Special Products Introduction, Introduccion a los Productos Notables

1. Actividad 2.2
Productos notables
G. Edgar Mata Ortiz

2. Productos notables y factorización.
http://licmata-math.blogspot.mx/ 2
La matemática se construye como una herramienta para
resolver problemas que se presentan en la realidad, sin
embargo, conforme se desarrolla, el conocimiento
matemático se va refinando, convirtiéndose en un objeto
de estudio. Es así como, al realizar operaciones algebraicas
se encuentran regularidades las cuales, al generalizarse, se
convierten en reglas empíricas o leyes de la matemática.
En el presente material se aborda el tema de los productos notables, los cuales surgen como una consecuencia
de la aplicación de algoritmos algebraicos y la observación de regularidades que podemos convertir en reglas
para facilitar el procedimiento de la multiplicación.
Los procedimientos para efectuar los algoritmos puedes estudiarlos siguiendo la guía didáctica que se
encuentra en: http://licmata-math.blogspot.mx/2017/10/activity-21-algebraic-expressions.html
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................3
El triángulo de Pascal............................................................................................................................................3
Obtención de los productos notables. .....................................................................................................................4
Binomios con término común. .............................................................................................................................4
Generalización de las observaciones................................................................................................................5
Resultado: Regla para obtener el producto de dos binomios con término común.........................................7
Binomio al cuadrado.............................................................................................................................................8
Generalización de las observaciones................................................................................................................9
Resultado: Regla para obtener el cuadrado de un binomio.......................................................................... 11
Procedimiento para obtener los resultados de productos algebraicos. ............................................................... 11
Obtención de otros productos notables. .............................................................................................................. 12
1. Binomios conjugados: 𝒂 + 𝒃𝒂 − 𝒃 ........................................................................................................... 12
2. Trinomio al cuadrado: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄𝟐............................................................................................................ 12
3. Binomio al cubo: 𝒂 + 𝒃𝟑........................................................................................................................... 12
4. Binomio a la cuarta potencia: 𝒂 + 𝒃𝟒....................................................................................................... 12
5. Binomio a la quinta potencia: 𝒂 + 𝒃𝟓....................................................................................................... 12
Factorización.......................................................................................................................................................... 12
Factor común..................................................................................................................................................... 13
Trinomios que se factorizan como binomios con término común.................................................................... 14
Trinomio cuadrado perfecto.............................................................................................................................. 14
Diferencia de cuadrados.................................................................................................................................... 16
Otras estrategias de factorización..................................................................................................................... 17

3. Productos notables y factorización.
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Introducción.
Las operaciones algebraicas pueden resultar laboriosas y, por ello mismo,
provocar errores. En la resolución de diversos problemas se ha
encontrado que ciertas multiplicaciones se presentan frecuentemente, se
les llama “productos notables”.
El resultado de estos productos se vuelve predecible, de modo que
pueden resolverse “directamente”, es decir, sin efectuar todo el
procedimiento.
Es conveniente memorizarlos ya que se ahorra mucho tiempo al omitir los
pasos del procedimiento y obtener el resultado aplicando las reglas
adecuadas según el producto que se esté tratando de obtener.
En el siguiente enlace se encuentra un formulario de matemáticas que
contiene algunas de estas reglas:
http://www.slideshare.net/licmata/for-mulario
Descarga el documento y escribe un comentario de 30 palabras, acerca de
los productos notables, en la página slideshare donde se encuentra dicho
formulario.
El triángulo de Pascal.
Un importante
recurso que vamos
a emplear en el
tema de los
productos
notables es el
Triángulo de
Pascal.
Explica,
brevemente, cómo
se construye este
triángulo y
complétalo hasta
llegar a 10 filas.
Las reglas
empíricas.
“Siempre que se multiplican
dos binomios, el resultado
es…”; “si está sumando,
pasa restando, y si está
restando…”; “cuando este
número es negativo,
siempre se puede resolver la
ecuación de segundo grado”
Las frases anteriores, no son
leyes matemáticas o
científicas, pero, después de
resolver varios problemas,
se van encontrando
regularidades que pueden
utilizarse para simplificar el
procedimiento de solución
de algún ejercicio, o para
verificar que el resultado es
correcto.
Estas generalizaciones
reciben el nombre de
“Reglas Empíricas”, porque
se obtienen de la práctica.
Es una forma de
conocimiento que debe
revisarse y corregirse
cuando sea necesario.
Es importante asegurarnos
de que estas reglas se
pueden aplicar en todos los
casos y no solamente en
algunos, para evitar cometer
errores al generalizar
situaciones que solamente
son aplicables en casos
particulares.

