2004 esfm superior_estevez_salgado (1)_unlocked

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Física y Matemáticas
“Análisis y Modelos de Reemplazo”
TESIS
Que para obtener el título de
Licenciado en Física y Matemáticas
Presenta:
Minerva Estévez Salgado
Director de Tesis:
Dr. Rubén Téllez Sánchez
México, D. F. Abril 2004

1
INTRODUCCION
Antecedentes y Problemática
Una decisión que con frecuencia deben tomar tanto las empresas de negocios y organizaciones
gubernamentales, como los individuos, es si debe retirarse del uso un activo existente, continuar
en servicio o ser reemplazado con un activo nuevo. A medida que aumentan las presiones de la
competencia mundial, se requiere mejor calidad en bienes y servicios, tiempos de respuesta más
cortos y otros cambios; este tipo de decisiones suele tomarse cotidianamente. De esta manera, el
problema de reemplazo, como normalmente se le denomina, requiere de cuidadosos estudios de
ingeniería económica que proporcionen la información necesaria para tomar decisiones sólidas a
fin de mejorar la eficiencia de operación y la competitividad de una empresa.
La producción en masa aparece como el método más económico para satisfacer los deseos
humanos. Sin embargo, este tipo de producción exige el empleo de grandes cantidades de activos
de capital que se consumen en el proceso, se vuelven inadecuados, se tornan obsoletos o
, en
alguna forma, llegan a ser candidatos para ser reemplazados. La falta que se cometa al no mejorar
continuamente estos activos puede llegar a generar pérdidas serias en la eficiencia operativa. Un
programa sólido de análisis de reemplazo puede afectar positivamente el éxito financiero de una
empresa.
Cuando se están tomando decisiones sobre reemplazo se tienen dos cursos de acción a la
disposición. La primera posibilidad es mantener el activo que ya se posee por un período adicional
de tiempo. La otra alternativa requiere retirar de manera inmediata el activo existente que es
subsecuentemente reemplazado por otro.
El término reemplazo es tan amplio que casi todo el campo de la ingeniería económica le
corresponde. El término se utiliza con las implicaciones más amplias. Por ejemplo, reemplazo no
significa que se duplique el equipo al final de su vida; tampoco implica una sustitución igual por
igual y no es necesario ningún parecido entre el equipo actual y el que lo reemplaza. El reemplazo
en este sentido tiene lugar incluso si un proceso manual es superado por una máquina o si un
grupo de máquinas son desplazadas por una máquina grande.
Esto puede entenderse mejor, si se observa que reemplazo es sinónimo de desplazamiento. Así
pues, reemplazo significa que el proceso utilizado en la actualidad será desplazado por otro más
económico. Desde este punto de vista, se puede reemplazar una política financiera, una operación
empresarial íntegra, una fábrica ó un proceso de fabricación, una máquina o una operación
manual.
Al tomar en consideración el reemplazo, debe observarse que una proposición para hacer algo,
como la de fabricar un producto, puede reemplazar a una política o práctica existente de no
fabricarlo. En cada situación puede haber muchas alternativas, pero una de ellas será siempre la
de no hacer nada, la de mantener el estado de las cosas. La pregunta sobre si se debe reemplazar
una política de no hacer nada con otra positiva, está atrás de todas las comparaciones. Incluso una
comparación de dos máquinas, aunque en sí no constituye un problema de reemplazo, existe sólo
debido a una decisión anterior de reemplazar lo existente con una proposición de aumento de
ingresos que requiere una de esas máquinas nuevas. Por tanto, todo problema de inversión en
equipo es también un problema de reemplazo o, cuando menos, parte de una situación más amplia
de reemplazo.

2
Objetivos
El objetivo desarrollado a lo largo del trabajo, es desarrollar diversos métodos para la predicción
del cálculo de la vida económica de un activo; así como determinar el momento adecuado para su
reemplazo, ya sea por un activo más moderno o por un activo idéntico al que se está utilizando,
considerando la mejor política económica para la empresa.
Justificación
La relevancia del trabajo que se presenta consiste en crear un material ó instrumento de
consulta para cualquier persona interesada en la Ingeniería Económica; más particularmente, en el
estudio d
el Análisis de Reemplazo de un activo. Dicho trabajo presenta una amplia variedad de
Métodos de Análisis de Reemplazo, debido a que existen diversas variantes durante un Análisis
de Reemplazo; sirviendo éste como una referencia al problema que se tiene presente.
Hipótesis
Los Modelos del Análisis de Reemplazo mejoran y facilitan una adecuada toma de decisión
para las alternativas del Reemplazo. Los modelos a desarrollar deben presentar resultados en
forma de gráficas y tablas, de tal manera que las decisiones a tomar puedan ser fácilmente
evaluadas.
Presentación
La tesis está organizada como sigue: el Capítulo 1 se refiere a los factores en los que se debe
basar un reemplazo, así como las causas que originan el estudio de reemplazo.
En el Capítulo 2, se estudian las condiciones para determinar la vida económica de servicio de
un activo, es decir, calcular el período de vida útil que minimiza el costo anual equivalente.
En el Capítulo 3, se describen diferentes estrategias para el análisis, considerando los
problemas de decisión de reemplazo donde el defensor y el retador pueden tener la misma vida
útil ó vidas desiguales, para lo cual se emplean modelos determinísticos.
Finalmente, en el Capítulo 4, se desarrolla un modelo probabilístico, que permite determinar las
decisiones de reemplazo minimizando el costo esperado.

3
INDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN 1
INDICE GENERAL 3
INDICE DE FIGURAS 5
INDICE DE TABLAS 6
Capítulo 1. Generalidades del Análisis de Reemplazo
Introducción 7
1.1 El reemplazo debe basarse en factores económicos 7
1.2 Causas que originan la necesidad de una estimación de reemplazo 8
a) Reemplazo por insuficiencia 9
b) Reemplazo por mantenimiento excesivo 11
c) Reemplazo por eficiencia decreciente 12
d) Reemplazo por antigüedad (obsolescencia) 14
e) Reemplazo por una combinación de factores 15
1.3 Factores a considerar en un estudio de reemplazo
a) Horizonte de planeación 15
b) La tecnología 15
c) Comportamiento de los ingresos y los gastos 16
d) Disponibilidad de capital 16
e) Inflación 16
Capítulo 2. Modelos determinísticos para calcular la vida económica de servicio
Introducción 17
2.1 Vida económica de servicio de un activo 19
Ejemplo 2.1. Vida útil restante del defensor 19
a) Método de flujo de efectivo generalizado 21
b) Método tabular 24
Ejemplo 2.2. Vida económica de servicio del retador 26
c) Modelo matemático 29
d) Programación dinámica 32
2.2 Costos de Operación y Mantenimiento (O&M) 35
a) Costos de mantenimiento esporádicos 35
b) Costos constantes de mantenimiento 36
c) Costos de mantenimiento constantemente crecientes 37
Capítulo 3. Modelos determinísticos del Analísis de Reemplazo
Introducción 39
3.1 Suposiciones requeridas y esquema de decisión 39
3.2 Valor de mercado actual y costos hundidos 40
3.3 Ganancias (pérdidas) al desechar el defensor 42
3.4 Estrategias básicas de Reemplazo 43
a) Estrategia de flujo de efectivo 43
b) Estrategia de costo de oportunidad 47
3.5 Análisis de Reemplazo en el caso de vidas desiguales 48
a) Análisis basado en un periodo de estudio de 15 años, teniendo en
cuenta el valor no utilizado 49

4
b) Análisis basado en un periodo de estudio de 15 años, sin tener en
cuenta el valor no utilizado 50
c) Análisis basado en un periodo de estudio de 5 años 50
d) Decisiones de Reemplazo con base en el "Método de valor anual
Equivalente" 51
e) Decisiones de Reemplazo con base en el "Método de valor actual" 57
3.6 Consideraciones del cambio tecnológico 64
3.7 Reemplazo de artículos que son deteriorados 64
3.8 Costos relevantes en las consideraciones teóricas del reemplazo 65
3.9 Ecuación de costos 66
3.10 Uso de la Ecuación de costos 70
Capítulo 4. Modelos probabilísticos del Análisis de Reemplazo
Introducción 74
4.1 Reemplazo de artículos que fallan después de un periodo de
uso 74
4.2 Curva de Mortalidad 75
• Vida económica 77
• Probabilidad condicional de falla 77
4.3 Proceso de reemplazo 79
a) Método I : Tasa de Reemplazo 79
b) Método II: Tasa de Reemplazo 81
4.4 Costo de Reemplazo 84
4.5 Ecuaciones de costos 85
4.6 Minimización de costos 86
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 93
APÉNDICE 94
BIBLIOGRAFÍA 98

5
INDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 .- Comportamiento de los costos inherentes y relativos del activo bajo
análisis 18
Figura 2.2 .- Costo total equivalente del activo para diferentes tiempos de
permanencia 18
Figura 2.3 .- Flujos de efectivo del defensor cuando se conserva durante 1, 2, 3, 4 y 5
años(Ejemplo 2.1) 23
Figura 2.4 .- Vida útil restante (Ejemplo 2.1) 23
Figura 2.5 .- Conversión de un número infinito de ciclos de reemplazo a flujos de
costo anual equivalente infinitos (Ejemplo 2.2) 29
Figura 2.6 .- Red de Programación dinámica (Ejemplo 2.4) 34
Figura 2.7 .- Diagrama de solución óptima de Programación dinámica
(Ejemplo 2.4) 35
Figura 2.8 .- Vida económica de un activo 38
Figura 3.1 .- Tipos de esquemas típicos de decisión de reemplazo 40
Figura 3.2 .- Costo hundido relacionado con el desecho de un activo (Ejemplo 3.1) 42
Figura 3.3 .- Percepciones netas por la venta del defensor (Ejemplo 3.2) 43
Figura 3.4 .- Comparaciones entre el defensor y el retador con base en el método de
flujo de efectivo (Ejemplo 3.3) 46
Figura 3.5 .- Flujo de efectivo incremental (retador - defensor) basado en el método de
flujo de efectivo (Ejemplo 3.3) 46
Figura 3.6 .- Comparación del defensor y el retador con base en el método de costo de
oportunidad (Ejemplo 3.4) 47
Figura 3.7 .- Secuencia de reemplazo con retadores futuros idénticos y horizonte de
planificación infinito (Ejemplo 3.5) 52
Figura 3.8 .- Procedimiento de análisis para un periodo de planificación infinito 53
Figura 3.9 .- Costos marginales de operación del defensor durante un año más
(Ejemplo 3.6) 57
Figura 3.10.- Análisis de valor actual con horizonte de planificación infinito
(Ejemplo 3.7) 62
Figura 3.11.- Algunos patrones de reemplazo posibles con el horizonte de planificación
finito (Ejemplo 3.8) 63
Figura 3.12.- Relación de la suma de los costos discontinuos contra la suma de los
factores discontinuos 69
Figura 4.1 .- Número de sobrevivientes después de t periodos de tiempo (Datos de la
Tabla 4.1) 77
Figura 4.2 .- Probabilidad de falla en el periodo de tiempo t, de un bulbo instalado al
inicio del primer periodo (Datos de la Tabla 4.1) 78
Figura 4.3 .- Probabilidad condicional de falla en el periodo t
(Datos de la Tabla 4.1) 78
Figura 4.4 .- Fallas en cada periodo t de 100 000 bulbos de luz originales contra el
total de fallas en cada periodo t (Datos de las Tablas 4.1 y 4.2) 81
Figura 4.5 .- Gráfica de los costos totales para el reemplazo del grupo contra el periodo
de reemplazos (Datos de la Tabla 4.3) 89
Figura 4.6 .- Política de reemplazo óptimo para cualquier valor
(Datos de la Tabla 4.4) 92
Figura A.1.- Diagrama de flujo que relaciona un valor presente con un valor futuro 94
Figura A.3.- Diagrama de flujo que relaciona una cantidad presente con una serie de
flujos de efectivo 96

