edp

1. Apuntes de Ecuaciones diferenciales
Ricardo Faro
15 de febrero de 2005

3. ´
Indice General
I Ecuaciones diferenciales ordinarias xiii
1 La estructura diferenciable de un espacio vectorial 1
1.1 Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . 1
1.2 El haz de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Espacio Tangente. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Campo tangente a soporte. . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Campo a soporte universal. . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Espacio cotangente. La diferencial . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 Interpretaci´n geom´trica de la diferencial. .
o e . . . 25
1.5.2 Fibrado cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Uno formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1 Campos gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8 Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.1 Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.2 Ecuaciones diferenciales no aut´nomas. . . .
o . . . 38
1.8.3 Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . . . . 39
1.9 Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 40
1.9.1 Desintegraci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . 40
1.9.2 Reproducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . 40
1.9.3 Ley de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.9.4 El p´ndulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . 42
2 Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales 53
2.1 Grupo uniparam´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
e
2.2 Existencia de soluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
o
i

4. ii ´
INDICE GENERAL
2.3 Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Unicidad de soluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 63
2.5 Grupo Uniparam´trico de un campo . . . . . . . .
e . . . . 66
2.6 Grupo Unip. de campos subidos . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7 Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7.1 Clasificaci´n local de campos no singulares.
o . . . . 78
2.8 Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.9 Corchete de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 84
2.10 Derivada de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 86
2.11 M´todo de Lie para resolver ED . . . . . . . . . . .
e . . . . 90
3 Campos tensoriales en un espacio vectorial 107
3.1 Tensores en un m´dulo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
o
3.2 Campos tensoriales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3 Derivada de Lie de un campo tensorial . . . . . . . . . . . 112
3.4 Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5 La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6 El Lema de Poincar´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
e
3.6.1 Aplicaci´n en Ecuaciones diferenciales. . . . . . . . 130
o
3.6.2 Factores de integraci´n. . . . . . . . . . . . . . . . 131
o
3.7 Ap´ndice. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . 133
e
3.7.1 Tensor m´trico y tensor de volumen del espacio
e
eucl´
ıdeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.7.2 Divergencia, rotacional y gradiente. . . . . . . . . . 134
3.7.3 Interpretaci´n geom´trica del rotacional. . . . . . . 136
o e
3.7.4 Tensores de torsi´n y de curvatura. . . . . . . . . . 138
o
3.7.5 El tensor de una variedad Riemanniana. . . . . . . 138
3.7.6 El tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.7.7 La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4 Campos tangentes lineales 151
4.1 Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Existencia y unicidad de soluci´n
o . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3 Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3.1 El sistema homog´neo. . .
e . . . . . . . . . . . . . . 160
4.3.2 El sistema no homog´neo.
e . . . . . . . . . . . . . . 165
4.4 Reducci´n de una EDL . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 166
4.5 Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.6 EDL con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.7 Clasificaci´n de campos lineales .
o . . . . . . . . . . . . . . 175

5. ´
INDICE GENERAL iii
4.8 EDL con coeficientes peri´dicos . . . . . . . . .
o . . . . . . 177
4.9 EDL de orden n con coeficientes constantes . . . . . . . . 179
4.9.1 Caso homog´neo. . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 180
4.9.2 Caso no homog´neo. . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 182
4.10 EDL de orden n. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.10.1 Ecuaci´n de Euler. . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 185
4.11 EDL de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.11.1 Ecuaci´n de Riccati. . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 189
4.12 Otros m´todos para resolver EDL . . . . . . . .
e . . . . . . 192
4.12.1 M´todo de las potencias. . . . . . . . . .
e . . . . . . 192
4.12.2 M´todo de Frobenius de las potencias. .
e . . . . . . 193
4.12.3 M´todo de la transformada de Laplace.
e . . . . . . 193
4.13 La Ecuaci´n de Bessel . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 195
4.14 Algunas EDL de la F´ ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.14.1 Problemas de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.14.2 Problemas de muelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.14.3 Problemas de circuitos el´ctricos. . . . .
e . . . . . . 208
4.14.4 Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5 Estabilidad 221
5.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . 221
5.2 Linealizaci´n en un punto singular . . . .
o . . . . . . . . . 222
5.3 Estabilidad de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . 224
5.4 Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.5.1 Sistemas tipo “depredador–presa”. . . . . . . . . . 235
5.5.2 Especies en competencia. . . . . . . . . . . . . . . 238
5.5.3 Aplicaci´n en Mec´nica cl´sica. . .
o a a . . . . . . . . . 238
5.6 Clasificaci´n topol. de las ED lineales . .
o . . . . . . . . . 241
5.7 Teorema de resonancia de Poincar´ . . . .
e . . . . . . . . . 247
5.8 Cuenca de un sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.9 La aplicaci´n de Poincar´ . . . . . . . . .
o e . . . . . . . . . 255
5.10 Estabilidad de ´rbitas c´
o ıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.11 El Teorema de Poincar´–Bendixson . . . .
e . . . . . . . . . 264
5.12 Estabilidad de ´rbitas en el plano . . . . .
o . . . . . . . . . 269

