Matrices y sistemas de ecuaciones

Mag. Jube Portalatino Z. Matrices y sistemas de ecuaciones
44
1
MATRICES Y SISTEMA DE ECUACIONES
1.1 DEFINICIÓN. Una matriz es un arreglo de números de la forma:
a a a
a a a
"
"
11 12 1n
21 22 2n
A [a ]
ij m n
a a a
m1 m2 mn
×
 
 
=   =
 # # " #

 
 "

donde aij está ubicado en la fila i y columna j.
Su orden es m×n.
Ejemplo
  1 2 3 − 4
 
 4 5 6 − 6

 
π 
e 2 12
es de orden 3×4. El número 6 está en la fila 2 y columna 3.
1.2 OPERACIONES CON MATRICES
Sean las matrices A = [aij]m×n y B = [bij]m×n , λ∈
1) Igualdad: A = B ⇔ aij = bij ∀ i = 1,…,m , j = 1,…,n
2) Suma: A+B = [aij + bij]m×n
3) Resta: A-B = [aij - bij]m×n
4) Producto de una matriz por un escalar: λA = [λaij]m×n
5) Producto de matrices. Sean P = [pij]m×n y Q = [qij]n×r
PQ = [cij]m×r
Donde
n
= Σ
c pq
ij ik kj
k
=
1
Ejemplos
1) Si

2
1 2 3
A
4 5 6
=
 
 
y
 2 3 1

 
B
− − −
2 2 3
=
− −
⇒
 -1 -1 2

 
3 5 4
A + B =
6 3 3
 
 
1 1 1.5 1 A = 2 2 2 2.5 3
A -B =
2 7 9
 
 
 
2) Si
P = [1 2 3] y
2
 
 
 
 
Q = 4
1
2
⇒ PQ= [ 1 2 3 ] 4 =[13]
1 1
1
×
 
 
 
 
2 2 4 6
   
    [ ]
 
 
   
PQ = 4 1 2 3 = 4 8 12
1 1 2 3
Por lo tanto: PQ ≠ QP.
3) Si
 1 -1 3

 
P =
2 3 4
y
 -1 2 2 -4

 
 
 
Q = 3 -1 -2 1
1 4 1 0
⇒
 -1 15 7 -5

 
PQ =
11 17 2 -5
2.3 PROPIEDADES
1) A +B = B + A
2) (A + B) + C = A + (B + C)
3) ∀ A, ∃ una matriz nula, O, del mismo orden, cuyos elementos todos son
ceros tal que A + O = A
4) ∀ A, ∃ -A tal que A + (-A) = O
43
Ejemplo.
 − 2
− =
12x 3x 4x 7.17
x 10x x 11.54
1 2 3
2
1 2 3
2
2 3
x 7x 7.631

+ − = 
 + =
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 F(x , x , x ) = (12x − 3x − 4x − 7.17, x +10x − x −11.54, x + 7x − 7.631)
12 6x 4
 − 2
− 
=  −   
 
JF( x ) 2x 10 1
1
0 2x 7
2
 (k)   (k − 1)   − (k − 1) −   (k − 1) − 2 (k − 1) (k −
1)
1 1 2 1 2 − 3
−
 (k)  =  (k 1)   (k 1)   2 (k 1) (k 1) (k 1)
 2   2  −  1 −  
1 + 2 − 3
− (k) (k 1) (k 1) 2 (k 1) (k 1)
 3   3   2   2 + 3
−
x x 12 6x 4 12x (x ) 4x 7.17
x x − 2x − 10 1 (x ) − 10x − x −
11.54
x x − 0 2x − 7 (x ) − 7x −
7.631

 
ALGORITMO
para k = 1,…m hacer
calcular F(x), JF(x)
Resolver el sistema lineal JF(x) y = - F(x)
x = x + y
si || y || < tol entonces
SALIDA: x
parar
fin de si
fin de para

42
t = c / v. z
x = x + tv
r = r – tv
d = r.r
Si d < tol1 entonces “parar”
v = r + (d / c) v
c = d
salida: k, x, r
fin
1.16 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es de la forma:
f1 (x1,…, xn ) = 0
2 1 n f (x ,…, x ) = 0
#
n 1 n f (x ,…, x ) = 0
Más compactamente, se puede escribir así:
F( x ) = 0
donde 1 n x = (x ,…, x ) 1 n F( x ) = (f ( x ),….f ( x ))
MÉTODO DE NEWTON
x (k) = x (k− 1) −[JF( x (k− 1) )]− 1 F( x (k− 1) )
donde
f f
( x ) ( x )
x x
 ∂ 1 ∂ 
…
1
 ∂ 1 ∂  n

=  # % #

 ∂   n ∂ n

∂ 1 ∂ n

JF( x )
f f
( x ) …
( x )
x x
3
5) AB ≠ BA
6) (AB) C = A (BC)
7) C(A + B) = CA + CB
8) A0 = O
9) Si AB = AC Esto no implica que A = C.
10) Si el número de filas es igual al número de columnas, a la matriz se llama
matriz cuadrada.
11) Si todos los elementos de la diagonal principal son unos y el resto ceros, a
dicha matriz se llama matriz identidad y se le denota por I. Por Ejemplo
1 0 0 0
0 1 0 0
I =
 
 
 
 0 0 1 0

 
 0 0 0 1

12) A I = A
13) Si A es una matriz cuadrada ⇒
A° = I
An+1 = An A
Am An = Am+n , m, n ∈`
1.4 DEFINICIÓN DE MATRIZ REGULAR
Una matriz cuadrada A se llama regular o no - singular si ∃ una matriz A-1
tal que
AA-1 = A-1 A = I
La matriz A-1 se le denomina matriz inversa de A.
Si una matriz no tiene inversa se llama matriz singular.
Ejemplo. Si
2 1 6
3 1 8
3 1 7
A
−
 
=  − −

 
 − −

⇒ 1
1 1 2
3 4 2
0 1 1
A−
−
 
=  −

 
 −



4
1.5 MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
1) MATRIZ DIAGONAL
La matriz D = [dij] se llama matriz diagonal si dij = 0, ∀ i ≠ j
Ejemplo
-4 0 0 0
0 6 0 0
D =
 
