Operativa 1

Investigación Operativa I Marlon Villa Villa
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PROGRAMACIÓN LINEAL.
Es una parte de la investigación operativa que la podremos aplicar cuando el problema
que tratamos se puede traducir a expresiones matemáticas de tipo lineal y que las
limitaciones o restricciones que tenga el sistema productivo se pueda también traducir
en expresiones matemáticas de tipo lineal. Su empleo es frecuente en aplicaciones de
la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Un problema de programación lineal
tendrá la siguiente forma:
Función Objetivo: Es una expresión matemática lineal que representa el objetivo del
problema. Es la expresión que tendremos que maximizar o minimizar.
Función Objetivo:
(Max. ó Min.) Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
Ecuaciones o Inecuaciones de Restricción: Expresiones matemáticas, ecuaciones o
inecuaciones de tipo lineal que representan las limitaciones del problema.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn >= b2
a31x1 + a32x2 + … + a3nxn ≤ b3
………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones:
x1; x2; xn >= 0
Las variables no tomaran valores negativos.
Conceptos propios de la programación Lineal:
Solución Posible: Es cualquier conjunto de valores de la variable que satisface el
sistema de ecuaciones de la restricción.
Solución Posible Básica: Es aquella solución posible en la que ninguna variable toma
valores negativos.
Solución Básica Posible Degenerada: Solución básica posible en la que al menos
una variable toma el valor cero.
Solución Óptima: Es aquella solución básica posible que optimiza a la función
objetivo.
ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PL
1. FUNCIÓN OBJETIVO Consiste en optimizar el objetivo que persigue una
situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema,
la función objetivo se maximiza o se minimiza
2. VARIABLES DE DECISIÓN. Son las incógnitas del problema, La definición de
las variables es el punto clave y básicamente consiste en l0s niveles de todas
las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

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3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES. Diferentes requisitos que deben
cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones
pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de
materiales, etc.
4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en
algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos
MODELO GENERAL DE PL
OPTIMIZAR Z =
SUJETO A:
GRÁFICA DE DESIGUALDADES Y CONTORNOS
Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos
1. Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique la recta
2. Escoja un punto de ensayo
3. Evalúe el primer miembro de la expresión
4. Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad.
Existen varios métodos de solución entre los cuales tenemos el gráfico, el simplex, el
algebraico, el dual, etc.
EL MÉTODO GRÁFICO.
El método gráfico es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal,
siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más
variables, el método gráfico es imposible.
Consiste en representar geométricamente las restricciones, condiciones técnicas y
función objetivo.
Los pasos necesarios para realizar el método son:

n
j
jj xc
1


n
j
ijij mibxa
1
,......,2,1
njxj ,.......,2,10 

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1. Hallar las restricciones del problema
2. Las restricciones de no negatividad Xi ≥ 0 confían todos los valores posibles.
3. Sustituir ≥ y ≤ por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de
una línea recta.
4. Trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en
cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo define
el signo correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes y después
de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el área
correspondiente
5. El espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible
Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que satisfacen
todas las restricciones, representa un punto factible.
6. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la
asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la
cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
7. La solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta
la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, si es un problema de
minimización la solución óptima es el primer punto factible que toque la función Z, y si
por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de los puntos
factibles que toque la función Z
Hay principalmente cuatro tipos de problemas, de única solución, múltiples soluciones,
solución no acotada y no factible.
CONJUNTO CONVEXO. Un conjunto C es convexo si el segmento rectilíneo que une
cualquier par de puntos de C se encuentra totalmente en C

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CONJUNTO CONVEXO CONJUNTO NO CONVEXO
EJEMPLO DEL MÉTODO GRÁFICO
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de
empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones
pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas
de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40
horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls.
Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de
revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales
disponibles es de 60.
OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.
VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).
Cantidad de liquidaciones (X2).
RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo
Tiempo disponible de revisión
Número máximo de liquidaciones.
Maximizar
Sujeto a:

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La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de
soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que
representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