6
INDICE DE TABLAS
Tabla 1.1.- Costos de mantenimiento de una planta química 12
Tabla 1.2.- Costos de los componentes de un transportador 13
Tabla 2.1.- Pronósticos de costos de capital y operativos: defensor (Ejemplo 2.1) 20
Tabla 2.2.- Cálculo del flujo de efectivo generalizado después de impuestos de la conserva-
ción del defensor durante 1, 2, 3, 4 y 5 años más (Ejemplo 2.1) 22
Tabla 2.3.- Cálculo tabular de la vida económica (Ejemplo 2.1) 25
Tabla 2.4.- Pronósticos de costos operativos y de capital: retador (Ejemplo 2.2) 27
Tabla 2.5.- Cálculo tabular de la vida económica del retador (Ejemplo 2.2) 28
Tabla 2.6.- Flujos de efectivo para diferentes periodos de permanencia con el
activo 31
Tabla 2.7.- Costo anual equivalente para diferentes periodos de permanencia con
el activo 32
Tabla 2.8.- Historia económica de una máquina con costos de mantenimiento
esporádicos 36
Tabla 2.9.- Historia económica de una máquina con costos de mantenimiento constante-
mente crecientes 37
Tabla 3.1.- Hoja de cálculo para análisis de reemplazo (Ejemplo 3.3) 45
Tabla 3.2.- Análisis basado en un periodo de estudio seleccionado 49
Tabla 3.3.- Vida de servicio económica: defensor (Ejemplo 3.6) 55
Tabla 3.4.- Cálculo de vida de servicio económica del retador (Ejemplo 3.6) 56
Tabla 3.5.- Cálculo tabular de la v
ida económica del retador (Ejemplo 3.7) 60
Tabla 3.6.- Cálculo tabular de la vida económica del defensor (Ejemplo 3.7) 61
Tabla 3.7.- Dos comportamientos de costos 65
Tabla 3.8.- Gastos anuales para el reemplazo de máquinas 65
Tabla 3.9.- Costos de reemplazos (A= 50, r = 0.05) 70
Tabla 4.1.- Características de un bulbo de luz: población original de 100 000
unidades 76
Tabla 4.2.- Total de fallas (reemplazos) en cada periodo t 80
Tabla 4.3.- Promedio de costos para reemplazos de grupos (Datos de la
Tabla4.2) 88
Tabla 4.4.- Optimizando valores de t por promedio de costos 89
Tabla 4.5.- Costos para t, K(t), K(t)/t 92
Tabla A.1.- Desarrollo del factor que relaciona una cantidad presente con una
cantidad futura 94
Tabla A.2.- Tabla de factores para interés compuesto discreto 97

7
CAPITULO 1
Generalidades del Análisis de Reemplazo
Introducción
La formulación de un plan de reemplazo juega un papel muy importante en la determinación de
la tecnología básica y del progreso económico de una empresa. Un reemplazo apresurado o
indebido origina en la empresa una disminución en su capital y por lo tanto una disminución en la
posibilidad de dinero para emprender proyectos de inversión más rentables. Por otra parte, un
reemplazo retardado origina excesivos costos de operación y mantenimiento para la empresa. Es
por estas razones que toda empresa debe establecer una política eficiente de reemplazo para cada
uno de los activos que utiliza. No hacerlo, significa estar en desventaja con respecto a las
empresas competidoras que sí han establecido políticas efectivas y económicas de reemplazo.
Con el fin de facilitar el estudio de los principios del análisis de reemplazo, es necesario
introducir dos términos importantes de uso común.
• Defensor: activo viejo existente y que se está analizando para ser reemplazado
eventualmente.
• Retador o desafiante: activo propuesto para reemplazar al defensor.
Debido a que las características económicas de un defensor y un retador son generalmente
disímiles, se requiere especial atención cuando se están comparando estas dos opciones. Una
característica obvia de las alternativas de reemplazo es que la duración y magnitud de los flujos de
efectivo de los activos existentes y los nuevos son muy diferentes. Los activos nuevos tienen por lo
general unos costos de capital altos y unos costos de operación bajos. Entonces, puede esperarse
que los costos de capital de un activo que va a ser reemplazado sean bajos y decrecientes,
mientras que los costos de operación sean generalmente altos y crecientes.
Además, el remanente de vida de un activo que está siendo considerado para reemplazarlo es
corto por lo general y su futuro puede estimarse con relativa certeza. Se tiene la ventaja de que
una decisión de no realizar ningún reemplazo ahora puede ser hecha en cualquier momento futuro.
Entonces, se puede tomar una decisión sobre la base del costo que el activo actual tendrá el año
inmediatamente siguiente y, de no hacerse el reemplazo, existe la posibilidad de tomar una nueva
decisión sobre la base del costo un año más tarde y así sucesivamente.
1.1 El reemplazo debe basarse en factores económicos.
Cuando el éxito de un proyecto económico depende de las utilidades, el reemplazo debe
basarse sobre la economía de la operación futura. Aunque las instalaciones de producción son y
deben ser consideradas como un medio para alcanzar un fin, es decir, una producción al menor
costo posible, se tiene amplia evidencia de que en el análisis relacionado con el reemplazo de
activos entran también a menudo otros motivos diferentes a los puramente económicos.
La idea de que el reemplazo debe tener lugar cuando sea más económico y no cuando el
activo esté ya inservible es contraria al concepto fundamental de ahorro que posee la mayor parte
de los hombres. Además, los activos existentes son considerados con frecuencia como viejos
amigos. Los seres humanos tienden a derivar de los equipos viejos que les son familiares un
sentimiento de seguridad y a ser escépticos sobre el cambio; aún en aquellos casos en los cuales

8
puedan aparecer como progresistas. El reemplazo de equipo requiere un cambio de entusiasmo.
Cuando una persona empieza a pensar sobre una propuesta para equipo nuevo, debe generar de
ordinario un gran entusiasmo para contrarrestar la inercia que obstaculiza el camino hacia su
aceptación. El entusiasmo puede tenerse que transferir más tarde a un reemplazo. Esto es difícil
de hacer, particularmente si uno debe confesar que fue excesivamente entusiasta acerca del
equipo originalmente propuesto.
Parte de la renuencia a reemplazar unidades físicamente satisfactorias, pero económicamente
débiles, tiene sus raíces en el hecho de que la importancia de una decisión de reemplazar es
mucho mayor que la de continuar con lo viejo. Una decisión de remplazar representa un
compromiso que se extienda a todo lo largo de la vida del equipo nuevo. Pero una decisión de
continuar con e
l equipo viejo sólo representa generalmente diferir una decisión de reemplazo;
decisión que puede revisarse en cualquier momento del tiempo, cuando la situación parezca ser
más clara. Pero además, una decisión de continuar con el equipo antiguo que tenga como
consecuencia una pérdida, conducirá por lo general a una censura menos drástica que una
decisión de reemplazo con un nuevo equipo y con una pérdida igual.
La economía de desechar una unidad de equipo funcionalmente productiva radica en la
conservación del esfuerzo, energía, materiales y tiempo que resulta de su reemplazo. La utilidad
remanente no usada aún de una unidad vieja se sacrifica a favor de las economías potenciales del
reemplazo. Considérese, a manera de ejemplo, un techo deteriorado. Aún un techo que tenga
muchas goteras tendrá alguna utilidad como protección contra las inclemencias del tiempo y,
además, puede tener parte de buena calidad. La utilidad remanente podría haberse utilizado con la
ayuda de una reparación continua. Pero el exceso de mano de obra y materiales requeridos para
hacer una serie de pequeñas reparaciones en comparación con la mano de obra y los materiales
necesarios para un reemplazo total, puede exceder la utilidad remanente en el techo. De ser así, la
mano de obra y los materiales pueden conservarse como resultado de una decisión de reemplazar
el techo.
Cuando se adquiere una unidad nueva de equipo, se puede incurrir en una serie adicional de
gastos para poner la unidad en operación, además del precio de compra. Tales costos pueden
comprender transporte, empaque, construcción de cimientos, conexiones especiales en los
sistemas eléctrico y de distribución de agua, raíces de protección y servicios de personal
requeridos durante un periodo de verificación o de ajuste. Los gastos en tales elementos, son
costos iniciales y desde todo punto de vista práctico representan una inversión en la unidad de
equipo que se esté considerando. Por esta razón, todos los elementos de costo iniciales
necesarios para tener una unidad de equipo en operación deben ser considerados como parte de
la inversión original.
Cuando una unidad de equipo se reemplaza, su retiro puede originar también gastos de
consideración. Algunos de los elementos más frecuentemente incluidos en el retiro son el
desmantelaminento, la remoción de cimientos, el transporte, el cambio de las conexiones eléctricas
y de agua y el reemplazo de los pisos y de otros elementos estructurales. La suma de tales costos
debe deducirse de la cantidad recibida por la venta de la unidad vieja con el fin de encontrar su
valor de salvamento o rescate neto. Es claro que esto puede hacer que el valor de salvamento se
torne en una cantidad negativa. Cuando el valor de salvamento neto de un activo es menor que
cero, es matemáticamente correcto tratarlo como una cantidad negativa en los cálculos de la
depreciación.
1.2 Causas que originan la necesidad de un estudio de reemplazo.
Las causas principales que llevan el reemplazo de un activo se pueden clasificar como:
insuficiencia e ineptitud, mantenimiento excesivo, eficiencia decreciente y antigüedad. Cualquiera
de las causas anteriores puede indicar la necesidad de un estudio de reemplazo; sin embargo, por
lo general son dos o más causas las que indican la urgencia de tal estudio.

9
a) Reemplazo por insuficiencia
Un activo físico que tiene una capacidad inadecuada de prestar los servicios requeridos es un
candidato lógico para reemplazo. Por ejemplo, una máquina barrenadora empleada casi
exclusivamente para pulir y lustrar poleas tiene una capacidad máxima para manejar poleas con un
diámetro hasta de 54 pulgadas. En el momento de la adquisición de la máquina, la polea de mayor
tamaño estuvo siempre por debajo de la capacidad de la máquina, pero en el momento actual se
han empezado a recibir ordenes hasta de un diámetro de 72 pulgadas y todo indica que irán en
aumento.
Las ordenes recibidas por poleas entre 54 y 72 pulgadas se subcontratan con otra organización.
Esta práctica no sólo es costosa sino que ocasiona retrasos que van en detrimento del buen
nombre de la empresa. El factor que debe considerarse para el reemplazo en este ejemplo, es
precisamente la insuficiencia. Aunque la máquina actual es eficiente a la fecha y está en
excelentes condiciones físicas, la consideración de su reemplazo está siendo forzada por la
necesidad de contar con una máquina de mayor capacidad. Cuando el equipo es insuficiente, se
tiene generalmente a la mano una unidad utilizable que a menudo está en excelentes condiciones.
Frecuentemente, como en el caso que se ha venido mencionando, la mayor capacidad requerida
puede satisfacerse únicamente adquiriendo una máquina que tenga esa capacidad.
En muchos casos, como es la situación con bombas, motores, generadores y ventiladores, el
aumento deseado en la capacidad puede satisfacerse adquiriendo una unidad que suplemente la
máquina actual. Esta alternativa debe probar naturalmente que es más deseable que la adquisición
de una unidad nueva de la capacidad necesaria.
El método para comparar alternativas cuando la insuficiencia es el principal factor, se ilustrará
en el siguiente ejemplo. Un año después de haber adquirido un motor de 10 HP para mover un
transportador de banda en una mina de carbón, se decidió doblar la longitud de la banda. La nueva
banda requiere 20 HP. La potencia requerida puede suministrarse bien, ya sea agregando un
segundo motor de 10 HP o reemplazando el actual por uno de 20HP.
El costo del motor actual instalado es de $420 y tiene una eficiencia de 88% con carga total. Se
puede adquirir ahora un motor idéntico al anterior e instalarlo todo por $440. Un motor de 20 HP
con una eficiencia del 90% tiene un costo de adquisición e instalación de $780. El motor actual de
10 HP será aceptado por $270 como parte de pago del motor de 20 HP. Los costos actuales por
kilovatio-hora son de $0.03 y se espera que el sistema de transporte esté en operación 2 000 horas
anuales.
Los costos de mantenimiento y operación, excepto por corriente eléctrica se estiman, para cada
uno de los motores HP, en $35 anuales y en $50 también anuales. Los impuestos y los seguros se
calculan en 1% del precio de compra. La tasa de interés será del 6% con un valor residual (valor de
salvamento) en ese momento del 20% de su costo original. El motor actual se considerará con una
vida total de 11 años, una aproximación que generará desde el punto de vista práctico errores muy
pequeños en el análisis. Probablemente todos los motores resistirán el período de servicio que
tendrán en la actividad que se está considerando.
La alternativa A supone la compra de un motor de 20 HP por $780 y el retiro del motor actual
por $270. El costo actual para esta alternativa se calcula como sigue:
Recuperación de capital con retorno, ($780 - $156) (A /P, 6%, 10)
1
+ $156(0.06) $ 94.16
Costo de la corriente, 20 HP x 0.7646 kw x $0.03 x 2,000 horas . $ 994.67
1
Ver Apéndice.