 
 
 0 0 44 0

 
 0 0 0 7

2) MATRIZ ESCALAR
Una matriz se llama matriz escalar, si es una matriz diagonal, cuyos elementos
de su diagonal principal, todas son iguales.
Ejemplo
3 0 0
 
=   =  
 
A 0 3 0 3I
0 0 3
3) MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
U = [uij] se llama matriz triangular superior si uij = 0, ∀ i > j
Ejemplo.
1 2 -1 10
0 3 -5 7
0 0 2 11
0 0 0 -8
U =
 
 
 
 
4) MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
L = [lij] se llama matriz triangular inferior si lij = 0, ∀ i < j
Ejemplo
41
l33 = a33 - l32 u23 = 0.84
u34 = a34 / l33 = 0.5952
Paso 03: l43 = a43 = 1
l44 = a44 - l43 u34 = -2.5952
a 0.35 z 0.7
Paso 04: 15
1
= = =
l
11
0.5
Paso 05:
z = 1 [ a - z ] = 0.84 l
2 25 21 1
22
l
z = 1 [ a - z ] = − 0.8452 l
3 35 32 2
33
l
z = 1 [ a - z ] = − 0.5413 l
4 45 43 3
44
l
Paso 06: 4 4 x = z = −0.5413
Paso 07: x3 = z3 - u34 x4= − 0.5230
x2 = z2 - u23 x3= 1.1747
x1 = z1 - u12 x2= 0.11265
1.15 MÉTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO
Sea el sistema Ax = b , donde A es una matriz simétrica positiva definida
ALGORITMO
Entrada: x, A, b, M, tol1, tol2
r = b – Ax
v = r
c = r.r
para k = 1, 2, ..., M hacer
si || v || < tol2 entonces “parar”
z = Av

40
x = 1 [ z - (u x u x ) ] = 0.0699
2 2 23 3 24 4
22
u
+ −
x = 1 [ z - (u x u x u x ) ] = 0.1025
1 1 12 2 13 3 14 4
u
11
+ +
La factorización de Choleski de la matriz A=L Lt es
2 0 0 0 2 0.5 0.5 0.5
0.5 1.6583 0 0 0 1.6583 0.7538 0.45227
A
  
   −  =    
 0.5 − 0.7538 1.0871 0   0 0 1.0871 0.08363

  
 0.5 0.45227 0.08363 1.2404   0 0 0 1.2404

2) Aplicando el método de Crout, resolver:
0.5 x1 + 0.25 x2 = 0.35
0.35 x1 + 0.8 x2 + 0.4 x3 = 0.77
0.25 x2 + x3 + 0.5 x4 = -0.5
x3 - 2 x4 = -2.25
Solución
0.5 0.25 0 0
0.35 0.8 0.4 0
A
 
 
=  
 0 0.25 1 0.5

 
 0 0 1 − 1

Paso 01: l11 = a11 = 0.5
u12 = a12 / l11 = 0.5
Paso 02: Para i = 2
l21 = a21 = 0.35
l22 = a22 - l21 u12 = 0.625
u23 = a23 / l22 = 0.64
Para i = 3
l32 = a32 = 0.25
5
-5 0 0 0
3 -2 0 0
L =
 
 
 
 11 8 -3 0

 
 2 0 -1 -3

5) MATRIZ TRANSPUESTA
Sea A = [aij]m×n . La matriz transpuesta de A está definido por At = [aji]n×m
Ejemplo. Si
2 1 3
7 4 6
1 0 5
A
 
=  
 
 
⇒ t
2 7 1
1 4 0
3 6 5
A
 
=  
 
 
6) MATRIZ SIMÉTRICA
A se llama matriz simétrica si At = A.
Ejemplo
2 6 1
6 3 2
1 2 0
 
=  
 
 
A −
−
Propiedad. La matriz A + At es simétrica.
7) MATRIZ ANTISIMÉTRICA
A se llama matriz antisimétrica si At = - A.
Ejemplo
 0 5 − 3
3

 
= − −π 
 π   
A 5 0
3
3 0
Propiedad. La matriz A – At es antisimétrica.
Propiedad. Toda matriz cuadrada A, se puede descomponer en la suma de una
matriz simétrica 1
2 (A+At) y una matriz antisimétrica 1
2 (A-At).

6
8) MATRIZ NILPOTENTE
La matriz A se llama nilpotente si ∃ p ∈ ]+ / Ap = 0.
Ejemplo
0 1 0
 
=    
 
A 0 0 1
0 0 0
9) MATRIZ UNITARIA (U ORTONORMAL)
A se llama matriz unitaria si At A = I (ó At = A-1)
Ejemplo.
3 4 0 5 5
 
 
 
 
 
A = -4 3 0 5 5
0 0 1
¡Comprobarlo!
10) MATRIZ POSITIVA DEFINIDA
Una matriz simétrica A se llama matriz positiva definida si
xt Ax > 0 ∀ x ≠ 0 en n
Ejemplo
10 0 -2
0 6 0
-2 0 7
A
 
=  
 
 
Pues
t
10 0 -2 x1
[x1 x2 x3] 0 6 0 x2
-2 0 7 x3
x Ax =
   
   
   
   
10x 2 + 6x 2 + 7x 2 - 2x x
= 1 2 3 1 3
39
Paso 03: Para i = 2
Paso 04:
2 2
l 22 = a22 − l21 = 3− 0.5 = 1.6583
Paso 05: Para j = 3,4
= 1 [a − ] = −0.75378 l l l
32 32 31 21
22
l
1 [a ] 0.45227
l
l = − l l =
42 42 41 21
22
Paso 03: Para i = 3
Paso 04:
2 2
l33 = a33 − (l31 + l32 ) = 1.0871
Paso 05: Para j = 4
1 [a ( )] 0.08363
l
l = − l l + l l =
43 43 41 31 42 32
33
Paso 06:
2 2 2
l44 = a44 − (l41 + l42 + l43 ) = 1.2404
Paso 07:
a 0.65 z 0.325
= 15
= =
l
1
11
2
z = 1 [ a - z ] = − 0.84 l
2 25 21 1
22
l
z = 1 [ a - ( z + z ) ] = 0.1025 l l
3 35 31 1 32 2
33
l
z = 1 [ a - ( z + z + z ) ] = 0.2899 l l l
4 45 41 1 42 2 43 3
44
l
Paso 08:
x = 4
=
0.2337
4
z
44
u
x = 1 [ z - u x ] = 0.0763
3 3 34 4
33
u

