1. El documento describe los modelos dinámicos de sistemas estructurales de varios grados de libertad. Presenta las ecuaciones de equilibrio para vibración libre, excitación arbitraria y excitación en la base en forma matricial. 2. Se analiza el movimiento de un edificio sometido a sismo usando un modelo de varios cuerpos rígidos. Se derivan las ecuaciones de movimiento para cada cuerpo y para el sistema completo. 3. El modelo permite estudiar la dinámica de estructuras sometid

1. SISTEMAS DINÁMICOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO EN SISTEMAS DE VARIOS
GRADOS DE LIBERTAD
Se realizarán algunas consideraciones relacionadas con la idealización dinámica de las
estructuras para ensamblar las ecuaciones de equilibrio: se utilizara la masa de la losa como
concentrada al nivel del piso y segundo, el amortiguamiento se introducirá posteriormente,
una vez se defina la solución debido a la complejidad en la modelación.
Este sistema estructural es altamente idealizado, ya que solo se consideran las
deformaciones laterales en la estructura, considerando la losa y vigas infinitamente rígidas
a flexión, y se desprecian las deformaciones axiales en vigas y columnas. Este modelo es
conocido como el Edificio de Cortante, y solo puede ser posible para estructuras con vigas
o losas de gran altura, columnas esbeltas y concreto con un módulo de elasticidad muy
alto.
1.1 Vibración Libre
El siguiente sistema dinámico representa un edificio de 3 pisos con un grado de libertad
horizontal por piso.
Masa m1 Fr1 − Fr2 = Fi
..
( )
m1 x + k1x1 − k 2 x 2 − x1 = 0
1
1

2. Masa m 2 Fr2 − Fr3 = Fi
..
( ) (
m 2 x + k 2 x 2 − x1 − k 3 x 3 − x 2 = 0
2
)
Masa m 3 Fr3 = Fi
..
( )
m3 x + k 3 x3 − x 2 = 0
3
Reorganizando y factorizando:
..
( )
m1 x1 + k1 + k 2 x1 − k 2 x 2 = 0
..
( )
m 2 x − k 2 x1 + k 2 + k 3 x 2 − k 3 x 3 = 0
2
..
m3 x 3 − k 3x 2 + k 3x 3 = 0
Cada ecuación anterior corresponde a una ecuación diferencial de equilibrio dinámico de un
grado de libertad. En forma matricial
m  .. 
0 0   x1   k1 + k 2 − k2 0   x1  0
 1   ..      
 0 m2 0  x 2  +  − k 2 k 2 + k 3 − k 3  x 2  = 0
..
 0 0 m3 x 3   0 − k3 k 3   x 3  0
   
     
..
[m]x  + [k ]{x} = {0}
 
 
Ecuación de equilibrio dinámico en vibración libre para varios grados de libertad
1.2 Excitación Arbitraria
Ahora se supone el mismo sistema anterior, pero cada masa de la losa es excitada por una
fuerza externa Pi(t), variable en el tiempo.
2

3. Masa m1 Fr1 − P1 − Fr2 = Fi ( )..
k1x1 − P1 (t ) − k 2 x 2 − x1 = − m1 x
1
Masa m 2 Fr2 − P2 − Fr3 = Fi ( ) ( ) ..
k 2 x 2 − x1 − P2 (t ) − k 3 x 3 − x 2 = − m 2 x
2
Masa m 3 Fr3 − P3 = Fi ( ) ..
k 3 x 3 − x 2 − P3 (t ) = − m 3 x
3
Reorganizando y factorizando:
..
( )
m1 x + k1 + k 2 x1 − k 2 x 2 = P1 (t )
1
..
( )
m 2 x − k 2 x1 + k 2 + k 3 x 2 − k 3 x 3 = P2 (t )
2
..
m 3 x − k 3 x 2 + k 3 x 3 = P3 (t )
3
En forma matricial
 .. 
m 0 0   x1   k1 + k 2 − k2 0   x1   P1 (t ) 
 1  ..      
 0 m2 0  x 2  +  − k 2 k 2 + k3 − k 3  x 2  = P2 (t )
..
 0 0 m3 x 3   0 − k3 k 3   x 3   P3 (t )
   
     
.. 
[m]x  + [k ]{x} = {P(t )}

 
3

4. Ecuación dinámica para un sistema estructural de varios grados de libertad con excitación
arbitraria.
1.3 Excitación en la Base
Se supone ahora que la misma estructura, es sometida a un sismo en la base, como se
muestra en la figura.
..
Desplazamientos relativos xo
u1 = x1 − x 0
u2 = x2 − x0
u =x −x
3 3 0
Forma matricial
u   x  1
 1  1  
u 2  =  x 2  − 1 x 0
u   x  1
 3  3  
{u} = {x} − [γ ]{x 0 }
[γ ] : Matriz que indica que el grado de libertad o coordenadas de la masa, en la línea del
sistema de ecuaciones simultáneas, es colineal con la aceleración del terreno.
Despejo x y derivo respecto al tiempo.
4

5. {x} = {u} + [γ]{x 0 }
. . . 
x  = u  + [γ ]x 0 
     
 ..  ..  .. 
 x  = u  + [γ ]x 
     0
.. .. ..
x1 = u + x
1 0
.. .. ..
x2 = u + x
2 0
.. .. ..
x3 = u + x
3 0
Ecuaciones de equilibrio dinámico
Masa m1 :
..
( )
m x +k x −x −k x −x =0
1 1 1 1 0 2 2
( 1
)
Masa m 2 :
..
( ) (
m 2 x + k 2 x 2 − x1 − k 3 x 3 − x 2 = 0
2
)
Masa m 3 :
..
m x +k x −x =0
3 3 3 3
( 2
)
Se tiene que:
x1 − x 0 = u1
( )
x 2 − x = x − u1 + x 0 = x 2 − x 0 − u1 = u 2 − u1
1 2
( )
x3 − x 2 = x − u 2 + x0 = x3 − x0 − u 2 = u3 − u 2
3
Las ecuaciones de equilibrio quedan:
5

6. ..
(
m1 x + k1u1 − k 2 u 2 − u1 = 0
1
)
..
( )
m 2 x + k 2 u 2 − u1 − k 3 u 3 − u 2 = 0
2
( )
..
(
m3 x + k 3 u3 − u 2 = 0
3
)
Factorizando:
..
( )
m1 x + k1 + k 2 u1 − k 2 u 2 = 0
1
..
( )
m 2 x − k 2 u1 + k 2 + k 3 u 2 − k 3 u 3 = 0
2
..
m 3 x − k 3u 2 + k 3u 3 = 0
3
Matricialmente:
..
m 0   x1   k + k
0 − k2 0   u1  0
 1   ..   1
  2    
 0 m2 x2 +  − k2
  ..
0 k 2 + k3 − k 3  u 2  = 0
 0 0 m3 x 3   0 − k3 k 3   u 3  0
   
     
..
[m]x  + [k ]{u} = {0}
 
 
 ..   ..   .. 
Pero  x  = u  + [γ ] x 
     0
.. ..
[m]u  + [m][γ]x 0  + [k ]{u} = {0}
   
   
.. ..
[m]u  + [k ]{u} = −[m][γ]x 0 
   
   
Este es un sistema matricial de ecuaciones diferenciales simultáneas de equilibrio dinámico,
para un sistema de varios grados de libertad sometido a una excitación en la base.
Problema: (Ref: Structural Dynamics. Craig, Roy. R.) El movimiento de un edificio sujeto
a una excitación sísmica, se estudia usando el modelo mostrado. Use la segunda Ley para
derivar la ecuación de movimiento del sistema. Considere desplazamientos rotacionales θ
pequeños, y la masa de la fundación m como una partícula.
Diagrama de cuerpo libre de los componentes del sistema.
6

7. Ecuaciones básicas de movimiento de cada cuerpo rígido.
Para la fundación
∑ Fx = m&& = −2f1 − 2f 2 + f 3
u
(1)
Para el elemento vertical:
∑ Fx = M&x&G = −f 3
& ( 2)
∑ Fy = M&& G = −f 4 − Mg
y (3)
∑ M G = I G && = − M1 + f 4 asenθ + f 3acosθ
θ ( 4)
7

8. De la relación entre fuerza y desplazamiento y velocidad y amortiguamiento, se tiene:
f1 = (u − z )
k
(5)
2
f 2 = (u − z )
c
& & ( 6)
2
M = Kθ (7 )
1
Usando las relaciones cinemáticas que relacionan xG y yG con u y θ, se tiene que para
desplazamientos pequeños Senθ = θ y Cosθ=1.
x G = u + asenθ = u + aθ
y G = acosθ = a
Reemplazo en (1) las ecuaciones (5) y (6):
m&& + k(u − z) + c(u − z) + M&& = 0
u & & x
G
m&& + ku − kz + cu − cz + M&& G = 0
u & & x
Pero :
x G = && + a&&
u θ
(m + M)&& + Ma&& + ku + cu + M&&
u θ & x = kz + cz
&
G
Reemplazo (2), (3) y (7) en (4):
I G && = − kθ + f aθ + f a
θ
4 3
I G && = − kθ + (Mg + M&& )aθ − M&& a = 0
θ y x
G G
I G && + kθ − Mgaθ − M&& aθ + M&& a = 0
θ y x (8)
G G
Pero :
&& G = 0
y y && G = && + a&&
x u θ
I G && + (k − Mga)θ + Ma(&& + a&&) = 0
θ u θ
(I G + Ma 2 )&& + (k − Mga)θ + Ma&& = 0
θ u (9)
Escribiendo las ecuaciones de movimiento (8) y (9) en forma matricial:
(M + m ) Ma  &&  c 0 u  k
u & 0  u  cz + kz 
& &
+  θ  +  0  θ  =  0 
 Ma
 ( 2  
)
I G + Ma  && 0 0  &  
θ (K − Mga )    
8

