Ejercicios detallados del obj 11 mat i (176) Universidad Nacianal Abierta

1. Capitulo I
Matemática I (176)
Objetivo 11. Efectuar problemas donde estén involucrados o en los que
se apliquen conceptos concernientes a las funciones a Trozos, Cuadráticas,
Logarítmicas y Exponenciales.
Ejercicio 1
La distribución del ingreso de una determinada población, sigue la ley de
Pareto de la forma:
12
5
3
15 10
y
x
×
=
donde, [ ]300000,2000000x∈ .
Indica el número de personas cuyo ingreso es superior a 300000 bolívares:
a. 11156 b. 11150 c. 11160 d. 11157.
Solución
Justificación: En este caso, como se nos pide la cantidad de personas cuyo
ingreso es superior a 300000 bolívares, podemos sustituir este valor de x,
directamente en la ley de Pareto dada, así:
12 12
5 5
3 3
15 10 15 10
300000
y
x
× ×
= =
Ahora con el uso de una calculadora científica, puedes hacer este
cálculo:
12 12
5
3
15 10 15 10
11157,2158347028
1344421423,96715
300000
y
× ×
= = ≈
Por lo tanto:
Respuesta: La opción correcta es: “d”
Ejercicio 2
Una persona compra un bien en Bs. 400000 y éste se deprecia durante los
primeros 9 años, en forma exponencial, a una velocidad promedio de Bs.
15000/año; del 9no
año en adelante la depreciación es lineal. La vida útil de

2. dicho bien es de 17 años, al final de la cual puede valorarse en Bs. 210000,
entonces:
Al calcular la función valor del bien considerado, resulta:
[ ]
( ]
0,04
400000 , 0,9
93125 6875 , 9,17
t
t
e t
V
t t
−
 ∈
= 
− ∈
Si la persona recibe una oferta de compra a realizarse dentro de 7 años, por un
monto de Bs. 200000, ¿convendrá realizar la operación?
Solución
Justificación: En este caso debemos evaluar la función de depreciación pata
7t = años, y como este valor pertenece al intervalo [ ]0,9 , para obtener el valor
requerido se utilizara la función: 0,04
400000 t
e−
, evaluando, tenemos:
( )0,04 7 0,28
7 400000 400000 302313,49658229V e e− −
= = =
Para saber si convendrá vender el bien por Bs. 200000, comparamos
este valor con el calculado para 7 años, y como 200000 302313,49658229< no
conviene evidentemente la oferta ofrecida, porque el precio a vender sería de
302313,49658229 tal como lo calculamos.
Respuesta: No conviene realizar la operación.
Ejercicio 3
Una fábrica produce dos clases distintas de dulces: A y B. Si “x” representa la
cantidad producida del dulce tipo A e “y” la correspondiente cantidad de dulces
del tipo B, la ecuación de transformación es:
10 0,4 , 0 10
45
9 , 0
25
x x
y
x a
x
− ≤ ≤

= 
+ < ≤ −
Obtén las cantidades máximas de producción de cada tipo de dulce.
Solución
Justificación: Primero obtendremos el valor del extremo a, éste valor se calcula
igualando a 0 la expresión correspondiente al intervalo al cual pertenece a, por
lo tanto:
45
9 0
25a
+ =
−
Observa que al hacer esta igualación a 0, estamos calculando x a= para
0y = , y recordando que las cantidades máximas de producción de cada tipo de

3. dulce se suceden cuando la otra variable se iguala a 0, podemos concluir que
este valor de a que corresponde al corte con el eje x, es la cantidad de dulce A
máxima producida. Entonces procedamos a despejar a:
( )
( )
9 25 4545 9 45
9 0 0 0 9 25 45 0
25 1 25 25
a
a
a a a
− +
+ = → + = → = → − + =
− − −
Es importante mencionar que este último paso efectuado proviene de
saber que cuando tenemos una fracción igualada a cero, se anula
automáticamente el numerador, es decir,
0 0
P
P
Q
= ⇒ =
Continuando con el despeje:
( )25 45 0 25 45 0 9 225 45 0 9 180 0
1
9
80
9 180 20
9
9 9a a a a
a a
− + = → − × + = → − + = → − = →
= → = =
Así tenemos que la cantidad máxima producida del dulce A es 20.
Ahora, para calcular la cantidad máxima producida del dulce B
procedemos a igualar a 0 la variable x, y como 0x = pertenece al primer
intervalo, se tiene:
( )10 0,4 10 0,4 0 10y x y y= − → = − → =
Así tenemos que la cantidad máxima producida del dulce B es 10.
Respuesta:
Cantidad máxima producida del dulce A: 20
Cantidad máxima producida del dulce B: 10
Ejercicio 4
Las unidades vendidas de un producto durante el intervalo de tiempo [ ]0,20
siguen un comportamiento que puede representarse por la función V dada a
continuación:
[ )
[ )
[ ]
2
60 , 0,8
( ) 3760 10 , 8,16
62720
, 16,20
t t
V t t t
t
t