22
1
n 2
 
=2
 Σ

 
x x
2 i
i =
1
{ } i
x ∞ max x
1 ≤ i ≤
n
=
Ejemplo. Si x = (1, -1, 0, 1) entonces
||x||1 = 1 + -1 + 0 + 1 = 3
||x||2 = 1 2 + (-1) 2 + 0 2 + 1 2 = 3
||x||∞ = máx {1, -1, 0, 1} = 1
1.10 NORMA DE MATRICES
Se define la norma natural para matrices por
{ }
A max Ax
=
x 1
=
Se puede demostrar que
n
ij
= Σ
A ∞ max a
≤ ≤ =
1 i n j 1
n
= Σ
A max a
1 ij
1 ≤ j ≤ n i =
1
t
2 A = ρ(A A)
Ejemplo. Si
5 1 1
 − 
=  −   
 
A 0 7 2
3 9 20
A max{ 5 1 1 , 0 7 2 , 3 9 20 } 32 ∞ = + − + + + − + + =
7
2 2 2
1 3 1 2
6 x 2x x = x + 6 + ( - ) > 0 , ∀ x ≠ 0
11) MATRIZ ESTRICTAMENTE DIAGONAL DOMINANTE
A = [aij]n×n se llama matriz estrictamente diagonal dominante si
n
>Σ1
a a
ii ij
j
j i
=≠
Ejemplo
5 -1 1
0 7 -2
3 9 20
A
 
=  
 
 
Pues
5 > -1 + 1
7 > 0 + -2
20 > 3 + 9
12) MATRIZ BANDA
A = [aij]nxm se llama matriz banda si existen enteros p y q con p >1, q < n tal
que aij = 0 si i+p ≤ j o j+q ≤ i
El ancho de la banda es w = p+q -1
Ejemplo Una matriz tridiagonal.
 a 11 a 12
0 "
0

 
 a 21 a 22 a
23
% #

=  0 a 32 a 33
%
0

 # % % %
a

 n 1,n

 0 0 a n,n 1 a
nn

A
−
−
"
1.6 DETERMINANTES

8
PRIMERA DEFINICIÓN DE DETERMINANTE (MENORES)
a) Si A = [a], su determinante es det(A) = a
b) El menor Mij es el determinante de la matriz de orden (n-1) × (n-1) que se
obtiene de la matriz A = [aij]n×n suprimiendo la i-ésima fila y la j-ésima columna.
c) El cofactor Aij asociado a Mij está definido por Aij = (-1)i+j Mij
d) El determinante de A = [aij]n×n se define por
n
≡ = ∀ Σ1
det(A) A a A i
ij ij
j
=
o
n
≡ = ∀ Σ1
det(A) A a A j
ij ij
i
=
DEFINICIÓN. La matriz de los cofactores es cof (A) = [Aij ]
Ejemplo. Hallar el determinante de la matriz
2 3 1
4 2 5
1 0 3
 
=  
 
 
A −
− −
Solución
Determinemos para i = 2
3
=Σ = + +
det(A) a A a A a A a A
2 j 2 j 21 21 22 22 23 23
j =
1
= (−4)(−9) + (−2)(−5) + (−5)3 = −31
Ahora, hallemos para j = 3
3
=Σ = + +
det(A) a A a A a A a A
i3 i3 13 13 23 23 33 33
i =
1
= 2 1 2 3 3 3 3 1 2 1 2 3
-1)(-1 0(-1 -3)(-1
( ) + + ) + + ( ) +
-2 5 4 5 4 -2
37
Sea A una matriz tridiagonal.
A = L U
donde
l
11
l l
0 0
n,n-1 nn
21 22
32
0
0
0
l
0 0
L
 " "

 #

 
=  % % #

 # % % %

 
 "
l l

1 u 12
0 0
0 1 u
23
0
u
n-1,n
0 0 1
U
 "

 
 % #

=  # % % %

 # % %

 
 " "

Efectuando A = L U, se obtiene
11 11
i,i 1 i,i 1
ii ii i,i 1 i 1,i
a
a i=2, ,n
a u i=2, ,n
a
=
=
= −
= = −
− −
− −
+
i,i 1
u i 1, , n 1
i,i+1
ii
"
"
"
l
l
l l
l
ALGORITMO
Entrada: Una matriz tridiagonal
[aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n
l11 = a11
12
12
a
11
u =
l
para i = 2,…,n-1 hacer
li,i−1 = ai,i−1
li,i = ai,i − li,i−1 ui−1,i
i,i 1
i,i 1
ii
a
u +
+ =
l
fin de para
ln,n−1 = an,n−1
lnn = ann − ln,n−1 un−1,n

36
En la sumatoria: j = i+1,…,n-1
2) ALGORITMO DE CHOLESKI
Teorema. Si la matriz simétrica A es positiva definida ⇒ A = L LT
donde L es una matriz triangular inferior
ALGORITMO
Entrada: Una matriz positiva definida
[aij] 1 ≤i ≤ n 1 ≤ j ≤ n
l11 = a11
para j = 2, …, n hacer
j1
j1
a
a
11
l =
fin de para
para i = 2, …, n-1 hacer
1
 i −
1 
2
l ii =  a
ii −  Σl
2
ik

k =
1
 para j = i+1, …, n hacer
 i 1

1 l a
l
 Σl  −
=  − 
ji ji jk ik
ii k =
1
l
fin de para
fin de para
1
 
=  − 
  l Σl
n 1 2
2
nn nn nk
k 1
a
−
=
Salida: [lij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n
3) ALGORITMO DE FACTORIZACION DE CROUT
9
= - 17 - 16
= -31
Como se puede observar, se obtiene el mismo valor, al calcular el determinante
desarrollándolo por cualquiera de sus filas o columnas.
SEGUNDA DEFINICIÓN DE DETERMINANTE
Motivación
a a a
11 12 13
22 23 21 23 21 22
21 22 23 11 12 13
32 33 31 33 31 32
31 32 33
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
= − +
11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13 21 32 31 22 = a (a a − a a ) − a (a a − a a ) + a (a a − a a )
11 22 33 11 32 23 12 21 33 12 31 23 13 21 32 13 31 22 = a a a − a a a − a a a + a a a + a a a − a a a
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 = a a a − a a a − a a a + a a a + a a a − a a a
=Σ − ,
3
1, (1) 2, (2) 3, (3)
S
( 1)σ a a a
σ σ σ
σ∈
1 2 3
(1) (2) (3)
 