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VARIABLES DE HOLGURA Y VARIABLES DE EXCEDENTE
Variable de holgura.
Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menor o igual que" para
convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede
interpretarse como la cantidad de recurso no usado.
6X + 3Y ≤ 12 6X+3Y+h=24
Variable de Excedente.
Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para
convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable
puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido.
2X + 3Y ≥14 2X+3Y-h =14
Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de NO NEGATIVIDAD
RESTRICCIÓN ACTIVA.
Dada una solución factible, una restricción es activa si al sustituir el valor de las
variables se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o
excedente, según sea el caso es CERO
RESTRICCIÓN INACTIVA.
Dada una solución factible, una restricción es inactiva si al sustituir el valor de las
variables no se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o
excedente, según sea el caso es DIFERENTE A CERO
PROBLEMAS NO ACOTADOS
Hay que distinguir el término “problema no acotado” con el término “conjunto
factible no acotado”, éste último se refiere a una región factible en la que al
menos una de las variables de decisión puede asumir valores indefinidamente
grandes. Si un programa lineal es no acotado, el conjunto factible también debe
ser no acotado. Sin embargo, es posible tener un conjunto factible no acotado
sin que el problema sea no acotado
Max z= 5000A + 4000B
S.A. A+B >=5
A-3B<=0

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30 A+10B>=135
A , B >=0
Planteamiento del problema
Cuando la región factible no está acotada la única solución que podemos obtener es un mínimo.
- Construimos una tabla conlos datos del enunciado
Región factible no acotada
Mayorista A Mayorista B Disponible
Naranjas 8 2 16
Plátanos 1 1 5
Manzanas 2 7 20
Distancia 150 300
- Expresamos conecuaciones einecuaciones lineales la informacióndescrita

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- Representamos las restricciones y calculamos los puntos de la región factible

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PROBLEMAS NO FACTIBLES.
Son problemas que tiene un conjunto factible vacío: es decir no existe combinación de
valores para las variables de decisión que satisfaga simultáneamente todas las
restricciones

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PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL METODO GRAFICO
Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de
acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%.
Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000
en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el
doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para
obtener el máximo interés anual?
Solución
Es un problema de programación lineal.
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A
Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B
inversión rendimiento
Tipo A x 0,1x
Tipo B y 0,08y
210000 0,1x+0,08y
Condiciones que deben cumplirse (restricciones):
R1
R2
R3
R4
Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región
factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)
r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4

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x y X y x y x y
0 210000 130000 0 0 60000 0 0
210000 0 130000 65000
La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E
A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)
La función objetivo es;
F(x, y)= 0,1x+0,08y
Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar
gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.

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Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función
objetivo, F, se alcanza en el vértice D)
2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa
necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250
Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de
bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer
diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de
maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas
y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?
Solución
En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:
Tipo Nº Bizcocho Relleno Beneficio
T. Vienesa x 1.x 0,250x 250x
T. Real y 1.y 0,500y 400y
150 50
Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y
Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):
Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:
Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200
x Y
0 100
200 0
Para x + y =150
x Y

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0 150
150 0
La otras dos son paralelas a los ejes
Al eje OY x=125
Al eje Ox y =125
Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones
deben estar en el primer cuadrante
La región factible la hemos coloreado de amarillo:
Encontremos los vértices:
El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las
intersecciones con los ejes coordenados)
Se observa que la restricción y es redundante (es decir “sobra”)
Resolviendo el sistema:
, por reducción obtenemos y=50, x=100

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Otro vértice es el punto C(100, 50)
Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:
X+y=150
X=125
Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)
Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),
Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y
Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200
x Y
0 0
200 -125

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Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas
alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )
Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si
existe solución única debe hallarse en uno de los vértices
La unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos
f(125,0)=31.250
f(125,25)=31.250+10.000=41.250
f(100,50)=25.000+20.000=45.000
f(0,100)=40.000
El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50)
Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.
3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte
tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9
conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60
euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo
mas económica posible para la escuela.
Solución
Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer
mínima la función objetivo.
Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que
alquila la escuela.
Entonces se tiene x , y
Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y
Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:
40x +50y , que simplificada quedaría 4 x +5y

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Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible
(conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son
La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y
Dibujamos las rectas auxiliares,
r1 r2 r3 r4
x y X y x y x y
8 0 0 10 0 9 0 8
0 9 10 0
Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.
Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la
parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.