4. Productos notables y factorización.
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Obtención de los productos notables.
En lugar de simplemente consultar cómo se resuelven los productos notables,
vamos a realizar las operaciones paso a paso y a observar las regularidades de
las que hemos estado hablando para obtener las reglas correspondientes a los
productos notables conocidos y otros menos usuales.
Binomios con término común.
Reciben este nombre los binomios que se caracterizan por tener uno de sus términos, iguales entre sí, por
ejemplo:
( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 3) =__________________________
Como primer paso efectúa la multiplicación en las siguientes líneas, y anota solamente el resultado en la línea
que está arriba de este texto, a la derecha de la multiplicación que resolvimos.
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Para elaborar una regla empírica, es necesario resolver una cantidad de problemas más o menos grande, que
nos permita observar las regularidades en las respuestas. Efectúa las siguientes multiplicaciones debajo de
estas, y luego anota solamente las respuestas en las líneas junto a cada ejercicio. Una vez que tengas todas las
respuestas, escribe las regularidades que se observan en las respuestas, en el recuadro de la derecha que dice
“observaciones”.
1. (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) =__________________________
2. (𝑥 + 1)(𝑥 + 4) =__________________________
3. (𝑥 + 5)(𝑥 + 1) =__________________________
4. (𝑥 + 6)(𝑥 + 2) =__________________________
5. (𝑥 + 7)(𝑥 + 3) =__________________________
Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 1 a la 5 en las líneas siguientes, anotando todos los pasos del
procedimiento.
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Generalización de las observaciones.
En este momento tenemos una regla provisional que nos permite obtener el resultado sin necesidad de
efectuar todas las operaciones, explica esta regla en las líneas siguientes.
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La afirmación acerca de que esta regla es provisional se debe a que sólo la hemos probado con términos muy
sencillos y con signo positivo, pero ¿qué sucede si el término no común, es negativo en uno de los binomios? ¿y
en los dos? Efectúa las siguientes multiplicaciones en las líneas que están debajo de dichos ejercicios anotando
todos los pasos del procedimiento, después, anota sólo las respuestas junto a cada ejercicio. Cuando tengas
todas las respuestas, explica en el recuadro de observaciones si la regla empírica que teníamos puede seguirse
aplicando o debe modificarse
6. (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) =__________________________
7. (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) =__________________________
8. (𝑥 + 5)(𝑥 − 1) =__________________________
9. (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) =__________________________
10. (𝑥 − 5)(𝑥 − 1) =__________________________
Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 6 a la 10 en las líneas siguientes y anota solamente los
resultados junto a cada producto.
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De acuerdo con las observaciones, escribe nuevamente la regla para obtener el resultado directamente, sin
efectuar la multiplicación:
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Esta es la primera etapa del proceso: obtener una regla a partir de observaciones empíricas
y generalizarla a binomios con términos negativos.
Como segunda etapa, debemos probar nuestra regla bajo condiciones más complejas:
cuando el término común está elevado a alguna potencia, y/o tiene coeficiente diferente
de uno, también debemos considerar el caso en el que el término no común, también
contiene a la variable.
Los siguientes casos servirán para probar que la regla que desarrollamos, realmente
funciona en todos los casos.
Aplica la regla empírica que desarrollamos y obtén el resultado de las siguientes operaciones, directamente, sin
efectuar todo el procedimiento.
11. (2𝑥3
+ 5)(2𝑥3
− 1) = _____________________________________________________
12. (5𝑥2
− 𝑥)(5𝑥2
− 2𝑥) = _____________________________________________________
13. (4𝑥3
− 5𝑥)(4𝑥3
− 2𝑥) = _____________________________________________________
14. (−2𝑥4
+ 2𝑥2)(−2𝑥4
− 3𝑥) = _____________________________________________________
15. (−6𝑥5
+ 𝑥3)(−6𝑥5
− 4𝑥3) = _____________________________________________________
16. (5𝑥6
+ 4𝑥2)(5𝑥6
− 𝑥2) = _____________________________________________________
17. (3𝑥6
− 3𝑥)(3𝑥6
− 4𝑥) = _____________________________________________________
18. (2𝑥7
− 5𝑥4)(2𝑥7
− 2𝑥4) = _____________________________________________________