σ =   σ σ σ 
Luego, se define el determinante de la matriz
a a …
a
a a a
 11 12 1n

 
=  21 22 2n

 # # % #

 
 n1 n2 nn

A
a a a
…
como
=Σ − …
det(A) ( 1)σ a a a
n
1, (1) 2, (2) n, (n)
S
σ σ σ
σ∈
donde Sn es el conjunto de todas las permutaciones de 1,....., n:

10
1 2 n
(1) (2) (n)
…
…
 
σ = σ σ σ   
TERCERA DEFINICIÓN DE DETERMINANTE
Determinante es la función
det :Kn n K
× →
→
A det(A)
que cumple
1) 1 j j n 1 j n 1 j n det(A ,…,A + A ,…A ) = det(A ,…,A ,…A ) + det(A ,…,A ,…A )
2) 1 j n 1 j n det(A ,…,α A ,…A ) = α det(A ,…,A ,…A )
3) Si j j1 1 j j1 n A A det(A, ,A,A , A) 0 + + = ⇒ … … =
4) det( I ) = 1, donde I es la matriz identidad.
OBSERVACIÓN
[ ]
a a …
a
a a a
 11 12 1n

 
=  21 22 2n
 =
 
 
 
A AA A
1 2 n
a a a
n1 n2 nn
…
# # % #
…
donde
 1i

 
=  2i

 
 
 
i
#
ni
a
a
A
a
Si consideramos 1 2 n E , E ,…,E los vectores columna base del espacio n, donde
una componente es 1 y los demás ceros, entonces
n
= Σ
A aE
1 i1 i
i =
1
n
= Σ
A aE
2 i2 i
i =
1
#
35
Para j = k,…,n hacer
k −
1
= −Σl
u a u
kj kj ks sj
s =
1
fin
Para i = k,…,n hacer
 k −
1

l =  − 
 
 Σl
 a u / u
ik ik is sk kk
s =
1
fin
fin
Salida: [lij], [uij]
Comentario: solución del sistema Ax = b ⇔ LUx = b
Comentario: Sustitución "hacia delante"
z1 = b1 / l11.
Para i = 2,…,n hacer
i −
1
= −Σl l
z (b z)/
i i ij j ii
j =
1
fin
Comentario: "Sustitución hacia atrás"
xn = zn /unn.
Para i = n-1,…,1 hacer
n
= −Σ
x (z ux)/u
i i ij j ii
j = i +
1
fin
Salida: (xi)
OBSERVACIÓN
En C++, en la sustitución "hacia delante", se cambia por
z0 = b0 / l00
i = 1,…,n-1
En la sumatoria: j = 0,…,i-1
En la sustitución "hacia atrás", se cambia por
xn-1 = zn-1 / un-1,n-1.
i = n-2,…,0

34
TEOREMA. Si el procedimiento de eliminación gaussiana se
puede aplicar a Ax = b sin intercambio de filas ⇒ la matriz A puede
factorizarse como
A = L U
donde
U: Es una matriz triangular superior.
L: Es una matriz triangular inferior
TEOREMA. Si la matriz simétrica A es positiva definida ⇒ existe A-1
TEOREMA. Si A es una matriz estrictamente diagonal dominante ⇒ existe
A-1
1) ALGORITMO DE FACTORIZACION DIRECTA
Sea Ax = b
Si A = LU ⇒ LU x = b
donde L = [lij] y U = [uij] son matrices triangulares inferior y superior
respectivamente.
Sea Ux = z ⇒ Lz = b
El método de eliminación gaussiana con sustitución hacia adelante resuelve el
sistema Lz = b y con sustitución hacia atrás resuelve el sistema Ux = z
OBSERVACIÓN. Si lii = 1, el método se llama método de Doolitle. Si
uii = 1, el método se llama método de Crout.
ALGORITMO
Entrada: matriz ampliada [aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n
Para k =1,…,n hacer
lkk = 1
11
n
= Σ
A aE
n in i
i =
1
Luego,
  … Σ Σ … Σ
[ ]
 n n n

det(A) det A A A a E a E a E
= = 
1 2 n i1 i i2 i in i
i = 1 i = 1 i =
1
TEOREMA. det(AB) = det(A) det(B)
Prueba
[ ]
b b …
b
b b b
 
 
11 12 1n
21 22 2n
=  
1 2 n
 
 
 n1 n2 nn

AB A A A
b b b
…
# % #
…
 n n n

=  Σ Σ … Σ

 
AB b A b A b A
j1 j j2 j jn j
j = 1 j = 1 j =
1
 n n n

Σ Σ … Σ
bj1,1bj2 ,2 bjn ,n det Aj1 Aj2 Ajn =Σ …  … 
det(AB) det b A b A b A
=  
j1 j j2 j jn j
 j = 1 j = 1 j =
1

Esto es una suma múltiple, ji suman de 1 hasta n, pero si jr = js ⇒ Ajr Ajs = .
Luego el determinante es 0. Por lo tanto, los únicos términos de la suma que
pueden ser ≠ 0 son aquellos para los que 1 2 n j , j ,…, j son distintos.
=Σ …  … 
(1),1 (2),2 (n),n (1) (2) (n) det (AB) b b b det A A A σ σ σ σ σ σ
σ
=Σ … − …
b σ (1),1 b σ (2),2 b σ σ
(n),n ( 1)det [ A 1 A 2 A
n ] σ