6. iv ´
INDICE GENERAL
II Ecuaciones en derivadas parciales 277
6 Sistemas de Pfaff 279
6.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . 279
6.2 Sistemas de Pfaff y Distribuciones . . . . . . . . . . . . . 283
6.2.1 Sistemas de Pfaff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.2.2 Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.3 El sistema caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.4 El Teorema de la Proyecci´n . . . . . . .
o . . . . . . . . . 291
6.4.1 Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.5 El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.5.1 M´todo de Natani. . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 306
6.5.2 1–formas homog´neas. . . . . . . .
e . . . . . . . . . 307
6.6 Clasificaci´n local de uno–formas . . . . .
o . . . . . . . . . 309
6.7 Aplicaci´n a la termodin´mica . . . . . .
o a . . . . . . . . . 315
6.8 Ap´ndice: Variedades diferenciables . . .
e . . . . . . . . . 324
6.8.1 Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . . . . 326
6.8.2 Variedades integrales m´ximas . .
a . . . . . . . . . 327
6.9 Ap´ndice: El Teorema de Frobenius . . .
e . . . . . . . . . 332
7 Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 341
7.1 Definici´n cl´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o a . . . 341
7.2 El cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
7.3 EDP cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
7.3.1 Ejemplo: Tr´fico en una autopista. . . . . . .
a . . . 348
7.3.2 Ejemplo: Central telef´nica. . . . . . . . . . .
o . . . 349
7.3.3 Ejemplo: El Proceso de Poisson. . . . . . . . . . . 351
7.3.4 Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. . . . . 352
7.4 Sistema de Pfaff asociado a una EDP . . . . . . . . . . . . 354
7.4.1 Campo caracter´ ıstico. . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7.5 Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . 358
7.5.1 Dimensi´n de una subvariedad soluci´n. . . .
o o . . . 358
7.5.2 Existencia de soluci´n. . . . . . . . . . . . . .
o . . . 360
7.5.3 El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 362
7.6 Integral completa de una EDP . . . . . . . . . . . . . . . 365
7.6.1 El M´todo de la Proyecci´n. . . . . . . . . . .
e o . . . 365
7.6.2 Soluci´n pasando por una subvariedad. . . . .
o . . . 367
7.6.3 El M´todo de Lagrange–Charpit. . . . . . . .
e . . . 368
7.7 La envolvente. El problema de Cauchy . . . . . . . . . . . 369
7.7.1 Envolvente de una familia de hipersuperficies. . . . 369

7. ´
INDICE GENERAL v
7.7.2 M´todo de la envolvente. . . . . . . . . . . . . .
e . 375
7.7.3 Soluci´n singular. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 377
7.8 Definici´n intr´
o ınseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.8.1 Fibrado Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.8.2 Fibrado de Jets de orden 1 . . . . . . . . . . . . . 386
7.9 Teor´ de Hamilton–Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . 388
7.9.1 M´todo de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . 389
7.9.2 Ecuaci´n de Hamilton–Jacobi. . . . . . . . . . .
o . 392
7.9.3 Geod´sicas de una variedad Riemanniana. . . . .
e . 396
7.10 C´lculo de variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 403
7.10.1 Ecuaciones de Euler–Lagrange. . . . . . . . . . . . 404
7.10.2 Ecuaciones de Euler–Lagrange y Hamilton. . . . . 408
7.10.3 Ejemplo. Curva de energ´ cin´tica m´
ıa e ınima . . . . 410
7.10.4 Ejemplo. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . 411
7.10.5 Ap´ndice. La ecuaci´n de Schr¨dinger . . . . . .
e o o . 413
7.11 Lagrangianas. Teorema de No¨ther . . . . . . . . . . . .
e . 413
7.11.1 Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 413
7.11.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
7.11.3 Ejemplo. Curvas de longitud m´ ınima . . . . . . . . 419
7.11.4 Ejemplo. Curvas de m´ ınima acci´n . . . . . . . .
o . 424
7.11.5 El Teorema de No¨ther. . . . . . . . . . . . . . .
e . 426
7.11.6 Ejemplo. Problema de los dos cuerpos . . . . . . . 428
7.11.7 Ejemplo. La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
7.11.8 Ejemplo. El cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
7.12 Ap´ndice. El Campo geod´sico . . . . . . . . . . . . . .
e e . 431
7.12.1 El fibrado tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
7.12.2 Subidas can´nicas de un campo tangente. . . . .
o . 432
7.12.3 Variedad con conexi´n. Campo geod´sico. . . . .
o e . 435
7.12.4 Campo geod´sico en una variedad Riemanniana.
e . 437
7.12.5 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
8 EDP de orden superior. Clasificaci´n o 461
8.1 Definici´n cl´sica . . . . . . . . . . . . . . . .
o a . . . . . . . 461
8.2 Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . 465
8.2.1 Corchete de Lie de operadores lineales. . . . . . . . 465
8.2.2 Restricci´n de un ODL. . . . . . . . .
o . . . . . . . 467
8.2.3 Expresi´n en coordenadas de un ODL.
o . . . . . . . 469
8.2.4 Derivada de Lie de un ODL . . . . . . . . . . . . . 473
8.3 El s´
ımbolo de un ODL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
8.4 ODL de orden 2 en R2 . Clasificaci´n . . . . .
o . . . . . . . 477