10
0.90 efic. HP kw-hr
Costos de operación y mantenimiento $ 50.00
Impuestos y seguros, $780 x 0.01 $ 7.80
Costo total anual equivalente $1,146.63
La alternativa B implica la adquisición de un motor adicional de 10 HP por $440. El costo anual
para esta alternativa se calcula como sigue:
Motor actual de 10 HP
Recuperación de capital con retorno, ($270 - $84) (A /P,6%,10) + $84(0.06) $ 30.32
Costo de la corriente, 10 x 0.746 x $0.03 x 2,000 $ 508.64
0.88
Motor nuevo de 10 HP
Recuperación de capital con retorno, ($440 - $88) (A /P,6%,10) + $88(0.06) $ 53.12
Costo de la corriente, 10 x 0.746 x $0.03 x 2,000 $ 508.64
0.88
Costo total anual equivalente $ 1,179.32
Sobre la base del análisis anterior, la ventaja de reemplazar el motor de 10 HP en vez de
suplementarlo, es equivalente a $1,179 menos $1,147, es decir, $32 por año. Debido a la decisión
incorrecta de adquirir un motor de 10 HP hace un año se incurrió en una pérdida igual a $420
menos $270. Esta pérdida ha sido revelada y no causada por el presente análisis. Debido a que los
análisis de ingeniería económica tienen que ver con el futuro, este costo incurrido (amortizado) no
debe entrar en el análisis.
El valor de comercialización, $270, fue tomado como el valor presente del motor original de 10
HP porque si éste fuera reemplazado serían recibidos $270. Entonces, su valor es un elemento
necesario en el análisis comparativo. Los cargos anuales por impuestos y seguros se calcularon
sobre el costo original p
orque estos cargos se calculan, generalmente, sobre el valor en libros;
pero por simplicidad no se hizo ninguna reducción en estos ítems como debería hacerse debido a
la disminución esperada en el valor en libros.
La alternativa de complementar el motor actual, requerirá una inversión de $270 más $440 de un
motor nuevo de 10 HP; es decir, una inversión total de $710. La segunda alternativa puede llevarse
a cabo con una inversión de $780.
El hecho de que puedan obtenerse $270 de capital por la venta de un activo y que pueda
aplicarse al precio de compra del motor de 20 HP, no reduce el desembolso necesario para
adquirir el motor o, lo que es lo mismo, la cantidad invertida en él. En consecuencia, el análisis
anterior revela que una inversión adicional de $780 - $710 = $70 resultará en un retorno del 6%
sobre la inversión adicional más $30 anuales.

11
b) Reemplazo por mantenimiento excesivo
En muy pocas ocasiones se dañan al mismo tiempo t
odas las partes de una máquina. La
experiencia ha probado que es económico reparar muchas clases de activos con el fin de
mantenerlos y extender su utilidad. Algunas reparaciones son de naturaleza corriente y menores
en extensión; otras son periódicas y extensas.
Una reparación periódica y extensa no se contempla, generalmente, sino hasta que se convierte
en una necesidad para extender la vida de la unidad en cuestión. Generalmente, por ejemplo, un
motor no se repara en su totalidad sino hasta que falla al prestar un servicio aceptable o cuando se
cree que esa falla es inminente. En consecuencia, el costo de una reparación periódica extensa
puede considerarse como un desembolso para adquirir un servicio adicional extendiendo la vida de
una unidad de equipo. Este punto de vista es válido aún cuando se tenga un programa de
mantenimiento preventivo.
Antes de hacer un gasto por reparaciones mayores para extender la vida de servicio de una
máquina o estructura, se debe hacer un análisis cuidadoso para determinar si el servicio requerido
puede ser prestado más económicamente por otras alternativas.
En este contexto considérese la situación siguiente. La carretera principal que conduce a una
refinería de petróleo tiene seis décimos de milla de longitud por 20 pies de ancho; es de concreto y
está necesitando urgentemente que se le repare para continuar en servicio. El departamento de
mantenimiento de la refinería estima que las reparaciones extenderían la vida de la carretera en 3
años y que podrá hacerse por $15 000. Un contratista ha hecho la oferta de reemplazar la
carretera actual por una clase especial de pavimento que se estima tendrá una vida de 20 años y
un costo de $65 000.
Los costos actuales de mantenimiento con el pavi mento reparado se estiman en $1 200 anuales
en promedio y los de la nueva carretera en $200, también anuales y en promedio. Los demás
factores se consideran iguales y, por consiguiente, despreciables. La tasa de recuperación mínima
atractiva (TREMA) de la compañía es igual al 12%. El valor residual (valor de salvamento) actual
es cero en caso de ser reemplazado. La comparación de costos anuales para las dos alternativas
se presenta a continuación:
Reparar el pavimento para extender su vida 3 años
Recuperación de capital con retorno, $15 000 (A/P, 12%, 3) $6 246
Costo promedio anual de reparaciones $1 200
Total $7 446
Reemplazar un pavimento con vida estimada de 20 años
Recuperación de capital con retorno, $65 000 (A/P, 12%, 20) $8 704
Costo promedio anual de reparaciones $ 200
Total $8 904

12
Ventaja anual de reparación sobre reemplazar $1 458
En algunas clases de equipo las reparaciones aumentan su vida. El mantenimiento puede ser
muy bajo al comienzo, pero aumenta a una tasa progresiva. Consecuentemente, se alcanza un
punto en el tiempo en el cual es más económico reemplazar que seguir manteniendo. Para ilustrar
la economía de esta situación considérese el siguiente ejemplo.
Se instaló una tubería en una planta química con un costo de $32 000.El sistema se deterioró,
como consecuencia de la corrosión, hasta que fue reemplazado al final de seis años. El valor
residual del sistema se consideró despreciable. Los registros de mantenimiento muestran que
estos costos fueron en el pasado como aparece en la columna B de la Tabla 1.1
Tabla 1.1 Costos de mantenimiento de una planta química.
A B C D E
Año Costos de
mantenimiento
por año
Suma de los
costos de
mantenimiento al
finalizar el año
∑B
Costo de n años
de servicio,
$32 000 + C
Costo promedio
anual de servicio
al finalizar el año,
D ÷ A
1 1 260 1 260 33 260 33 260
2 3 570 4 830 36 830 18 415
3 6 480 11 310 43 310 14 437
4 9 840 21 150 53 150 13 287
5 14 230 35 380 67 380 13 476
6 19 820 55 200 87 200 14 533
Puede notarse que el costo anual de mantenimiento aumenta con el transcurso del tiempo. Esto
es típico en muchas clases de equipo y puede llegar a ser la causa principal de reemplazo. Los
gastos totales por reparaciones al f
inal de cualquiera de los años aparecen en la Columna C. La
suma de los costos de mantenimiento dada en la Columna C y el costo original del equipo es igual
al costo de prestar el servicio el número de años designados en la Columna A.
El sistema de tubería podría haberse retirado al final de cualquier año. La Columna E da el
costo promedio anual del servicio que hubiera resultado de haber retirado el sistema al final de
cualquier año. Entonces, si el sistema hubiera sido retirado al finalizar el primer año, el costo de un
año de servicio hubiera sido igual a $33 260; si se hubiera retirado al finalizar el segundo año, los 2
años de servicio hubieran tenido un costo de $36 830, como aparece en la Columna D, y el costo
promedio anual hubiera sido de $18 415.
El menor costo promedio anual $13 287, se presenta para una vida de 4 años. Si se hubiera
considerado el interés y se hubiera empleado el costo anual equivalente, las cantidades de la
Columna E hubieran sido ligeramente mayores. Pero el patrón general hubiera sido casi el mismo.
Aunque el menor costo anual en el ejemplo anterior se presenta para 4 años de vida, no se sigue
de allí necesariamente que las mayores economías se hubieran obtenido al desechar el sistema
después de 4 años de servicio. L
a economía de reemplazo depende de un número de factores
adicionales tales como la necesidad por los servicios del sistema de tubería en el futuro, cambios
en los niveles de los costos de mantenimiento y de las características y el costo de un reemplazo.
Una decisión de reemplazar el equipo debe basarse en un análisis de costos potenciales con el
equipo actual y con el posible reemplazo.

13
c) Reemplazo por eficiencia decreciente
Generalmente, un equipo trabaja con máximo rendimiento en los primeros años de su vida, y
este rendimiento va disminuyendo con el uso y la edad. Por ejemplo, un motor de gasolina alcanza
generalmente su rendimiento máximo después de un cierto período de ajuste; posteriormente, su
rendimiento disminuye a medida que se deterioran cilindros, pistones, anillos, carburador ó el
sistema de encendido.
Cuando la pérdida en eficiencia se debe a un mal funcionamiento de sólo unas pocas partes de
toda la máquina, es económico a menudo reemplazarles periódicamente y en esta forma mantener
el buen nivel de eficiencia durante un período largo de la vida del equipo.
Hay un cierto tipo de instalaciones cuya eficiencia declina con el uso y la edad, pero no se
pueden reparar. Los tubos para conducción de agua caliente, por ejemplo, se llenan generalmente
de óxido; a medida que su diámetro interno decrece, aumenta la cantidad de energía requerida
para forzar el movimiento de una cantidad determinada de agua a través del tubo. La eficiencia de
las tuberías como conductores de fluidos o gas, declina a menudo por el aumento en pérdidas
debido a corrosión interna o externa. Cuando no es económico reestablecer la eficiencia con
mantenimiento, debe reemplazarse la totalidad del sistema por intervalos sobre la base de un
análisis económico. Considérese el siguiente ejemplo. Los componentes de un transportador están
sujetos a un deterioro que reduce la capacidad del transportador d
e acuerdo a los datos de la
Tabla 1.2
Tabla 1.2 Costos de los componentes de un transportador.
A B C D E F G H
Año,
número
Eficiencia
al
comenzar
el año
Eficiencia
promedio
durante el
año
Horas
anuales
de
operación
1 200 ÷ C
Costo
anual de
operación
excluyendo
el
reemplazo
de los
cangilones
D x $6.40
Suma de
los costos
de
operación
al finalizar
el año,
∑E
Costo
promedio
anual del
servicio al
finalizar el
año,
($960 + F)
÷ A
Costo
anual
equivalente
del servicio
al finalizar
el año para
el 7% de
interés
1 1.00 0.97 1 237 7 917 7 917 8 877 8 973
2 0.94 0.91 1 319 8 442 16 359 8 659 8 701
3 0.88 0.86 1 395 8 928 25 287 8 749 8 773
4 0.84 0.82 1 463 9 363 34 650 8 903 8 904
5 0.80
A medida que la capacidad de cangilón va siendo menor, es necesario trabajar el transportador
por períodos más largos de tiempo con lo cual se aumentan los costos de operación. Cuando los
cangilones están nuevos, la cantidad anual de material deseada puede manejarse en 1 200 horas
de operación. Las horas de operación requeridas para diferentes niveles de eficiencia se muestran
en la Columna D. Los costos anuales de operación son de $6.40 por hora, los cuales aparecen en
la Columna E. El costo promedio anual que aparece en la Columna G está basado en un costo de
reemplazo de $960 por los componentes de un transportador.
El ejemplo anterior es típico en muchas clases de equipo cuya eficiencia disminuye
progresivamente cuando no es posible detenerla con mantenimiento. En el ejemplo, el menor costo
de operación se presenta cuando se permite que la eficiencia llegue hasta un 88%, antes de que
tenga lugar el reemplazo, correspondiendo a una vida de 2 años.