12
=Σ … −
b σ (1),1 b σ σ (2),2 b σ
(n),n ( 1)det(A)
σ
= Σ − …
= det(A) det(B)
det(A) ( 1)σ b σ (1),1 b σ (2),2 b
σ
(n),n σ
PROPIEDAD. La suma de los productos de los elementos de una fila de una
matriz cuadrada por los cofactores de los elementos correspondientes de otra fila es
cero.
Prueba
a a a
…
 11 12 1n

  # #


 a i1 a i2 …
a
in

 
= # #

  h1 h2 …

hn

 # #

 
 n1 n2 nn

A
a a a
a a a
…
a a a
11 12 1n
a a a
i1 i2 in n
det(A) = = (a +
a ) A
hj ij hj
j 1
a a a a a a
h1 i1 h2 i2 hn in
a a a
n1 n2 nn
=
+ + +
Σ
…
# #
…
# #
…
# #
…
n n
=Σ +Σ
det(A) a A a A
hj hj ij hj
j = 1 j =
1
n
= +Σ
det(A) det(A) a A
ij hj
j =
1
⇔
n
Σ ij hj
= Lqqd.
j 1
a A 0
=
TEOREMA. A⋅ (cof (A))t = det(A) ⋅ I
33
x2 = 1.0004
Esto si satisface el sistema original.
ALGORITMO
Entrada: matriz ampliada [aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n+1
Para i = 1,…,n hacer
s maxa
i 1 ≤ j ≤
n
ij =
fin
Para k = 1,…., n-1 hacer
Seleccione p con k ≤ p ≤ n tal que
a a
pk =
max
ik
p k i n i
s ≤ ≤ s
Si p ≠ k entonces
Intercambiar las filas k y p
fin_si
Para i = k+1,…, n hacer
r = - aik / akk
Para j = k+1,…,n+1 hacer
aij = aij + r∗akj
fin
fin
fin
Comentario: Resuelve el sistema hacia atrás
xn = an,n+1 / ann
 n

=  −  Σ
∗ 

 
x a + a x / a
i i,n1 ij j ii
j = i +
1
fin
Salida: (xi)
1.14 FACTORIZACION DIRECTA DE MATRICES

32
Resolveremos, primero, aplicando el método de eliminación gaussiana con
pivoteo máximo de columna.
máx {40, 16.381} = 40
Aplicando la operación elemental apropiada, obtenemos que
40 x1 + 6810000 x2 = -6813000
- 1086372.451 x2 = -1086727.955
Luego
x2 = 1.0004
x1 = 6.9
Pero esto no satisface la segunda ecuación pues
6.38 (6.9) - 7.201 (1.0004) = 36.82 ≠ 55.87
Ahora, apliquemos la técnica del pivoteo escalado de columna.
S1 = máx {40, 6810000} = 6810000
S2 = máx {6.381, 7.201} = 7.201
| |
a 11
= 40 = 0.0000059
S 1
6810000
| |
a 21
= 6.381 = 0.886
S 2
7.201
| a | | a | | a |
 
 
 
11 21 21
1 2 2
max , =
S S S
Luego, realizamos la siguiente operación
E1 ↔ E2
6.381 x1 - 7.201 x2 = 55.87
40 x1 + 6810000 x2 = 6813000
Al aplicar eliminación gaussiana, se tiene
x1 = 9.88462
13
Prueba
a a … a A A …
A
a a a A A A
 11 12 1n   11 12 1n

   
⋅ t =  21 22 2n   21 22 2n

 # % #   # % #

   
 n1 n2 nn   n1 n2 nn

A (cof(A))
a a a A A A
… …
 n n n

 Σ a 1j A 1j Σ a 1j A 2 j …
Σ
a 1j A
nj

 j = 1 j = 1 j =
1

 n n n

  Σ a 
= 2 j A 1j Σ a 2 j A 2 j Σ
a 2 j A
nj

 j = 1 j = 1 j =
1

 # % #

  n n n


 Σ a nj A 1j Σ a nj A 2 j …
Σ
a nj A
nj

 j = 1 j = 1 j =
1

det(A) 0 …
0
0 det(A) 0
 
 
=  
 # % #

 
 0 0 …
det(A)

1 0 …
0
0 1 0
=  
det(A)
 
 
 # % #

 
 0 0 …
1

= det(A) I
TEOREMA. ∃ A−1 ⇔ det(A) ≠ 0
Prueba
⇒) AA−1 = I
det(AA−1 ) = de(I)
det(A) det(A−1 ) = 1
⇔ det(A) ≠ 0

14
_ _
⇐) A cof (A)t = det(A) I
⇔
 
  =
 
cof (A)t A I
det(A)
Luego, por definición de matriz no singular o regular o invertible, ∃ A-1 y es
t
A 1 cof (A)
− = o A 1 1 Adj(A)
det(A)
det(A)
− =
PROPIEDADES
1. Si la matriz A
se obtiene de A, intercambiando dos filas o columnas ⇒
det(A ) = −det(A)
2. Si la matrizA
se obtiene de A, multiplicando una fila (o columna) por un
número λ ∈ ⇒ det(A ) = λ det(A)
3. Si la matriz A
se obtiene de A, sumando a una fila (o columna) el múltiplo de
otra ⇒ det(A ) = det(A)
4. Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales ⇒ det(A) = 0
5. El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su
diagonal principal
1.7 OPERACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ
i) Multiplicar a una fila por un escalar (o número): λFi
ii) Sumar a una fila el múltiplo de otra fila: λFj + Fi
iii) Intercambiar dos filas: i
Fj
OBSERVACIÓN. Si la matriz B es obtenida de A aplicando operaciones
elementales, se dice que A y B son equivalentes, y se escribe A ∼ B.
Ejemplo. Hallar la inversa de la matriz
31
Este resultado es absurdo, por consiguiente aplicaremos eliminación gaussiana con
pivoteo máximo de columna.
Calculamos: máx {10.0004 , 6.281} = 6.281
Efectuamos la operación
E2 ↔ E1
El sistema se transforma en
6.281x1 - 7.101x2 = 55.87
0.0004x1 + 68.1x2 = 68.12
Al aplicar de nuevo eliminación gaussiana se tiene el siguiente resultado
x2 = 1.0002
x1 = 10.0259
que satisface el sistema
ELIMINACIÓN GAUSSIANA CON PIVOTEO ESCALADO DE
COLUMNA
Definamos un factor de escala, Sk, para cada renglón:
s max a
k kj
j =
1 n
=