7. Productos notables y factorización.
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Ahora efectúa las operaciones de las multiplicaciones 11 a la 18 en las líneas siguientes.
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Si la regla empírica que elaboramos es correcta, los resultados obtenidos serán iguales al aplicarla que cuando
se efectúa la operación paso a paso.
Resultado: Regla para obtener el producto de dos binomios con término común.
Anota en las siguientes líneas la regla corregida para determinar, sin efectuar la operación, el producto de dos
binomios con término común.
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8. Productos notables y factorización.
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Binomio al cuadrado.
El procedimiento para desarrollar la regla que nos permite obtener el cuadrado de un binomio, directamente,
sin efectuar la multiplicación, es el mismo que seguimos para el caso de los binomios con término común.
Un primer paso consistente en efectuar las multiplicaciones, poniendo atención en las regularidades que se
observan en los resultados, primero tomando casos con términos positivos, luego agregamos negativos y
obtenemos una regla para obtener el resultado sin efectuar operaciones.
Luego, un segundo paso consistente en la verificación de la regla que se redactó, resolviendo casos con
términos de diferentes signos, con coeficientes y potencias diferentes de uno. Si la regla estaba bien desde un
principio, se deja tal como estaba, en caso contrario, se corrige.
Es necesario realizar pruebas con binomios de mayor complejidad para validar completamente la regla que
obtenemos, incluyendo términos con dos o más variables, coeficientes mayores y con diversas combinaciones
de signos, exponentes diferentes de uno en cada variable.
Vamos a realizar este procedimiento.
Primer paso: Efectúa las operaciones de los binomios al cuadrado numerados del 1 al 5 en las líneas siguientes
y anota solamente los resultados junto a cada ejercicio.
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1. (𝑥 + 2)2
=_______________________________
2. (𝑥 + 1)2
=_______________________________
3. (𝑥 + 5)2
=_______________________________
4. (𝑥 + 6)2
=_______________________________
5. (𝑥 + 3)2
=_______________________________

9. Productos notables y factorización.
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Generalización de las observaciones.
Las observaciones que realizamos nos permiten realizar afirmaciones
acerca del resultado de elevar un binomio al cuadrado, siempre y cuando
ambos términos tengan signos positivos, pero ¿qué sucede si algún
término es negativo? ¿y los dos?
Efectúa las operaciones de los binomios al cuadrado 6 a la 10 en las líneas
siguientes y anota solamente los resultados junto a cada producto.
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6. (𝑥 − 2)2
=_______________________________
7. (−𝑥 + 1)2
= _____________________________
8. (𝑥 − 5)2
=_______________________________
9. (−𝑥 + 6)2
= _____________________________
10. (−𝑥 − 3)2
= _____________________________
Regla para obtener el resultado directamente, sin efectuar la multiplicación:
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10. Productos notables y factorización.
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Las reglas empíricas están siempre en revisión, constantemente debemos
someterlas a prueba para asegurarnos que funcionan.
Recuerda que es necesario verificar la validez de esta regla, sometiéndola a prueba,
al elevar binomios más complejos, al cuadrado.
Digamos que esta regla es, por ahora, una hipótesis, y para comprobar si es válida
debemos realizar algunos “experimentos” tomando binomios con características
especiales que podrían hacer fallar la regla que desarrollamos.
Este redescubrimiento del conocimiento matemático es muy similar al método de
investigación que se emplea en la investigación científica.
Incluso cuando obtenemos una ley científica, no se considera definitiva, siempre se buscan experimentos
destinados a verificar si las predicciones que hacemos acerca del comportamiento de un fenómeno ocurren
como está previsto. Si el fenómeno se comporta como está previsto, la ley se sigue considerando válida. En
caso contrario, se corrige o se enuncian nuevas leyes.
Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 11 a la 15, que se encuentran en la página siguiente,
escribiendo los procedimientos completos en las estas líneas.
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11. Productos notables y factorización.
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Ahora obtén el resultado directamente, sin efectuar todo el procedimiento, aplicando la regla que obtuviste
anteriormente.
11. (3𝑥 − 2)2
= ___________________________________________________________
12. (−4𝑥 + 1)2
= ___________________________________________________________
13. (3𝑥4
− 5𝑥3)2
= ___________________________________________________________
14. (−2𝑥5
+ 6𝑥2)2
= ___________________________________________________________
15. (−4𝑥5
− 3𝑥2)2
= ___________________________________________________________
Resultado: Regla para obtener el cuadrado de un binomio.
Con base en los 15 problemas resueltos, disponemos de una regla empírica para determinar, sin efectuar la
operación, el cuadrado de un binomio. Anota en las siguientes líneas dicha regla. Observa si existe alguna
diferencia con las reglas que habíamos elaborado anteriormente.
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Procedimiento para obtener los resultados de
productos algebraicos.
Además de las reglas empíricas para multiplicar binomios con término
común y para elevar un binomio al cuadrado, hemos desarrollado un
procedimiento ordenado y sistemático para elaborar reglas empíricas,
y lo podemos emplear para cualquier otra operación. El procedimiento
del que hablamos consta de los pasos siguientes.
1. Efectuar la operación paso a paso tomando solamente términos positivos del grado más pequeño
posible, al menos 5 ejercicios para visualizar claramente las regularidades
2. Obtener una regla a partir de los ejercicios resueltos en el paso 1
3. Efectuar la operación paso a paso tomando términos positivos y negativos del grado más pequeño
posible, al menos 5 ejercicios para visualizar claramente las regularidades
4. Mejorar la regla a partir de los ejercicios resueltos en el paso 3
5. Probar si la regla funciona tomando 10 ejercicios con grados mayores a uno mezclando diversos casos
en cuanto a los signos.
6. Elaborar la regla general