14
Aunque en el ejemplo, el menor costo de operación ocurre para una vida de 2 años, no es una
evidencia concluyente de que sea el resultado de una política de reemplazar los componentes a
intervalos de 2 años, a menos que el reemplazo duplique en costo inicial y en los costos
subsecuentes aquellos que están siendo reemplazados. Pero la determinación de la vida
económica para una unidad de equipo y la consideración casual del reemplazo subsecuente es, a
menudo, suficiente y
, desde el punto de vista práctico, lo más lejos a que puede llegarse en
muchas situaciones.
Supóngase que se está considerando reemplazar un transportador existente por uno nuevo que
tiene las características de operación que se muestran en la T
abla 1.2. La vida económica del
transportador viejo es de un año, su valor residual es despreciable y el costo estimado de
operación para el año inmediatamente siguiente es de $8 900 con aumentos anticipados en los
gastos futuros de operación. Se ve en la Columna H que la vida económica del transportador
nuevo es de 2 años para una tasa de interés del 7%. En consecuencia, debe seleccionarse el
transportador nuevo ya que se obtendrá una economía equivalente de por lo menos $199($8 900 -
$8 701) por año si el transportador nuevo se retiene durante el período de su vida óptima. Aún en
el caso de que el nuevo transportador se retuviera por un período más largo al de su vida
económica, dígamos 4 años, se tiene aún una ventaja al reemplazar el viejo, ya que se espera que
sus costos de operación anuales aumenten en el futuro.
d) Reemplazo por antigüedad (obsolescencia)
La obsolescencia surge como el resultado del mejoramiento continuo de los activos, es decir, en
el mercado siempre existirán activos con características tecnológicas más ventajosas que las de
los activos actualmente utilizados. Con frecuencia, el mejoramiento tecnológico es tan rápido que
resulta económico reemplazar un activ
o en buenas condiciones. Por consiguiente, la obsolescencia
se caracteriza por cambios externos al activo, y es utilizada como una razón para justificar el
reemplazo, cuando éste se considere necesario y conveniente.
Como una ilustración del análisis que implica el reemplazo debido a la obsolescencia,
considérese el siguiente ejemplo. Un empresario produce un acople que tiene dos partes. Cada
parte es producida por un torno de torre adquirido hace 13 años por $6 300 incluyendo allí los
costos de instalación. Se propone como reemplazo del viejo, un nuevo torno cuyo costo, una vez
instalado, será de $15 000. Los tiempos de producción por 100 conjuntos de partes con la máquina
nueva y la vieja son los siguientes:
Parte Máquina actual Máquina nueva
Conector. . . . . . . . 2.92 horas 2.39 horas
Manguillo. . . . . . . 1.84 horas 1.45 horas
Total . . . . . . . 4.76 horas 3.84 horas
La empresa tiene unas ventas para los acoples que llegan en promedio a 40 000 unidades
anuales que se espera continúen aproximadamente al mismo nivel. Los operadores de las
máquinas tienen un salario de $8.50 por hora. La máquina nueva y la vieja necesitan un espacio
igual en las instalaciones, pero siendo que la máquina nueva será utilizada menos horas, no
parece que merezca considerarse la diferencia en costo. También se considera cierto lo anterior en
relación con los artículos de administración general. El interés es igual al 12%. El vendedor de la
máquina nueva ha encontrado un pequeño taller que estaría interesado en adquirir la vieja por $1
200. El comprador potencial estima la vida de la nueva máquina en 10 años con un valor residual,
en ese momento, igual al 10% del costo de la máquina instalada $15 000. Se estima que el torno
viejo está adecuado físicamente para trabajar 2 años más y tener un valor residual en ese
momento igual a $250.
El costo anual equivalente de operación si el torno actual se retiene es de:

15
Recuperación del capital con ganancia, ($1 200 - $250) (A/P, 12%, 2) + $250(0.12) $ 592
Mano de obra directa, (4.76 ÷ 100) (40,000) ($8.50) $16 184
Total $16 776
El costo anual equivalente de la operación si se compra el torno nuevo, es de:
Recuperación del capital con retorno, ($15 000 - $1 500) (A/P, 12%, 10) + $250(0.12) $2 570
Mano de obra directa, (3.84 ÷ 100) (40 000) ($8.50) $13 056
Total $15 626
El monto anual a favor de la máquina nueva es de $1 150 pero debe notarse que ésta será
usada (3.84 ÷ 100) × 40 000 = 1 536 horas anuales. No se tiene en cuenta el hecho de que la
máquina nueva tiene una disponibilidad de muchas horas más por año; la capacidad no utilizada
no tiene ningún valor hasta que sea utilizada en realidad. Sin embargo, debido a que la capacidad
adicional tiene un valor potencial y puede mirarse como una seguridad para la insuficiencia, debe
considerarse como un irreducible en favor de la máquina nueva.
e) Reemplazo por una combinación de factores
En la mayoría de los casos es una combinación de factores, más que una sola causa, lo que
conduce al reemplazo. A medida que aumenta la edad del equipo, es de esperar que disminuya su
eficiencia y rendimiento, mientras aumenta el mantenimiento requerido. Además, entre más antiguo
sea un equipo, más modernos y ventajosos serán los equipos disponibles en el mercado.
Independientemente de la causa o combinación de causas que llevan a un estudio de
reemplazo, el análisis y la decisión deben estar basadas en estimativos de lo que ocurrirá en el
futuro. El pasado no debe tener importancia en este análisis; es decir, es irrelevante.
1.3 Factores a considerar en un estudio de reemplazo
En un análisis de reemplazo es necesario considerar una serie de factores sin los cuales la
decisión a la que se llega con tal estudio, no produce los resultados deseados. A continuación se
explican brevemente algunos de estos factores.
a) Horizonte de planeación
El horizonte de planeación en un estudio de reemplazo es el lapso de tiempo futuro que se
considera en el análisis. A menudo, un horizonte de planeación infinito es usado cuando es difícil o
imposible predecir cuándo la actividad bajo consideración será terminada. Sin embargo, es
importante señalar que tal suposición no es muy adecuada, puesto que es muy difícil predecir las
ventajas tecnológicas que tendrán los equipos en u
n futuro distante, con respecto a los equipos
actualmente utilizados. Además, los flujos de efectivo en un futuro muy distante es muy probable
que se comporten de manera muy diferente a los actuales. Por otra parte, sobre todo cuando la
duración del proyecto es predecible, es más realista y se recomienda basar el estudio en un
horizonte de planeación finito.
b) La tecnología
Es muy importante en un análisis de reemplazo, sobre todo para ciertos tipos de equipos,
considerar las características tecnológicas de los equipos que son candidatos a remplazar sobre
aquellos bajo análisis. No hacerlo, supone que los equipos futuros serán iguales a los actualmente
utilizados, y esto implica que no hay progreso tecnológico para ese tipo de equipo. Sin embargo, es

16
más realista esperar alguna obsolescencia del equipo viejo con respecto a los nuevos equipos
disponibles. El ejemplo prototipo para esta situación son las computadoras, las cuales
continuamente se están mejorando a un ritmo bastante acelerado, es decir, nuevas computadoras
con mayor capacidad de Hardware y Software originan que las computadoras que se usan
actualmente estén en amplia desventaja. En tales situaciones, vale la pena analizar si la reducción
en tiempo y el aumento de eficiencia de la nueva computadora justifican reemplazar a la actual.
c) Comportamiento de los ingresos y los gastos
Es práctica común asumir que el comportamiento de los ingresos y los gastos a lo largo del
horizonte de planeación es constante, o bien, en algunas ocasiones se estima que tienen un
comportamiento lineal ascendente o descendente. Sin embargo, es muy importante señalar que
cuando se ha detectado un cierto patrón de comportamiento en los gastos o se vislumbra cómo la
inflación va afectar a los ingresos y gastos, tales consideraciones deben ser incluidas en el estudio
de reemplazo.
d) Disponibilidad de capital
Es necesario dentro de un análisis de reemplazo considerar la disponibilidad de capital de la
compañía, puesto que es obvio que las fuentes de financiamiento que la empresa utiliza para
emprender sus proyectos de inversión (utilidad que genera, capital social y capacidad de
endeudamiento) no son ilimitadas. No tomar en cuenta estas consideraciones puede originar que
un reemplazo, que ya ha sido justificado, no se pueda emprender por falta de fondos.
e) Inflación
Otro factor muy importante que se debe considerar en un estudio de reemplazo es la inflación.
En épocas inflacionarias el acceso a pasivos de largo plazo es muy limitado, puesto que la inflación
al ser mayor que el rendimiento que ofrecen las instituciones bancarias en los diferentes tipos de
inversión (cuenta de ahorros, certificados, bonos financieros, etc.), disminuye la captación por parte
de éstas. Al disminuir la oferta de préstamos hipotecarios de largo plazo, las empresas tienen que
crecer al ritmo de crecimiento de sus utilidades generadas. Esto significa que en situaciones
inflacionarias las decisiones de inversión, en este caso reemplazo de equipo, deben ser realizadas
cuidadosamente, ya que una mala decisión puede significar una reducción en la disponibilidad de
capital de períodos futuros.

17
CAPITULO 2
Modelos Determinísticos para calcular la Vida Económica de Servicio
Introducción
Es probable que haya visto un automóvil de 50 años atrás aún en servicio. Casi cualquier cosa
se puede mantener en operación durante largo tiempo, siempre y cuando reciba las reparaciones y
el mantenimiento apropiados. Si podemos mantener un automóvil en operación durante un periodo
casi indefinido, ¿por qué no vemos entonces más automóviles viejos en la calle? Puede haber
varias razones. Algunas personas se cansan de manejar el mismo vehículo; otras quieren
conservar el automóvil tanto tiempo como dure, pero se dan cuenta de que los costos de
reparación y mantenimiento serán excesivos.
Los costos de operación y mantenimiento de un activo aumentan con su edad y en la ingeniería
económica nos interesa saber cuál es su vida de servicio práctica, más que su vida física restante.
En los análisis presentados a continuación definimos la vida de servicio económica como el
periodo de vida útil que minimiza el costo anual equivalente de un activo.
Para determinar la vida económica de un nuevo activo se deben considerar la inversión inicial,
los costos inherentes del activo (operación y mantenimiento) y los costos relativos a modelos
mejorados. Los costos más difíciles a evaluar de los tres anteriormente mencionados son sin duda
los costos relativos a modelos mejorados, puesto que es muy difícil predecir con exactitud sobre
todo para tiempos futuros muy distantes, el grado de mejoramiento tecnológico que sufrirá un
activo. Sin embargo, este costo es muy importante considerarlo en estudios de reemplazo de
activos sujetos a obsolescencias muy aceleradas. Por otra parte, hay que tener presente que los
costos anteriores son costos de oportunidad (lo que se deja de ahorrar [ganar] por no tener el
mejor activo disponible en el mercado) y por lo tanto no constituyen un desembolso real para la
compañía.
En la Figura 2.1 se muestra en forma gráfica el comportamiento teórico de los costos
inherentes y relativos de un activo. Como se puede apreciar, los costos inherentes del activo
siguen una tendencia ascendente, lo cual se debe principalmente al mantenimiento excesivo y a la
eficiencia decreciente que la edad de un activo origina. Por otra parte, en dicha figura también se
muestran los costos que se tendrían en cada uno de los años si se dispusiera del mejor activo que
en ese momento existe en el mercado; así mismo puede observarse que estos costos disminuyen
con el tiempo, dependiendo del grado de obsolescencia del activo en cuestión. Finalmente, se
puede apreciar que los costos relativos (costos de oportunidad) crecen con la edad del activo; es
decir, entre más viejo sea un activo, mayor será la cantidad que se deja de ahorrar (ganar) por no
disponer del mejor activo que actualmente exista en el mercado.
Por otra parte, en la Figura 2.2, se muestra el comportamiento del costo anual equivalente de
los costos inherentes y relativos del activo. También, se muestra la curva del costo total a partir de
la cual se obtiene el periodo óptimo de reemplazo (N*).

18
Costos del activo mejorado
Figura 2.1 Comportamiento de los costos inherentes y relativos del activo bajo análisis.
Figura 2.2 Costo total equivalente del activo para diferentes tiempos de permanencia.
Costos relativos
Tiempo
Costo total anual
equivalente
Costo anual equivalente
de los costos inherentes
y relativos del activo
Costo anual equivalente
de la inversión
Tiempo
N*
Costos de operación y mantenimiento

19
2.1 Vida económica de servicio de un activo
Veamos el cálculo de la vida económica de servicio de un activo, a través de los siguientes
métodos: (a) Método de flujo de efectivo generalizado, (b) Método tabular, (c) Modelo matemático,
y (d) Programación dinámica. En el ejemplo siguiente se explica el procedimiento computacional
para obtener la vida de servicio económica, utilizando los dos primeros métodos mencionados
anteriormente.
Ejemplo 2.1 Vida útil restante del defensor
Una compañía considera el reemplazo de un vehículo montacargas con capacidad de 450
Kilogramos, el cual se adquirió hace 3 años a un costo de $15 000 pesos. Originalmente se
esperaba que este montacargas diesel tuviera una vida útil de 8 años y valor residual de cero al
final de dicho periodo. El montacargas se deprecia con el método lineal durante 5 años y su valor
en libros actual es de $6 000 pesos. El montacargas no ha sido confiable y con frecuencia está
fuera de servicio, en espera de reparaciones. Los gastos de mantenimiento del montacargas han
aumentado constantemente y en la actualidad ascienden a unos $3 000 pesos anuales. El
montacargas p
uede venderse por $6 000 pesos ó si se conserva, requerirá de inmediato una
reparación general de $1 500 pesos para mantenerlo en operación. Esta reparación general no
extenderá la vida de servicio estimada originalmente ni aumentará el valor del montacargas. Los
costos operativos anuales actualizados, el costo de reparación del montacargas y los valores de
mercado en los 5 años siguientes se han estimado como sigue:
n Operación y mantenimiento Depreciación Reparación del motor Valor de mercado
-3 0
-2 $3 000
-1 $3 000
0 $3 000 $1 500 $6 000
1 $3 000 $3 000 $4 000
2 $3 500 $3 000 $3 000
3 $3 800 0 $1 500
4 $4 500 0 $1 000
5 $4 800 0 $5 000 0
El área sombreada representa la información irrelevante (costos hundidos, exceptuando el
historial del calendario de depreciación). Se espera un aumento notable en los costos de
operación y mantenimiento en el quinto año debido a otra reparación general necesaria para
mantener el montacargas en operación. La tasa marginal de impuestos de la compañía es del 40%
y su TREMA (Taza de recuperación mínima atractiva) es el 15%. Calcule la vida útil restante de
este vehículo montacargas.
Solución
Para determinar la vida útil restante, primero se listan las ganancias o pérdidas que ocurrirán si
se desecha el montacargas al final de cada año. Al hacer esto, es necesario calcular los valores en
libros al término de cada año, suponiendo que es posible desechar el activo en ese momento. El
cálculo del valor en libros se ilustra en la Tabla 2.1.