9. 2. IDEALIZACIÓN DINÁMICA DE LA MASA
La segunda Ley de Newton relaciona el movimiento de la masa con la fuerza inercial. La
masa de una estructura está distribuida en todos los elementos que la componen, aunque
puede ser idealizada como una masa concentrada en los nudos de la estructura discretizada.
2.1 Matriz de masa distribuida.
La masa y la rigidez corresponden a un elemento continuo con infinitos grados de libertad.
No es práctico en la mayoría de casos, aunque se puede concentrar la masa en los extremos,
usando una matriz consistente de masa, análoga a la de rigidez.
Para armar la matriz se considera el siguiente elemento con masa distribuida dm, se acelera
cada extremo en cada dirección, generando una fuerza inercial en x e y, en el elemento de
masa diferencial dm
u
u u
u
Por la segunda ley: ∑ F െ ∑ m ‫ כ‬a y ∑ m ൌ ∑ I଴ θሷ
Fଵ୶ Mଵ୶ଵ୶ Mଵ୶ଵ୷ Mଵ୶஘ଵ Mଵ୶ଶ୶ Mଵ୶ଶ୷ Mଵ୶஘ଶ µଵ୶ ሷ
‫ۓ‬F ۗ ‫ ۍ‬Mଵ୷ଵ୶ Mଵ୷ଵ୷ Mଵ୷஘ଵ Mଵ୷ଶ୶ Mଵ୷ଶ୷
‫ې‬
Mଵ୷஘ଶ ‫ۓ ۑ‬µଵ୶ ۗ
ሷ
ۖ ଵ୷ ۖ ‫ێ‬ ۖ ۖ
ۖ ሷ ۖ
Mଵ ‫ێ‬Mଵ஘ଵ୶ Mଵ஘ଵ୷ M஘ଵ஘ଵ Mଵ஘ଶ୶ Mଵ஘ଶ୷ M஘ଵ஘ଶ ‫ ۑ‬θଵ
ൌ‫ێ‬
‫۔‬Fଶ୶ ۘ ‫ێ‬Mଶ୶ଵ୶ Mଶ୶ଵ୷ Mଶ୶஘ଵ Mଶ୶ଶ୶ Mଶ୶ଶ୷ Mଶ୶஘ଶ ‫۔ ۑ‬µଶ୶ ۘ ሷ
‫ ۑ‬µሷ
ۖFଶ୷ ۖ ‫ێ‬Mଶ୷ଵ୶ Mଶ୷ଵ୷ Mଶ୷஘ଵ Mଶ୷ଶ୶ Mଶ୷ଶ୷ Mଶ୷஘ଶ ‫ ۖ ۑ‬ଶ୶ ۖ
ۖ ۖ
‫ ە‬Mଶ ۙ ‫ۏ‬Mଶ஘ଵ୶ Mଶ஘ଵ୷ M஘ଶ஘ଵ Mଶ஘ଶ୶ Mଶ஘ଶ୷ M஘ଶ஘ଶ ‫ ە ے‬θଶ ۙ ሷ
Se empotran los extremos del elemento, y se le da una aceleración unitaria a cada grado de
libertad, induciendo unas fuerzas inerciales en cada elemento de masa dm, proporcionales a
la elástica.
dF୶ ൌ Xሷdm dF୷ ൌ Yሷdm Yሷ െ Xሷ ൌ µሷ
La fuerza inercial de extremo es proporcional a la deformada:
dF୧ି୨ ൌ y୧ ‫ כ‬Yሷj ‫ כ‬dm
m
dF୧ି୨ ൌ y୧ ‫ כ‬y୨ ‫ כ‬ቀ ቁ dx
l
9

10. F୧ି୨ ൌ ‫׬ כ‬଴ y୧ ‫ כ‬y୨ dx
୫ ୪
୪
Se encuentran las ecuaciones de la elástica para cada elemento, EI ‫ כ‬ర ൌ െw , se integra
ୢర ୷
ୢ୶
y se encuentra la matriz de masa consistente en coordenadas locales.
140 0 0 70 0 0
‫0 ۍ‬ 156 22L 0 54 െ13L ‫ې‬
m ‫0 ێ‬ 22L 4Lଶ
‫ۑ‬
0 13L െ3Lଶ ‫ ۑ‬ൌ ቂmଵିଵ mଵିଶ
ሾmሿ ൌ ‫ێ‬
420 ‫07ێ‬ 0 0 140 0 0 ‫ۑ‬ mଶିଵ mଶିଶ ቃ
‫0ێ‬ 54 13L 0 156 െ22L‫ۑ‬
‫ 0 ۏ‬െ13L െ3Lଶ 0 െ22L 34 ‫ے‬
L: longitud del elemento
Para transformar a coordenadas globales se usa la matriz de transformación [T]
C S 0 0 0 0
‫ۍ‬െS C 0 0 0 0‫ې‬
‫ێ‬ ‫ۑ‬ S ൌ sen θ
ሾTሿ ൌ ‫0 ێ‬ 0 1 0 0 0‫ۑ‬ C ൌ cos θ
‫0ێ‬ 0 0 C S 0‫ۑ‬
θ ൌ angulo entre eje logal y global
‫0ێ‬ 0 0 െS C 0‫ۑ‬
‫0ۏ‬ 0 0 0 0 1‫ے‬
ሾTሿሾMଵିଵ ሿሾTሿ୘ ሾTሿሾMଵିଶ ሿሾTሿ୘
Y
ሾMሿ ൌ ൤ ൨
XL
ሾTሿሾMଶିଵ ሿሾTሿ୘ ሾTሿሾMଶିଶ ሿሾTሿ୘
θ
X
140C ଶ ൅ 156S ଶ 16S ‫ כ‬C 22L ‫ כ‬S 70C ଶ ൅ 54S ଶ െ16S ‫ כ‬C െ13L ‫ כ‬S
‫ۍ‬ ‫ې‬
16S ‫ כ‬C 140C ଶ ൅ 156S ଶ 22L ‫ כ‬C െ16S ‫ כ‬C 70C ଶ ൅ 54S ଶ െ13L ‫ כ‬C ‫ۑ‬
m ‫ێ‬ 22L ‫ כ‬S 22L ‫ כ‬C 4Lଶ 13L ‫ כ‬S 13L ‫ כ‬C െ3L
‫ێ‬ ‫ۑ‬
ଶ
ሾMሿ ൌ
420 ‫ێ‬ 70C ଶ ൅ 54S ଶ െ16S ‫ כ‬C 13L ‫ כ‬S 140C ଶ ൅ 156S ଶ 16S ‫ כ‬C െ22L ‫ כ‬S ‫ۑ‬
‫ێ‬ െ16S ‫ כ‬C 70C ଶ ൅ 54S ଶ 13L ‫ כ‬C 16S ‫ כ‬C 140C ଶ ൅ 156S ଶ െ22L ‫ כ‬C‫ۑ‬
‫ۏ‬ െ13L ‫ כ‬S െ13L ‫ כ‬C െ3Lଶ െ22L ‫ כ‬S െ22L ‫ כ‬C 4Lଶ ‫ے‬
2.2 Matriz de Masa Concentrada:
En un cuerpo rígido no existe deformación interna y las propiedades inerciales se pueden
expresar en el centro de masa. Como la masa está relacionada con la aceleración, entonces
los grados de libertad serán las aceleraciones. Se tiene que en una placa rígida a flexión hay
3 grados de libertad: dos desplazamientos horizontales, ux y uy y un giro o rotación de la
placa θz.
10

11. Cuando el sistema de coordenadas coincide con en el centroide de la placa y se considera la
masa de las columnas despreciable, la matriz de masa de la losa queda:
 
m 0 0 
[m] =  0 m 0 
 m 
0 0 J 
 A 0
m: Masa de la Losa
A: Área de la Losa = a x b
ba 3 ab 3
Jo: Momento polar de inercia = I xx + I yy = +
12 12
Para un sistema estructural reticular aporticado con diafragma rígido, se puede considerar la
matriz de masa diagonal, siempre y cuando la mayor parte de la masa este concentrada en
la placa Esto significa que la masa de la losa, (Se puede usar la mitad de la masa de las
columnas para el segundo y tercer piso y 1/3 de la de la masa de las columnas del primer
piso), induce una fuerza inercial solo en el grado de libertad de desplazamiento indicado, es
decir la masa mi, se mueve en la dirección xi asociada a una aceleración ai en la misma
dirección. Por lo tanto la matriz de masa para el pórtico mostrado es:
m 0 0 
 3 
[m] =  0 m
2
0 
 0 0 m1 
 