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Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las
rectas r3 y r4
por reducción
restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4
Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La
solución óptima .
Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor
valor (método analítico).
4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de
alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada
día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80
toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja
calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina
¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.
Solución
Organizamos los datos en una tabla:
días Alta
calidad
Calidad media Baja calidad Coste diario
Mina A x 1x 3x 5x 2000x
Mina B y 2y 2y 2y 2000y
80 160 200
La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y
Las restricciones son:

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La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x +
2y= 160 y r3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada
que determina el sistema de restricciones:
Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran
al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estén
dentro de la región factible).
r1 r2 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)
r2 r3 que nos da el punto (20, 50)
r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible.
En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x,
y)=0 es el (40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B.
(método gráfico)
Lo comprobamos aplicando el método analítico:

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C(0, 100)=2000.100=200000
C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000
C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mínimo
C(80, 0)= 2000.80 =160000
5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar
electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor
o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no
supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20
mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y
200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para
obtener el máximo beneficio y cual es este?
Sea x = nº electricistas
y = nº mecánicos
La función objetivo
f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones

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La región factible sería para estas restricciones:
Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20).
Por tanto:
20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que
f(x, y) =250.20+200.20=9000
6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo
sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a
cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40
euros.
El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como
máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten.
Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean
máximas.
Solución
Sea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P.
nº Ganancia
Turista x 30x
Primera y 40y

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Total 5000 30x +40y
La función objetivo es:
f(x, y)=30x +40y
Las restricciones:
La región factible:
Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el
punto B resolviendo el sistema correspondiente)
El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250)

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Comprueba los resultados usando el método analítico (sustituyendo los puntos vértices
en f y viendo q el máximo valor se obtiene en B)
EJEMPLO 1:
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de
empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones
pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas
de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40
horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls.
Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de
revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales
disponibles es de 60.
OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.
VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).
Cantidad de liquidaciones (X2).

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RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo
Tiempo disponible de revisión
Número máximo de liquidaciones.
Maximizar
Sujeto a:
La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de
soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que
representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

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EJEMPLO 2.
Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia
de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2
medios de difusión: La televisión y el periódico.
Los estudios de mercado han mostrado que:
1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las
familias de ingresos medios por comercial.
2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de
las familias de ingresos medios por anuncio.
La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por
T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una
presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las
familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.

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OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad.
VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1).
Anuncios para las familias de ingreso medio (X2).
RESTRICCIONES : Porcentaje de presentación.
Minimizar
Sujeto a:
SOLUCION OPTIMA:

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EJEMPLO 3.
Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una
combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene
80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne
de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué
cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para
hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor
de 25 %?
Minimizar
Sujeto a:

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SOLUCION OPTIMA:
NOTA: Una desigualdad define un medio plano y una igualdad define una línea.
Holgura Es todo recurso no utilizado, o capacidad no utilizada producto de una
restricción de tipo ≤
Excedente Es todo exceso o supera a un producto de una restricción de tipo ≥
Cuando una de las variables de holgura o excedente tiene un valor mayor a cero (0.0)
indica que la restricción a la cual está asociada es una restricción inactiva. Y cuando
ese valor de la variable de holgura o excedente es cero (0.0), es porque la restricción a
la cual están asociadas es una restricción activa. Dicho en otra forma, Una restricción
será
Activa, si al sustituir los valores de las variables de la solución óptima en dicha
restricción, el valor resultante en su miembro izquierdo es igual al valor del miembro
derecho (RHS). Un caso especial es el de la restricción de igualdad, donde este tipo de
restricción siempre es activa. Si una restricción no es activa, se dice que es inactiva.
Esto es cuando al sustituir los valores de las variables de la solución óptima en la

