Análisis estructural solución de vigas por integración

1. DEPARTAMENTO DE PROGRAMACIÓN Y TECNOLOGÍA EDUCATIVA
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración
Guía de Ejercicios
Profesor Francisco D’Amico D’Agosto
Abril 2003

2. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 1
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración
Guía de Ejercicios 1
A continuación se muestran 6 modelos matemáticos diferentes de vigas
isostáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante y momento determine
para cada viga:
Reacciones en los vínculos.
Ecuaciones que describen a las características de solicitación en todas
las secciones.
Diagrama de fuerza cortante y momento flector.
No se dispone de información acerca de las características del material y de la
sección de las vigas.

3. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 2
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

4. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 3
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por simetría:
4500 4 1
2 9000
2 2
i jR R kgf
⋅
= = ⋅ = ↑
Otra forma, por equilibrio:
1 4500 4 2 4500 4
0 4 4 4 8 0
3 2 3 2
9000
4500 4
0 2 9000 0
2
9000
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅ ⋅ 
= ⇒ ⋅ ⋅ + + ⋅ − = 
 
⇒ = ↑
⋅
= ⇒ − ⋅ + + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( ) ( ) 2
0 4 (primer segmento)
4500
4500 1125 4500
4
562,5 4500 9000
x
W x x x
V x W x dx x x
≤ ≤
= − = −
= = − +∫
Ri Rj

5. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 4
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 2
2
3
187,5 2250 9000
4 0
4 12000
0 4 (segundo segmento)
4500
1125
4
562,5
187,5 12000
4 9000
4 0
M x V x dx x x x
V
M mkgf
x
W x x x
V x W x dx x
M x V x dx x
V kgf
M
= = − +
=
=
≤ ≤
= − = −
= = −
= = − +
= −
=
∫
∫
∫
Diagramas de cortante y momento:

6. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 5
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
( )
7,50 1 3000 7,5
0 2000 7,5 5 3000 7,5 7,5 0
2 3 2
13250
7,5
0 5000 2000 3000 13250 0
2
16000
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅
= ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − =
⇒ = ↑
= ⇒ − + − + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
0 5 (primer segmento)
5000 3000
5000 400 5000
5
200 5000 16000
200
2500 16000
3
5 4000
5 25833,33
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
−
= − = −
= − +
= − +
= −
=

7. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 6
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
0 200 5000 16000 0
3,77
21,23 5 no es solución
3,77 28360,10
5 (fuerza puntual)
5 3000 4000 7000
5 25833,33
0 2,50 (segundo segmento)
3000 2000
3000 400 3000
2,5
20
V x x x
x m
x m m
M mkgf
x
V kgf
M mkgf
x
W x x x
V x
= ⇒ − + =
=
= >
=
=
= − − = −
=
≤ ≤
−
= − = −
=
( )
( )
( )
2
3 2
0 3000 7000
200
1500 7000 25833,33
3
2,5 13250
2,5 0
x x
M x x x x
V kgf
M
− −
= − − +
= −
=
Diagramas de cortante y momento:

8. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 7
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
( )
2 3000 2 1 3000 3 3
0 2 750 2 3 5 1000 3 5 1,5 1500 8 0
3 2 3 2 2
5937,5
3000 2 3000 3
0 1000 3 1500 5937,5 0
2 2
6062,5
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅ ⋅   
= ⇒ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ − =   
   
⇒ = ↑
⋅ ⋅
= ⇒ − − − ⋅ − + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
0 2 (primer segmento)
3000
1500
2
750 6062,5
250 6062,5
2 3062,5
2 10125
2 (momento aplicado)
3062,5
750 10125 10875
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
x
V x kgf
M x mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − +
=
=
=
=
= + =
Ri Rj

9. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 8
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
2
1
2
0 3 (segundo segmento)
3000
3000 1000 3000
3
500 3000 3062,5
500
1500 3062,5 10875
3
3 1437,5
3 11062,59
0 500 3000 3062,5 0
1,3
4,7 3 no es solución
(1,3) 12
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
V x x x
x m
x m m
M
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + +
= −
=
= ⇒ − + =
⇒ =
⇒ = >
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
687,42
0 1,5 (tercer segmento)
1000
1000 1437,5
500 1437,5 11062,59
1,5 2937,5
1,5 7781,34
1,5 (fuerza puntual)
1500 2937,5 4435,5
7781,34
0 1,5 (cuarto
mkgf
x
W x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
x
V x kgf
M x mkgf
x
≤ ≤
= −
= − −
= − − +
= −
=
=
= − − = −
=
≤ ≤
( )
( )
( )
( )
( )
2
segmento)
1000
1000 4437,5
500 4437,5 7781,34
1,5 5937,5
1,5 0
W x
V x x
M x x x
V kgf
M
= −
= − −
= − − +
= −
=

10. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 9
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Diagramas de corte y momento:

11. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 10
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
( )
1000 2,5 2100 3,5
0 2000 0
2 2
6925
2 1000 2,5 1 2100 3,5
0 2,5 2,5 1 2000 4,5 3,5 0
3 2 3 2
29908,33
V
F Ri
Ri kgf
Mi Mi
Mi mkgf
⋅ ⋅
= ⇒ − − − =
⇒ = ↑
⋅ ⋅ 
= ⇒ − + ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = 
 
⇒ =
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
0 2,5 (primer segmento)
1000
400
2,5
200 6925
200
6925 29908,33
3
2,5 5675
2,5 13637,55
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + −
=
= −
( )
( )
( )
0 1 (segundo segmento)
0
5675
5675 13637,55
x
W x
V x
M x x
≤ ≤
=
=
= −
Ri
Mi

12. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 11
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
1 5675
1 7962,55
V kgf
M mkgf
=
= −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 2
1 (fuerza puntual)
2000 5675 3675
7962,55
0 1 (tercer segmento)
0
3675
3675 7962,55
1 3675
1 4287,55
0 3,5 (cuarto segmento)
2100
2100 600 2100
3,5
300 2100
x
V x
M x mkgf
x
W x
V x
M x x
V kgf
M mkgf
x
W x x x
V x x x
=
= − + =
= −
≤ ≤
=
=
= −
=
= −
≤ ≤
= − = −
= − +
( )
( )
( )
3 2
3675
100 1050 3675 4287,55
3,5 0
3,5 0
M x x x x
V
M
= − + −
=
=
Diagramas de corte y momento:

13. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 12
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
6000 7
0 0
2
21000
2 6000 7
0 250 300 350 7 0
3 2
98900
V
F Ri
Ri kgf
Mi Mi
Mi mkgf
⋅
= ⇒ − =
⇒ = ↑
⋅
= ⇒ − + + + + ⋅ ⋅ =
⇒ =
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
0 2 (primer segmento)
1714,29
857,14
2
428,57 21000
142,86 21000 98900
2 19285,72
2 58042,88
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + −
=
= −
( )
( )
2 (momento aplicado)
19285,72
58042,88 250 57792,88
x
V x kgf
M x mkgf
=
=
= − + = −
Ri
Mi

14. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 13
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
0 2 (segundo segmento)
1714,29
1714,29 857,14 1714,29
2
428,57 1714,29 19285,72
142,86 857,15 19285,72 57792,88
2 14142,86
2 23792,87
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= − − = − −
= − − +
= − − + −
=
= −
( )
( )
2 (momento aplicado)
14142,86
23792,87 300 23492,87
x
V x kgf
M x mkgf
=
=
= − + = −
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
0 3 (tercer segmento)
2571,43
3428,57 857,14 3428,57
3
428,57 3428,57 14142,86
142,86 1714,29 14142,86 23492,87
3 0
3 350,12
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V
M mkgf
≤ ≤
= − − = − −
= − − +
= − − + −
=
= −
( )
( )
3 (momento aplicado)
0
350,12 350 0,12 0
x
V x
M x mkgf
=
=
= − + = − ≈
Diagramas de corte y momento:

15. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 14
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
1,5 3 7500 1000 6 7500 12 9 1000
56250
0 7500 15 56250 0
56250
izq der
V
Mi Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
= ⇒ − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ + +
⇒ = ↑
= ⇒ − ⋅ + + =
⇒ = ↑
∑ ∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 3 (primer segmento)
7500
7500
3750
3 22500
3 33750
x
W x
V x x
M x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
( )
( )
3 (momento aplicado + reacción)
22500 56250 33750
33750 1000 32750
x
V x kgf
M x mkgf
=
= − + =
= − + = −
Ri Rj

16. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 15
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 9 (segundo segmento)
7500
7500 33750
3750 33750 32750
0 7500 33750 0 4,5
4,5 43187,50
9 33750
9 32750
9 (momento aplicado + reacción)
33750 56250 22500
x
W x
V x x
M x x x
V x x x m
M mkgf
V kgf
M mkgf
x
V x kgf
M
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= ⇒ − + = ⇒ =
=
= −
= −
=
= − + =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
32750 1000 33750
0 3 (tercer segmento)
7500
7500 22500
3750 22500 33750
3 0
0 0
x mkgf
x
W x
V x x
M x x x
V
M
= − − = −
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
=
=
Diagramas de corte y momento:

17. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 16
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración
Guía de Ejercicios 2
A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas
hiperestáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante, momento, rotación
y deformación determine para cada viga:
Ecuación general de la carga.
Ecuación general de la fuerza cortante.
Ecuación general del momento flector.
Ecuación general de la deformada (elástica).
Momento flector máximo y distancia a la cual se encuentra.
Deformación máxima y distancia a la cual ocurre.
Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia Ixx = 9600
cm4
en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm2
.

18. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 17
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

19. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 18
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri
Mi
Rj
Mj

20. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 19
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
4 3 2
1
1
5 4 3 2
2
2
4500
4500
8
4500
4500
16
4500
2250
48
4500 2250
192 3 2
0 0 0
4500 2250
960 12 6 2
0 0 0
8 0
8 0
0 288000 32 8
0 6
xx
xx
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
Ri
EI x x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= − + −
= − 14400 85,3 32
resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
12600
14400
4500 8
0 12600 0 5400
2
V
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf
F Rj Rj kgf


+ −
=
=
⋅
= ⇒ − + = ⇒ =∑

21. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 20
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]2
1 8
0 14400 8 4500 8 5400 0 9600
3 2
Ecuación general de la carga:
562,50 4500 0,8
Ecuación general de la fuerza cortante:
281,25 4500 12600 0,8
Ecuación general del moment
Mi M j M j mkgf
W x x x
V x x x x
= ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
∑
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
3 2
4 3 2
5 4 3 2
o flector:
93,75 2250 12600 14400 0,8
23,44 750 6300 14400 0,8
Ecuación general de la deformada:
4,69 187,5 2100 7200 0,8
Máximo momento flector:
0 281
xx
xx
M x x x x x
EI x x x x x x
EI x x x x x x
V x
θ
δ
= − + − ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒
( )
( )
( )
( )
2
1
2
4 3 2
1
2
3
,25 4500 12600 0
3,62
12,38 8 no es solución
3,62 6174,41
0 14400
0 14400 para 0
Máxima deformación:
0 23,44 750 6300 14400 0
0 empotramiento
3,8
x x
x m
x m m
M mkgf
M mkgf
M M mkgf x
x x x x x
x
x m
x
θ
− + =
⇒ =
⇒ = >
=
= −
⇒ = = − =
= ⇒ − + − =
⇒ =
⇒ =
⇒
( )
4
8 empotramiento
20,19 8 no es solución
3,8 1,2 para 3,8
m
x m m
cm x mδ δ
=
⇒ = >
⇒ = = − =

22. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 21
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
1
1
4 3 2
2
2
2000
2000
1000
333,3
2
0 0 0
83,3
6 2
0 0 0
8 0
8 0
170666,6 32 8
341333,3 85,3 32
resolviendo el si
xx
xx
W x
V x x Ri
M x x Rix Mi
Ri
EI x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
 = −

= −
stema de ecuaciones resulta:
8000
10666,67
por simetría 8000
Ri kgf
Mi mkgf
Rj kgf
=
=
=
Ri
Mi
Rj
Mj

23. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 22
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) 2
por simetría: 10666,67
Ecuación general de la carga:
2000 0,8
Ecuación general de la fuerza cortante:
2000 8000 0,8
Ecuación general del momento flector:
1000 8000 10166,67
M j mkgf
W x x
V x x x
M x x x
=
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − [ ]
( ) [ ]
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
4 3 2
0,8
Ecuación general de la deformada:
83,33 1333,33 5333,33 0,8
Máximo momento flector:
0 2000 8000 0
4
4 5333,33
0 10666,67
8 10666,67
0 8 10666,67
xx
x
EI x x x x x
V x x
x m
M mkgf
M mkgf
M mkgf
M M M mkgf
δ
∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
=
= −
=
⇒ = = = −
( )
( )
3 2
1
2
3
para 0 y 8
Máxima deformación:
0 333,33 4000 10666,67 0
0 empotramiento
4
8 empotramiento
4 1,06 para 4
x x
x x x x
x
x m
x m
cm x m
θ
δ δ
= =
= ⇒ − + − =
⇒ =
⇒ =
⇒ =
⇒ = = − =

24. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 23
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
4 3 2
1
1
5 4 3 2
2
2
400 5000
200 5000
200
2500
3
200 2500
12 3 2
0 0 0
200 2500
60 12 6 2
0 0 0
7,5 0
7,5 0
298828,13 28,13 7,5
580078
xx
xx
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
Ri
EI x x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
,12 70,31 28,13
resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
15363,19
17778,44
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf


= −
=
=
Ri
Mi
Rj
Mj

25. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 24
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
2
3 2
Ecuación general de la carga:
400 5000 0;7,5
Ecuación general de la fuerza cortante:
200 5000 15363,19 0;7,5
Ecuación general del momento flector:
66,67 2500 15363,19 17778,44
W x x x
V x x x x
M x x x x
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − [ ]
( ) [ ]
( )
( )
5 4 3 2
2
1
2
0;7,5
Ecuación general de la deformada:
3,33 208,33 2560,53 8889,22 0;7,5
Máximo momento flector:
0 200 5000 15363,19 0
3,59
21,41 7,5 no es solución
3,59 8239,88
xx
x
EI x x x x x x
V x x x
x m
x m m
M m
δ
∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
⇒ = >
=
( )
( )
( ) 4 3 2
1
2
3
4
0 17778,44
0 17778,44 para 0
Máxima deformación:
0 16,67 833,33 7681,60 17778,44 0
0 empotramiento
3,66
7,5 empotramiento
38,83 7,5 no es solución
kgf
M mkgf
M M mkgf x
x x x x x
x
x m
x m
x m m
θ
δ
= −
⇒ = = − =
= ⇒ − + − =
⇒ =
⇒ =
⇒ =
⇒ = >
⇒ = ( )3,66 1,43 para 3,66cm x mδ = − =

26. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 25
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
4 2
1
1
5 3 2
2
2
6000
7
6000
14
6000
42
6000
168 2
0 0 0
6000
840 6 2
0 0 0
7 0
7 0
49000 7
120050 57,16 24,5
resolviendo e
xx
xx
W x x
V x x Ri
M x x Rix Mi
Ri
EI x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x C
x x C
x M x
x x
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
 = −

= −
l sistema de ecuaciones resulta:
9450
17150
Ri kgf
Mi mkgf
=
=
Ri
Mi
Rj

27. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 26
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
2
3
Ecuación general de la carga:
6000
0,7
7
Ecuación general de la fuerza cortante:
6000
9450 0,7
14
Ecuación general del momento flector:
6000
9450 17150 0,7
42
Ecuación general
W x x x
V x x x
M x x x x
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
( ) [ ]
( )
( )
( )
( )
5 3 2
2
1
2
de la deformada:
6000 9450 17150
0,7
840 6 2
Máximo momento flector:
6000
0 9450 0
14
4,7
4,7 0 no es solución
4,7 12433,18
0 17150
0 17150 para 0
Máxi
xxEI x x x x x
V x x
x m
x m
M mkgf
M mkgf
M M mkgf x
δ = − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
⇒ = − <
=
= −
⇒ = = − =
( )
( )
4 2
1
2
3
4
ma deformación:
0 35,71 4725 17150 0
0 empotramiento
4,18
8,83 7 no es solución
13,01 0 no es solución
4,18 2,18 para 4,18
x x x x
x
x m
x m m
x m
cm x m
θ
δ δ
= ⇒ − + − =
⇒ =
⇒ =
⇒ = >
⇒ = − <
⇒ = = − =

28. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 27
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración
Guía de Ejercicios 3
A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas
hiperestáticas y 6 de vigas isostáticas; utilizando las relaciones entre carga,
cortante, momento, rotación y deformación determine para cada viga:
La rotación en las secciones I, J, A y B.
El desplazamiento vertical en las secciones I, J, A y B.
Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia Ixx =
10000 cm4
en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm2
.

29. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 28
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

30. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 29
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
1
3 2
2
2
Tramo (I-J) 0 5
0
(1)
2
0 0 0
(2)
6 2
0 0 0
condiciones en la frontera:
5
5 5
25
5 5
2
xx
xx
xx
x
W x
V x Ri
M x Rix Mi
Ri
EI x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x C
x x C
V Ri
M Ri Mi
EI Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
≤ ≤
=
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= −
= − +
= − +
( )
( )
( ) 2
Articulación J (condiciones en la frontera)
5
Voladizo (J-A) 0 2
1000
(3) 1000
(4) 500 5
Vj Ri Rj
Mj Ri Mi
x
W x
V x x Ri Rj
M x x Rix Rjx Ri Mi
= − +
= − +
≤ ≤
= −
= − − +
= − − + − +
Ri
Mi
Rj

31. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 30
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2 2
3
4 3 3 2 2
3 4
4
3 3
500
(5) 5
3 2 2
500 5
(6)
12 6 6 2 2
0 0 0
con (1) y (5): 5 0
25 25
5 5 0 (I)
2 2
de (2) 5
xx
xx
tramo voladizo
xx xx
Ri Rj
EI x x x x Rix Mix C
Ri Rj Mi
EI x x x x Rix x C x C
x x C
EI EI
Ri Mi C Ri Mi C
θ
δ
δ
θ θ
δ
= − − + − + +
= − − + − + + +
= ⇒ = ⇒ =
=
− + = ⇒ − + − =
=
( )
( )
125 25
0 0 (II)
6 2
de (3) 2 0 2000 0 2000 (III)
de (4) 2 0 2000 7 2 0 7 2 2000 (IV)
formando sistema con I, II, III y IV:
25
0 5 1
2
125 25
0 0
6 2
1 1 0 0
7 2 1 0
Ri Mi
V Ri Rj Ri Rj
M Ri Rj Mi Ri Rj Mi
⇒ − + =
= ⇒ − − + = ⇒ − + =
= ⇒ − − + + = ⇒ − + + =