11

12. En estructuras donde la mayor cantidad de la masa se encuentre en los muros estructurales
como bodegas, o donde el diafragma del piso sea flexible, como en puentes, no se puede
usar diafragma rígido, y se debe usar la matriz consistente de masa para armar la ecuación
de equilibrio dinámico.
La masa concentrada se utiliza en el análisis dinámico de cuerpos rígidos, cuando el
elemento es muy rígido se desprecia la deformación interna y las propiedades inerciales se
referencian al centro de masa. Se acelera la placa respecto al punto (0,0,0)
X; Y ‫ ׷‬distancia al centro de masa
X
Z
u
Ö
u
?
Las fuerzas inerciales son:
ሷ
F୶ ൌ mµሷ ୶ െ mYθ୸
F୷ ൌ mµሷ ୷ െ mXθሷ୸
m
ሷ
ଶ ଶ
M୞ ൌ െmYµሷ ୶ െ mXµሷ ୷ ൅ ቂ J଴ ൅ MሺX ൅ Y ሻቃ θ୸
A
m: masa total
J୭ Momento polar de inercia
A: área de la placa
ଶ ଶ
I୭ ൌ J ൅ MሺX ൅ Y ሻ
୫
୅ ଴
Fଡ଼ m 0 െYm µሷ ୶
൝ Fଢ଼ ൡ ൌ ൦ 0 m Xm ൪ ቐµሷ ୷ ቑ
m
M୞ J ൅ MሺX ൅ Y ሻ θሷ୸
ଶ ଶ
െYm Xm
A ଴
ሼFሽ ൌ ሾMሿሼµሷ ሽ
Cuando la aceleración se hace respecto al centro de masa Xሷ ൌ Yሷ ൌ 0, la matriz de masa
queda:
12

13. Fଡ଼ m 0 0 µሷ ୶
൝ Fଢ଼ ൡ ൌ ቎ 0 m
m
0 ቏ ቐµሷ ୷ ቑ
M୞ 0 0 J ሷ
A ଴ θ୸
Para un conjunto de cuerpos rígidos, unidos por conexiones rígidas
‫ ۍ‬Σmi 0 െΣY୧ m୧ ‫ې‬
ሾMሿ ൌ ‫0 ێ‬ Σmi ΣX୧ m୧ ‫ۑ‬
‫ێ‬ m ଶ ଶ ‫ۑ‬
‫ۏ‬െΣY୧ m୧ ΣX୧ m୧ Σ ቀ J଴ ൅ MሺX ൅ Y ሻቁ‫ے‬
A
Problema: Una losa de concreto maciza, con rigidez infinita (diafragma rígido), tiene una
masa concentrada m= 25 Ton en un extremo. Calcule la matriz de masa respecto a su eje
centroidal.
Öz
u
u
M୮୪ୟୡୟ ൌ 24 kNൗmଷ ‫ 52,0 כ 02 כ 01 כ‬ൌ 120 Tn
El centroide de área coincide con el de masa
ΣX୧ m୧ 0 ‫ 52 כ‬൅ 5 ‫021 כ‬
Xൌ ൌ ൌ 4,14 m
Σmi 145
ΣY୧ m୧ 0 ‫ 52 כ‬൅ 10 ‫021 כ‬
Yൌ ൌ ൌ 8,28 m
Σmi 145
Masa de la Placa
10 ‫02 כ‬ଶ 20 ‫01 כ‬ଶ
A= 10x20 = 200
J଴ ൌ Iଡ଼ଡ଼ ൅ Iଢ଼ଢ଼ ൌ ൅ ൌ 833,33 mସ
12 12
X୔ ൌ 5 െ 4,14 ൌ 0,86 m
13

14. Y୔ ൌ 10 െ 8,28 ൌ 1,82 m
Ym୔ ൌ 218,4 Tn ‫ כ‬m
Xm୔ ൌ 103,2 Tn ‫ כ‬m
m ଶ ଶ 120 ‫33,3338 כ‬
J଴ ൅ M ቀX ൅ Y ቁ ൌ ൅ 120 ‫ כ‬ሺ0,86ଶ ൅ 1,82ଶ ሻ ൌ 5486,24 Tn ‫ כ‬mଶ
A 200
Masa excéntrica
A= o , J଴ ൌ 0
X ൌ 4,14 m , Y ൌ 8,28 m
Xm ൌ 103,5 Tn ‫ כ‬m , Ym ൌ 207 Tn ‫ כ‬m
m ଶ ଶ
J଴ ൅ M ቀX ൅ Y ቁ ൌ 25 ‫ כ‬ሺ4, 14ଶ ൅ 8, 28ଶ ሻ ൌ 2142,45 Tn ‫ כ‬mଶ
A
145 0 െ425,4
ሾMሿ ൌ ൥ 0 145 206,7 ൩
െ425,4 206,7 7628,7
Unidades [Ton] y [m]
3. MODELACIÓN MATEMÁTICA DE LA ESTRUCTURA
3.1 MATRIZ DE RIGIDEZ
De la escogencia y localización de los grados de libertad, depende la forma del sistema de
ecuaciones de equilibrio. La Rigidez se define como la fuerza necesaria para producir un
desplazamiento unitario en la dirección de la carga. El Análisis Estructural relaciona la
rigidez, el desplazamiento y la fuerza, por medio de la ecuación de equilibrio estático
{F} = [K ]{u}. Este modelo matemático, de múltiples ecuaciones simultáneas, describe el
comportamiento de la estructura ante unas cargas estáticas.
Un pórtico estructural puede ser idealizado como un ensamblaje reticular de elementos de
vigas y columnas interconectadas en los nudos, los muros estructurales no se considerarán
en este modelo. Los desplazamientos de los nudos son los grados de libertad. Para un
pórtico plano, cada nudo tiene 3 grados de libertad: dos desplazamientos y un giro. Se
asume un comportamiento dentro del rango elástico lineal de los materiales, y por lo tanto
las fuerzas resistentes del piso serán proporcionales a los desplazamientos.
14

15. 3.2 DIAFRAGMA RÍGIDO
Se considera la losa muy rígida en su propio plano; se puede idealizar como un cuerpo
rígido, y describir cualquier coordenada dentro del diafragma. La localización de cualquier
punto dentro del diafragma se puede describir a partir de 2 desplazamientos horizontales y
un giro.
θ
θ
Se toma el origen en el centro de masa del diafragma, Los desplazamientos verticales en
columnas y diafragma, y las rotaciones alrededor de los ejes horizontales, se muestran en la
siguiente gráfica:
“Dos puntos de una losa de entrepiso, que se idealice como diafragma rígido no pueden
tener desplazamientos relativos horizontales, pero si desplazamientos verticales y giros
respecto a ejes horizontales”. [García. L.E.]
Las propiedades inerciales de la masa, se encuentran en el centro de la masa, y no se tiene
en cuenta la masa de columnas y pantallas, hipótesis aplicable a edificios aporticados, pero
no a sistemas de muros estructurales. Cada losa se puede deformar ante diferentes cargas
externas, como en la siguiente figura:
15

16. Lo anterior implica que cada losa posee infinitos grados de libertad, por lo tanto si se
considera que las losas son infinitamente rígidas solo existirían 3 grados de libertad únicos
para describir el movimiento de cualquier fragmento o partícula, tal y como se muestra en
la figura No. 14.
Las losas de Diafragma No Rígido, se presentan en sistemas sobre muros, Placas de
entrepiso sobre elementos prefabricados sin superficies rígidas en el nudo, Edificio con
vacios grandes en el diafragma, Edificios con irregularidades tipo 2P y 3P, Losas de
transferencia en edificios y losas de transición.
3.3 MODELACIÓN DE EDIFICIO APORTICADO
A continuación se presenta el modelo de una edificación de dos niveles. Inicialmente se
consideran todos los grados de libertad de la estructura. Si se supone un diafragma rígido,
se observa que sobre las losas existen dos desplazamientos horizontales y un grado de
libertad rotacional. Del método de la rigidez directa, se sabe que cada nudo tiene 3 grados
de libertad y que la masa de la losa se concentra en estos, sumando un total de 12 grados de
libertad.
θ
θ
3.3.1 Se genera la matriz de rigidez de cada elemento y se ensambla la matriz de rigidez de
cada pórtico [ Kp1 ],[ Kp2 ],[ KpA ] y [ KpB ], para éste caso. Cada una de 12 x 12.
16

17. [ K ]12x12 Pórtico 1 y A
3.3.2. Se suponen las vigas con rigidez axial infinita debido al diafragma rígido. Se define
un grado de libertad horizontal X e Y por piso independientes y las otra dependientes, se
arma la matriz [ R ] a partir de las relaciones lineales entre los grados de libertad.
[ Ki ] = [ R ]T [ Kp ][ R ]
Para el pórtico tipo 1 [ Ki1 ]10x10
Para el pórtico tipo A [ KiA ]10x10
3.3.3. Condensación de grados de libertad
Para pórticos bajos y largos H/B ≤ 5, se eliminan los grados de libertad verticales, donde H
es la altura de la edificación y B es el lado, se pueden eliminar los grados de libertad
verticales, omitiendo tanto la fila como la columna correspondiente en la matriz de rigidez.
Caso I: H/B > 5 Se consideran
Caso II: H/B ≤ 5 Se desprecian
17