 ∈

= + ∈

 ∈

a) Obtén la representación gráfica de la función V
b) Determina el valor máximo de dicha ecuación

4. c) ¿En qué momento las ventas alcanzan un valor de 2000 unidades?
Solución
Justificación:
a) Para hacer la representación de la función dada, procederemos a
dividir el plano en los puntos donde comienzan y terminan los
intervalos de cada una de las subfuciones, para la primera
subfunción se grafica en [ )0,8 , la segunda en [ )8,16 y la tercera
[ ]16,20 , por lo tanto, tenemos:
Ahora procederemos a graficar cada subfunción:
Para [ )2
( ) 60 , 0,8V t t t= ∈
Para graficar esta subfunción se tomaran 2 puntos, correspondientes a
los extremos del intervalo, así:
Para ( ) ( ) ( )
2
0 (0) 60 0 60 0 0 , 0,0t V t V= → = = × = → =
Para ( ) ( ) ( )
2
8 (8) 60 8 60 64 3840 , 8,3840t V t V= → = = × = → =

5. Y sabiendo que la variable t esta elevada al cuadrado, sabemos que no
es una línea recta, sino una curva, por lo tanto este segmento de gráfica sería:
Para [ )( ) 3760 10 , 8,16V t t t= + ∈
Para graficar esta subfunción se tomaran 2 puntos, correspondientes a
los extremos del intervalo, así:
Para ( ) ( ) ( )8 (8) 3760 10 8 3760 80 3840 , 8,3840t V t V= → = + = + = → =
Para ( ) ( ) ( )16 (16) 3760 10 16 3760 160 3920 , 16,3920t V t V= → = + = + = → =
Y sabiendo que la variable t esta elevada a la uno, sabemos que es una
línea recta, por lo tanto este segmento de gráfica sería:

6. Para [ ]
62720
( ) , 16,20V t t
t
= ∈
Para graficar esta subfunción se tomaran 2 puntos, correspondientes a
los extremos del intervalo, así:
Para ( ) ( )
62720
16 (16) 3920 , 16,3920
16
t V t V= → = = → =
Para ( ) ( )
62720
20 (20) 3136 , 20,3136
20
t V t V= → = = → =
Y sabiendo que la variable t está en el denominador, sabemos que no es
una línea recta, sino una curva, por lo tanto este segmento de gráfica sería:

7. Esta última gráfica, contiene la gráfica total de la función ( )V t dada.
b) El valor máximo de la función se observa claramente en la gráfica:

8. Por lo tanto el valor máximo es: max 3920imoV =
c) Finalmente vamos a calcular el momento en que se alcanzan las
2000 unidades vendidas.
Sabemos que ( ) 2000V t = , pero debemos determinar cuál subfunción
utilizar para poder despejar t, que es el momento en que se vendieron 2000
unidades.
Para determinar dicha subfunción se traza una línea horizontal para
2000V = y se observa a que parte de la gráfica corta, observa el siguiente
gráfico:

9. Fíjate que el punto de corte está en el intervalo [ )0,8 por lo tanto la
subfunción a utilizar es: 2
( ) 60V t t= , por lo tanto se tiene:
2
( ) 60 2000V t t= =
Despejando t de esta igualdad, se tiene la respuesta de la pregunta c:
2 2 2000 2000
60 2000 5,77
60 60
t t t= → = → = ≈
Respuesta:
a) La grafica de ( )V t es:

10. b) max 3920imoV =
c) Las ventas alcanzan un valor de 2000 unidades cuanto 5,77t =
Ejercicio 5
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F
si son falsos:
a. El número de individuos y, de una población dada, cuyo ingreso excede a x
unidades monetarias es: , 0, 0y
xβ
α
α β= > < , con [ ],x a b∈ ____.
b. Al igual que las personas, los productos presentan un ciclo de vida, medido
por el volumen de sus ventas en el tiempo ____.
c. La curva de transformación de productos es creciente ____.
Solución
Justificación:

11. a) Esta afirmación evidentemente es falsa, porque la condición 0β < es
FALSA, debido a que todas las constantes yα β de este modelo son
positivas, es decir, 0 y 0α β> > .
b) Si recordamos la definición del ciclo de vida de un bien, sabemos que
es igual al ciclo de vida que viven las personas, además, se puede
medir por el volumen de sus ventas en el tiempo. Por lo tanto la
afirmación dada en b es VERDADERA.
c) La grafica de transformación de productos es decreciente, por lo
tanto esta afirmación es FALSA.
Respuesta:
a) F
b) V
c) F
Ejercicio 6
La distribución del ingreso en una determinada población, sigue la ley de
Pareto de forma:
17
5
2
230 10
y
x
=
i
, [ ]10000,300000x∈ . Escribe la forma logarítmica
de esta relación.
Solución
Justificación: Para escribir la forma logarítmica de la ley de Pareto
presentada debemos aplicar y por lo tanto conocer las siguientes propiedades
de la función logaritmo:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Pr 1: ln ln ln
Pr 2: ln ln ln
Pr 3: ln lnB
A
opiedad A B
B
opiedad A B A B
opiedad A B A
 
= − 
 
= +
=
i
Aplicando logaritmo en ambos miembros de la ley de Pareto dada:
17 17
5 5
2 2
ln
230 10 2 0 1
ln
3 0
y y
x x
= → =
i i
Aplicando la propiedad 1, se tiene:
( )
5
17 2
230 10ln ln lny x
 
= −  
 
i

12. Aplicando la propiedad 2, se tiene:
( ) ( )
5
17 2
ln ln l0 n l23 10 ny x
 
= −  
 
+
Aplicando la propiedad 3, se tiene:
( ) ( ) ( )
5
230 17 1ln ln 0ln
2
lny x= −+
Respuesta: La representación logarítmica de la ley de Pareto dada es:
( ) ( ) ( )
5
230 17 1ln ln 0ln
2
lny x= −+
Ejercicio 7
En el cuadro que se le da al final de los siguientes enunciados están las
posibles respuestas que corresponden a los espacios en blanco de cada uno
de ellos, para que sean enunciados verdaderos. A continuación se le presentan
tres enunciados, los cuales debe completar con alguna (s) palabra (s) dada (s)
en la tabla:
a. Conocer las variaciones en el volumen de las ventas de un producto desde
su lanzamiento al mercado hasta su desaparición es lo que se llama
________________________.
b. ___________________ procedimiento contable para la determinación de la
cuota de depreciación basado en la mediación del desgaste producido en el
bien por efecto de su uso y no del tiempo.
c. Estudiar la forma en que se relacionan las cantidades producidas de dos
bienes elaborados en un mismo proceso productivo es lo que conocemos como
_________________________.
Cuadro de posibles respuestas
Ley Pareto Curva de transformación de productos
Método de la suma de los dígitos anuales Ciclo de vida de un producto
renta Funciones a trozos
Funciones cuadráticas mercado
Funciones exponenciales Modelo de la distribución del ingreso de