8. vi ´
INDICE GENERAL
8.4.1 Operadores diferenciales lineales hiperb´licos. . . .
o 478
8.4.2 Operadores diferenciales lineales parab´licos. . . .
o 479
8.4.3 Campos y 1–formas complejas. . . . . . . . . . . . 480
8.4.4 Operadores diferenciales lineales el´ ıpticos. . . . . . 483
8.4.5 El operador de Laplace–Beltrami. . . . . . . . . . . 487
8.5 ODL de orden 2 en Rn . Clasificaci´n . . . . . . . . . . . .
o 489
8.6 EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´n . . . . . . . . . . . .
o 492
8.6.1 ODL asociado a una soluci´n de una EDP. . . . .
o 492
8.6.2 Reducci´n a forma can´nica. Caso hiperb´lico de
o o o
una EDP cuasi–lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . 495
8.6.3 Reducci´n a forma can´nica. Caso hiperb´lico de
o o o
una EDP de tipo general. . . . . . . . . . . . . . . 499
8.6.4 Reducci´n a forma can´nica. Caso el´
o o ıptico. . . . . 505
8.7 Clasificaci´n de sistemas de EDP . . . . . . . . . . . . . .
o 509
8.7.1 Reducci´n a forma diagonal de sistemas lineales
o
hiperb´licos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 512
8.7.2 Reducci´n a forma diagonal de sistemas cuasi–
o
lineales hiperb´licos. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 512
8.8 Ap´ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 514
8.8.1 Transformada de Legendre en R. . . . . . . . . . . 514
8.8.2 Transformada de Legendre en R2 . . . . . . . . . . 515
9 El problema de Cauchy 527
9.1 Sistemas de EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . . 527
9.2 Curvas caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
9.2.1 Propagaci´n de singularidades. . . . . .
o . . . . . . 533
9.3 Funciones anal´
ıticas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
9.3.1 Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
9.3.2 Series m´ltiples. . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . 537
9.3.3 Series m´ltiples de funciones. . . . . . .
u . . . . . . 538
9.4 Funciones anal´
ıticas complejas . . . . . . . . . . . . . . . 546
9.4.1 Las ecuaciones de Cauchy–Riemann. . . . . . . . . 546
9.4.2 F´rmula integral de Cauchy. . . . . . . .
o . . . . . . 549
9.4.3 Funciones anal´ ıticas n–dimensionales. . . . . . . . 551
9.5 El Teorema de Cauchy–Kowalewski . . . . . . . . . . . . . 552
9.6 EDP de tipo hiperb´lico . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 557
9.7 M´todo de las aproximaciones sucesivas . . . .
e . . . . . . 561
9.7.1 Existencia de soluci´n. . . . . . . . . . .
o . . . . . . 562
9.7.2 Unicidad de soluci´n. . . . . . . . . . .
o . . . . . . 567
9.7.3 Dependencia de las condiciones iniciales. . . . . . . 568