18. Caso I:
Se reordena la matriz para que en las primeras filas y columnas queden los grados de
libertad horizontal y rotacional, y a la derecha y parte inferior los grados de libertad
verticales.
Kଵ kଶ
ሾK ୧ ሿ ൌ ቈ ୧ ୧
቉
K୧ Kସ
ଷ {Fi} = [Ki]{ui}
ସ
La Matriz de rigidez del pórtico con grados de libertad verticales condensados queda:
ሾK ୗ୚ ሿ ൌ ቂሾKଵ ሿ െ ሾK ଶ ሿሾK ସ ሿሾK ଷ ሿቃ
୧ ୧ ୧ ୧
Los grados de libertad condensados se obtienen con:
{Uv} = -[Ki4]-1[ Ki2] {Usv}
Caso II:
Se eliminan filas y columnas de grados de libertad verticales {Uv}=0 en la matriz [Ki] y se
obtiene la matriz [Ksv].
Para el pórtico 1 [Ksv1] 6x6
Para el pórtico A [KsvA] 6x6
18

19. 3.3.4. Condensación de los grados de libertad rotacionales.
No hay ningún efecto inercial asociado a los grados de libertad rotacionales respecto a ejes
horizontales del diafragma, por lo tanto se puedan condensar.
[Ksv]: Se reordena para que en las primeras filas y columnas queden los grados de libertad
horizontales y las inferiores y derecha las verticales y rotacionales.
Kଵ Kଶ
ሾK ୱ୴ ሿ ൌ ൤ ୱ୴ ୱ୴
൨
Kଷ
ୱ୴ Kସ
ୱ୴
Se condensa.
[Kc] = [ [Ksv1] – [Ksv2] [Ksv4 ]-1 [Ksv 3] ]
Los grados de libertad condensados se calculan con:
{Urot} = -[Ksv3]-1 [Ksv2] {Up}
Las Matrices de efectos horizontales, contienen la rigidez solo para desplazamientos
horizontales, quedan:
Pórtico 1 [Ksv1]2x2
Pórtico A [KsvA]2x2
3.3.5. Transformación de los grados de libertad de un desplazamiento por piso a tres por
piso en diafragma rígido.
θ
θ
Se localiza el origen en la intersección del eje 2 y el eje B. Los grados de libertad del
diafragma en el centro de la masa, para que la matriz quede diagonal.
19

20. Se hace equilibrio entre las fuerza en casa piso del pórtico y la resultante en el centro de la
masa del diafragma. Se toma la fuerza del pórtico local y del diafragma global.
α
Las coordenadas (xA ,yA ) y (xB, yB) deben estar en la línea de acción del pórtico.
d ൌ ඥሺሺX ୆ െ X ୅ ሻଶ ൅ ሺY୆ െ Y୅ ሻଶ ሻ
Sen α = (YB – YA)/d Cos α = (XB – XA)/d
Si FL se mantiene en su línea de acción, no importa la localización que tenga, si el pórtico
no es perpendicular:
Fix Sen α F୶୐୧
Del equilibrio:
൝Fiyൡ ൌ ൥ Cosα ൩ ቐF୷୐୧ ቑ
Mi ത ഥ െ X ୅ ሻSenα M୐୧
ሺy െ y୅ ሻCosα െ ሺX
{ Fi } = [ Ti ] { FLi }
{ Fi } = Fuerzas globales diafragma piso i
{ FLi } = Fuerzas locales pórtico i
20

21. El centro de masa de cada piso i se define con el vector de posición:
ഥ തതതത
ri ൌ ሺyన െ തതതሻCosα െ ሺX న െ X ୅ ሻSenα
ഥ y୅
Para el edificio de dos pisos.
C = Cos α r = Vector de posición S = Sen α
Fଶ୶ S 0
‫ۓ‬F ۗ ‫ۍ‬C ‫ې‬
ۖ ଶ୷ ۖ 0
Mଶ ‫ێ‬ ‫ۑ‬
‫ێ‬ r2 0 ‫ ۑ‬Fଶ୶
ൌ ൜ ൠ
‫۔‬Fଵ୶ ۘ ‫ 0 ێ‬S ‫ ۑ‬Fଵ୶
ۖFଵ୷ ۖ ‫ 0ێ‬C‫ۑ‬
‫ ە‬Mଵ ۙ ‫ 0 ۏ‬r1‫ے‬
{ F } = [ Tp ] { FL }
Tଵ
ൣT୮ ൧ ൌ ൤ ൨
Tଶ ଶ୬୶ଶ୬
Donde [Ti ]2x1 n = Numero de pisos
Para cada pórtico.
{FPL } = [ KCL ] { UPL }
{FP } = [TP ] { FPL } = [ TP ][ KCL ] { UPL}
Se tiente:
{ U } = [ TP ] { UPL } { U } = Grados de libertad globales del diafragma
{ UPL } = [ TP ]-1 { U }
{ UPL } = [ TP ]T { U }
Reemplazando en { FP }
{ FPL } = [ TP ] [ KCL ] [ TP ]T { U }
{ KP }9x9 = [ TP ] [ KCL ] [ TP ]T
[ KP ]: Matriz del pórtico en función de los grados de libertad globales de la estructura.
21

22. 3.3.6. Ensamblaje matriz de masa
[ Mi ]: Matriz de masa piso i; suponiendo diafragma rígido.
mଵ Uଵ୶
[ Mi ]3x3 = ቎ mଶ ቏ Uଵ୷
mଷ Mଵ
Matriz de masa de la estructura [ M ].
ሾmଶ ሿଷ୶ଷ
[ M ] = ቈ൤ ൨቉
ሾmଵ ሿଷ୶ଷ
2 pisos
଺୶଺
La fuerza inercial es { F } = [ M ]{ Ü }
3.3.7. Ecuación de equilibrio dinámico de la estructura.
[M]{Ü }+[K]{U}={0} Vibración Libre
ሷ
[ M ] { Ü } + [ K ] { U } = - [ K ] { γ } { Xo} Vibración Forzada
ሷ
{ γ } { Xo} = Aceleraciones en los grados de libertad de la estructura.
El registro acelerográfico tiene cinco componentes de aceleración: Dos horizontales
ortogonales NS y EW y una vertical. No registra aceleración rotacional asociada a la inercia
de una masa rotacional del diafragma. Para diafragma rígido no se incluyen los efectos
verticales de aceleración.
ሷ
X ୒ୗ ൌ Aceleración Norte െ Sur
ሷ
X ୉୛ ൌ Aceleración Este െ Oeste
ሷ ሷ
X ୒ୗ y X ୉୛ : Aceleraciones horizontales ortogonales del terreno, no colineales con los
grados de libertad globales del diafragma.
22

23. ሷ ሷ ሷ
X ୭୶ ൌ X ୒ୗ Cosβ െ X୉୛ Senβ
ሷ ሷ ሷ
X ୭୷ ൌ X ୒ୗ Senβ ൅ X ୉୛ Cosβ
Si se usa una componente del acelerograma
ሷ ሷ
X ୭୶ ൌ X ୒ୗ Cosβ
ሷ ሷ
X ୭୷ ൌ X ୉୛ Senβ
ሷ
X ୭୶
La matriz [ γ ] queda: ሼv୭ ሽ ൌ ሾγሿ ቊX ቋ
ሷ
୭୷
v୭୶ଶ
ሷ
‫ۓ‬v ሷ ۗ 1 0
‫0ۍ‬ 1‫ې‬
ۖ ୭୷ଶ ۖ
ۖv ሷ ۖ ‫ێ‬ ‫ۑ‬ ሷ
ሼv୭ ሽ ൌ v ሷ
ሷ
஘ଶ
ൌ ‫0ێ‬ 0‫ ۑ‬ൌ ቊ X ୒ୗ Cosβ ቋ
‫ ۔‬୭୶ଵ ۘ ‫1ێ‬ 0‫ۑ‬ ሷ
X ୉୛ Senβ
ۖv୭୷ଵ ۖ
ۖ
ሷ
ۖ ‫0ێ‬ 1‫ۑ‬
‫0ۏ‬ 0‫ے‬
‫ ە‬v஘ଵ ۙሷ
Si la aceleración del terreno es colineal con el grado de libertad del diafragma de la
estructura se coloca 1, sino 0.
3.3.8. Fuerzas en los elementos
Después de resolver la ecuación de equilibrio dinámico y encontrar los desplazamientos
globales { U } se calculan:
- Grados de libertad rotacionales condensados
{Urot} = -[ KSV4 ]-1 [ KSV3 ] { UP }
- Grados de libertad verticales
{ Uv } = - [ Ki4 ]-1 [ Ki3 ] { USV } para H/B > 5
U୔
ሼUୗ୚ ሽ ൌ ൜ ൠ
Donde:
U୰୭୲
Si H/B ≤ 5 { UV } = { 0 } entonces:
U
ሼU୧ ሽ ൌ ൜ ୗ୚ ൠ
U୚
Por último se obtiene los desplazamientos de todos los grados de libertad del pórtico.
23