− −

−


−
−
( )
( )
2
3 3
6000
26000
2000 1000
2000 2500
Nodo I: de ecuación (1) 0 0
de ecuación (2) 0 0
Nodo B: de ec
Ri Ri kgf
Rj Rj kgf
Mi Mi mkgf
C C kgfm
θ
δ

 =   
     =    ⋅ =     =
    
= −     
 
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
4
4
3
uación (1) 2,5 2,976 10
de ecuación (2) 2,5 7,440 10
Nodo J: de ecuación (5) 0 1,190 10
de ecuación (6) 0 0
Nodo A: de ecuación (5) 2 1,82
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
= ⋅
= ⋅
= − ⋅
=
= −
( )
3
3
5 10
de ecuación (6) 2 3,333 10
rad
mδ
−
−
⋅
= − ⋅

32. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 31
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
1
3 2
2
2
Tramo (I-J) 0 5
0
(1)
2
0 0 0
(2)
6 2
0 0 0
condiciones en la frontera:
5
5 5
25
5 5
2
xx
xx
xx
x
W x
V x Ri
M x Rix Mi
Ri
EI x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x C
x x C
V Ri
M Ri Mi
EI Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
≤ ≤
=
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= −
= − +
= − +
( )
( )
( )
2
3
Articulación J (condiciones en la frontera)
5
Voladizo (J-A) 0 2
500
(3) 250
250
(4) 5
3
Vj Ri Rj
Mj Ri Mi
x
W x x
V x x Ri Rj
M x x Rix Rjx Ri Mi
= − +
= − +
≤ ≤
= −
= − − +
= − − + − +
Ri
Mi
Rj

33. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 32
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
4 2 2
3
5 3 3 2 2
3 4
4
3 3
250
(5) 5
12 2 2
250 5
(6)
60 6 6 2 2
0 0 0
con (1) y (5): 5 0
25 25
5 5 0 (I)
2 2
de (2) 5
xx
xx
tramo voladizo
xx xx
Ri Rj
EI x x x x Rix Mix C
Ri Rj Mi
EI x x x x Rix x C x C
x x C
EI EI
Ri Mi C Ri Mi C
θ
δ
δ
θ θ
δ
= − − + − + +
= − − + − + + +
= ⇒ = ⇒ =
=
− + = ⇒ − + − =
( )
( )
125 25
0 0 (II)
6 2
de (3) 2 0 1000 0 1000 (III)
2000 2000
de (4) 2 0 7 2 0 7 2 (IV)
3 3
formando sistema con I, II, III y IV:
25
0 5 1
2
125 25
0 0
6 2
1 1 0 0
7 2 1 0
Ri Mi
V Ri Rj Ri Rj
M Ri Rj Mi Ri Rj Mi
= ⇒ − + =
= ⇒ − − + = ⇒ − + =
= ⇒ − − + + = ⇒ − + + =

− −

−
−
−
( )
( )
2
3 3
0 400
0 1400
1000
666,67
2000
1666,67
3
Nodo I: de ecuación (1) 0 0
de ecuación (2) 0 0
No
Ri Ri kgf
Rj Rj kgf
Mi Mi mkgf
C C kgfm
θ
δ

  =      =   ⋅ =      =       = −        
=
=
( )
( )
( )
( )
4
4
4
do B: de ecuación (1) 2,5 1,984 10
de ecuación (2) 2,5 4,960 10
Nodo J: de ecuación (5) 0 7,937 10
de ecuación (6) 0 0
Nodo A: de ecuación (
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= ⋅
= ⋅
= − ⋅
=
( )
( )
3
3
5) 2 1,270 10
de ecuación (6) 2 2,286 10
rad
m
θ
δ
−
−
= − ⋅
= − ⋅

34. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 33
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
2
Por simetría: 1000
Voladizo izquierdo 0 1
1000
1000
500
condiciones en la frontera:
1 1000
1 500
Articulación I condiciones en la frontera:
1000 1000 0
500
Tr
Ri Rj kgf
x
W x
V x x
M x x
V kgf
M mkgf
Vi
Mi mkgf
= =
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
= − + =
= −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1 2
2
2 2
1 1
amo (I-J) 0 5
0
0
500
(1) 500
(2) 250
0 0 0
5 0 250 5 5 1250
xx
xx
x
W x
V x Vi
M x
EI x x C
EI x x C x C
x x C
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
=
= =
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⇒ =
Ri Rj

35. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 34
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
4
4
Nodo I: de (1) 0 5,952 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 0
de (2) 2,5 7,440 10
Nodo J: de (1) 5 5,952 10
de (2) 5 0
Articu
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= ⋅
=
=
= ⋅
= − ⋅
=
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
3
4 3 2
3 4
lación J condiciones en la frontera
1000
500
Voladizo derecho 0 1
1000
1000 1000
500 1000 500
500
(3) 500 500
3
500 500
(4) 250
12 3
xx
xx
Vj kgf
Mj mkgf
x
W x
V x x
M x x x
EI x x x x C
EI x x x x C x C
x
θ
δ
=
= −
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= − + − + +
= ( )
( ) ( )
( )
( )
4
3
2
3
4
4
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
500 5 1250
1250
Nodo A: de (3) 1 6,746 10
de (4) 1 6,548 10
tramo voladizo derecho
xx xx
x C
EI EI
C
C kgfm
rad
m
δ
θ θ
θ
δ
−
−
⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ + =
⇒ = −
= − ⋅
= − ⋅

36. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 35
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
Por simetría: 500
Voladizo izquierdo 0 1
1000 1000
500 1000
500
500
3
condiciones en la frontera:
1 500
1 333,33
Articulación I condiciones en la frontera:
500 500
Ri Rj kgf
x
W x x
V x x x
M x x x
V kgf
M mkgf
Vi
= =
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
= − + =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1 2
2
2 2
1 1
0
333,33
Tramo (I-J) 0 5
0
0
333,33
(1) 333,33
(2) 166,67
0 0 0
5 0 166,67 5 5 833,33
xx
xx
Mi mkgf
x
W x
V x Vi
M x
EI x x C
EI x x C x C
x x C
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
= −
≤ ≤
=
= =
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⇒ =
Ri Rj

37. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 36
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
4
4
Nodo I: de (1) 0 3,968 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 0
de (2) 2,5 4,960 10
Nodo J: de (1) 5 3,968 10
de (2) 5 0
Articu
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= ⋅
=
=
= ⋅
= − ⋅
=
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
4 2
3
5 3
lación J condiciones en la frontera
500
333,33
Voladizo derecho 0 1
1000
500 500
500
500 333,33
3
500
(3) 250 333,33
12
500 500
(4) 166,6
60 3
xx
xx
Vj kgf
Mj mkgf
x
W x x
V x x
M x x x
EI x x x x C
EI x x x
θ
δ
=
= −
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= − + −
( )
( ) ( )
( )
( )
2
3 4
4
3
2
3
4
4
7
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
333,33 5 833,33
833,33
Nodo A: de (3) 1 4,563 10
de (4) 1 4,405 10
tramo voladizo derecho
xx xx
x C x C
x x C
EI EI
C
C kgfm
rad
m
δ
θ θ
θ
δ
−
−
+ +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ + =
⇒ = −
= − ⋅
= − ⋅

38. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 37
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
5 2
0 1000 5 5 1666,67
2 3
5
0 1000 1666,67 0 833,33
2
Voladizo izquierdo 0 1
0
0
0
Articulación I condiciones en la frontera
833,33
0
Tramo
izquierda derecha
V
Mi Mi
Rj Rj kgf
F Ri Ri kgf
x
W x
V x
M x
Vi kgf
Mi
=
= − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ =
= ⇒ − ⋅ + + = ⇒ =
≤ ≤
=
=
=
=
=
∑ ∑
∑
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
4 2
1
5 3
1 2
2
5 3 2
1 1
0 5
200
100 833,33
100
833,33
3
5 1666,67
5 0
(1) 8,33 416,67
(2) 1,67 138,89
0 0 0
5 0 1,67 5 138,89 5 5 0 2430,56
xx
xx
x
W x x
V x x
M x x x
V kgf
M
EI x x x C
EI x x x C x C
x x C
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
= −
= − +
= − +
= −
=
= − + +
= − + + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⋅ + = ⇒ = −
Ri Rj

39. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 38
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
3
5
3
3
Nodo I: de (1) 0 1,157 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 7,234 10
de (2) 2,5 1,938 10
Nodo J: de (1) 5 1,323 10
de (2
rad
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
−
= − ⋅
=
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 4
4
4 2
3 3
) 5 0
Voladizo derecho 0 1
0
1666,67 1666,67 0
0
(3)
(4)
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
8,33 5 416,67 5 2430,56 2777,78
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C C
δ
θ
δ
δ
θ θ
=
≤ ≤
=
= − + =
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ + ⋅ − = ⇒ =
( )
( )
2
3
3
Nodo A: de (3) 0 1,323 10
de (4) 1 1,323 10
kgfm
rad
m
θ
δ
−
−
= ⋅
= ⋅

40. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 39
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri
Mi
Rj
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
1
1
4 3 2
2
2
Tramo 0 5
1000
(1) 1000
(2) 500
500
(3)
3 2
0 0 0
500
(4)
12 6 2
0 0 0
de (4): 5 0 26041,67 20,83 12,5 0
xx
xx
x
W x
V x x Ri
M x x Rix Mi
Ri
EI x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x C
x x C
x x Ri Mi
θ
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − + − =
( )
( )
(I)
de (2): 5 0 12500 5 0 (II)
formando sistema con ecuaciones I y II:
312520,83 12,5 26041,67
5 1 12500 3125
condiciones en la frontera:
5 5000 3125 1
x M x Ri Mi
Ri Ri kgf
Mi Mi mkgf
V
= ⇒ = ⇒ − + − =
= −   
⋅ = ⇒    − =    
= − + = −
( )
875
5 12500 5 3125 3125 0
0 1000 5 3125 0 1875V
kgf
M
F Rj Rj kgf
= − + ⋅ − =
= ⇒ − ⋅ + + = ⇒ =∑

41. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 40
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 4
4
3
Articulación J condiciones en la frontera:
1875 1875 0
0
Voladizo 0 2
0
0
0
(5)
(6)
0 0 0
con (3) y (5): 5 0
500 3
5
3
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
Vj
Mj
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
θ
δ
δ
θ θ
= − + =
=
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ +
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
3 3
4
3
125
5 3125 5 2604,16
2
Nodo I: de (3): 0 0
de (4): 0 0
Nodo B: de (3): 2,5 3,100 10
de (4): 2,5 1,550 10
Nodo J: de (3): 5 1,240 10
C C kgfm
rad
m
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
⋅ − ⋅ = ⇒ =
=
=
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
( )
( )
( )
3
3
3
de (4): 5 0
Nodo A: de (5): 2 1,240 10
de (6): 2 2,480 10
rad
rad
m
δ
θ
δ
−
−
−
=
= ⋅
= ⋅

42. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 41
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Mi
Ri Rj
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
4 3 2
1
1
5 4 3 2
2
2
Tramo 0 5
200 1000
(1) 100 1000
(2) 33,3 500
(3) 8,3 166,6
2
0 0 0
(4) 1,6 41,6
6 2
0 0 0
de (4): 5
xx
xx
x
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
Ri
EI x x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x x C
x x C
x x
θ
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒
( )
0 20833,3 20,83 12,5 0 (I)
de (2): 5 0 8333,3 5 0 (II)
formando sistema con ecuaciones I y II:
200020,83 12,5 20833,3
5 1 1666,678333,3
cond
Ri Mi
x M x Ri Mi
Ri Ri kgf
Mi Mi mkgf
= ⇒ − + − =
= ⇒ = ⇒ − + − =
  = − 
⋅ = ⇒   − =      
( )
( )
iciones en la frontera:
5 2500 2000 500
5 8333,3 5 2000 1666,67 0
0 2500 2000 0 500V
V kgf
M
F Rj Rj kgf
= − + = −
= − + ⋅ − =
= ⇒ − + + = ⇒ =∑

43. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 42
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 4
4
3
Articulación J condiciones en la frontera:
500 500 0
0
Voladizo 0 2
0
0
0
(5)
(6)
0 0 0
con (3) y (5): 5 0
1041,6
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
Vj
Mj
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C kg
θ
δ
δ
θ θ
= − + =
=
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ =
( )
( )
( )
( )
( )
2
5
4
4
Nodo I: de (3): 0 0
de (4): 0 0
Nodo B: de (3): 2,5 9,301 10
de (4): 2,5 6,975 10
Nodo J: de (3): 5 4,960 10
de (4):
fm
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
=
=
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
( )
( )
( )
4
4
5 0
Nodo A: de (5): 2 4,960 10
de (6): 2 9,921 10
rad
m
δ
θ
δ
−
−
=
= ⋅
= ⋅

44. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 43
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
1 1
1 1000 5 33,3
3 2
1
0 1000 33,3 0 533,3
2
Voladizo izquierdo 0 1
1000
500
166,6
condiciones en la frontera:
1 500
1 166,6
Art
izquierda derecha
V
Mi Mi
Rj Rj kgf
F Ri Ri kgf
x
W x x
V x x
M x x
V kgf
M mkgf
=
− ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ =
= ⇒ − ⋅ − + = ⇒ =
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
∑ ∑
∑
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
3 2
1 2
2
iculación I condiciones en la frontera:
500 533,3 33,3
166,6
Tramo 0 5
0
33,3
33,3 166,6
(1) 16,6 166,6
(2) 5,5 83,3
0 0 0
xx
xx
Vi kgf
Mi mkgf
x
W x
V x
M x x
EI x x x C
EI x x x C x C
x x C
θ
δ
δ
= − + =
= −
≤ ≤
=
=
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =

45. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 44
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2 2
1 15 0 5,5 5 83,3 5 5 0 277,7
condiciones en la frontera:
5 33,3
5 0
Articulación J condiciones en la frontera:
33,3 33,3 0
0
Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(3) xx
x x C C kgfm
V kgf
M
Vj
Mj
x
W x
V x
M x
EI x
δ
θ
= ⇒ = ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =
=
=
= − =
=
≤ ≤
=
=
=
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3
3 4
4
2
3
4
5
(4)
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
138,8
Nodo I de(1): 0 1,323 10
de(2): 0 0
Nodo B de(1): 2,5 1,653 10
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
C
EI x C x C
x x C
EI EI
C kgfm
rad
rad
δ
δ
θ θ
θ
δ
θ
−
−
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ = −
= ⋅
=
= − ⋅
( )
( )
( )
( )
( )
4
5
5
5
de(2): 2,5 1,241 10
Nodo J de(1): 5 6,614 10
de(2): 5 0
Nodo A de(3): 1 6,614 10
de(4): 1 6,614 10
m
rad
rad
m
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
−
= ⋅
= − ⋅
=
= ⋅
= − ⋅

46. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 45
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
1
4 3
1 2
2
2
1
Por simetría: 2500
Tramo 0 5
1000
1000 2500
500 2500
(1) 166,6 1250
(2) 41,6 416,6
0 0 0
5 0 5208,3
Nodo I de (1
xx
xx
Ri Rj kgf
x
W x
V x x
M x x x
EI x x x C
EI x x x C x C
x x C
x x C kgfm
θ
δ
δ
δ
= =
≤ ≤
= −
= − +
= − +
= − + +
= − + + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
): 0 2,480 10
de (2): 0 0
Nodo B de (1): 2,5 0
de (2): 2,5 3,875 10
Nodo J de (1): 5 2,480 10
de (2): 5 0
condiciones en la f
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= − ⋅
=
=
= − ⋅
= ⋅
=
( )
( )
rontera:
5 2500
5 0
V kgf
M
= −
=

47. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 46
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 4
4
4
Articulación J condiciones en la frontera:
2500 2500 0
0
Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(3)
(4)
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
Vj
Mj
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C
θ
δ
δ
θ θ
= − + =
=
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒
( )
( )
2
3
3
5208,3
Nodo A de (3): 1 2,480 10
de (4): 1 2,480 10
kgfm
rad
m
θ
δ
−
−
=
= ⋅
= ⋅

48. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 47
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
4 3 2
1
5 4 3
Por simetría: 1250
Tramo-segmento (I-B) 0 2,5
400 1000
(1) 200 1000 1250
(2) 66,6 500 1250
(3) 16,6 166,6 625
(4) 3,3 41,6 208,3
xx
xx
Ri Rj kgf
x
W x x
V x x x
M x x x x
EI x x x x C
EI x x x x C
θ
δ
= =
≤ ≤
= −
= − +
= − +
= − + +
= − + +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
2
2
3
4
3
5
0 0 0
de (1): 2,5 0
de (2): 2,5 1041,6
Tramo-segmento (B-J) 0 2,5
400
(5) 200
(6) 66,6 1041,6
(7) 16,6 1041,6
(8) 3,3 520,83
xx
xx
x C
x x C
V
M mkgf
x
W x x
V x x
M x x
EI x x x C
EI x x x
δ
θ
δ
+
= ⇒ = ⇒ =
=
=
≤ ≤
= −
= −
= − +
= − + +
= − +
( ) ( )
( ) ( )
2
3 4
( ) ( )
4 3 2
1 3
( ) ( )
5 4 3
1 4
con (3) y (7): 2,5 0
16,6 2,5 166,6 2,5 625 2,5 (I)
con (4) y (8): 2,5 0
3,3 2,5 41,6 2,5 208,3 2,5 2,5 (II)
I B B J
xx xx
I B B J
xx xx
C x C
EI EI
C C
EI EI
C C
θ θ
δ δ
− −
− −
+ +
=
⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =
=
⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =

49. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 48
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
5 2
2
1 1
3 3
4
de (8): 2,5 0
3,3 2,5 520,83 2,5 2,5 3 4 0 (III)
formando sistema con I, II y III:
1 1 0 1953,125 1953,125
2,5 0 1 1953,125 0
0 2,5 1 2929,6875
xxEI
C C
C C kgfm
C C
C C
δ =
⇒ − ⋅ + ⋅ + + =
− − = −     
     − ⋅ = − ⇒ =     
     −     
( )
( )
( )
( )
( )
2
4
4
3
4
2929,6875
Nodo I de (3): 0 9,301 10
de (4): 0 0
Nodo B de (3): 2,5 0
de (4): 2,5 1,395 10
Nodo J de (7): 2,5 9,301 10
kgfm
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
= −
= − ⋅
=
=
= − ⋅
= ⋅
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
5
5 6
6
( )
2
5
de (8): 2,5 0
Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(9)
(10)
0 0 0
con (7) y (9): 2,5 0
1953,125
Nodo A de (9): 1 9,301 10
xx
xx
B J voladizo derecho
xx xx
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C kgfm
δ
θ
δ
δ
θ θ
θ
−
=
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ =
= ⋅
( )
4
4
de (10): 1 9,301 10
rad
mδ
−
−
= ⋅