12. Productos notables y factorización.
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Obtención de otros productos notables.
Siguiendo el procedimiento, de 6 pasos, para obtener los resultados de productos notables, y utilizando el
formato F-2.2, obtén las reglas para los siguientes productos notables:
1. Binomios conjugados: ( 𝒂 + 𝒃)( 𝒂 − 𝒃)
2. Trinomio al cuadrado: ( 𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟐
3. Binomio al cubo: ( 𝒂 + 𝒃) 𝟑
4. Binomio a la cuarta potencia: ( 𝒂 + 𝒃) 𝟒
5. Binomio a la quinta potencia: ( 𝒂 + 𝒃) 𝟓
Explica, en las siguientes líneas, cómo puede utilizarse el Triángulo de Pascal, para obtener las reglas que nos
permiten elevar un binomio al cubo, a la cuarta y a la quinta potencia.
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Explica, en las siguientes líneas, cómo puede utilizarse el Triángulo de Pascal para obtener las reglas que nos
permiten elevar un binomio a la sexta y séptima potencia.
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Factorización.
Esta operación consiste en que, conocido el resultado de una multiplicación, debemos determinar cuáles
fueron los factores que dieron como respuesta el producto que tenemos. Se utiliza, entre otras operaciones,
para efectuar algunas divisiones más fácilmente. Veamos un ejemplo:
Cuando multiplicamos un monomio por un polinomio obtenemos:
(𝑥2
+ 2𝑥 − 4)(5𝑥2) = 𝟓𝒙 𝟒
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟑
− 𝟐𝟎𝒙 𝟐
La factorización consiste en que conocemos el resultado: 5𝑥4
+ 10𝑥3
− 20𝑥2
Y deseamos identificar los factores: (? ? )(? ? ) = 𝟓𝒙 𝟒
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟑
− 𝟐𝟎𝒙 𝟐
Existen diferentes casos de factorización, en este problema se aplica:

13. Productos notables y factorización.
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Factor común.
Esta factorización consiste en que se desea obtener un monomio que, multiplicado por un polinomio, produzca
el polinomio que tenemos como dato. No debemos confundir factor común, con término común.
Puede tomarse el factor positivo o negativo, según convenga. En este caso tomaremos el signo positivo por ser
más sencillo.
El coeficiente del factor común se determina calculando el máximo común divisor de los coeficientes de los
términos del polinomio, en este caso es 5.
En cuanto a las variables, se toman las que forman parte de todos los términos con el menor grado que se
encuentre, en este ejercicio la única variable es equis, y el grado menor es segundo. Entonces, el factor común
es: +𝟓𝒙 𝟐
Ahora debemos obtener el polinomio que se multiplica por el factor común y permite obtener el polinomio que
tenemos como ejercicio.
𝟓𝒙 𝟒
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟑
− 𝟐𝟎𝒙 𝟐
= +𝟓𝒙 𝟐(? ? ? ? )
Para determinar el polinomio que va entre paréntesis se plantea la pregunta, ¿Por cuánto debemos multiplicar
el factor común, +𝟓𝒙 𝟐
, para obtener el primer término del polinomio que estamos factorizando, 𝟓𝒙 𝟒
.
La respuesta es, evidentemente, 𝒙 𝟐
.
𝟓𝒙 𝟒
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟑
− 𝟐𝟎𝒙 𝟐
= +𝟓𝒙 𝟐
(𝒙 𝟐
+? ? ? )
Los términos faltantes se obtienen utilizando la misma estrategia:
¿Por cuánto debemos multiplicar +𝟓𝒙 𝟐
para obtener el segundo término del polinomio que estamos
factorizando +𝟏𝟎𝒙 𝟑
? Y la respuesta es: +𝟐𝒙
𝟓𝒙 𝟒
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟑
− 𝟐𝟎𝒙 𝟐
= +𝟓𝒙 𝟐
(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙+? ? ? )
Finalmente: ¿Por cuánto debemos multiplicar +𝟓𝒙 𝟐
para obtener el tercer término del polinomio que estamos
factorizando −𝟐𝟎𝒙 𝟐
? Y la respuesta es: −𝟒
𝟓𝒙 𝟒
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟑
− 𝟐𝟎𝒙 𝟐
= +𝟓𝒙 𝟐
(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟒)
El resultado es el que se muestra, si se desea comprobar, se efectúa la multiplicación indicada.
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.
1. 16𝑥3
+ 32𝑥2
− 8𝑥 =
2. −5𝑦4
+ 10𝑦3
− 15𝑦2
=
3. −12𝑥2
𝑦4
− 6𝑥3
𝑦3
+ 18𝑥4
𝑦2
=
4. 9𝑎4
𝑏3
− 6𝑎3
𝑏4
− 3𝑎3
𝑏3
=
5. 12𝑚4
𝑛3
𝑝2
− 4𝑚3
𝑛2
𝑝4
− 8𝑚2
𝑛4
𝑝3
=

14. Productos notables y factorización.
http://licmata-math.blogspot.mx/ 14
Trinomios que se factorizan como binomios con término común.
Este caso de factorización está basado en la multiplicación de binomios con término común, por ejemplo:
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟔 =
Este trinomio no tiene factor común; los coeficientes no tienen divisor común (excepto el uno), y tampoco
tienen ninguna variable en común. Vamos a tratar de factorizarlo como dos binomios con término común.
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙 )(𝒙 )
El término común es la raíz cuadrada del término de mayor grado: 𝒙 𝟐
, es decir, 𝒙.
Para determinar los términos que completan los dos binomios observamos que el término de menor grado es
solamente un número, el +𝟔, por lo tanto, los términos faltantes deben ser también números sin variables.
Estos números que estamos buscando deben cumplir dos condiciones:
Dos números que al multiplicarse den como resultado +𝟔, y al sumarse den como resultado +𝟓.
Dos números que al multiplicarse dan como resultado +𝟔 son:
(+𝟑) × (+𝟐), (−𝟑) × (−𝟐), (+𝟔) × (+𝟏) y (−𝟔) × (−𝟏), pero de estas parejas de números, solamente una,
al sumarse, da como resultado +𝟓, son los números: (+𝟑) y (+𝟐).
(+𝟑) × (+𝟐) = +𝟔 (+𝟑) + (+𝟐) = +𝟓
Entonces, la factorización es: 𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)
Podemos verificar el resultado efectuando la multiplicación indicada.
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas
1. 𝑥2
+ 6𝑥 + 8 =
2. 𝑦2
− 3𝑦 − 4 =
3. 𝑧4
+ 4𝑧2
− 12 =
4. 𝑎4
− 9𝑎2
+ 18 =
5. 4𝑏4
− 4𝑏2
− 15 =
Trinomio cuadrado perfecto.
Este trinomio es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, por lo tanto, al factorizarlo, debe obtenerse
dicho binomio al cuadrado.
El procedimiento para factorizar estos binomios consiste en extraer la raíz cuadrada del término de mayor
grado, después extraer la raíz cuadrada del término de menor grado y verificar que el doble producto de estas
dos raíces de como resultado el término intermedio. Por ejemplo:
𝒙 𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟗 =
La raíz cuadrada del término de mayor grado: √𝒙 𝟐 = 𝒙