24. ሼU୐ ሽ ൌ ሾRሿሼUiሽ
ሼU୅ ሽ
ൌ ሾRሿሼU୧ ሽ
ሼUଵ ሽ
Se calculan los grados de libertad del pórtico
Como los desplazamientos están en coordendas locales del pórtico { UL }, se calculan las
fuerzas en los elementos de la estructura, y reacciones en los apoyos.
4. SOLUCIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA PARA SISTEMAS CON VARIOS
GRADOS DE LIBERTAD
Existen varias formas de Solución, entre las que se tiene: La Solución Modal, que consiste
en convertir el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas y linealmente dependientes,
en un conjunto de ecuaciones de equilibrio independiente. Generalmente se realiza el
análisis modal cronológico y el modal espectral. Otra forma de solución se hace por medio
de integración de las ecuaciones de equilibrio, el cual es análogo a sistemas de un grado de
libertad, con aplicación en sistemas estructurales con características no lineales.
Para encontrar la respuesta dinámica se utilizará un espacio vectorial, que es una región del
espacio-tiempo con ciertas propiedades o características matemáticas, construida a partir de
un conjunto de vectores linealmente independientes, que se conocen como la Base del
sistema, y que describen el movimiento del modelo estructural dentro del espacio vectorial,
usando combinaciones lineales y otras propiedades.
4.1 Solución Modal para el caso no amortiguado
En Vibración Libre se tiene el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
..
[m]u  + [k ]{u} = {0}
 
 
Se supone la solución de la forma:
{u i (t )}= {φi }f i (t )
{φi }: Vector de amplitudes
f (t )
i : Función que depende del tiempo
Derivo dos veces y reemplazo en la ecuación diferencial.
24

25. {u i (t )}= {φi }f&i (t )
&
{&u&i (t )}= {φi }&f&i (t )
[m]{φ i }f&i (t ) + [k ]{φ i }f i (t ) = {0}
&
 n   n 
 ∑ mijφ i && (t ) +  ∑ kijφ i f (t ) = 0
f
 j i  j i
 j =1   j =1 
Usando el método clásico de separación de variables en ecuaciones diferenciales:
n
&& (t ) ∑ kijφ j
i
f
= w2
j=1
− i = n
f (t ) ∑ mijφ i i
i j
j=1
Se observa que ambos lados de la expresión anterior son iguales a la frecuencia natural wi
al cuadrado. Por analogía a los sistemas de un grado de libertad la solución de esta ecuación
tiene dos partes:
La parte que depende del tiempo es:
&& (t ) + w 2 f (t ) = 0
f
i i i
La solución de la anterior ecuación diferencial es de la forma:
f (t ) = A Senw t + B Cosw t
i i i i i
w
i : Frecuencia natural
A B
i , i : Constantes que dependen de las condiciones iniciales y representan la amplitud
del movimiento oscilatorio.
La otra expresión es:
n
2n
∑ kijφ j − w i ∑ mijφ j = 0
i i
j=1 j=1
n 2n  i
 ∑ kij − w i ∑ mijφ j = 0
 j=1 j=1 
( ){ }
[k ] − w i2 [m] φ i = 0 (1)
Para solucionar este sistema de ecuaciones simultáneas se recurre al teorema de Cramer:
25

26. a) Si el determinante de un sistema lineal no homogéneo de n ecuaciones en el mismo
φ
número de incógnitas n , es diferente de cero, el sistema tiene exactamente una solución.
b) Si el sistema es homogéneo y el determinante es diferente de cero, únicamente se tiene la
φ
solución trivial n =0
c) Si el sistema es homogéneo y el determinante es igual a cero, se tiene soluciones no
φ ≠
triviales n 0.
Usando la parte c) del teorema se tiene que la ecuación (1) tiene solución no trivial si el
determinante de la matriz de coeficientes es cero
Det = [k ] − w 2 [m ] = 0
i Determinante característico
Al expandir el determinante se encuentra la ecuación característica o frecuencial, que es un
polinomio de grado 2n.
Como las matrices de masa y rigidez son simétricas y positivas definidas, las n raíces de
esta ecuación son reales y positivas, y se conocen como los Valores Propios, Eigenvalues o
valores normales. La matriz [k ] es positiva definida para evitar el movimiento de cuerpo
rígido de la estructura soportada, aunque no es necesario para estructuras como los aviones.
La matriz [m] es positiva definida para asegurar que la masa concentrada no sea eliminada
en todos los grados de libertad del análisis por la condensación estática.
Las n raíces son las frecuencias naturales de vibración del sistema, que es un valor propio si
se cumple el teorema de Cramer. Una matriz nxn tiene exactamente n frecuencias naturales.
Despejando de la ecuación anterior, se tiene:
[k ] = w i2 [m]
[m]−1[k ] = w i2 [m]− 1[m]
[m]−1[k ] = w i2 (2)
La Frecuencia fundamental es la frecuencia natural w más pequeña de las i-avas
i
frecuencias naturales. Una vez obtenidas las frecuencias de (2) se reemplazan en (1) los
w
valores de i y se obtienen n sistemas del tipo.
([k] − w 2 [m]){φ n }= 0
n n = 1, 2, 3…....
26

27. Para cada valor de w
n
{ }
existe un vector independiente φ n que es una solución no trivial
del sistema de ecuaciones simultáneas, que se conoce como vector característico,
Eigenvector o modo de vibración.
Para cada frecuencia w
n
{ }
se tiene un vector φ n que tiene una forma definida pero
amplitud arbitraria, dado por los valores relativos de los n desplazamientos,
correspondientes a las n frecuencias de vibración. Si existen n frecuencias naturales
entonces excitarán n modos de vibración. Si dos frecuencias son iguales, cualquier
combinación lineal de los modos, también es otro modo de vibración.
Los Modos de Vibración son propiedades del sistema que dependen de la rigidez y masa.
Cada modo se puede excitar independientemente y el movimiento del conjunto de masas se
w
moverá con la forma del modo y con una frecuencia natural n asociada al modo. El
movimiento general de un sistema de n grados de libertad se representa por la
superposición de los modos del sistema.
4.2 Ortogonalidad de los modos.
Cada modo corresponde a una frecuencia natural diferente que satisface la siguiente
condición de ortogonalidad. Cuando w ≠ w .
i n
{ }= w 2 [m]{φ n }
[k ] φ n n
Premultiplicando por la transpuesta del r-avo modo φ r{} T
{φ r } [k]{φ n }= w 2 {φ r } [m]{φ n }
T
n
T
(3)
Si se inicia con el modo r y premultiplicamos por el vector transpuesto del modo n, se tiene:
{φ n } [k]{φ r }= w 2 {φ n } [m]{φ r }
T
r
T
( 4)
Como la matriz [k ] = [k ] y la [m ] = [m ] , debido a que son simétricas, se tiene que la
T T
transpuesta de la matriz del lado derecho es igual a la transpuesta del lado izquierdo.
Usando la ecuación (3):
{φ n } [k]{φ r }= w 2 {φ n } [m]{φ r }
T
n
T
(5)
Restando (4) de (5)
27

28.  r
{ } {}
 w 2 − w 2  φ n T [m ] φ r = 0
 n
w2 − w2  = 0
 n
 r
{φ n } [m]{φ r }= 0
T
w2 ≠ w2
La ecuación anterior es verdadera cuando n r , que para sistemas con frecuencias
w ≠w
naturales positivas implica que n r , se puede concluir que:
{φ r } [k]{φ n }= 0
T
y {φ r } [m]{φ n }= 0
T
Y sustituyendo en la ecuación (3) y (4), se observa que se cumple la igualdad.
La ortogonalidad de los modos naturales de vibración implica que las siguientes matrices
cuadradas son diagonales, siempre y cuando r=n, si son diferentes, entonces las matrices
son iguales a cero
{φ r } [k]{φ n }= {w 2 }
T
r
{φ r } [m]{φ n }= {1}
T
El significado físico que implica la ortogonalidad modal, es que el trabajo hecho por la
fuerza inercial en el n-avo modo a través del desplazamiento en el r-avo modo, es igual a
cero.
4.3 Normalización de los Modos.
La Normalización consiste en tomar uno de los elementos del vector y asignarle un valor
arbitrario, por ejemplo 1, los elementos restantes quedan normalizados, respecto a este
{ }
valor, y los vectores se denominan modos normales. Si el vector φ n es un modo normal,
cualquier vector proporcional es prácticamente el mismo modo escalado por un factor. A
veces es conveniente normalizar cada modo en los elementos correspondientes a un grado
de libertad en particular, por ejemplo asignarle la unidad al último piso de un edificio de
varios pisos. Es común normalizar los modos respecto a la matriz de masa, es decir que la
n-ésima masa mn tenga valores unitarios, esta normalización se conoce como masa
ortonormal.
{φ r }T {φ r } = 1
{φ r }T [m]{φ r } = [I]
28

29. [I] es la matriz identidad.
Si los modos se normalizan con {φ r }T [m]{φ r }, entonces los vectores modales componen
un conjunto de vectores linealmente independientes. Se acostumbra a escribir todos los
modos en una sola Matriz modal
[Φ] = {φ1}{φ 2 }{φ 3 } {φ n }

......