9. ´
INDICE GENERAL vii
9.7.4 El problema de Goursat. . . . . . . . . . . . . . . . 572
9.7.5 El problema de valor inicial caracter´ ıstico. . . . . . 573
9.8 Sistemas hiperb´licos . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 573
9.9 La funci´n de Riemann–Green . . . . . . . . . .
o . . . . . 581
9.9.1 Operador diferencial lineal adjunto. . . . . . . . . 581
9.9.2 ODL adjuntos en el plano. . . . . . . . . . . . . . . 583
9.9.3 El m´todo de Riemann. . . . . . . . . . .
e . . . . . 584
10 La Ecuaci´n de ondas
o 601
10.1 La Ecuaci´n de ondas unidimensional . . . . . . . .
o . . . 601
10.1.1 Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
10.1.2 Soluci´n de D’Alambert. . . . . . . . . . . . .
o . . . 606
10.1.3 Energ´ de la cuerda. . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . 610
10.1.4 Unicidad de soluci´n de la ecuaci´n de ondas.
o o . . . 612
10.1.5 Aplicaciones a la m´sica. . . . . . . . . . . .
u . . . 612
10.2 La Ecuaci´n de ondas bidimensional. . . . . . . . . .
o . . . 614
10.2.1 Soluci´n de la ecuaci´n de ondas. . . . . . . .
o o . . . 617
10.3 La Ecuaci´n de ondas n–dimensional. . . . . . . . .
o . . . 620
10.3.1 La desigualdad del dominio de dependencia. . . . . 620
10.3.2 Unicidad de soluci´n. . . . . . . . . . . . . .
o . . . 624
10.3.3 Ecuaci´n de ondas en regiones con frontera. .
o . . . 626
10.3.4 El m´todo de separaci´n de variables. . . . .
e o . . . 628
10.4 El m´todo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . 631
10.4.1 La F´rmula de Kirchhoff. . . . . . . . . . . .
o . . . 631
10.4.2 El m´todo del descenso. . . . . . . . . . . . .
e . . . 635
10.4.3 El principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . 637
10.5 La Ecuaci´n de Schr¨dinger. . . . . . . . . . . . . . .
o o . . . 639
11 La Ecuaci´n del calor
o 649
11.1 La Ecuaci´n del calor unidimensional . . . . . . . .
o . . . . 649
11.1.1 El principio del m´ximo. . . . . . . . . . . .
a . . . . 652
11.1.2 Soluci´n general. . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 654
11.1.3 Soluciones con condiciones inicial y frontera dadas. 655
11.1.4 El problema de valor inicial. . . . . . . . . . . . . . 668
11.2 La Ecuaci´n del calor n–dimensional. . . . . . . . .
o . . . . 674
11.2.1 Caso bidimensional. Planteamiento. . . . . . . . . 674
11.2.2 El m´todo de separaci´n de variables. . . .
e o . . . . 675
11.2.3 Caso bidimensional. Algunas soluciones. . . . . . . 676
11.2.4 Caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

10. viii ´
INDICE GENERAL
12 La Ecuaci´n de Laplace
o 683
12.1 El operador de LaPlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
12.1.1 Funciones arm´nicas. . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 683
12.1.2 Potencial gravitacional y potencial el´ctrico. . . .
e . 686
12.1.3 Problemas de Dirichlet, Neumann y mixto. . . . . 692
12.1.4 Principio del m´ximo. Unicidad. Continuidad. .
a . 692
12.2 Funciones arm´nicas en el plano . . . . . . . . . . . . .
o . 695
12.2.1 Funciones arm´nicas en variables separadas. . . .
o . 695
12.2.2 Funciones arm´nicas y funciones anal´
o ıticas. . . . . 696
12.2.3 Transformaciones conformes. . . . . . . . . . . . . 697
12.3 Transformaciones que conservan las funciones arm´nicas
o . 699
12.3.1 Traslaciones, giros y homotecias. . . . . . . . . . . 699
12.3.2 Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 700
12.3.3 Inversiones respecto de esferas. . . . . . . . . . . . 700
12.3.4 Transformaciones en general. . . . . . . . . . . . . 702
12.4 Problema de Dirichlet en un rect´ngulo . . . . . . . . .
a . 706
12.5 Problema de Dirichlet en un disco . . . . . . . . . . . . . 708
12.5.1 F´rmula integral de Poisson. . . . . . . . . . . .
o . 710
12.6 Problema de Dirichlet en la esfera . . . . . . . . . . . . . 713
12.6.1 La Ecuaci´n de Legendre. . . . . . . . . . . . . .
o . 714
12.7 Unicidad de soluci´n en problemas con valores frontera .
o . 717
12.8 Propiedades de las funciones arm´nicas . . . . . . . . .
o . 719

11. ´
Indice de Figuras
1.1 Gr´fica de e . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Campo de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 F lleva el campo D al campo E . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Gr´ficas de f y dx f en R . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Gr´ficas de f y dx f en R2 . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Plano tangente a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Gradiente de x2 + y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Curva integral de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9 P´ndulo . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1 Teorema del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2 ´
Orbitas de D y de f D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3 Cisterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4 Caso n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1 Par´bola y elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
a
3.2 Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.1 Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.2 Pulsaci´n . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.3 Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.4 Circuito el´ctrico . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.5 Part´ıcula en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.6 2 a Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.7 1 a Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.1 Casos a > 0 y b < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
ix