15. Productos notables y factorización.
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La raíz cuadrada del término de menor grado: √𝟗 = 𝟑
El doble producto de estas raíces cuadradas es: 𝟐(𝒙)(𝟑) = 𝟔𝒙, es igual al término intermedio.
Por lo tanto, la factorización es un binomio al cuadrado:
𝒙 𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟗 = (𝒙 + 𝟑) 𝟐
Podemos verificar el resultado efectuando la potencia indicada.
Cuando no es un trinomio cuadrado perfecto y, por lo tanto, no se cumplen las condiciones mencionadas,
puede tratar de factorizar como dos binomios con término común. Por ejemplo:
𝒚 𝟐
+ 𝟓𝒚 + 𝟒 =
La raíz cuadrada del término de mayor grado: √𝒚 𝟐 = 𝒚
La raíz cuadrada del término de menor grado: √𝟒 = 𝟐
El doble producto de estas raíces cuadradas es: 𝟐(𝒚)(𝟐) = 𝟒𝒚, NO es igual al término intermedio: 𝟓𝒚
Por lo tanto, la factorización no es un binomio al cuadrado.
Vamos a tratar de factorizarlo como dos binomios con término común.
𝒚 𝟐
+ 𝟓𝒚 + 𝟒 =
El término común es la raíz cuadrada del término de mayor grado: 𝒚 𝟐
, es decir, 𝒚.
Para determinar los términos que completan los dos binomios observamos que el término de menor grado es
solamente un número, el +𝟒, por lo tanto, los términos faltantes deben ser también números sin variables.
Estos números que estamos buscando deben cumplir dos condiciones:
Dos números que al multiplicarse den como resultado +𝟒, y al sumarse den como resultado +𝟓.
Dos números que al multiplicarse dan como resultado +𝟒 son: (+𝟐) × (+𝟐), (−𝟐) × (−𝟐), (+𝟒) × (+𝟏) y
(−𝟒) × (−𝟏), pero de estas parejas de números, solamente una, al sumarse, da como resultado +𝟓, son los
números: (+𝟒) y (+𝟏).
(+𝟒) × (+𝟏) = +𝟒 (+𝟒) + (+𝟏) = +𝟓
Entonces, la factorización es: 𝒚 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟒 = (𝒚 + 𝟒)(𝒚 + 𝟏)
Podemos verificar el resultado efectuando la multiplicación indicada. Utiliza el espacio siguiente para
comprobar que, efectivamente, al multiplicar los dos binomios, se obtiene el trinomio original.

16. Productos notables y factorización.
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Factoriza las siguientes expresiones algebraicas; primero prueba como trinomio
cuadrado perfecto, si no es posible, factoriza como binomios con término común.
1. 𝑧4
− 10𝑧2
+ 16 =
2. 𝑎4
− 12𝑎2
+ 36 =
3. 4𝑏4
− 12𝑏2
+ 9 =
4. 9𝑎4
− 15𝑎2
+ 4 =
5. 25𝑦4
− 30𝑦2
+ 8 =
Diferencia de cuadrados.
Esta expresión algebraica es un binomio que proviene de la multiplicación de dos binomios conjugados, por lo
tanto, esa será la forma de factorizarlo. Veamos un ejemplo:
Factoriza el binomio: 𝒙 𝟐
− 𝟗 =
Identificamos la expresión como una diferencia de cuadrados:
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: 𝒙 𝟐
, es decir, √𝒙 𝟐 = 𝒙.
Obtenemos la raíz cuadrada del segundo término, sin tomar en cuenta el signo: 𝟗, es decir, √𝟗 = 𝟑.
La factorización está formada por dos binomios que contienen estas raíces cuadradas, separadas por signos
diferentes, uno positivo y otro negativo:
𝒙 𝟐
− 𝟗 = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑)
Podemos verificar el resultado efectuando la multiplicación indicada.
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas aplicando la regla que corresponda a
cada ejercicio.
1. 𝑦2
− 16 =
2. 𝑧3
− 10𝑧2
+ 16𝑧 =
3. 2𝑎5
+ 24𝑎3
+ 72𝑎 =
4. 18𝑎3
𝑏 − 8𝑎𝑏3
=
5. 27𝑎3
𝑏3
+ 36𝑎3
𝑏2
+ 12𝑎3
𝑏 =
6. 2𝑎3
− 2𝑎𝑏2
+ 𝑎2
𝑏 − 𝑏3
=
7. 4𝑥3
− 8𝑥2
𝑦 − 𝑥𝑦2
+ 2𝑦3
=
8. 18𝑥3
− 9𝑥2
𝑦 − 8𝑥 + 4𝑦 =

17. Productos notables y factorización.
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Otras estrategias de factorización.
Realiza una investigación y selecciona otras tres estrategias de factorización que consideres necesario incluir en
este trabajo.
Anota en las siguientes líneas los 3 casos que seleccionaste:
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Incluye 5 ejemplos de cada uno de estos casos.
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