20
Usaremos dos métodos para encontrar la vida económica de servicio de un activo: (a) Método
de flujo de efectivo generalizado y (b) Método tabular.

22
a) Método de flujo de efectivo generalizado
Necesitamos estimar los valores residuales netos y los costos operativos durante la vida de
servicio del activo. Estos valores forman la base para identificar los flujos de efectivo después de
impuestos relevantes al término de un periodo operativo.
Si la compañía conserva el montacargas, de hecho ha decidido repararlo e invertir el valor de
mercado actual (después de impuestos) de la máquina en esa alternativa. Aunque no hay una
transacción física de flujo de efectivo, la empresa está reteniendo de la inversión el valor de
mercado del montacargas (costo de oportunidad).
Si se conserva el montacargas un año más, los flujos de efectivo después de impuestos
relevantes se determinan usando el método de flujo de efectivo generalizado. Para el caso en el
cual se conserva el defensor durante 1 hasta 5 años, la Tabla 2.2 resume los flujos de efectivo
usando el método de flujo de efectivo generalizado.
El valor anual equivalente, si la empresa conserva el montacargas 1 año es:
AE (15%) = [- 6 900+ 3 000(P/F, 15%, 1)
2
] (A/P, 15%, 1)
3
= - 4 935
Si la empresa conserva el montacargas 2 años más, el valor anual equivalente sería:
AE (15%) = [- 6 900 - 600(P/F, 15%, 1)+ 900(P/F, 15%, 2)] (A/P, 15%, 2) = - 4 146
Si la empresa conserva de 3 hasta 5 años más el defensor, los valores anuales equivalentes
son:
• Para n = 3 :
AE (15%) = [- 6 900 - 600(P/F, 15%, 1) - 900(P/F, 15%, 2) - 1380(P/F, 15%, 3)]
(A/P, 15%, 3) = - 3 946
• Para n = 4 :
AE (15%) = [- 6 900 - 600(P/F, 15%, 1) - 900(P/F, 15%, 2) – 2 280(P/F, 15%, 3)
-2 100(P/F, 15%, 4)] (A/P, 15%, 4) = - 3 784
• Para n = 5 :
AE (15%) = [- 6 900 - 600(P/F, 15%, 1) - 900(P/F, 15%, 2) – 2 280(P/F, 15%, 3)
- 2 700(P/F, 15%, 4) – 5 880(P/F, 15%, 5)] (A/P, 15%, 5) = - 4 197
Los Flujos de efectivo de la Tabla 2.2 se calculan de la siguiente manera:
Inversión
+ (Tasa de impuestos)(depreciación)
- (1- tasa de impuestos)(O & M)
+ Percepciones netas por la venta
Flujo de efectivo neto
En la Figura 2.3 se presentan los flujos de efectivo relevantes si se usa el montacargas más de
2 años.
2
Ver Apéndice
3
Ver Apéndice. En los casos posteriores, consulte el apéndice.

23
Tabla 2.2 Cálculo de flujo de efectivo generalizado después de impuestos de la conservación del
defensor durante 1, 2, 3, 4 y 5 años más (Ejemplo 2.1)
Percepciones
netas por la Flujo de
Años ( n ) Inversión (0.4)(Deprec) (-0.6)(O&M) venta efectivo neto
n=1
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 3600 3000
n=2
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 -600
2 1200 -2100 1800 900
n=3
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 -600
2 1200 -2100 -900
3 0 -2280 900 -1380
n=4
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 -600
2 1200 -2100 -900
3 0 -2280 -2280
4 0 -2700 600 -2100
n=5
0 -6000 0 -900 -6900
1 1200 -1800 -600
2 1200 -2100 -900
3 0 -2280 -2280
4 0 -2700 -2700
5 0 -5880 0 -5880

24
Figura 2.3 Flujos de efectivo del defensor cuando se conserva durante 1, 2, 3, 4 o 5
años (Ejemplo 2.1)
Si se vendiera el montacargas después de 4 años, tendría un costo anual mínimo de 3 508
pesos y es la vida más favorable para fines de comparación. Por tanto, la vida económica restante
del montacargas es de 4 años (véase la Figura 2.4)
Figura 2.4 Vida útil restante (Ejemplo 2.1)

25
b) Método tabular.
El método tabular consiste en separar en dos partes los elementos de costo anuales: una
relacionada con la recuperación de capital del activo y la otra con la operación de éste. Al calcular
el costo de recuperación de capital hay que determinar los valores residuales después de
impuestos al final de cada periodo de retención, como se muestra en la Tabla 2.1. Después se
calculan los costos anuales equivalentes del activo en determinado año de operación:
Costos anuales equivalentes = costo de recuperación de + costos operativos anuales
totales capital equivalentes
En la T
abla 2.3 se ilustra el método tabular para determinar la vida económica del activo.
Podemos ver que, conforme envejece el activo, aumentan los costos de operación y
mantenimiento. Al mismo tiempo, el costo de recuperación de capital disminuye con el uso
prolongado del activo. La combinación de la disminución en los costos de recuperación de capital y
el aumento en los costos anuales de operación y mantenimiento, da como resultado que el costo
anual equivalente total asuma una forma similar a la que se ilustra en la Figura 2.4, lo cual indica
que la vida económica del activo es de 4 años.
Igual que en el caso del defensor, debemos considerar de manera explícita cuánto tiempo debe
conservarse el retador una vez que se pone en servicio. Por ejemplo, en el caso de una empresa
de alquiler de camiones que compra con frecuencia una flotilla de camiones idénticos, tal vez
decida llegar a una política de decisión acerca de cuánto tiempo conservar cada vehículo antes de
reemplazarlo. Una vez calculado este periodo, la empresa podría escalonar el calendario de
compras y reemplazo de camiones para distribuir los gastos anuales de capital por la compra de
camiones. En el caso de un retador con ingresos desconocidos o irrelevantes, podemos calcular su
vida económica e
n base a sus costos operativos y valores residuales, año con año. Esto se
demuestra en el Ejemplo 2.2.

27
Ejemplo 2.2 Vida de servicio económica del retador
Como retador del equipo descrito en el Ejemplo 2.1 considere un nuevo vehículo montacargas
eléctrico que cuesta $18 000 pesos; sus costos operativos son de $1 000 pesos en el primer año y
valor residual de $10 000 pesos al término del mismo. En los años restantes, los costos operativos
aumentan un 15% anual con respecto a los del año anterior. En forma similar, el valor residual
disminuye un 25% cada año, con respecto al del año anterior. El vehículo montacargas tiene una
vida operativa de 7 años, con costo de reparación general de $3 000 pesos cada quinto año de
servicio y otra reparación general de $4 500 pesos en el séptimo año. De acuerdo con el método
lineal, las siguientes provisiones de depreciación anual son: $3 600, $3 600, $3 600, $3 600, $3
600, 0 y 0. La tasa marginal de impuestos de la empresa es del 40% y su TREMA es del 15%.
Encuentre la vida de servicio económica de esta máquina nueva.
Solución
Podemos proyectar los costos operativos esperados y el valor residual a lo largo de los
próximos 7 años, como se ilustra en la Tabla 2.4. Con estas cifras estamos listos para generar las
entradas después de impuestos. Los cálculos para los dos primeros años operativos son los
siguientes:
• n = 1 :
AE (15%) = {- 18 000+ [- 0.6 (1 000) + 0.4 (3 600) + 11 760] (P/F, 15%, 1)} (A/P, 15%, 1)
= - 8 100
• n = 2 :
AE (15%) = {- 18 000 + [- 0.6 (1 000) + 0.4 (3 600)] (P/F, 15%, 1) + [- 0.6 (1 150)
+ 0.4 (3 600) + 8 820] (P/F, 15%, 2)} (A/P, 15%, 2) = - 6 172
Podemos calcular en forma similar los costos anuales equivalentes de los años subsecuentes,
como se ilustra en la Tabla 2.5. La vida de servicio económica de la máquina nueva al parecer es
de 6 años con AE (15%) = - $4 381, lo que indica que, aunque se requiere una reparación general
costosa en el quinto año de servicio, es más económico conservar el equipo durante 6 años.
La razón para determinar la vida económica de un activo nuevo es que al ir reemplazando
perpetuamente de acuerdo con la vida económica, se obtiene el flujo infinito mínimo de costo anual
equivalente; este concepto se ilustra en la Figura 2.5. Por supuesto, debemos contemplar un largo
periodo de servicio para el activo. Sin duda, en este tipo de vida influyen en gran medida las
provisiones fiscales por depreciación.

30
Figura 2.5 Conversión de un número infinito de ciclos de reemplazo a flujos de costo anual
equivalentes infinitos ( Ejemplo 2.2)
A continuación se presenta un modelo matemático que nos permite determinar la vida económica
de un activo.
c) Modelo matemático
El modelo matemático propuesto a continuación, es una función del costo equivalente anual; el
cual se busca minimizar para un periodo óptimo de tiempo N. La función del costo anual
equivalente se obtiene primero calculando el valor presente de la inversión, a través de los costos
inherentes y relativos, del valor residual, descontando la parte de depreciación y del valor residual
afectado por la tasa de impuestos. Una vez obtenido el valor presente se anualiza, es decir, se
multiplica por el factor de conversión (A/P, i %, N)
( )
( )
( )
( )
( )
N
i
P
A
i
t
B
F
F
i
t
C
C
t
D
P
Mín N
N
N
N
N
j
j
Ij
Rj
j
%,
,
/
1
1
1
1








+
−
−
+
+
−
−
−
+
− ∑
=

31
donde:
P = inversión inicial en el activo.
D j = depreciación del activo en el año j.
t = tasa de impuestos.
C I j = costos inherentes del activo en el año j.
C R j = costos relativos del activo en el año j.
F N = valor residual del activo al final del año N.
B N = valor en libros del activo al final del año N.
N = periodo óptimo de tiempo a permanecer con el activo.
i = TREMA
Se probarán diferentes valores de N hasta encontrar aquel que minimiza el costo total anual
equivalente. Con el propósito de ilustrar una aplicación de este modelo matemático, observemos el
siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.3 Cálculo de la vida de servicio económica mediante un modelo matemático.
Suponga que una empresa desea adquirir cierto equipo para reemplazar el actualmente
utilizado. El costo del equipo se estima en $50 000 pesos y los valores residuales, valores en
libros, costos inherentes y costos relativos, para los diferentes años de vida del activo, se han
estimado como sigue
Final del año Valor en libros Valor realizable Costos inherentes Costos
Relativos
1 $40 000 $36 000 $ 5 000 $ 0
2 $30 000 $28 000 $ 6 000 $2 000
3 $20 000 $24 000 $ 7 000 $2 500
4 $10 000 $16 000 $ 9 000 $4 000
5 0 $ 2 000 $11 000 $6 000
Considere que la tasa de impuestos es de 50% y que esta misma tasa se aplica para gravar
ganancias o pérdidas extraordinarias de capital; por último, la empresa utiliza una TREMA de 20%
para evaluar sus proyectos de inversión.
Solución
Calculemos los flujos de efectivo después de impuestos para los diferentes periodos de
permanencia con el activo, los cuales se muestran en la Tabla 2.6. Debe ser notado en esta tabla
que en la cantidad gravable sólo se incluyen los costos inherentes y la depreciación. Los costos de
oportunidad por ser no-desembolsables no se pueden considerar como deducibles.