Calculamos
a a
s ≤ ≤ s
pi =
ki
max
p i k n k
Realizamos: Ei ↔ Ep
Ejemplo. Resolver el sistema
E1: 40 x1 + 6810000 x2 = 6813000
E2: 6.38 x1 - 7.201 x2 = 55.87
Solución

30
aki = aux
fn_para
fin_si
r = - aik / akk
aij = aij + r∗akj
fin
fin
fin
xn = an,n+1 / ann
 n

=  −  Σ
∗ 

 
x a + a x / a
i i,n1 ij j ii
j = i +
1
fin
Salida: (xi)
Ejemplo. Resolver
E1 : 0.0004x1 + 68.1x2 = 68.12
E2 : 6.281 x1 - 7.101x2 = 55.87
Solución
Al aplicar eliminación gaussiana, se obtiene
0.0004x1 + 68.1x2 = 68.12
- 1069347.351x2 = -1069598.43
Luego, resolviendo este sistema hacia atrás se tiene
x2 = 1.0002
x1 = 15.95
Si reemplazamos estos valores en la ecuación E2 obtenemos que
93.0795 = 55.87
15
1 1 1
 
T =   0 4 − 1
 
− 1 3 3

aplicando operaciones elementales
Solución
Formamos el esquema
1 1 1 1 0 0
0 4 1 0 1 0
1 3 3 0 0 1
#
#
#
 
 −   
− 
∼ 1 F1+F3
1 1 1 1 0 0
0 4 1 0 1 0
0 4 4 1 0 1
#
#
#
 
 −   
 
∼ (1/4)F2
1 1 1 1 0 0
0 1 1/4 0 1/4 0
0 4 4 1 0 1
#
#
#
 
 −   
 
∼ (-4)F2+F3
1 0 5/4 1 1/4 0
0 1 1/ 4 0 1/ 4 0
0 0 5 1 1 1
 #
− 
  − #
 
 #
− 
∼ (1/5)F3
1 0 5/4 1 1/4 0
0 1 1/ 4 0 1/ 4 0
0 0 1 1/5 1/5 1/5
 #
− 
  − #
 
 #
− 
∼
#
#
#
+  
1
4 3 2
5
4 3 1
1 0 0 3/ 4 0 1/ 4
F F
 − 
0 1 0 1/20 1/5 1/20
− +  
F F
 0 0 1 1/ 5 − 1/ 5 1/ 5

∴ 1
3/ 4 0 1/ 4
T 1/20 1/5 1/20
1/ 5 1/ 5 1/ 5
−
 − 
=    
 − 
Ejemplo. Hallar el determinante de la matriz

16
1 1 1
 
T =   0 4 − 1
 
− 1 3 3

aplicando operaciones elementales
Solución
1 1 1
0 4 1
1 3 3
 
 −   
− 
∼ 1 F1 + F3
1 1 1
0 4 1
0 4 4
 
 −   
 
∼ (-1)F2 + F3
1 1 1
0 4 1
0 0 5
 
 −   
 
det(T) = 1×4×5 = 20
1.8 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz de orden n.
1) El polinomio
p(λ) = det(A − λI)
se llama polinomio característico de A
2) Los ceros del polinomio p(λ) se llaman valores propios de A
3) Los vectores x ≠ 0 que satisfacen (A-λI) x = 0 se llaman vectores propios que
corresponden al valor propio λ
4) El radio espectral ρ(A), de A se define como:
ρ(A) = máx {λ / λ es un valor propio de A}
5) TEOREMA. La matriz simétrica A es positiva definida ⇔ sus valores
propios son números reales positivos.
Ejemplo. Hallar los valores y vectores propios de
29
Finalmente resolvemos este sistema con sustitución hacia atrás
x3 =
7.6721
12.6890
= 0.6046
x2 = 1
6.0967
[17.9353 - (16.50007) (0.6046)]=1.3055
x1 = 1
3.333
[15.913 + (10.333) (0.6046) - (15.92) (1.3055)]=0.4131
ELIMINACIÓN GAUSSIANA CON PIVOTEO MÁXIMO DE
COLUMNA
Si el elemento pivote, akk, es pequeño entonces se determina
a max a
pk ik
k ≤ i ≤
n
=
y luego se efectúa
Ek ↔ Ep
En pocas palabras, consiste en elegir el mayor, en valor absoluto, en la columna
que pertenece el elemento pivote akk.
ALGORITMO
p = 0
smax = |akk|
Si |aik| smax entonces
p = i
smax = |aik|
fin_si
fin_para
Si p ≠ 0 entonces
Para i = k,…, n hacer
aux = api
api = aki

28
xn = an,n+1 / ann
 n

=  −  Σ
∗ 

 
x b a x /a
i i ij j ii
j = i +
1
fin
Salida: (xi)
Ejemplo. Resolver
E1 : 3.3330 x1 + 15.920 x2 - 10.333 x3 = 15.913
E2 : 2.2220 x1 + 16.710 x2 + 9.6120 x3 = 28.544
E3 : 1.5611 x1 + 5.1791 x2 + 1.6852 x3 = 8.4254
Solución
Aplicando las operaciones:
-2.2220 E + E →
3.3330 E
1 2 2
-1.5611 E + E →
3.3330 E
1 3 3
el sistema se transforma en
E1 : 3.3330 x1 + 15.9200x2 - 10.3330x3 = 15.9130
E2 : 6.0967x2 + 16.5007x3 = 17.9353
E3 : -2.2775x2 + 6.5249x3 = 0.9721
Ahora, al aplicar la operación
2 3 3
2.2775
E + E E
6.0967
→
El sistema anterior se transforma en
3.3330x1 + 15.9200x2 - 10.3330x3 = 15.9130
6.0967x2 + 16.5007x3 = 17.9353
12.6890x3 = 7.6721
17
1 1 0
1 2 1
0 3 1
− 
 