 
4.4 Desacople de las Ecuaciones de Movimiento
Un vector siempre puede expresarse como una combinación lineal de los modos y pueden
describir cualquier movimiento del sistema, cada modo multiplicado por unas constantes
que dependen de las condiciones iniciales. Si el movimiento es forzado, las constantes
dependen de la solicitación. Las constantes indican el grado de participación de cada modo
en el movimiento total. Para vibración libre el movimiento del sistema se describe con la
siguiente expresión:
{u} = [Φ]{η}
Donde:
{U}: Grados de libertad globales
{η}: Nuevos Grados de libertad o generalizados
[Φ] : Matriz modal normalizada
Derivo dos veces y reemplazo en la ecuación diferencial de equilibrio dinámico.
 ..  .. 
u  = [Φ ]η
   
..
[m]u  + [k ]{u} = {0}
 
 
..
[m][Φ]η + [k ][Φ]{η} = {0}
 
 
Premultiplicamos por [Φ ]
T
[Φ]T [m][Φ]{&&} + [Φ]T [k ][Φ]{η} = {0}
η
Por el principio de ortogonalidad:
29

30. [Φ]T [m ][Φ]{η} = [I] [Φ]T [k ][Φ] = w 2 
 
y  
[I]{&&} + w 2 {η} = 0
η
 
 
Esto implica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo:
..
ηi + w 2 η = 0
i i
Para solucionar esta ecuación diferencial se aplican los mismos métodos que se usaron para
resolver sistemas de un grado de libertad.
Después que se obtiene la solución de la ecaución diferencial de cada grado de libertad
generalizado, la respuesta dinámica de la estructura es la superposición de la contribución
de cada modo.
{u} = [Φ ]{η} =
n
[{ } ] { } { }
∑ φ η (t ) = φ1 η1 (t ) + φ 2 η 2 (t ) + K + {φ n }η n (t )
i=1 i i
{η}: Sistema de coordenadas generalizadas, donde cada una actúa independientemente
como si fuera un grado de libertad único, que a su vez afecta los grados de libertad
globales, de forma tal que se mueven armónicamente en el modo correspondiente.
4.5 Vibración con Condiciones Iniciales
Una vez obtenida la respuesta dinámica de la estructura de cada una de las ecuaciones
desacopladas, se debe emplear la transformación de coordenadas siguiente para pasar a los
grados de libertad globales.
{u (t )} = [Φ ]{η}
Derivo
{u (t )} = [Φ ]{η}
& &
Para el caso no amortiguado la solución para los grados de libertad generalizados es de la
forma:
{η(t )} = {ASenwt} + {BCoswt}
Derivo
{η(t )} = {AwCoswt} − {BwSenwt}
&
Reemplazando en la respuesta dinámica de los grados de libertad globales:
30

31. {u(t )} = [Φ]{ASenwt} + [Φ]{BCoswt}
. 
u (t ) = [Φ ]{wACoswt } + [Φ ]{− wBSenwt }
 
{ } . 
Si se tienen condiciones iniciales u y u o 
o  
{ }
u = [Φ]{η(0 )} = [Φ]{B}
o
 .   . 
u o  = [Φ ]η(0 ) = [Φ]{wA}
&
   
Premultiplicando por [Φ ] [m ]
T
[Φ]T [m]{u o }= [Φ]T [m][Φ]{B} = {B}
[Φ]T [m]{u o }= [Φ]T [m][Φ]{wA} = {wA}
&
La solución de la respuesta dinámica de desplazamiento en el tiempo, de un sistema de
varias grados de libertad no amortiguado con condiciones iniciales es:
{u (t )} = [Φ][Φ]T [m ]{u o } 1 Senwt  + [Φ][Φ]T [m]{u o }{Coswt}
&  
w 
Problema: (Fuente: Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. García, Luis E.).
Hallar las frecuencias naturales, modos de vibración y la Respuesta Dinámica de
desplazamiento en coordenadas globales.
Estructura Idealizada
31

32. Matriz de masa de la estructura:
m 0 0 
 0 2m 0 
[m] =  
 0 0 2m
 
Usando el método de la rigidez directa:
12EI
Donde k = ×4 Columnas
L3
I: Momento de Inercia respecto al eje flexionado.
E: Modulo de elasticidad del material.
32

33. L: Altura del piso.
k: Rigidez del piso.
Matriz de rigidez del Edificio:
 k −k 0 
[k ] = − k 2k − k 
 
 0 − k 2k 
 
Ecuaciones de Movimiento
 .. 
u 
m 0 0  .. 3   k − k 0   u 3  0
 0 2m 0  u  + − k 2k − k  u  = 0
  2    2   
 0 0 2m  ..    0 − k 2k   u  0
     1   
u 
 1
 
Se pueden obtener n sistemas del tipo:
([k] − w 2 [m]){φ n }= 0
n
Las Frecuencias Naturales se hallan:
Det = [k ] − w 2 [m ] = 0
n
k − w 2m −k 0
Det = −k 2k − w 2 2m −k
0 −k 2k − w 2 2m
Expando el determinante
D = 4m 3 w 6 − 12km 2 w 4 + 9k 2 mw 2 − k 3 = 0 ÷ 4m 3
k 4 9 k 2 2 1 k3
w6 − 3 w + w − =0
m 4 m2 4 m3
k
Se puede hacer por comodidad w 2 = u y = 1 , se obtiene un polinomio de grado 3 con 3
m
raíces
33

34. 9 1
u 3 − 3u 2 + u− =0
4 4
u1 = 0.134
u2 = 1
u 3 = 1.886
k
Pero u = w 2 y colocando 1 = y ordenando de menor a mayor se obtienen las
m
frecuencias naturales del sistema
k k k
w 2 = 0.134 w2 = w 2 = 1.886
1 m 2 m 3 m
Los modos de vibración se calculan con:
([k] − w 2 [m]){φ n }= 0
n
k
Para w 2 = 0.134
1 m
  k 
k −  0.134 m m −k 0 
    φ 3  0
 −k
 k
2k −  0.134 2m −k  φ  = 0
  m  2   
    
 k    φ1  0
 0 −k 2k −  0.134 2m 

  m  
0.866k −k 0  φ 3  0
 −k    
 1.732k − k  φ 2  = 0

 0
 −k 1.732k   φ1  0
   
0.866kφ 3 − kφ 2 = 0 φ 3 = 1.155φ 2
(1)
− kφ 3 − 1.732kφ 2 − kφ1 = 0
(2)
− kφ 2 + 1.732kφ1 = 0
(3)
φ 2 = 1.732kφ1
De (3)
De (1)
( )
0.866kφ 3 − k 1.732φ1 = 0 φ 3 = 2φ1
De (2)
( )
− 2kφ1 − 1.732k 1.732φ1 − kφ1 = 0
0=0 φ 1 Solución Trivial
34

35. φ1
Puede tomar cualquier valor.
φ =1
Sea 1
 2 
Primer modo de vibración o modo fundamental { }  
φ1 = 1.732
 1 
 
k
Para w 2 =
2 m
 0 − k 0  φ 3  0
− k 0 − k  φ  = 0
  2   
 0 − k 0   φ  0
  1   
− kφ 3 = 0
− kφ 3 − kφ1 = 0 φ 3 = −φ1
− kφ 2 = 0
: Pueden tomar cualquier valor . Si φ1 = 1
φ1 φ 3
y
− 1
{ }
Segundo modo de vibración o Modo 2 φ 2 =  0 
 
1
 
k
Para w 2 = 1.886
3 m
− 0.866 −k 0  φ 3  0
 −k    
 − 1.732k − k  φ 2  = 0

 0
 −k − 1.732  φ1  0
   
− 0.866kφ 3 − kφ 2 = 0
− kφ 3 − 1.732kφ 2 − kφ1 = 0
− kφ 2 − 1.732kφ1 = 0 φ 2 = −1.732φ1
De (1) ( )
− 0.866kφ 3 − k − 1.732φ1 = 0 φ 3 = 2φ1
Si φ1 = 1
 2 
{ }  
Modo 3 φ 3 = − 1.732
 1 
 
35

36. Fuente: Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. García, Luis E.
Normalizando los modos respecto a la matriz de masa
{φ r }T [m]{φ r } = [I] Se obtienen las modas ortonormales
Modo 1:
m 0 0  2 
{2 1.732 1} 0 2m  1.732 = 12m
 0  
0 0  1 
2m  
  
 2  0.557 
{ }
φ1 =
1  
1.732 =
2 3m 
1 
m
 0.5 

 
 1  0.289 
Modo 2:
m 0 0  − 1
 0 2m 0   0  = 3m
{− 1 0 1}  
 0 0 2m   1 
  
− 1 − 0.557 
{φ 2 }= 1  
0 =
3m  
1 
m
 0 


1  0.557 
Modo 3:
36

37. m 0 0  2 
{2 − 1.732 1} 0 2m  − 1.732 = 12m
 0  
  1 
2m  
0 0  
 2  0.557 
{ }
φ3 =
1  
− 1.732 =
2 3m 
1 
m

 − 0.5 
 
 1  0.289
Matriz Modal
0.557 − 0.557 0.557
1 
[Φ ] =  0.5 0 − 0.5 

m
0.289 0.557 0.289
 
Usando la matriz [Φ] , se desacopla el sistema:
 0.557 0.5 0.289  m 0 0  0.557 − 0.557 0.557 
1    0 2m 0  1  0.5
[Φ ] [m][Φ ] = − 0.5 
T
m − 0.557 0 0.557    m 0 
 0.557 − 0.5 0.289   0 0 2m 
   0.289 0.557 0.289 
 
1 0 0
[Φ ]
T
[m][Φ ] = 0 1 0
 
0 0 1 
 
 0.557 0.5 0.289   k − k 0  0.557 − 0.557 0.557 
1 
0.557  − k 2k − k 
1 
[Φ ] [k ][Φ ] = − 0.5 
T
− 0.557 0  m  0.5 0
m  
 0.557 − 0.5 0.289   0 − k 2k 
   0.289 0.557 0.289 
 
0.1341 0 0 
[Φ ]
T
[k ][Φ ] =  0 1 0 
k

m
 0
 0 1.886

Las ecuaciones desacopladas
 .. 
1 0 0  η1  0.134 0 0   η1  0
0 1 0 η..  + k  0    
  2  m  1 0  η 2  = 0