32
Tabla 2.6 Flujos de efectivo para diferentes periodos de permanencia con el activo
Flujo de
efectivo
antes
Flujo de
efectivo
después
Año
De
impuestos Depreciación
Cantidad
gravable
Ahorro en
impuestos
de
impuestos
Permanecer un año con el activo
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
1 36 000 38 000
Permanecer dos años con el activo
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
2 -8 000 -10 000 -16 000 8 000 0
2 28 000 29 000
Permanecer tres años con el activ
o
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
2 -8 000 -10 000 -16 000 8 000 0
3 -9 500 -10 000 -17 000 8 500 -1 000
3 24 000 22 000
Permanecer cuatro años con el activo
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
2 -8 000 -10 000 -16 000 8 000 0
3 -9 500 -10 000 -17 000 8 500 -1 000
4 -13 000 -10 000 -19 000 9 500 -3 500
4 16 000 13 000
Permanecer cinco años con el activo
0 -50 000 -50 000
1 -5 000 -10 000 -15 000 7 500 2 500
2 -8 000 -10 000 -16 000 8 000 0
3 -9 500 -10 000 -17 000 8 500 -1 000
4 -13 000 -10 000 -19 000 9 500 -3 500
5 -17 000 -10 000 -21 000 10 500 -6 500
5 2 000 1 000
A partir de la Tabla 2.6 se obtiene la Tabla 2.7, en la cual se trata de mostrar principalmente el
costo anual equivalente que se tendría si se permanece con el activo 1, 2, 3, 4 ó 5 años. En esta
tabla se puede apreciar que el costo anual equivalente es mínimo para un periodo de 4 años. Esto
significa que el periodo óptimo de reemplazo del activo es de 4 años.
En este ejemplo, se supuso que los costos relativos son conocidos; sin embargo, por ser costos
de oportunidad, son muy difíciles de evaluar en la práctica.

33
Tabla 2.7. Costo anual equivalente para diferentes periodos de permanencia con el activo
Costos Valores VP si se Factor de
totales realizables permanece anualidad Costo
después de después de n años con equivalente anual
Año impuestos impuestos el activo (A /P, i%, N) equivalente
0 -50 000
1 2 500 38 000 -16 250 1.2 -19 500
2 0 29 000 -27 778 0.6546 -18 183
3 -1 000 22 000 -35 764 0.4747 -16 977
4 -3 500 13 000 -43 914 0.3863 -16 964
5 -6 500 1 000 -52 394 0.3344 -17 521
Por consiguiente, si en un problema específico no es posible determinar los costos relativos,
con considerar los costos inherentes es suficiente.
Por último, veamos un modelo de programación dinámica, para determinar la edad más
económica de un activo.
d) Programación dinámica
Supongamos que estamos estudiando el problema del reemplazo de un activo a lo largo de n
años. Al principio de cada año, decidimos si debemos dejar el activo en servicio durante un año
más o reemplazarlo por uno nuevo. Denotemos por r(t) y c(t) la utilidad anual y el costo de
operación de un activo de un año t de edad respectivamente. Además, supongamos que s(t) es el
valor residual del activo que ha estado en servicio durante t años y el costo de adquirir un activo
nuevo en cualquier año es I. Los elementos del modelo de Programación dinámica son:
1. La etapa i está representada por el año i, i =1,2,..., n.
2. Las alternativas en la etapa (año) i son que el activo se conserve o se reemplace al
principio del año i.
3. El estado en la etapa i es la edad del activo al principio del año i.
Si definimos
f i (t) = ingreso neto máximo por los años i, i+1, ... , y n dado que el activo
tiene t años de edad al principio del año i.
Por lo tanto, la ecuación recursiva se deriva como
r(t) – c(t) + f i+1 ( t+1), si se CONSERVA
f i (t) = máx
r(0) – s(t) – I – c(0) + f i+1 (1), si se REEMPLAZA
Veamos un ejemplo de este modelo.

34
Ejemplo 2.4 Modelo de programación dinámica.
Una compañía necesita determinar la política de reemplazo óptima para una máquina que en la
actualidad tiene tres años, durante los cuatro años próximos (n = 4), es decir, hasta principios del
año 5. La siguiente tabla proporciona los datos del problema. La compañía requiere que una
máquina de seis años se reemplace. El costo de una máquina nueva es de 100 000 pesos.
Edad, t
(año)
Utilidad,
r(t)($)
Costo de ope-
ración, c(t) ($)
Valor de
rescate, s(t) ($)
0 20 000 200 -
1 19 000 600 80 000
2 18 500 1 200 60 000
3 17 200 1 500 50 000
4 15 500 1 700 30 000
5 14 000 1 800 10 000
6 12 200 2 200 5 000
Solución
La determinación de los valores factibles para la edad de la máquina en cada etapa es un tanto
laborioso. La Figura 2.6 resume la red que representa el problema. Al principio del año 1, tenemos
una máquina de tres años de edad. Podemos reemplazarla (R) o conservarla (C) por otro año. Al
principio del año 2, si ocurre el reemplazo, la máquina nueva tendrá un año de edad; de lo
contrario, la máquina vieja tendrá cuatro años. La misma lógica aplica al principio de los años 2 al
4. Si una máquina de un año de edad se reemplaza al principio de los años 2 y 3, su reemplazo
tendrá un año al principio del siguiente año. Además, al principio del año 4, una máquina de cinco
años se debe reemplazar y al final del año 4 recuperamos (S) las máquinas.
La red muestra que al principio del año 2, las edades posibles de las máquinas son 1 y 4 años.
Para principios del año 3, las edades posibles son 1,2 y 5 años y para principios del año 4, las
edades posibles son 1, 2, 3 y 6 años.
La solución de la red en la Figura 2.6 es equivalente a encontrar la ruta más larga desde el
principio del año 1 hasta finales del año 4. Utilizaremos la forma tabular (en miles de pesos) para
resolver el problema.
La Figura 2.7 resume el orden en el cual se obtiene la solución óptima. Al principio del año 1 la
decisión óptima dada t =3, es reemplazar la máquina. Por tanto, la máquina nueva tendrá un año al
principio del año 2 y requiere ya sea conservar o reemplazar la máquina. Si se reemplaza, la
máquina nueva tendrá 1 año al principio del año 3; de lo contrario, la máquina que se conservó
tendrá 2 años. El proceso se continúa de esta manera hasta cubrir el año 4.

35
Figura 2.6 Red de Programación dinámica (Ejemplo 2.4)
Etapa 4
C R Solución óptima
t r(t)+s(t+1)-c(t) r(0)+s(t)+s(1)-c(0)-I f4(t) Decisión
1 19.0+60-0.6=78.4 20+80+80-0.2-100=79.8 79.8 R
2 18.5+50-1.2=67.3 20+60+80-0.2-100=59.8 67.3 C
3 17.2+30-1.5=45.7 20+50+80-0.2-100=49.8 49.8 R
6 (se debe reemplazar) 20+5+80-0.2-100=4.8 4.8 R
Etapa 3
t r(t)-c(t)+f4(t+1) r(0)+s(t)-c(0)-I+f4(1) f3(t) Decisión
1 19.0-0.6+67.6=85.7 20+80-0.2-100+79.8=79.6 85.7 C
2 18.5-1.2+49.8=67.1 20+60-0.2-100+79.8=59.6 67.1 C
5 14.0-1.8+4.8=17.0 20+10-0.2-100+79.8=19.6 19.6 R

36
Etapa 2
1 19.0-0.6+67.1=85.5 20+80-0.2-100+85.7=85.5 85.5 C o R
4 15.5-1.7+19.6=33.4 20+30-0.2-100+85.7=35.5 35.5 R
Etapa 1
3 17.2-1.5+35.5=51.2 20+50-0.2-100+85.5=55.3 55.3 R
Figura 2.7 Diagrama de la solución óptima de Programación dinámica (Ejemplo 2.4)
Las políticas alternativas óptimas empezando en el año 1 son: (R, C, C
, R) y (R, R, C, C). El
costo total es de 55 300 pesos.
2.2 Costos de Operación y Mantenimiento
Uno de los determinantes importantes de la vida económica de un activo es el pat rón de costos
en que se incurre por las actividades de operación y mantenimiento (O & M). Esta relación puede
observarse en el siguiente análisis de costos de O & M esporádicos, constantes y crecientes.
a) Costos de mantenimiento esporádicos.
Supóngase que se adquiere una máquina por $400 y que su valor residual es cero a cualquier
edad a la cual pueda retirarse. Supóngase además, que la tasa de interés es cero. Entonces, los
factores pertinentes relacionados con la máquina pueden resumirse como aparece en la Tabla 2.8.
Esta tabla pone de presente el hecho de que los costos de capital decrecen en alguna proporción
inversa a la longitud de la vida. Esto también es cierto para tasas de interés diferentes de cero y
para cualquier patrón de valores residuales de los que se encuentran normalmente en la realidad.

37
Tabla 2.8 Historia económica de una máquina con costos de mantenimiento esporádicos.
A
Fin del año,
número
B
Costos de
mantenimiento
para el final de
un año dado.
C
Sumatoria de
los costos de
mantenimiento
∑B
D
Costo
promedio de
mantenimiento
hasta el año
dado
A
C ÷
E
Costo
promedio del
capital si se
retira al
finalizar el año
dado
A
÷
400
$
F
Costo
promedio total
hasta el año
dado
D + E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
$ 100
100
300
100
100
100
100
300
100
100
$ 100
200
500
600
700
800
900
1 200
1 300
1 400
$ 100
100
167
150
140
133
129
150
144
140
$ 400
200
133
100
80
67
57
50
44
40
$ 500
300
300
250
220
200
186
200
188
180
El hecho de que los costos de mantenimiento sean promediados en la columna D tiende a
suavizar el efecto de costos esporádicos de mantenimiento muy altos. En el ejemplo, la relación
entre el costo de un activo y sus costos de mantenimiento es relativamente alta. A pesar de lo
anterior, el costo promedio total que aparece en la columna F es generalmente decreciente. A no
ser que exista una tendencia creciente en los costos esporádicos de mantenimiento no habrá un
costo “mínimo” en un año dado que no pueda ser mejorado en un año futuro. Pero es claro que si
se realiza el reemplazo es deseable hacerlo inmediatamente antes de un fuerte desembolso de
mantenimiento.
b) Costos constantes de mantenimiento.
Cuando los costos de mantenimiento son constantes en años sucesivos no serán nunca
justificación de reemplazos. Cuando no se tienen en cuenta ni el interés ni el valor residual, se
puede escribir una ecuación para el costo promedio de un año de servicio como sigue:
C =
N
P
+ M
donde:
C = costo promedio anual de la recuperación de capital y mantenimiento;
P = costo inicial del activo;
M = costos constantes anuales de mantenimiento;
N = vida del activo en años.
Cuando se tienen en cuenta el interés y el valor residual, se puede escribir una expresión para
el costo anual equivalente como sigue, si F es el valor residual
C = (P – F) (A/P, i %, N) + F i + M.

38
Una mirada a la tabla de los valores para (A/P, i %, N) muestra que C decrece con aumento de
N si el valor residual permanece constante a todo lo largo del tiempo. Sin embargo, si hay grandes
disminuciones en el valor de F de período, puede reservarse esta tendencia.
c) Costos de mantenimiento constantemente crecientes.
Puede obtenerse una mejor comprensión del problema de reemplazo al considerar situaciones
en las cuales los costos de mantenimiento aumentan constantemente con la edad del activo.
Supóngase que se ha adquirido una máquina por $800; que su valor residual es cero a cualquier
edad; su costo de mantenimiento es cero para el primer año pero a una tasa constante de $100
anuales de allí en adelante. Si se supone que la tasa de interés es cero, los hechos referentes a la
máquina pueden representarse como aparece en la Tabla 2.9.
Debido a que se tiene una tendencia creciente en los costos de mantenimiento, existirá en
algún punto de la vida del activo un costo total mínimo. Este punto ocurre en el ejemplo en el
cuarto año.
Cuando existe una tendencia creciente en los costos de O & M, es posible formular un modelo
ideal que exprese la vida económica del activo. El costo promedio anual para un activo con costos
crecientes de O & M puede expresarse como sigue despreciando el interés:
C =
N
P
+ Q + (N – 1)
2
m
Tabla 2.9. Historia económica de una máquina con costos de mantenimiento constantemente crecientes.
A
Fin del año,
número
B
Costos de
mantenimiento
para el final de
un año dado.
C
Sumatoria de
los costos de
mantenimiento
∑B
D
Costo
promedio de
mantenimiento
hasta el año
dado
A
C ÷
E
Costo
promedio del
capital si se
retira al
finalizar el año
dado
A
÷
800
$
F
Costo
promedio total
hasta el año
dado
D + E
1
2
3
4
5
6
$ 0
100
200
300
400
500
$ 0
100
300
600
1.000
1.500
$ 0
50
100
150
200
250
$ 800
400
267
200
160
133
$ 800
450
367
350
360
383
donde:
C = costo promedio anual
P = costo inicial del activo
Q = proporción constante anual de los costos de operación del activo (es igual a los costos de
operación para el primer año, de los cuales el mantenimiento es una parte)
m = la tasa a la cual crecen los costos de mantenimiento cada año
N = vida del activo en años.