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restricción en cuestión, el valor resultante del lado izquierdo (de la restricción) no
coincide con el valor del lado derecho de la restricción.
EL PROBLEMA DUAL
En un modelo de programación lineal cada problema lineal tiene otro problema
denominado problema dual (PD), que posee importantes propiedades y relaciones
notables con respecto al
Problema lineal original, llamado problema primal (PP)
.
Las relaciones las podemos enumerar como siguen:
a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal.
b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primal
c) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos
independientes de las restricciones o RHS del programa primal

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d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los coeficientes
de la función objetivo del problema primal.
e) La matriz de coeficientes técnicos del problema duales la traspuesta de la matriz
técnica del problema primal.
f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de
las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las
variables del problema
Primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. ( Ver tabla de TUCKER)
g) Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un
problema de
Minimización
h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original.
Tabla de TUCKER
MAXIMIZACION
RESTRICCIONES
≤
≥
=
VARIABLES
≥
≤
> <
MINIMIZACIÓN
VARIABLES
≥
≥
> <
RESTRICCIONES
≥
≤
=
Los problemas duales simétricos son los que se obtienen de un problema primal en
forma canónica y ‘normalizada’, es decir, cuando llevan asociadas desigualdades de la
forma mayor o igual en los problemas de minimización, y desigualdades menores o
igual para los problemas de maximización.
CONCLUSIÓN
1.- Si una restricción del primal es no saturada, entonces la variable de dual asociada
debe ser nula.
2.- Si una variable de primal es positiva, entonces la correspondiente restricción del
dual es una restricción saturada, es decir, se verifica como una igualdad.

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EL MÉTODO SIMPLEX
El Método Simplex es un procedimiento de cálculo algebráico, iterativo, para resolver
Modelos Lineales de cualquier tamaño. El algoritmo Simplex requiere que el Modelo
Lineal, para ser solucionado, cumpla las condiciones de Forma Estándar y Sistema
Canónico.
La Forma Estándar incluye:
a) una Función Objetivo a optimizar
b) lado derecho de las restricciones con valor positivo
c) variables de decisión no negativas
d) las restricciones deben ser expresadas como igualdades.
Para transformar las restricciones en igualdades se deben incorporar las llamadas
variables de holgura. Una variable de holgura tiene coeficiente cero en la Función
Objetivo. Se suman en restricciones del Tipo ≤ y se restan en restricciones del Tipo ≥
En términos matemáticos, expresan la diferencia entre el lado izquierdo y el lado
derecho de las restricciones. Al igual que las variables de decisión deben ser mayores
o iguales a cero.
En términos del modelo representan la cantidad de recurso no utilizado con relación a
un máximo disponible (Parte ociosa de los recursos). Cuando la restricción es de una
condición o requerimiento, representan la cantidad de esa condición o requerimiento
que se obtiene por encima de un mínimo o que se deja de tener con relación a un
máximo.
El Sistema Canónico en un Modelo Lineal significa que debe existir una variable
básica en cada restricción. Esto permite obtener una primera solución posible que
satisface todas las restricciones.
Una variable básica tiene coeficiente 1 positivo en una restricción y no existe en las
demás.
Las variables de decisión (estructurales) del modelo y las variables de holgura pueden
ser
variables básicas. Cuando ninguna de ellas cumple con la condición de ser básica, se
incorpora una variable como artificio matemático, para cumplir con el sistema canónico
y a esa variable se le llama variable artificial. Una variable artificial debe tener
incorporado un coeficiente muy alto en la Función Objetivo, con signo negativo en
maximización y con signo positivo en minimización. Con esto se logra que el
procedimiento Simplex las elimine de la solución en las primeras iteraciones. Estas
variables deben valer cero en la solución óptima del modelo.
Una Tabla Simplex es un resumen detallado de toda la información del modelo para
trabajar más fácilmente con él. La siguiente tabla expresa cómo deben ser recogidos
los datos para resolver el problema de programación líneal por el Método Simplex.
Modelo de Tabla Simplex
Itereración
V.B. Ec. # Coeficientes L.D. Razón

