2 Tabla<br /> 2.3 Restricciones<br /> 2.4 Función objetivo<br /> 2.5 Representación gráfica<br /> 2.6 Interpretación de la función objetivo<br />3. Conclusión <br />Programación Lineal<br />¿Qué es la programación lineal?<br />La programación lineal es un procedimiento Matemático en el cual se resuelve un problema planteado por medio de ecuaciones o inecuaciones lineales. Esta técnica forma parte de un conjunto de técnicas de análisis y resolución de problemas, el cual busca dar solución a un conjunto de variables. <br />¿Cómo surgió?<br />La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. Tras la guerra, este modelo matemático es tomado como ejemplo para las planificaciones de producción.<br />Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975.<br />Este proceso se divide en 5 etapas:<br />Tablas<br />Esta es la primera parte para realizar un problema de programación lineal y por ello fundamental ya que es aquí donde plantearemos el problema, es decir donde organizaremos los datos necesarios para poder solucionar la interrogante.<br />Por ejemplo si dentro de un problema está planteado que en una promoción A se venden 4 pantalones y 8 polos; y en una promoción B se venden 1 pantalón y 2 polos. En el que la promoción A cuesta 100 soles y la B 50 soles.<br />Entonces…<br />La tabla sería de la siguiente manera:<br />NúmeroPantalonesPolosAx4x8xBy1y2yTotal:4x+y8x+2y<br />En la tabla realizada a cada una de las diferentes promociones se le coloca una variable distinta y a partir de ahí se trabaja con la misma variable para los productos o servicios que estén dentro de la misma promoción como es el caso de este problema.<br />Restricciones:<br />Esta parte es en la que a base da la tabla y los datos podemos identificar cuales serán las inecuaciones las cuales serán, luego trabajadas en la gráfica.<br />Tomando como ejemplo el problema anterior y añadiendo a aquella información que hay 40 pantalones y 80 polos.<br />Entonces las restricciones serían las siguientes:<br />x>=0 <br />y>=0<br />4x+y<=40: Es menor e igual porque existe una cantidad determinada de pantalones y no se pueden vender más de esa cantidad, pero si menos. <br />8x+2y<=80: Al igual que la restricción anterior hay una determinada cantidad de polos.<br />Función de objetivo:<br />En esta parte obtendremos una ecuación fundamental la cual la obtendremos del problema, la cual nos ayudará solucionar el problema. Tomando aun el ejemplo anterior para esta parte debemos centrarnos en el precio:<br />“La promoción A cuesta 100 soles y la B 50 soles”<br />Entonces debemos recordar que a la promoción A le habíamos dado la variable “x” y a la promoción B le habíamos dado la variable “y”.<br />Por lo tanto la función de objetivo será la siguiente:<br />F(x,y)= 100x+50y<br />Representación gráfica del problema<br />Acá, debemos graficar las ecuaciones que obtuvimos en las restricciones:<br />Así es como sería la gráfica, a partir de esta debemos ver cuál sería la región común y tomar los puntos de los vértices que estos toman, para ello realizaremos un zoom a la gráfica ya mostrada.<br />Interpretación de la función de objetivo<br />Acá es donde remplazamos los valores de “x” e “y” en la función de objetivo para obtener la solución del problema. Añadimos al problema anterior los siguiente: “Para obtener el máximo beneficio”, esto quiere decir que el problema es para saber cuántos de cada tipo de promoción tengo que vender para obtener la máxima ganancia. Para ellos procedemos a reemplazar.<br />F(x,y)= 100(0)+50(40)=2000<br />F(x,y)= 100(10)+50(0)=1000<br />Entonces la solución del problema sería la siguiente: Se tienen que vender 40 promociones de tipo B para obtener una máxima ganancia de 2000 soles.<br />Experiencia de campo: Análisis de resultados:<br />Para aplicar lo aprendido recurrimos a una empresa informática para obtener datos reales para así poder tener noción de lo que hemos aprendido nos servirá de mucho.<br />Problema:<br />Una empresa desea liquidar lo que quedaron de las ventas del año: 600 softwares de antivirus efectivo con garantía de un año y 1000 CDS masivos de almacenamiento en blanco. Para ello lanza dos ofertas. La oferta A consiste en un antivirus y 2 CDS de almacenamiento que desea vender a no menos de 90 soles para no generar perdidas, y la B en 3 antivirus y 8 CDS de almacenamiento a un precio mayor o igual a 280 por la misma razón. No desea ofrecer menos de 45 lotes de la oferta A ni menos de 40 de la oferta B ¿Cuantos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?<br />Tabla:<br />La oferta A consiste en un antivirus y tres CDs que vende a 90 soles<br />La oferta B consiste en tres antivirus y ocho CDs que vende a 280 soles<br />Restricciones:<br />x>=0<br />y>=0<br />x+3y<=600<br />3x+8y<=1000<br />x>=45<br />y>=40<br />Función objetivo: <br />90(x) + 280(y)<br />Representación gráfica<br />Aplicando un zoom a la región común:<br />Interpretación de la función de objetivo<br />Sustituyendo:<br />F(x,y): 90(45) + 280 (108) =34290<br />F(x,y): 90 (45) + 280 (40) = 15250<br />F(x,y): 90 (228) + 280 (40) =31520<br />Respuesta:<br />La mejor forma de distribuir las ventas de los lotes de sus ofertas de sus productos sobrantes, para maximizar sus ganancias, seria 45 lotes de la oferta A y 108 lotes de la oferta B.<br />Conclusión:<br />En conclusion la programación lineal es un método sumamente efectivo para las empresas ya que con este uno puede minimizar costos y maximizar ganancias, por medio de la optimización de los recursos que se posee.<br />