39
Al diferenciar la expresión anterior con respecto a N, haciendo el resultado igual a cero y
despejando se obtiene el siguiente resultado:
dN
dC
= - 2
N
P
+
2
m
= 0
N =
m
P
2
Para el ejemplo que se presenta en la T
abla 2.9, P = $ 800, Q = 0 y m = $ 100. En
consecuencia, la vida de costo mínimo es
N =
( )
100
$
800
$
2
= 4 años
como se muestra en la Figura 2.8. El costo mínimo calculado en la Tabla 2.9 puede verificarse
como sigue:
C =
4
800
$
+ 3 





2
100
= $350
La Figura 2.8 muestra gráficamente las negociaciones entre unos costos de mantenimiento
crecientes y unos decrecientes de recuperación de capital para producir una vida de costo mínimo.
Figura 2.8 Vida económica de un activo
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 1 2 3 4 5 6
n (número de años de la vida del activo)
Costo
promedio
anual

40
CAPITULO 3
Modelos Determinísticos del Análisis de Reemplazo
Introducción
Ahora que hemos determinado las vidas de servicio económicas del defensor y el retador, la
siguiente pregunta es cómo usar esta información para decidir si ahora es el momento apropiado
para reemplazar al defensor. Antes de presentar una estrategia analítica para responder a esta
pregunta, consideraremos varias suposiciones importantes.
3.1 Suposiciones requeridas y esquema de decisión
Al decidir si ahora es el momento apropiado para reemplazar el defensor, es necesario
considerar los tres factores siguientes:
• Horizonte de planificación ( periodo de estudio )
• Tecnología
• Información relevante de flujo de efectivo
Horizonte de planificación (periodo de estudio)
El horizonte de planificación no es más que el periodo de servicio requerido por el defensor y
una secuencia de retadores futuros. El horizonte de planificación infinito se usa cuando no
podemos predecir en qué momento terminará la actividad que se estudia. En otros casos puede
ser obvio que el proyecto tendrá una duración definida y previsible. En estas situaciones, la política
de reemplazo se debe formular de manera más realista, con base en un horizonte de planificación
finito.
Tecnología
Las predicciones de los patrones tecnológicos durante el horizonte de planificación se refieren
al desarrollo de tipos de retadores que pueden reemplazar a los que se estudian. El número de
predicciones acerca del costo de compra, valor residual y costo operativo, puede ser infinito con
base en la eficiencia de la máquina durante la vida de un activo. Si suponemos que todas las
máquinas en el futuro serán iguales a las que existen actualmente, con ello estamos diciendo que
no hay adelantos tecnológicos en el área. En otros casos, podemos reconocer de manera explícita
que las máquinas disponibles en el futuro serán mucho más eficientes, confiables o productivas
que las actuales (
los computadores personales son un buen ejemplo). Esta situación lleva a
reconocer un cambio tecnológico o una condición de obsolescencia. Por supuesto, si la mejor
máquina disponible se perfecciona constantemente, la mejor decisión puede ser posponer el
reemplazo, a diferencia de la situación en la cual no es probable un cambio tecnológico.
Patrones de ingresos y costos durante la vida del activo
Son posibles muchas variedades de predicciones al estimar los patrones de ingresos, costos y
valores residuales, durante la vida de un activo. En ocasiones los ingresos son constantes, pero los
costos y el valor residual no aumentan durante la vida de la máquina; en otras situaciones, puede
esperarse una reducción en los ingresos, al avanzar la vida del equipo. Esto determinará si el
análisis de reemplazo está orientado hacia la minimización de costos (con ingresos constantes) o
hacia la maximización de ganancias (con ingresos variables). Formularemos una política de
reemplazo del activo en la cual los valores residuales no aumentan con la edad.

41
Esquema de decisión
Para ilustrar el esquema de decisión, indicaremos una secuencia de activos con la notación ( j 0,
n 0 ), ( j 1 , n 1 ), ( j 2 , n 2 ), ... . Cada par de números (j i, n i) indica el tipo de activo y el periodo
durante el cual se conservará. El defensor, activo 0, se lista primero; si se reemplaza ahora, n 0 = 0.
Una secuencia de pares puede abarcar un periodo finito o infinito. Por ejemplo, la secuencia (j 0, 2),
( j 1 , 5 ), ( j 2 , 3 ) indica conservar el defensor durante 2 años; reemplazarlo con un activo de tipo
j 1, y usarlo 5 años; reemplazar j 1 con un activo de tipo j 2 y usar éste 3 años. En este caso, el
horizonte de planificación total comprende 10 años (2+ 5+ 3). El caso especial de conservar el
defensor durante n 0 periodos, seguido por compras repetidas infinitamente y el uso de un activo de
tipo j durante n j años, se representa como (
j 0, n 0), (j, n j ) ∞ Esta secuencia abarca un periodo
infinito y la relación se ilustra en la Figura 3.1.
Figura 3.1 Tipos de esquemas típicos de decisión de reemplazo.
3.2 Valor de mercado actual y costos hundidos.
Todo equipo será eliminado en algún momento, ya sea porque la tarea que realiza ya no es
necesaria o porque hay otro equipo que puede efectuar mejor dicha tarea. Por tanto, la pregunta
no es si se debe eliminar; sino cuándo hay que hacerlo. Otra variante de la pregunta es si debemos
reemplazar el equipo existente ahora o posponer el reemplazo, llevando a cabo una reparación del
equipo con que se cuenta. Otro aspecto de la comparación defensor-retador se refiere a cuál debe
ser exactamente el equipo retador. Si se va a reemplazar el retador por el defensor, por lo general
se busca instalar la mejor de las alternativas.
1 2 3 4
0 5 6 7 8 9 10 11
Horizonte de Planificación infinito con reemplazos idénticos
Horizonte de planificación finito: (j0, 2),
j1 j1 j1
j0
j0 j1 j2
Horizonte de Planificación (años)

42
Valor de mercado actual
El problema más común al considerar el reemplazo de equipo existente es determinar cuál es la
información financiera relevante para el análisis. Con frecuencia existe la tendencia de incluir
información irrelevante e
n el análisis. Consideremos el Ejemplo 3.1 para ilustrar el problema de
decisión.
Ejemplo 3.1 Información relevante para un análisis de reemplazo
Una empresa compró una imprenta de $20 000 pesos hace dos años. La compañía esperaba
que la máquina tuviera una vida de servicio de 5 años con valor residual de $5 000 pesos. El gasto
de capital de $20 000 pesos se depreció con el método lineal durante el periodo de 5 años
(depreciación anual:$2 000, $2 000, $2 000, $2 000 y $2 000 ). La compañía acaba de gastar $5
000 pesos en reparaciones y los costos operativos actuales son del orden de $4 000 pesos
anuales. Además, el valor residual anticipado se ha reducido a $2 000 pesos al término del periodo
de 5 años. Por otra parte, la compañía ha averiguado que la máquina tiene actualmente un valor
de mercado de $10 000 pesos y el departamento de ventas otorgará dicha cantidad a la compañía,
si cambia la máquina por una nueva. ¿Qué valores del defensor deben ser relevantes en este
análisis?
Solución
En este ejemplo se han present ado cuatro cantidades monetarias relacionadas con el defensor:
1. Costo original: La imprenta se compró por $20 000 pesos.
2. Valor en libros: El costo original menos la depreciación acumulada es
$20 000-($2 000+ $2 000)= $16 000.
3. Valor de mercado de la máquina vieja: La compañía estima que es $10 000 pesos.
4. Provisión de cambio: En este ejemplo es igual que el valor de mercado (la provisión podría
ser distinta al valor de mercado).
En el presente ejemplo, y en todos los análisis del defensor, el costo relevante es el valor de
mercado actual del equipo. El costo original, el valor en libros, el costo de reparación y el valor de
cambio son irrelevantes. Muchas veces se tiene la impresión incorrecta de que el valor de cambio
es el valor de mercado actual del equipo y que por consiguiente puede usarse como valor actual
apropiado para el equipo. Esto no siempre es cierto; por ejemplo, un distribuidor de automóviles
generalmente ofrece una cantidad a cambio del vehículo viejo del cliente, con lo cual se reduce el
precio del automóvil nuevo. ¿Ofrecería el distribuidor el mismo valor para el automóvil viejo si no
vendiera el nuevo? Por lo general no sucede así.
En muchos casos, se infla la provisión de cambio para que el trato luzca más atractivo; pero el
precio del automóvil nuevo también se infla para compensar el costo de cambio del distribuidor. En
este tipo de situaciones, el valor de cambio no representa el valor real del artículo, por lo que no
debe usarse en el análisis económico.
Costos hundidos
Un costo hundido es cualquier costo pasado que no puede modificarse mediante ninguna futura
decisión de inversión. En el Ejemplo 3.1, el valor actual en libros es $16 000 pesos y el valor de
mercado es $10 000 pesos. Por tanto, habría una pérdida de $6 000 pesos si la máquina se
retirará de servicio. Al añadir el costo de reparación de $5 000 pesos, la inversión total no
recuperada, de efectuarse el cambio, sería de $11 000 pesos. En el análisis económico es tentador
sumar esta pérdida del desecho al costo del retador, pero esto es incorrecto (Figura 3.2). (Observe,
sin embargo, que el gasto se recuperará hasta donde lo permiten las leyes fiscales.) Sólo se deben
considerar los costos futuros; los costos pasados o hundidos deberán ignorarse. Por ello, el valor

43
del defensor que debe emplearse en el análisis de reemplazo es su valor de mercado actual,
después de impuestos, y no el costo de compra original ni el costo de las reparaciones efectuadas.
Figura 3.2. Costo hundido relacionado con el desecho de un activo (Ejemplo 3.1)
3.3 Ganancias (pérdidas) al desechar el defensor
En los estudios de reemplazo se requiere tener un conocimiento del calendario de depreciación
y las ganancias gravables (o créditos por pérdidas). Observe que el calendario de depreciación de
hecho se determina en el momento de la adquisición. Veamos la forma en que el desecho del
activo, antes de concluir el periodo de recuperación, afecta el calendario de depreciación lineal.
Ejemplo 3.2 Percepciones netas por el desecho de una máquina vieja
En el Ejemplo 3.1, determine la ganancia (o pérdida) gravable y las percepciones netas por el
desecho de la máquina vieja, si la tasa marginal de impuestos sobre la renta de la empresa es del
40%.
Solución
Tenemos lo siguiente:
Valor actual en libros = $16 000
Valor de mercado actual = $10 000
Pérdidas = $ 6 000
Ahorros de impuestos = $ 6 000 (0.40) = $2 400
Percepciones netas por la venta = $10 000 + $2 400
= $12 400.
Este cálculo se ilustra en la Figura 3.3

44
Figura 3.3 Percepciones netas por la venta del defensor (Ejemplo 3.2)
3.4 Estrategias básicas de reemplazo
Consideremos dos estrategias básicas para el análisis de problemas de reemplazo: la estrategia
de flujo de efectivo y la estrategia de costo de oportunidad.
a) Estrategia de flujo de efectivo
Comenzaremos con un problema de decisión de reemplazo donde el defensor y el retador
tienen la misma vida útil, comenzando a partir de ahora. Supuestamente, el defensor ha estado en
operación cierto tiempo y el periodo de servicio requerido del defensor es relativamente corto. En
este caso podemos emplear la estrategia de flujo de efectivo, siempre y cuando el periodo de
análisis sea el mismo para todas las alternativas.
Ejemplo 3.3 Análisis de reemplazo usando la estrategia de flujo de efectivo
Considere el E
jemplo 3.1. Le han ofrecido a la compañía la oportunidad de comprar otra
máquina por $15 000 pesos. En su vida útil de 3 años reducirá el uso de mano de obra y
materiales en una cantidad suficiente para disminuir los costos operativos de $8 000 a $6 000
pesos. Esta reducción en costos dará lugar a un aumento de $2 000 pesos en la ganancia antes de
impuestos. Se estima que la nueva máquina podrá venderse por $6 000 pesos al término del año
3. La máquina n
ueva correspondería a una depreciación lineal de 5 años y, de comprarse, la
máquina vieja se vendería a otra compañía, en lugar de darla a cambio por la nueva. Suponga que
la empresa necesita una de ambas máquinas (la vieja o la nueva) por sólo 3 años y no espera que
aparezca una máquina mejor durante este periodo de servicio. Si suponemos que la tasa de
interés y la tasa de impuestos de la empresa son 12% y 40%, respectivamente, decida cuál es el
reemplazo que se justifica ahora.