 
 − 
Solución
1 1 0
− − λ
P( λ ) = 1 2 − λ
1
0 3 1
− − λ
2 1 1 1
( 1 )
− λ
= − − λ −
3 1 0 1
− − λ − − λ
= (−1− λ)((λ − 2)(λ +1) − 3) − (−λ −1)
= (−1− λ)(λ2 − λ − 5) − (−λ −1)
= (−1− λ)(λ2 − λ − 6)
= (−1− λ)(λ − 3)(λ + 2)
P(λ) = 0 ⇒ λ = −1, λ = 3, λ = −2
Para λ = -1
1 x 0
3 1 x 0
3 x 0
 0 0
  1
  
 1
   =      2
  
 0 0
  3
  
⇔
x 0
x 3x x 0 x x
3x 0
2
= 
+ + = → = − 
 =
1 2 3 3 1
2
 1

=    
− 1

x
x 0
x
Si tomamos x1 = 1 ⇒ 1
1
 
=    
− 
v 0
1
Para λ = 3

18
-4 1 x 0
 0
  1
  
  1
-1 1     x  2
 =    0

 0
3 -4   x 3
  0

⇔
4x 1 x 2 0 x 2 4x
1
x 1 x 2 x 3
0
3x 4x 0 x 3 x 3x
2 3 3 2 1
4

− + = → =

− + = 
− = → = =

 1

=    1

 1

x
x 4x
3x
1
 
=    
 
v 4
3
Para λ = -2
1 1 x 0
 0
  1
  
       1
4 1   x 2
 =  0

 0
3 1   x 3
  0

⇔
x x 0 x x
x 4x x 0
3x x 0 x 3x 3x
+ = → = − 
1 2 2 1
1 + 2 + 3
= 
 + = → = − =
2 3 3 2 1
 1

=  −  1

 1

x
x x
3x
1
 
= −   
 
v 1
3
Construyamos
=   1 2 3
=  − 
1 1 1
 
T [v v v ] 0 4 1
− 1 3 3

La inversa de T es
27
r = - aik / akk
aij = aij + r∗akj
fin
fin
fin
xn = an,n+1 / ann
 n

=  −  Σ
∗ 

 
x a + a x / a
i i,n1 ij j ii
j = i +
1
fin
Salida: (xi)
OBSERVACIÓN. En C++, C#, JAVA, VISUAL BASIC NET, la enumeración
k = 1,…., n-1 es k = 0,…., n-2; la enumeración: i = k+1,…, n es i = k+1,…, n-1;
la enumeración: j = k+1,…,n+1 es j = k+1,…,n; la enumeración i = n-1,…,1
es i = n-2,…,0; y en vez de xn = an,n+1 / ann es xn-1 = an-1,n / an-1,n-1; en vez de ai,n+1
es ai,n.
ALGORITMO PARA RESOLVER Ax = b
Entrada: matriz de los coeficientes [aij] 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n
matriz de los términos independientes [bi] 1 ≤ i ≤ n
r = - aik / akk
Para j = k+1,…,n hacer
aij = aij + r∗akj
fin
bi = bi + r∗bk
fin
fin

26
 + − j1

  → =
 
a
E E E j 1,2,3, ,n
j 1 j
11
a
…
para eliminar el coeficiente de x1 en las ecuaciones en general.
Si aii ≠ 0, se efectúan las operaciones:
 + − ji

  → = − = + +
 
j i j
ii
a
E E E i 1, 2, , n 1; j i 1, i 2, , n
a
… …
para eliminar el coeficiente de xi en las ecuaciones correspondiente.
Al número aii se le llama elemento pivote.
Luego, el sistema se transforma en:
a x + a x + + a x =
b
11 1 12 2 1n n 1
a x + + a x =
b
22 2 2n n 2
a x =
b
nn n n

#
donde los aij son diferentes del sistema original
Resolviendo el sistema anterior, con sustitución hacia atrás, se tiene
n
n
b
nn
x
a
=
x 1 b a x
n 1 = ( n 1 −
n 1,n n
) a − − −
n − 1,n −
1
#
x 1 b (a x a x a x )
a =  − + − − ++ + +  i = n -1, n - 2, …, 2, 1
i i in n i,n 1 n 1 i,n 1 n 1
ii
ALGORITMO PARA RESOLVER Ax = b CON MATRIZ AMPLIADA
19
1
3/ 4 0 1/ 4
T 1/20 1/5 1/20
1/ 5 1/ 5 1/ 5
−
 − 
=    
 − 
1
1 0 0
T AT 0 3 0
0 0 2
−
− 
=    
 − 
Ejemplo. Hallar los vectores propios de
1 1 0 0
2 3 1 0
 − 
 −  A
=  
 0 0 1 − 1

 
 0 0 2 3

Si sus valores propios son 2 ± i de multiplicidad 2
Solución
Para λ = 2 - i
1 i 1 0 0 a 0
2 1 i 1 0 b 0
0 0 1 i 1 c 0
0 0 2 1 i d 0
− + −     
 + −          =  
 − + −     
     
 +     
⇔
( − 1 + i)a − b = 0 → b = ( − 1 +
i)a
2a + (1 + i)b − c =
0
( − 1 + i)c − d = 0 → d = ( − 1 +
i)c
2c + (1 + i)d =
0
Reemplazando en la segunda ecuación, se tiene
2a + (i +1)(i −1)a − c = 0 ⇔ 2a – 2a – c = 0
c = 0
d = 0
Luego, se tiene

20
a
 
  ( − 1 + i)a
 = 
 
 
 
x
0
0
Si hacemos a = 1 ⇒
1 1 0
1 i 1 1
     
− +  −    =   =   +  
     
     
     
x i
0 0 0
0 0 0
Luego, los vectores propios a considerar son
1
1
1
v
 
−  =  
 0

 
 0

, 2
0
1
v
 
 
=  
 0

 
 0

Para obtener los otros dos vectores propios, se hace
1 i 1 0 0 a 1
− + −     
  2 1 + i − 1 0   b      − 1 + i
=  
 0 0 − 1 + i − 1   c   0