12. x ´
INDICE DE FIGURAS
5.4 Secci´n local . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . 256
5.5 La ´rbita de p se aproxima a γ en x
o . . . . . . . . . . . . 260
5.6 Aplicaci´n de Poincar´ . . . . . . . .
o e . . . . . . . . . . . . 262
5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.1 Sistema de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.2 Interpretaci´n geom´trica de DL ∆ ⊂ ∆ . . . . .
o e . . . . . 290
6.3 Interpretaci´n geom´trica de D ∈ ∆ y DL ∆ ⊂ ∆
o e . . . . . 290
6.4 < D >= Dπ ⊂ ∆[P] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.6 Distribuciones asociadas a P, P y P . . . . . . . . . . . 295
6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.1 Cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
7.2 Conos de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.4 Construcci´n de Sk . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.5 Envolvente de S λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
7.6 trayectorias bala ca˜´n .
no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.7 ruido de un avi´n . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
7.8 Elecci´n de Sa . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
7.9 Plano del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
7.10 Coordenadas esf´ricas .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
9.1 Dominio de dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
9.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
10.1 cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
10.2 Posici´n inicial . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 607
10.3 Ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
10.4 Fuerzas sobre una membrana . . . . . . . . . . . . . . . . 614
10.5 Membrana vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
10.6 cono caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
11.1 Flujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

13. ´
INDICE DE FIGURAS xi
11.2 Calor que entra en I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
11.3 Dominio del problema (hacia el pasado) . . . . . . . . . . 660
11.4 Difusi´n del calor en una placa . . . . . . . . . . . . . . . 674
o

14. xii ´
INDICE DE FIGURAS

15. Parte I
Ecuaciones diferenciales
ordinarias
xiii

17. Tema 1
La estructura
diferenciable de un
espacio vectorial
1.1 Conceptos b´sicos
a
Por E entenderemos un espacio vectorial real de dimensi´n n, dotado
o
de la estructura topol´gica usual. A veces tambi´n consideraremos en
o e
E una norma, siendo indiferente en la mayor´ de los resultados cual es
ıa
la que elegimos, pues todas las normas son equivalentes en E. Por Rn
n
entenderemos el espacio vectorial real R × · · · × R.
Dados dos espacios vectoriales E1 y E2 denotaremos con L(E1 , E2 )
el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de E1 en E2 . Con E ∗
denotaremos el espacio vectorial dual de E, es decir L(E, R).
Con C(E) denotaremos la R–´lgebra de las funciones continuas en E
a
y con C(U ) las continuas en el abierto U de E. Con P(E) denotaremos
la R–´lgebra de los polinomios en E, es decir la sub–R–´lgebra de C(E)
a a
generada por E ∗ .
1

18. 2 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Elegir una base ei en E equivale a elegir una base xi ∈ E ∗ . En cuyo
caso tenemos la identificaci´n
o
n
E −−→ Rn , ai ei −→ (a1 , . . . , an ),
i=1
y las xi forman un sistema de coordenadas lineales asociado a las ei de
la forma
xi : E −−→ R , xi aj ej = ai .
A menudo consideraremos sistemas de coordenadas lineales xi y so-
brentenderemos su base dual ei correspondiente.
Si en E tenemos un producto interior < , > consideraremos la norma
√
x 2 = < x, x >,
y eligiendo una base ei ortonormal, es decir tal que < ei , ej >= δij ,
y su sistema xi de coordenadas lineales asociado, tendremos que dados
a, b ∈ E tales que xi (a) = ai y xi (b) = bi
< a, b >= a1 b1 + · · · + an bn .
Definici´n. Sean E1 y E2 espacios vectoriales reales, U un abierto de E1
o
y V uno de E2 . Diremos que F : U −→ V es diferenciable en x ∈ U si
existe una aplicaci´n lineal Fx ∈ L(E1 , E2 ), tal que
o
F (x + h) − F (x) − Fx (h)
lim = 0.
h →0 h
Diremos que F es diferenciable si lo es en todo punto; que F es de
clase 1 si es diferenciable y la aplicaci´n
o
F : U −−→ L(E1 , E2 ) , x Fx ,
es continua ; que es de clase k si existen F , F = (F ) ,. . .,F (k , y son
continuas. Diremos que es de clase infinita si es de clase k para toda k.
A partir de ahora siempre que hablemos de clase k, entenderemos
que k es indistintamente, a menos que se especifique lo contrario, un
n´mero natural 0, 1, . . . ´ bien ∞, donde para k = 0 entenderemos que
u o
las aplicaciones son continuas.
Definici´n. Dada f : U ⊂ R −→ R diferenciable en x, llamamos deri-
o
vada de f en x al n´mero real
u
f (x + t) − f (x)
f (x) = lim .
t→0 t