0 0 1  .. 
  η   0
 0 1.886  η 3  0
   
 3
37

38. Como ecuaciones diferenciales independientes:
.. k
η1 + 0.134 η1 = 0
m
.. k
η2 + η2 = 0
m
.. k
η3 + 1.886 η3 = 0
m
Suponiendo un desplazamiento unitario como condición inicial y velocidad inicial igual a
cero:
 . 
u o  = {0}
 
1
{u o } = 1

1

 0.557 0.5 0.289 m 0 0  1 2.1547  B1 
{ }
{B} = [Φ ]T [m] u o = 1 
m
− 0.557 0  
    
0.557  0 2m 0  1 = m 0.5774 = B 2 
 0.557 − 0.5 0.289  0 0 2m 1
   
0.1548  B 
   3
La respuesta del sistema es:
{u} = {φ1}η1 (t ) + {φ 2 }η 2 (t ) + {φ 3 }η3 (t )
 u  0.557 − 0.557 0.557
 3      
u 2  =  0.5 2.1517Cosw1t +  0 0.5774Cosw 2 t +  − 0.5 0.1547Cosw 3 t
 u  0.289  0.557  0.289
 1      
 u   1.244  − 0.333  0.089 
 3   k   k   k
u 2  = 01.077Cos 0.134 t +  0 Cos t + − 0.077 Cos 1.886 t
 u   0.622  m   m   m
 1    0.333   0.045 
4.6 Análisis Modal en vibración libre con amortiguamiento
Cuando se incluye el amortiguamiento, la respuesta en la vibración libre es:
38

39. [m]{&&} + [c]{u} + [k ]{u} = {0}
u &
{u o } y
. 
u o 
  , se pueden expresar los desplazamientos
Si existen condiciones iniciales
{u} en términos de los modos naturales del sistema sin amortiguamiento:
[m][Φ]{&&} + [c][Φ]{η} + [k ][Φ]{η} = {0}
η &
Premultiplicando por [Φ]
T
[M]{&&} + [C]{η} + [K]{η} = {0}
η &
Donde
[M] = [Φ]T [m][Φ]
[C] = [Φ]T [c][Φ]
[K ] = [Φ]T [k ][Φ]
[C]es una matriz cuadrada pero no es diagonal, ya que depende de la distribución del
amortiguamiento en todo el sistema estructural. Si [C] es diagonal, representa el
amortiguamiento en las n-avas ecuaciones diferenciales desacopladas en las coordenadas de
los grados de libertad generalizados η , y se dice que el sistema tiene un amortiguamiento
clásico, ya que es aplicable a tales sistemas, con las mismas frecuencias naturales y modos
de vibración que el sistema no amortiguado.
El amortiguamiento generalmente se especifica con un valor para una relación modal,
suficiente para realizar un análisis de un sistema lineal. Por lo tanto no es práctico definir
los coeficientes en la matriz de amortiguamiento a partir de la geometría estructural,
sección de los elementos, y propiedades de amortiguamiento en materiales. El
amortiguamiento es un valor obtenido de ensayos experimentales los cuales son usados en
la relación modal.
Los coeficientes de la matriz de amortiguamiento clásicos se definen imponiendo unas
condiciones iniciales de velocidad unitaria en cada uno de los grados de libertad
generalizados, es decir de la ecuación de equilibrio desacoplada, obteniendo las fuerzas
internas de amortiguamiento en cada uno de los grados de libertad, se repite el proceso para
cada grado de libertad y se obtiene la matriz de amortiguamiento. Desacoplando la Matriz
[C] se tiene:
[C] = [Φ]T [c][Φ] = [2ξ i ωi ]
39

40. [2ξiωi ] es una matriz diagonal y i es el amortiguamiento asociado con el modo i en el
grado de libertad i obtenido de ensayos. Aunque la matriz de amortiguamiento se puede
desacoplar, no tiene relación con el amortiguamiento real en el grado de libertad
determinado. Por lo tanto lo que se hace es desacoplar la ecuación de equilibrio dinámico y
después el amortiguamiento se introduce en la ecuación desacoplada, evitando un gran
error.
2
&& + 2ξ w η + w ηi = 0
η &
i i i i i
Esta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos vistos anteriormente, para sistemas
de un grado de libertad. En cada ecuación desacoplada el amortiguamiento es el
correspondiente al modo i.
4.7 Excitación en la Base
La ecuación de movimiento para excitación en la base es:
.. ..
[m]u  + [k ]{u} = −[m][γ ]x o 
   
   
Usando coordenadas generalizadas y derivando respecto al tiempo:
{u (t )} = [Φ ]{η}
{u (t )} = [Φ ]{η}
& &
{&&(t )} = [Φ ]{&&}
u η
Reemplazando en la ecuación de equilibrio
.. ..
[m][Φ]η + [k ][Φ]{η} = −[m][γ]x o 
   
   
Premultiplicamos por [Φ ]
T
..
[Φ]T [m][Φ]{&&} + [Φ]T [k ][Φ]{η} = −[Φ]T [m][γ]x o 
η  
 
Por el principio de ortogonalidad:
[Φ]T [m ][Φ]{η} = [I] [Φ]T [k ][Φ] = w 2 
 
y  
Se obtienen n ecuaciones desacopladas de un grado de libertad.
40

41. 2 ..
&& + w ηi = −α i x
η
i i o
Se introduce el amortiguamiento clásico
2 ..
&& + 2ξ w η + w η = −α i x
η &
i i i i i i o
Donde:
[α] = [Φ]T [m][γ]
El valor máximo que puede tener η entre la base y la masa del sistema, es igual al leído en
i
el espectro de respuesta del sismo para la misma frecuencia w y el mismo amortiguamiento
ξ en un sistema de un grado de libertad.
η (max) = α Sd T ξ
i i i i
( )
Donde
( )
Sd T ξ
i i es el valor del espectro de desplazamientos.
Si se tiene el espectro de aceleraciones:
η (max) = α
i i
1
2
( )
Sa T ξ
i i
w
i
La matriz modal es:
[Φ] = {φ1}{φ 2 }{φ 3 } {φ n }

......

 
La respuesta dinámica de desplazamientos de la estructura se obtiene con:
{u (t )} = [Φ][α]{η} = {φ1}α1η1 (t ) + {φ 2 }α 2 η 2 (t ) + .............. + {φ n }α n η n (t ) =
n
{}
∑ φ ⋅ α η i (t )
i i
i =1
Si se toman los máximos de la respuesta dinámica de los grados de libertad generalizados
η
i , y se superponen, no se obtiene la máxima respuesta, ya que estos desplazamientos
máximos ocurren en tiempos diferentes, debido a la variación en el tiempo de la magnitud
de la aceleración. La máxima respuesta dinámica de desplazamiento modal,
correspondiente al modo i es:
41

42. {u (t )i }max = [Φ]{α iSd(w i ξ i )}= { } ( )
n
∑ φ ⋅ α Sd w ξ
i i i i
i =1
Las fuerzas dinámicas inerciales en la estructura de cada modo, se obtienen multiplicando
los desplazamientos de cada modo por la matriz de rigidez de la estructura.
{Fi} = [k ]{u i }
El cortante basal en el modo i correspondiente a la fuerza en el piso i es:
{Vi} = {1}T {Fi}
El momento de volcamiento en el modo i es:
{Mi} = {h}T {Fi}
Donde hi es la altura del piso i.
Para cada modo, las fuerzas dinámicas inerciales modales máximas se obtiene con:
{Fmod }= [k]{u imod }= [k]{φi }(ηi )max = [k]{φi }αiSd(w iξ i )
i
[α] por [Φ]T y usando ([Φ][m]) =  [m] [Φ]  = [m][Φ]
T  T T T
Premultiplicando  
[Φ]T [α ] = [Φ]T [Φ]T [m][γ ] = [Φ]T [m ][Φ][γ ] = [γ ]
La masa total de la estructura en cualquier grado de libertad, es la suma de las masas en
cada dirección principal. La masa total se relaciona con cada grado de libertad:
[m ]Total = [γ ]T [m ][γ ]
Reemplazando [γ ]
T
[m]Total =  [Φ]T [α] [m][Φ]T [α] = [α]T [Φ][m][Φ]T [α]
 
 
[m]Total = [α] [I][α] =
T
[∑ αi2 ]
La masa total corresponde a la suma de los cuadrados de los coeficientes de participación
modal αi. Este valor es la masa efectiva modal, y es el porcentaje de masa total que se
mueve en determinado modo de vibración. De acuerdo al NSR-98, se deben tener en cuenta
los modos que muevan más del 90% de la masa total del sistema estructural.
42

43. Problema: Encontrar la respuesta dinámica modal en términos de desplazamiento y las
fuerzas dinámicas inerciales máximas, de una edificación para vivienda ubicada en el norte
de la ciudad de Cali, donde de acuerdo a las características geotécnicas del suelo, este se ha
catalogado como un S2. El edificio tiene diafragma rígido y está sometido a la aceleración
espectral del NSR-98 en la base. La altura del entrepiso a ejes es 2.8 m, en cada piso hay 6
columnas y todas tiene una sección de 40X40 cm. Las losas de los pisos 1 y 2 tienen un
peso de 800 kgf/m2, la losa del piso 3 tiene un peso de 200 kgf/m2, todas las losas tienen
un área de 20X15 m2, y f´c = 28 MPa. Desprecie la masa de las columnas.
Coeficientes del espectro:
I= 1
Aa = 0.25
S= 1.2
Tc = 0.576 s
TL = 2.88 s
ESPECTRO DEFINIDO PARA UN COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO
RESPECTO AL CRÍTICO ξ = 5% a(g)
0.7
0.6
0.5
0.4
Sa (g)
0.3
0.2
0.1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
T (s)
43