    
 0 0 2 1 + i   d   0

⇔
( − 1 + i)a − b = 1 → b = ( − 1 + i)a −
1
2a + (1 + i)b − c = − 1 +
i
( − 1 + i)c − d = 0 → d = ( − 1 +
i)c
2c + (1 + i)d =
0
Reemplazando en la segunda ecuación, se tiene
2a + (1+ i)[(i −1)a −1]− c = −1+ i
c = -2i
d = -2i(-1 + i) = 2 + 2i
Luego, se tiene
25
MÉTODO DE CRAMER
Sean
a a a
a a a
11 12 1n
21 22 2n
a a a
n1 n2 nn
Δ =
…
# % #
…
,
12 1n
22 2n
1
1
n2 nn
2
n
a a
a a
a a
b
b
b
Δ =
…
# % #
…
,…,
a a
a a
11 12
21 2
b
b
1
2 2
n
a a b
n1 n2 n
Δ =
…
# % #
…
La solución del sistema Ax = b es
1
1 x
Δ
=
Δ
, 2
2 x
Δ
=
Δ
,......, n
n x
Δ
=
Δ
OBSERVACIÓN. Ax = b ⇔ x = A−1 b
TEOREMA. El sistema Ax = b tiene solución única (es compatible determinado)
⇔ det A ≠ 0
TEOREMA. El sistema Ax = b no tiene solución (es incompatible) ⇔ det A = 0
y i ∃ i / Δ ≠ 0
TEOREMA. El sistema Ax = b tiene infinitas soluciones (es compatible
indeterminado) ⇔ det A = 0 y i ∀ i / Δ = 0
1.13 MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA
Para resolver sistemas de ecuaciones mediante este método se van aplicar las
siguientes operaciones:
i) Multiplicación de una ecuación por un escalar: λEi → Ei
ii) Sumar a una ecuación el múltiplo de otra ecuación: Ei + λEj → Ei
iii) Intercambio de dos ecuaciones: Ei ↔ Ej
Si a11 ≠ 0 se efectúan las operaciones

24
Sea el sistema
E1 : a11x1 + a12x2 ++ a1nxn = 0
2 21 1 22 2 2n n E : a x + a x ++ a x = 0
#
n n1 1 n2 2 nn n E : a x + a x ++ a x = 0
o
a a …
a x b
a a a x b
 11 12 1n  1   1

    
 21 22 2n   2  =  2

 # % #  #   #

    
 a n1 a n2 …
a nn  x n   b
n

o Ax = b
donde
a a …
a
a a a
 11 12 1n

 
=  21 22 2n

 # % #

 
 n1 n2 nn

A
a a a
…
,
 1

 
=  2

 #

 
 n

x
x
x
x
,
b
b
 1

 
=  2

 #

 
 n

b
b
La matriz ampliada es
b
b

 
 
1
2
a a a
a a a
11 12 1n
21 22 2n

= =  
 # # # #

 
 n1 n2 nn n

A [Ab]
a a a b

SISTEMA COMPATIBLE. Es cuando tiene solución.
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Es cuando tiene un número finito
de soluciones.
SISTEMA COMPTATIBLE INDETERMINADO. Es cuando tiene infinitas
soluciones.
SISTEMA INCOMPATIBLE. Es cuando no tiene solución
21
a
 
  ( − 1 + i)a − 1
 = 
 − 
 
 + 
x
2i
2 2i
Si a = 1 ⇒
1 1 0
2 i 2 1
     
− +  −    =   =   +  
 −    − 
     
 +     
x i
2i 0 2
2 2i 2 2
Tomamos
3
1
2
v
 
−  =  
 0

 
 2

, 4
0
1
v
 
 
=  
− 2

 
 2

Sea
1 0 1 0
1 1 2 1
P
 
− −  =  
 0 0 0 − 2

 
 0 0 2 2

⇒ 1
1 0 1/2 1/2
1 1 1 1/2
P
0 0 1/2 1/2
0 0 1/2 0
−
 − − 
 
=  
 
 
 − 
∴ 1
2 1
1 2
2
0
0
J T AT
−
0 0
0 0
1
1
1
− 
1 2
−
 
 
= =  

 
1.9 NORMA DE VECTORES
Sea n
x = (x1,x2 ,…,xn )∈ . Se definen las siguientes normas
n
= Σ
x x
1 i
i =
1

22
1
n 2
 
=2
 Σ

 
x x
2 i
i =
1
{ } i
x ∞ max x
1 ≤ i ≤
n
=
Ejemplo. Si x = (1, -1, 0, 1) entonces
||x||1 = 1 + -1 + 0 + 1 = 3
||x||2 = 1 2 + (-1) 2 + 0 2 + 1 2 = 3
||x||∞ = máx {1, -1, 0, 1} = 1
1.10 NORMA DE MATRICES
Se define la norma natural para matrices por
{ }
A max Ax
x =
1
=
Se puede demostrar que
n
ij
= Σ
A ∞ max a
1 ≤ i ≤ n j =
1
n
= Σ
A max a
1 ij
1 ≤ j ≤ n i =
1
t
2 A = ρ(A A)
Ejemplo. Si
5 1 1
 − 
=  −   
 
A 0 7 2
3 9 20
A max{ 5 1 1 , 0 7 2 , 3 9 20 } 32 ∞ = + − + + + − + + =
23
Ejemplo. Si
2 1 0
 
=    
 
A 1 1 1
0 1 2
⇒ t
2 1 0
 
=    
 
A 1 1 1
0 1 2
t
5 3 1
 
=    
 
A A 3 3 3
1 3 5
det(AtA − λI) = −λ(λ − 4)(λ − 9) = 0
⇔ λ1 = 0, λ2 = 4, λ3 = 9
Luego
t { }
2 A = ρ(A A) = max 0, 4, 9 = 3
1.11 NUMERO DE CONDICIONAMIENTO DE UNA MATRIZ
El número γ(A) = A A−1 se llama número de condicionamiento de la matriz
A.
Si γ(A) 1 se dice que la matriz esta bien condicionada y si γ(A) 1se dice
que la matriz A esta mal condicionada.
Ejemplo. Si
1 1/2 1/3
 
=    
 
A 1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
⇒ γ(A) = A A−1 = 748
Luego la matriz A está mal condicionada.
1.12 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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