19. 1.1. Conceptos b´sicos
a 3
Observemos que este n´mero est´ relacionado con la aplicaci´n lineal
u a o
fx ∈ L(R, R) por la igualdad
fx (h) = f (x) · h.
Regla de la cadena 1.1 a) Sean
F : U ⊂ E1 −−→ V ⊂ E2 , G : V −−→ W ⊂ E3 ,
diferenciables en x ∈ U y F (x) = y, respectivamente. Entonces H =
G ◦ F es diferenciable en x y se tiene que
H x = G y ◦ Fx .
b) La composici´n de aplicaciones de clase k es de clase k.
o
Definici´n. Para cada abierto U del espacio vectorial E, denotaremos
o
C k (U ) = {f : U −−→ R, de clase k},
los cuales tienen una estructura natural de R–´lgebra y como veremos
a
en (1.11), tambi´n de espacio topol´gico.
e o
Proposici´n 1.2 Sea F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 una aplicaci´n. Entonces
o o
son equivalentes:
a) F es de clase k.
b) Para un sistema de coordenadas lineales yi en E2 , fi = yi ◦ F ∈
C k (U ).
c) Para cada f ∈ C k (V ), f ◦F ∈ C k (U ), es decir tenemos el morfismo
de R-´lgebras.
a
F ∗ : C k (V ) −−→ C k (U ), F ∗ (f ) = f ◦ F.
Definici´n. Dada una funci´n f ∈ C 1 (U ), un v ∈ E y p ∈ U , llamaremos
o o
derivada direccional de f relativa a v en p al valor
f (p + tv) − f (p)
vp (f ) = lim .
t→0 t

20. 4 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
En particular si en E hemos elegido un sistema de coordenadas linea-
les xi con base dual ei , llamaremos derivada parcial i–´sima de f , a la
e
derivada direccional de f relativa a ei y escribiremos
∂f f (p + tei ) − f (p)
(p) = lim .
∂xi t→0 t
Si E es de dimensi´n 1, y x es la coordenada lineal correspondiente al
o
vector no nulo e ∈ E escribiremos
df ∂f
= .
dx ∂x
Proposici´n 1.3 f ∈ C k (U ) si y s´lo si para alg´n sistema de coordena-
o o u
das lineales xi —y por tanto para cualquiera—, existen y son continuas
en todo U las funciones Da f , para a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn , y
∂ |a|
Da = , |a| = a1 + · · · + an ≤ k.
∂ a1 x1 · · · ∂ an xn
Nota 1.4 Si E1 es de dimensi´n n y E2 de m y U y V son sendos abiertos
o
de E1 y E2 , entonces si F : U −→ V es diferenciable, biyectiva y F −1 es
diferenciable, tendremos que n = m.
Esto se sigue f´cilmente de la regla de la cadena, pues si A es la
a
matriz jacobiana de F , en un punto x, y B la de F −1 , en el punto
y = F (x), entonces A · B es la identidad en Rm y B · A la identidad
en Rn , de donde se sigue que A y B son cuadradas —e inversas— por
tanto n = m.
Definici´n. Diremos que F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 es un difeomorfismo de
o
clase k , si F es biyectiva, de clase k y su inversa es de clase k. Diremos
que n funciones ui : U −→ R son un sistema de coordenadas de clase k
en U si para
F = (ui ) : U −−→ Rn ,
se tiene que F (U ) = V es un abierto de Rn y F : U −→ V es un difeo-
morfismo de clase k. Por difeomorfismo a secas entenderemos de clase
∞. Diremos que F : U ⊂ E1 −→ E2 es un difeomorfismo local de clase k
en x ∈ U si existe un entorno abierto Ux de x en U tal que F (Ux ) = V
es abierto y F : Ux −→ V es un difeomorfismo de clase k. Diremos que
n funciones ui : U −→ R son un sistema de coordenadas locales de clase
k en x ∈ U si F = (ui ) : U −→ Rn es un difeomorfismo local de clase k
en x.