44. Evaluación de cargas
Piso 1 y 2:
m1 = m2 = 800*15*20 = 240.000 kg
Piso 3:
m3 = 200*15*20 = 60.000 kg
Matriz de masa [kg] o [Tn]
60 0 0 
 0 240 0 
[m] =  
0
 0 240
 [Tn]
Matriz de rigidez
Las unidades se dan en [N/m] o [kN/m], si la matriz de está en [kg] o [Tn] respectivamente.
Se ha encontrado que una losa con un módulo de elasticidad como el del concreto,
Ec = 3900 f´c = 20637 MPa , y con una altura de más de 1.50 m, no es suficientemente
rígida a flexión. Por lo tanto, la rigidez del piso, es similar a la de una columna en voladizo.
Para simular un piso rígido, se debe usar un módulo de elasticidad muchísimo mas grande
que el del concreto.
Por lo tanto la rigidez del piso será:
3EI
k= ×6 Columnas
L3
I: Momento de Inercia respecto al eje flexionado.
E: Modulo de elasticidad del material.
L: Altura del piso.
0.4 * 0.4 3
3 * 20637 * 10 6 * I
k= 12 × 6 = 36100 kN/m
2.83
Usando el método de la rigidez directa:
44

45. Matriz de rigidez del Edificio:
 36100 − 36100 0 
− 36100 72200 − 36100
[k ] =  
 0
 − 36100 72200 
 [kN/m]
Ecuaciones de Movimiento
.. ..
[m][Φ]η + [k ][Φ]{η} = −[m][γ]x o 
   
   
 .. 
u  x 
60 0 0  .. 3   36100 − 36100 0  u 3  60 0 0  1&& o1 
 0 240 0  u  + − 36100 72200 − 36100 u  = −  0 240 0  1x 
  2    2     && o 2 
0 
0 240 ..   0 u 
− 36100 72200  1 0 0 240 1 
         && 
x
u1   o3 
 
Se pueden obtener n sistemas del tipo:
([k] − w 2 [m]){φ n }= 0
n
Las Frecuencias Naturales se hallan:
Det = [k ] − w 2 [m ] = 0
n
45

46. [k ] = w i2 [m]
[m]−1[k ] = w i2 [m]− 1[m]
[m]−1[k ] = w i2 (2)
Las frecuencias naturales al cuadrado del sistema son:
2 2 2
 rad   rad   rad 
w 2 = 47.93  w 2 = 354.67  w 2 = 800.73 
1  s  2  s  3  s 
La matriz modal es:
 1 − 0.872 1 
- 0.331 - 0.358 0.920
[Φ] =  
 0
 1 0.547

La columna 1 corresponde al modo 1, la 2 al modo 2 y la 3 al modo 3. El modo 1 y 3 están
normalizados respecto a la unidad en el último piso, mientras que en el modo 2 se le asigno
un valor unitario al primer piso.
Normalizando los modos respecto a la matriz de masa
Modo 1:
60 0 0  1 
{1 − 0.331 0.1}  0 240 0  - 0.331 = 88.65
 
0  0.1 
0 240 
  
 0.1062 
{ }  
φ1 = - 0.0351
 0.0106 
 
Modo 2:
60 0 0  - 0.872
{− 0.872 − 0.358 1} 0 240 0  - 0.358 = 316.36
 
0  1 
0 240 
  
− 0.0490
{ }  
φ 2 =  - 0.0201 
 0.0562 
 
46

47. Modo 3:
60 0 0  1 
{1 0.920 0.547} 0 240 0  0.920 = 335.19
 
 0.547 
0 240 
0  
0.0546
{ }  
φ 3 = 0.0503
0.0299
 
Matriz Modal Normalizada
 0.1062 − 0.0490 0.0546
[Φ] = - 0.0351 - 0.0201 0.0503
 
 0.0106 0.0562 0.0299
 
Usando la matriz [Φ] , se desacopla el sistema:
 0.1062 − 0.0351 0.0106 60 0 0   0.1062 − 0.0490 0.0546
[Φ ] T - 0.0490 - 0.0201 0.0562  0 240 0  - 0.0351 - 0.0201 0.0503
[m][Φ ] =    
 0.0546 0.0503 0.0299  0
  0 240  0.0106 0.0562 0.0299
 
1 0 0
[Φ ] T
[m][Φ ] = 0 1 0
 
0 0 1 
 
 0.1062 − 0.0351 0.0106  36100 − 36100 0   0.1062 − 0.0490 0.0546
[Φ]T - 0.0490 - 0.0201 0.0562 − 36100 72200 − 36100 - 0.0351 - 0.0201 0.0503
[k ][Φ ] =    
 0.0546 0.0503 0.0299  0
  − 36100 72200   0.0106 0.0562 0.0299
 
800.73 0 0 
[Φ] T  0
[k ][Φ] =  354.7 0 
 0
 0 47.93

 0.4767 
[α] = [Φ]T [m][γ] =  5.7233 
 
22.5172
 
Las ecuaciones desacopladas
47

48.  .. 
1 0 0  η1  800.73 0 0   η1   0.4767 
..  
0 1 0  η +  
   2  0 354.7 0  η 2  = - 5.7233  ⋅ && (t)
   xo
0 0 1   ..   0
 η   0 47.93  η 3  22.5172
   
 3
Como ecuaciones diferenciales independientes:
..
η1 + 800.73η1 = −0.4767&& (t)
x
o
..
η 2 + 354.7 η 2 = 5.7233&& (t)
x
o
..
η 3 + 47.93η = 22.5172&& (t)
x
3 o
Se introduce el amortiguamiento clásico modal
2 ..
&& + 2ξ w η + w η = −α i x
η &
i i i i i i o
Donde  es el coeficiente de amortiguamiento crítico. Usando = 5%, como el
amortiguamiento asociado con los modos en cada uno de los 3 grados de libertad.
2ξ w = 2 * 0.05 * 28.30 = 2.83
1 1
2ξ w = 2 * 0.05 * 18.83 = 1.88
2 2
2ξ w = 2 * 0.05 * 6.92 = 0.692
3 3
Las ecuaciones desacopladas quedan:
..
η1 + 2.83η + 800.73η1 = −0.4767 && (t)
& x
1 o
..
η 2 + 1.88η + 354.7 η 2 = 5.7233&& (t)
& x
2 o
..
η 3 + 2.83η + 47.93η = 22.5172&& (t)
& x
3 3 o
Del espectro de respuesta se tiene Tc = 0.576 s y TL = 2.88 s.
Modo 1:
48

49. 2π
T1 = = 0.222 s
w
1
m
Sa = 2.5AaI = 2.5 * 0.25 * 9.81 * 1.0 = 6.13 2
1 s
Sa
Sd = = 0.0077 m
1 2
w1
Modo 2:
2π
T2 = = 0.334 s
w
2
m
Sa = 2.5AaI = 2.5 * 0.25 * 9.81 * 1.0 = 6.13
2 s2
Sa
Sd = = 0.0173 m
2 2
w2
Modo 3:
2π
T3 = = 0.908 s
w3
1.2AaIS 1.2 * 0.25 * 9.81 * 1.0 * 1.2 m
Sa 3 = = = 3.89
T 0.908 s2
Sa
Sd = = 0.0811 m
3 2
w3
La máxima respuesta dinámica de desplazamiento modal, correspondiente al modo i es:
{u (t )i }max = [Φ]{α iSd(w i ξ i )}= { } ( )
n
∑ φ ⋅ α Sd w ξ
i i i i
i =1
η max = α Sd w ξ
i i i i
( )
η max = α Sd = 0.4767 * 0.0077 = 0.00365 m
1 1 1
η max = α Sd = 5.7233 * 0.017 = 0.097 m
2 2 2
η max = α Sd = 22.5172 * 0.0077 = 0.173 m
3 3 3
La respuesta del sistema es:
{u}max = {φ1}η1 max + {φ 2 }η 2 max + {φ 3 }η3 max
49

50.  u   0.1062  − 0.0490 0.0546
 3      
u 2  = - 0.0351 * 0.0365 +  - 0.0201  * 0.097 + 0.0503 * 0.173
 u   0.0106   0.0562   
 1     0.0299
 u   0.00388  − 0.00475 0.00944
 3      
u 2  = - 0.00128 +  - 0.00195  + 0.00870
 u   0.00039   0.00545  0.00517 
 1      
 u  0.00857 
 3  
u 2  = 0.00547  [m]
 u   0.01101
 1  
Las fuerzas inerciales máximas resultantes de todos los modos
{Fi} = [k ]{u i }
 F   111.91 
 3  
F2  = - 311.90 [kN]
 F   597.46 
 1  
El momento de volcamiento es:
{Mi} = {h}T {Fi}
 M   313.35 
 3  
M 2  = - 873.32 [kN.m]
 M  1588.89 
 1  
50