45
Solución
En la Tabla 3.1 se presenta el formato de hoja de cálculo que usa la compañía para analizar un
proyecto de reemplazo típico.
Cada una de las líneas de la tabla está numerada y a continuación se presenta una descripción
de cada línea de la tabla.
• Líneas 1 a 4. Si se conserva la máquina vieja, el calendario de depreciación sería ($2 000,
$2 000 y $2 000). Esto da como resultado una depreciación total de $10 000 pesos y un
valor restante en libros de $20 000- $10 000= $10 000. La pérdida por la venta es el valor
en libros menos el valor residual, esto es, $10 000- $2 000= $8 000.
• Líneas 5 y 6. Ya se incurrió en el costo de reparación de $5 000 pesos antes de tomar la
decisión de reemplazo, por lo que se trata de un costo hundido. Si se conserva la máquina
vieja durante los 3 años siguientes, los costos anuales de operación y mantenimiento antes
de impuestos serán los que se presentan en la línea 6.
• Líneas 7 y 8. Las provisiones de depreciación producen una reducción en impuestos igual
a la cantidad de depreciación multiplicada por la tasa de impuestos. Como no hay ingresos,
es fácil calcular los flujos de efectivo operativos usando el método de flujo de efectivo
generalizado.
+ (tasa de impuestos) (depreciación) …. (línea 7)
- ( 1 – tasa de impuestos ) (operación y mantenimiento) …. (línea 8)
• Línea 9. El equipo viejo se venderá a un precio inferior al valor en libros, de manera que la
venta generará una pérdida que reducirá la ganancia gravable de la empresa y por
consiguiente su pago de impuestos. El ahorro en impuestos debe ser igual a (valor en
libros – valor de mercado) ( tasa de impuestos ) = ($10 000 - $2 000)(0.40) = $3 200.
Luego, las percepciones netas por la venta del equipo viejo al término del tercer año es
“valor de mercado + ahorros de impuestos por la pérdida”; es decir, $2 000 + $3 200 =
$5 200.
• Línea 10. No se requiere ninguna inversión nueva para conservar la máquina vieja;
entonces, los flujos de efectivo operativos netos y las percepciones netas por la venta de la
máquina vieja consistirán en los flujos de efectivo operativos y las percepciones netas por
la venta de la máquina vieja al final del año 3.
• Línea 11. Aquí se presenta el precio obtenido por la venta del equipo viejo en n = 0, en el
Ejemplo 3.2 se ilustraron los pasos de este cálculo.
• Líneas 12 a 15. En estas líneas se muestra el precio de compra de la máquina nueva,
incluyendo cargos de instalación y flete. En las líneas 13 y 14 se presenta el calendario de
depreciación y los valores en libros de la máquina nueva (Depreciación lineal a una tasa
del 10%)
• Línea 16. Se espera una pérdida por la venta de la máquina nueva al concluir el tercer año
(es decir, si el valor en libros excede el precio de venta), la pérdida gravable es de – $4
500 pesos.
• Línea 18. Aquí se muestra el flujo neto total de salida de efectivo en el momento de
efectuar el reemplazo. La compañía expide un cheque por $15 000 pesos para pagar la
máquina; sin embargo, esta salida se compensa parcialmente con las percepciones por la
venta del equipo viejo y los ahorros en impuestos por la cantidad de $12 400 pesos.
• Líneas 19 y 20. Aquí se presentan los flujos de efectivo operativos netos durante los 3
años de vida del proyecto. Estos flujos se obtienen sumando los ahorros de impuestos por
depreciación al costo de operación y mantenimiento después de impuestos.
• Línea 21. Esta línea indica los flujos de efectivo relacionados con la terminación de la
máquina nueva. Para comenzar, en la línea 15 se presenta el valor residual estimado de la
máquina nueva al concluir su vida de 3 años: $6 000 pesos. Como el valor en libros de la
máquina nueva al final del tercer año es de $10 500 pesos, la compañía tendrá que pagar

47
impuestos de ($6 000 – $10 500) (0.40) = - $1 800, dejando percepciones netas de $6 000
- (- $1 800) = $7 800 pesos.
• Línea 22. Esta línea representa los flujos de efectivo netos asociados con el reemplazo de
la máquina vieja.
Los diagramas de flujo de efectivo se presentan en la Figura 3.4; como el retador y el defensor
tienen la misma vida de servicio, podemos emplear el análisis de valor actual o de valor anual
equivalente.
VA (12%) viejo = 0 - $4 000(P/A, 12%, 2) + $1 200(P/F, 12%, 3) = - $5 906.
AE (12%) viejo = - $5 906(A/P, 12%, 3)= -$2 459.
VA (12%) nuevo = - $2 600 - $3 000(P/ F, 12%, 1) - $3 000(P/ F, 12%, 2) +
$4 800(P/ F, 12%, 3)= - $4 254.
AE (12%) nuevo = - $4 254(A/ P, 12%, 3)= -$1 771.
Figura 3.4 Comparación entre el defensor y el retador con base en el método de flujo de efectivo
(Ejemplo 3.3)
Hay una diferencia anual de $2 459 - $1 771 = $ 688 pesos a favor del retador; por ende, hay
que efectuar el reemplazo ahora. En la Figura 3.5 se muestran los flujos de efectivo incrementales
netos esperados si se lleva a cabo el reemplazo.
Figura 3.5 Flujo de efectivo incremental (retador – defensor) basado en el método de flujo de efectivo (Ejemplo 3.3)

48
b) Estrategia de costo de oportunidad
En el ejemplo anterior, renunciamos a $12 400 pesos en valor residual por no vender el
defensor. Por tanto, otra forma de analizar este problema sería cargando los $12 400 pesos como
el costo de oportunidad de conservar el activo. Es decir, en lugar de deducir el valor residual del
costo de compra del retador, lo consideramos como un flujo de salida de efectivo del defensor.
Repitamos el Ejemplo 3.3 usando el método de costo de oportunidad.
Ejemplo 3.4 Análisis de reemplazo mediante la estrategia de costo de oportunidad.
Solución
Recuerde que en el método de flujo de efectivo del Ejemplo 3.3 se acreditaron las percepciones
netas de $12 400 pesos por la venta del defensor a los $15 000 pesos del precio de compra del
retador, de manera que no hubo un egreso inicial en la decisión de conservar el defensor. El costo
de oportunidad trata el valor residual actual de $12 400 pesos del defensor como un costo en el
que se incurre si la decisión e
s conservar el defensor. En la Figura 3.6 se ilustran los flujos de
efectivo relacionados con estas opciones de la decisión.
Como los periodos de servicio son iguales, podemos usar el análisis de valor actual o de valor
anual equivalente.
VA (12%) viejo = - $12 400 - $4 000(P/A, 12%, 2) + $1 200(P/F, 12%, 3) = - $17 982.
AE (12%) viejo = - $17 982(A/P, 12%, 3) = - $7 486.
VA 12%) nuevo = - $15 000 - $3 000(P/F, 12%, 1) - $3 000(P/F, 12%, 2) + $4 800(P/F, 12%,3)
= - $16 654.
AE (12%) nuevo = - $16 654(A/P, 12%, 3) = - $6 933.
Hay una diferencia anual de $7 486 - $6 933 = $ 553 pesos, a favor del retador; al igual que en
el Ejemplo 3.3, hay que reemplazar ahora.
Figura 3.6 Comparación del defensor y el retador con base en el método de costo de oportunidad
(Ejemplo 3.4)

49
En los Ejemplos 3.3 y 3.4 supusimos vidas de servicio iguales para el defensor y el retador. Sin
embargo, por lo general el equipo viejo tiene una vida de servicio restante relativamente corta, en
comparación con el equipo nuevo; de manera que esta suposición es demasiado simple. En las
secciones siguientes atacaremos algunas de las complejidades de las vidas de servicio del retador
y el defensor.
3.5 Análisis de reemplazo en el caso de vidas desiguales.
Debido a que la mayoría de las decisiones de reemplazo se centran en el reemplazo de activos
viejos por nuevos, las alternativas económicas que se examinan tienen muy rara vez una duración
igual.
Se presume generalmente, que cada evento en la historia depende de eventos previos.
Entonces, se hace necesario, al menos en teoría, para hacer una comparación precisa de un par
de alternativas, considerar todo el futuro o un período que va desde el momento actual hasta un
punto en el futuro, punto en el cual el efecto de las dos alternativas será idéntico. Es muy raro que
sea posible considerar todos los eslabones en la cadena de eventos que van hacia el futuro. Es
también frecuentemente imposible estar en condiciones de discernir un punto en el futuro en el
cual la selección de una entre un par de alternativas hecha en el presente, tenga el mismo efecto
que la selección de la otra.
En los párrafos que siguen, se ilustra un método general para colocar las alternativas sobre una
base comparativa involucrando la selección de períodos de estudio más o menos arbitrarios. Con
este método, la comparación de alternativas se hace sobre la base de los costos y los ingresos que
se presentarán durante un período seleccionado hacia el futuro. El efecto de los valores que
ocurran después del período de estudio seleccionado se elimina por medio de cálculos apropiados.
Los horizontes de planeación para todas las alternativas en una comparación dada deben ser
iguales.
Como una ilustración del empleo de un período de estudio, considérese el ejemplo siguiente.
Una cierta operación está siendo conducida en la actualidad con la Máquina E, cuyo costo inicial
estimado es de $ 2 000. Se estima que la vida futura de ésta es de 5 años, al final de los cuales su
valor residual será igual a cero. Se ha estimado que los costos de operación serán de $1 200
anuales. Se espera que la Máquina E sea reemplazada, después de 5 años, por la F, cuyo costo
inicial, vida, valor residual y costos anuales de operación se estiman en $10 000, 15 años, cero y $
600, respectivamente. Debe tenerse en cuenta que los estimativos referentes a la Máquina F
pueden estar completamente equivocados.
El deseo de reemplazar la Máquina E por la G está t
ambién bajo estudio. El costo inicial
estimado, vida, valor residual y costos de operación anuales para la Máquina G se han estimado
en $ 8 000, 15 años, cero y $ 900, respectivamente. La tasa de interés es igual al 10%. Los datos
detallados sobre la inversión y los costos para las Máquinas E, F y G aparecen en la Tabla 3.2

50
Tabla 3.2 Análisis basado en un periodo de estudio seleccionado.
Plan I Plan II
Fin del año,
número
Inversión en máquinas Costos de
operación
Inversión en máquinas Costos de
operación
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Período
de
estudio
de
quince
años
Máquina E, $ 2 000
Máquina F, $ 10 000
$ 1 200
1 200
1 200
1 200
1 200
600
600
600
600
600
600
600
600
600
600
600
600
600
600
600
Máquina G, $ 8 000
$ 900
900
900
900
900
900
900
900
900
900
900
900
900
900
900
a) Análisis basado en un período de estudio de 15 años, teniendo en cuenta el valor no
utilizado.
Debido a la dificultad de hacer estimativos sobre el futuro, se selecciona un horizonte de
planeación de 15 años que coinciden con la vida de la Máquina G. Lo anterior requerirá cálculos
que llevarán los dos planes a un estatus igual al final de los 15 años.
Bajo el Plan I, el horizonte de planeación comprende 5 años de servicio con la Máquina E y 10
con la F, cuya vida útil se extiende 5 años más allá del período de estudio. Entonces, una
asignación equitativa de los costos asociados con la Máquina F debería hacerse para el período
de su vida dentro de y después del período de estudio. Al asumir que los costos anuales asociados
con esta unidad de equipo son constantes durante su vida, el valor presente del costo del servicio
durante el período de estudio puede calcularse como sigue.
El costo anual equivalente para la Máquina F durante su vida es igual a
AE (10%)F = $ 10 000 (A/P, 10 %, 15) + $ 600 = $ 1 915
El valor presente del costo de 15 años de servicio en el período de estudio es igual a
VPN (10%)I = $ 2 000 + $ 1 200 (P/A, 10 %, 5) + $1 915 (P/A, 10%, 10) (P/F, 10%, 5)
= $13 856

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