21. 1.1. Conceptos b´sicos
a 5
Nota 1.5 Observemos que si u1 , . . . , un ∈ C k (U ) son un sistema de coor-
denadas, entonces para F = (ui ) : U −→ Rn y F (U ) = V abierto de Rn
tenemos que, para cada g ∈ C k (V ),
g ◦ F = g(u1 , . . . , un ) = f ∈ C k (U ),
ıprocamente toda funci´n f ∈ C k (U ) es de esta forma.
y rec´ o
Si E es de dimensi´n 1, x es la coordenada lineal correspondiente
o
al vector e ∈ E y escribimos f en t´rminos de la coordenada lineal x,
e
f = g(x), entonces
df f (p + te) − f (p) g[x(p) + t] − g[x(p)]
(p) = lim = lim = g [x(p)],
dx t→0 t t→0 t
es decir que si f = g(x) entonces df /dx = g (x).
Teorema de la funci´n inversa 1.6 Sea F : U ⊂ E1 −→ E2 de clase k
o
en U . Entonces F es un difeomorfismo local de clase k en x ∈ U si y
s´lo si existen sistemas de coordenadas lineales xi en E1 e yi en E2 , tales
o
que para Fi = yi ◦ F
∂Fi
det (x) = 0.
∂xj
Teorema de la funci´n impl´
o ıcita 1.7 Sean F : U ⊂ E1 × E2 −→ E1 de
clase k, (x0 , t0 ) ∈ U tal que F (x0 , t0 ) = 0 y para un sistema de coorde-
nadas lineales xi en E1 , el determinante de orden n
∂Fi
det (x0 , t0 ) = 0,
∂xj
entonces existe un entorno V de t0 en E2 y una unica funci´n g : V −→
´ o
E1 de clase k, tal que g(t0 ) = x0 y para todo t ∈ V
F [g(t), t] = 0.

22. 6 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
1.2 El haz de funciones diferenciables
Hemos dicho que los C k (U ) tiene una estructura natural de R-´lgebra, es
a
decir tienen suma, producto, y contienen a R en la forma de las funciones
constantes. Pero adem´s, si consideramos la familia de todos los C k (U )
a
cuando U recorre todos los abiertos de E, se tiene que la aplicaci´n
o
U (abierto) −−→ C k (U ) (anillo),
es un haz de anillos, es decir satisface las propiedades:
a) Si U ⊂ V son abiertos de E, entonces
f ∈ C k (V ) ⇒ f (= f|U ) ∈ C k (U ).
b) Dado un abierto U de E y un recubrimiento suyo por abiertos Ui ,
se tiene que si f : U −→ R es tal que f ∈ C k (Ui ) para cada i, entonces
f ∈ C k (U ).
Otra importante propiedad, que veremos en esta lecci´n, nos dice que
o
cada funci´n de C k (U ) coincide, en un entorno de cada uno de los puntos
o
de U , con una funci´n de clase k en todo E, que adem´s se anula fuera
o a
de U si queremos. De esto se sigue que para conocer las funciones de
clase k en un abierto de E, nos basta con conocer las funciones de clase
k en E. Esto podr´ parecer obvio en una ingenua primera observaci´n,
ıa o
pues cabr´ pensar que las funciones de clase k en un abierto U son
ıa
simplemente las restricciones a ese abierto de las de clase k en E. Pero
esto no es cierto —consid´rese la funci´n 1/x en el abierto (0, ∞) ⊂ R—.
e o
Por tanto hay mas funciones de clase k en ese abierto U que las obtenidas
por restricci´n, y hay un medio muy simple de obtenerlas todas. Veremos
o
que son los cocientes de funciones de clase k de E, cuyos denominadores
no se anulen en U . Observemos que el ejemplo anterior es de esta forma.
Veamos antes la existencia de funciones “bad´n”en Rn .
e
Proposici´n 1.8 Sean C un cerrado y K un compacto de E disjuntos.
o
Entonces existe h ∈ C ∞ (E) tal que Im(h) = [0, 1], h(K) = 1 y h(C) = 0.
Demostraci´n. Eligiendo un sistema de coordenadas xi en E, basta
o
hacer la demostraci´n en Rn , donde consideraremos la norma inducida
o
por el producto escalar < a, b >= ai bi , para a = (ai ) y b = (bi ).

23. 1.2. El haz de funciones diferenciables 7
Consideremos la funci´n de C ∞ (R)
o
e−1/t si t ≥ 0,
e(t) =
0 si t < 0.
Veremos en primer lugar que da-
do r > 0 y a ∈ Rn se puede cons-
truir una g ∈ C ∞ (Rn ), positiva en Figura 1.1. Gr´fica de e
a
B(a, r) = {x : x − a < r}, que val-
ga 1 en B[a, r/2] = {x : x − a ≤
r/2}, y 0 fuera de B(a, r). Sea
e(r2 − x − a 2 )
g(x) = ,
e(r2 − x − a 2 ) + e( x − a 2 −(r/2)2 )
y tomemos
r = d(C, K) = inf{ x − y : x ∈ C, y ∈ K},
entonces existen, por la compacidad de K, a1 , . . . , ak ∈ K tales que
k
n
B(ai , r) ⊂ R − C , K⊂ B(ai , r/2).
i=1
Ahora para cada ai , construimos las funciones gi del principio, y
definimos
k
h(x) = 1 − [1 − gi (x)],
i=1
tal funci´n es la buscada.
o
Corolario 1.9 Sea f ∈ C k (U ), con U abierto de E y sea a ∈ U . Entonces
existe un abierto V , con a ∈ V ⊂ U y F ∈ C k (E), tales que F = f en V
y
sop(F ) = Adh{F = 0} ⊂ U.
Demostraci´n. Elijamos V y W abiertos tales que
o
a ∈ V ⊂ Adh(V ) ⊂ W ⊂ Adh(W ) ⊂ U,
con Adh(V ) = K compacto. Apliquemos ahora (1.8) a K y C = E − W
y definamos F = f h.