13. Pareto
Modelo de ciclo de vida de un producto Modelo de depreciación
depreciación Método de la unidad de producción
Solución
Justificación:
a) Si recordamos la definición del ciclo de vida de un producto, donde
se estudian las variaciones en el volumen de las ventas de un
producto desde su lanzamiento al mercado hasta su desaparición
podremos completar esta afirmación con 2 opciones que tiene la
tabla, que se refieren al ciclo de vida, a saber: a.1) Ciclo de vida de
un producto ó a.2) Modelo de ciclo de vida de un producto. Estas
opciones perfectamente completan la primera opción para que tenga
sentido.
b) Si recordamos el método de depreciación basado en la unidad de
producción, el cual es un procedimiento que no se mide en términos
de tiempo sino en función del desgaste en los bienes producidos,
podremos completar esta afirmación con la siguiente opción de la
tabla: Método de la unidad de producción.
c) Si recordamos la definición de la curva de transformación de
productos, en la cual se representa la forma en que se relacionan las
cantidades producidas de dos bienes elaborados en un mismo
proceso productivo, podemos perfectamente completar esta
afirmación con la siguiente opción de la tabla: Curva de
transformación de productos.
Respuesta:
a. Conocer las variaciones en el volumen de las ventas de un producto desde
su lanzamiento al mercado hasta su desaparición es lo que se llama Ciclo de
vida de un producto ó Modelo de ciclo de vida de un producto.
b. Método de la unidad de producción procedimiento contable para la
determinación de la cuota de depreciación basado en la mediación del
desgaste producido en el bien por efecto de su uso y no del tiempo.

14. c. Estudiar la forma en que se relacionan las cantidades producidas de dos
bienes elaborados en un mismo proceso productivo es lo que conocemos como
Curva de transformación de productos.
Ejercicio 8
Una compañía produce dos tipos de teléfonos: digitales y analógicos. Si “x”
representa la cantidad producida de teléfonos digitales e “y” representa la
cantidad producida de teléfonos analógicos, la ecuación de transformación
correspondiente es: 2
4 20 0, 0, 0y x y x y+ + − = ≥ ≥ .
Calcula la cantidad máxima de producción de teléfonos digitales.
Solución
Justificación: Sabiendo que la mayor cantidad producida de un bien se genera
cuando la cantidad producida del otro es 0, por lo tanto:
Calculo de la cantidad máxima de x, haciendo y=0
( )2 2
0 4 20 0 0 4 0 20 0 20 0 20y y x y x x x= → + + − = → + + − = → − = → =
Calculo de la cantidad máxima de y, haciendo x =0
2 2 2
0 4 20 0 0 4 20 0 4 20 0x y x y y y y y= → + + − = → + + − = → + − =
Llegamos a una ecuación de segundo grado, aplicando la resolvente
para esta ecuación, se tiene:
( ) ( )( )
( )
2
2 2
1
2
4
4 20 0 0
2
4 9,8 5,8
2,9
4 16 80 4 96 4 9,8 2 2
4 9,8 13,82
4 1
1
1
20
2 2
6,9
4
2
2
4 0
2
y y y y y
y
y
y
− ± −
+ − = → + = → = =
− +
= = =− ± + − ± − ± 
= = = = 
− − −
−
= = = −
−


Por la naturaleza de la variable y, ésta es siempre positiva, además es
una de las restricciones de la función de transformación
2
4 20 0, 00,y x y x y+ + − ≥ ≥= , por lo tanto se descarta la solución negativa y
se toma solo la positiva, por lo tanto, el resultado final es 2,9y = .
Respuesta:
La cantidad máxima “x” es: 20x =
La cantidad máxima “y” es: 2,9y =
Ejercicio 9
La función de demanda para cierta marca de Discos Compactos está dada por:

15. 2
( ) 0,01 2 8p d x x x= = − − +
donde, p es el precio unitario al mayor, en bolívares, y x es la cantidad
demandada cada semana, en unidades de millar. Determina, arriba de cual
precio ya no habrá demanda.
Solución
Justificación: primero, no olvides que las variables p y x son positivas. Observa
que se pide el precio para la cual no habrá más demanda, es decir, la demanda
es nula 0x = . Por lo tanto para saber el precio en el cual no habrá demanda,
se calcula así:
( ) ( )
2
(0) 0,01 0 2 0 8
(0) 0 0 8
8
p d
p d
p
= = − − +
= = − +
=
Por lo tanto, 8 es el precio unitario al mayor arriba del cual ya no habrá
demanda.
Respuesta: No abra demanda arriba del precio 8p =
Ejercicio 10
Una distribución de ingreso de una determinada población sigue la Ley de
Pareto según:
10
3
2
318 10
y
x
=
i
, 10000 350000x≤ ≤
Determina el número de personas cuyo ingreso sea superior a 10000
Solución
Justificación: En este caso, como se nos pide la cantidad de personas
cuyo ingreso es superior a 10000, podemos sustituir este valor de x,
directamente en la ley de Pareto dada, así:
10 10
3 3
2 2
318 10 318 10
10000
y
x
= =
i i
Ahora con el uso de una calculadora científica, puedes hacer este
cálculo:
10 10 10
10 6 4
3 6
2
318 10 318 10 318 10
318 10 318 10 3180000
1000000 10
10000
y −
= = = = = =
i i i
i i
Por lo tanto:

16. Respuesta: El número de personas cuyo ingreso es superior a 10000 es:
3180000.
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Un bien cuyo valor inicial es de Bs.750000 sufre una depreciación de manera
tal que su función de valor tiene la forma:
( )
a
V t
t b
=
+
Si después de 6 años el valor del bien es de Bs. 400000, señala el valor del
bien cuando hayan transcurridos 2 años.
a.Bs.589645,21 b. Bs.580645,16
c.Bs.624000,36 d. Bs.400535,16
Ejercicio 2
Un bien cuyo valor inicial es de Bs. 800000 sufre una depreciación de manera
tal que su función de valor tiene la forma:
( ) bt
V t ae=
Si después de 2 años el valor del bien es de Bs. 400000, calcule el valor del
bien cuando hayan transcurridos 4 años.

17. Ejercicio 3
Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien son
respectivamente: 2
17956p Q= − ( 0Q ≥ ), 50p S= ( 0S ≥ ) Obtén: 1.-Las
representaciones gráficas de ambas curvas. 2.- La cantidad demandada si el
precio unitario es de: 2827 u.m. 3.- La cantidad ofrecida si el precio unitario es
de: 300u.m. y 4.- Las coordenadas del punto de equilibrio.
Ejercicio 4
La distribución del ingreso en una determinada población sigue una ley de
Pareto en la forma:
12
3
2
5 10
y
x
=
i
, 5 7
10 ,10x  ∈ 
Hallar el número de personas cuyo ingreso está comprendido entre 600000 y
4000000 de unidades monetarias (um).
Ejercicio 5
Una población tiene distribución de ingresos dada por la ley de Pareto:
8
4
5
24 10
y
x
=
i
, 5 6
5 10 2 10x× ≤ ≤ ×
¿Cuántas personas ganan entre 750000 y 1200000 bolívares?
Ejercicio 6
Una persona compra el mismo día dos bienes A y B por $35 y $24
respectivamente. La función de valor del bien A viene dada por:
, 0, 0, 0A t
tV e tβ
α α β−
= ≥ > > . Mientras que la del bien B es:
2
, 0, 0B
tV a t t a= + ≥ > . Al cabo de 5 años el valor del bien B excede al de A en
$3. Obtén las ecuaciones y la representación gráfica de las curvas de valor de
cada bien.
NOTA: Hacer los cálculos con cuatro decimales.
Ejercicio 7
La distribución del ingreso de una determinada población, sigue la ley de
Pareto:
8
1
2
2,5 10
y
x
=
i

18. Si el ingreso mínimo es 612000x = um ¿Cuál es la población? ¿Cuantas
personas ganan más de tres millones de um?
Ejercicio 8
Un bien cuyo valor es de Bs.80000, se deprecia en forma exponencial hasta
alcanzar un valor de rescate de Bs. 35000, al cabo de 10 años. Obtenga la
función ( )V V t= que muestra el valor del bien al final del año t y calcule el valor
del bien cuando hayan transcurrido 3 años.
Ejercicio 9
Una persona compra el mismo día dos bienes A y B, por Bs.80 y Bs. 120,
respectivamente. La función valor del bien A, viene dada por:
, 0, 0, 0A t
tV e tβ
α α β−
= ≥ > > , mientras que la del bien B, es:
2
, 0, 0B
tV a t t a= − ≥ > .
Determina explícitamente las funciones de valor de cada uno de los bienes si al
cabo de tres (3) años, el valor del bien B excede al de A en 50 bolívares.
Ejercicio 10
Las funciones de demanda y oferta para cierta marca de Discos compactos
están dadas respectivamente por:
2
( ) 0,01 0,2 8p d x x x= = − − + y 2
( ) 0,01 0,1 3S x x x= + +
donde p es el precio unitario al mayor, en bolívares y x es la cantidad
demandada cada semana, en unidades de millar. Determina la cantidad de
equilibrio.