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PROCEDIMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE POR EL
MÉTODO SIMPLEX.
FASE I: Preparar el modelo inicial para construir la tabla:
1) Transformar los términos independientes en positivos (multiplicando por -1).
2) Si en alguna restricción, hay un solo proceso que está contenida en ella sola, lo
convertiremos en unitario (dividiendo por su coeficiente) y si no lo hago meteré una
variable de holgura.
3) En las inecuaciones en las que encontramos ≤ introducimos una variable de holgura
sumando.
4) En las inecuaciones en las que encontramos ≥ introducimos una variable de holgura
restando y además una variable artificial sumando para que en dicha restricción haya
un proceso unitario positivo.
5) En las igualdades se introduce una variable artificial sumando si en la misma no
existe una variable unitaria positiva.
6) En toda restricción debe haber una variable unitaria positiva.
7) Las variables de holgura, a la hora de introducirlas en la función objetivo lo haremos
siempre con coeficiente cero, y las variables artificiales se introducen con el coeficiente
–m si estamos
maximizando 0 m si estamos minimizando.
8) Igualar a cero la función objetivo
FASE II: Construir la tabla y resolver el algoritmo.
Paso 1: Construir la tabla del método Simplex y rellenamos la tabla con los
coeficientes. Comprobamos que las variables básicas tienen un coeficiente de 1 en la
intersección de su renglón y columna correspondiente y cero en los demás renglones
incluido la función objetivo. Si no es así (como en el caso de la existencia de variables
artificiales, eliminamos el coeficiente m del renglón 0 utilizando como pivote la ecuación
que incorpora la variable artificial)
Paso 2: La S.B.F. es óptima, si y sólo si todos los coeficientes del renglón (0) son no
negativos. De lo contrario se debe iterar. En
Paso 3: Si comprobamos que hay coeficientes negativos en el renglón (0), marcamos el
mayor en valor absoluto y esta será la variable no básica que entra a la base. Para
determinar la variable básica que sale de la base, marcamos la columna debajo del
coeficiente de la variable
que entra y se le da el nombre columna pivote.
Aplicamos la prueba del cociente mínimo para determinar cuál es la variable básica que
sale.
a) Elegimos los coeficientes de la columna pivote positivos
b) Se divide cada coeficiente del lado derecho entre los coeficientes de la columna
pivote
c) Se identifica el renglón con la menor razón
La variable básica para este renglón es la que sale y se le da el nombre de renglón
pivote. La intersección entre la columna pivote y el renglón pivote lo denominamos
número pivote. El patrón de coeficientes en la columna de la variable que entra en la

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base, debe quedar como actualmente está el patrón de coeficientes de la variable que
sale.
Paso 4: Calculamos los nuevos coeficientes de la matriz:
a) Coeficientes del renglón de la variable que entra: Dividimos el renglón pivote
entre el número pivote y el resultado serán los coeficientes del nuevo renglón de
la variable que entra.
b) Coeficientes de los demás renglones : Dividimos el nuevo renglón de la variable
que entra por menos el coeficiente del de la variable que entra en el renglón que
estamos calculando y al resultado, le sumamos el renglón que teníamos
inicialmente
Paso 5: Construimos la tabla con los resultados.
Paso 6: En la nueva matriz, comprobamos los coeficientes del renglón cero, si todavía
existen coeficientes negativos, se sigue iterando, de lo contrario hemos terminado y
hallamos la solución óptima.
Ejercicio Minimizacion
Minimizar Z = 4X1 + 12X2 + 18X3
SA:
X1 + 3X3 > 3
2X2 + 2X3 > 5
CNN:
X1, X2, X3 > 0
PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MINIMIZACION, multiplique toda la expresión por
(-1) para cambiar el signo "MAYOR QUE" a "MENOR QUE".

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Maximizar Z = -4X1 - 12X2 - 18X3
SA:
-X1 - 3X3 < -3
-2X2 - 2X3 < -5
SE PROCEDE A RESOLVERLO DE LA SIGUIENTE FORMA
1. HACER CERO LA FUNCION "Z"
2. SELECCIONAR LA FILA "SOL" MAS NEGATIVA
3. DIVIDIR LA FILA"Z" ENTRE LA FILA MAS NEGATIVA PARA DETERMINAR LA
COLUMNA MAS NEGATIVA

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