24. 8 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Es f´cil ver que para todo abierto U de E existe una colecci´n nume-
a o
rable de compactos Kn cuyos interiores son no vac´ y recubren U . Si
ıos
E = Rn basta considerar para cada punto x ∈ U de coordenadas racio-
nales, la bola abierta m´xima centrada en x dentro de U y elegir la bola
a
cerrada de radio la mitad si es finita —si el radio es infinito entonces
U = E, en cuyo caso basta considerar Kn = B[0, n]—. Adem´s estos a
compactos podemos considerarlos encajados, es decir tales que
Kn ⊂ Kn+1 ,
sin mas que considerar
K 1 , K1 ∪ K 2 , K1 ∪ K 2 ∪ K 3 , . . .
Para E espacio vectorial finito dimensional, basta elegir una base y
repetir el argumento de la forma obvia.
En estos t´rminos damos las siguientes definiciones.
e
Definici´n. Para cada m ∈ N definimos la seminorma pm en C ∞ (U ) de
o
la forma,
pm (f ) = sup{| Da f (x) |: x ∈ Km , | a |≤ m},
y en C r (U ), para r ≥ 0,
pm (f ) = sup{| Da f (x) |: x ∈ Km , | a |≤ r}.
Decimos que una sucesi´n fn ∈ C k (U ), donde k = 0, 1, . . . , ∞, es de
o
Cauchy respecto de pm si para cada > 0 existe N ∈ N tal que
pm (fN +n − fN ) < ,
para todo n ∈ N.
Decimos que una sucesi´n fn ∈ C k (U ) tiene l´
o ımite si existe f ∈ C k (U )
tal que para toda m ∈ N
lim pm (fn − f ) = 0.
n→∞
Obviamente si el l´ımite existe es unico, pues para m = 0 vemos que
´
tiene que ser el l´
ımite puntual de las fn .
Observemos que las pm est´n ordenadas,
a
pm ≤ pm+1 ,

25. 1.2. El haz de funciones diferenciables 9
y que podemos definir el sistema fundamental de entornos convexos del
0 ∈ C k (U )
Bm = {f ∈ C k (U ) : pm (f ) ≤ 1/m}
y que estos definen una topolog´ en C k (U ) ¡independiente de los Kn
ıa
elegidos!.
Teorema 1.10 Si la sucesi´n fn ∈ C k (U ) es de Cauchy para toda pm ,
o
ımite, f = lim fn ∈ C k (U ), que para cualquier base {ei }
entonces tiene l´
de E y cada a ∈ Nn , con | a |≤ k, verifica
Da (lim fn ) = lim(Da fn ).
Adem´s dada f ∈ C k (U ) existe una sucesi´n de polinomios gn de E
a o
tales que restringidos a U, lim gn = f .
Demostraci´n. Veremos el caso k = ∞ para E = Rn , los dem´s se
o a
siguen haciendo las oportunas modificaciones.
En primer lugar veamos que para todo a ∈ Nn , existe el l´
ımite puntual
ga (x) = lim(Da fk (x)),
y que ga es una funci´n continua en Rn .
o
Sea m ≥ |a|, entonces en el compacto Km se tiene
(1.1) | Da fN +k − Da fN |≤ pm [fN +k − fN ]
de donde se sigue que Da fk converge uniformemente en cada compacto
Km , para m ≥ |a|, a una funci´n continua ga . En particular para a =
o
(0, . . . , 0), tendremos que
f (x) = lim fk (x),
es una funci´n continua.
o
Veamos por inducci´n en |a|, que Da f = ga .
o
Para |a| = 0 es obvio. Supongamos entonces que |a| ≥ 1 y que
a1 ≥ 1, donde a = (a1 , . . . , an ). Entonces, por la hip´tesis de inducci´n,
o o
tendremos que Db f = gb para b = (a1 − 1, a2 , . . . , an ). Y como
∂
Da = ◦ Db ,
∂x1
bastar´ demostrar que
a
∂gb
= ga .
∂x1

26. 10 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Sean (t1 , . . . , tn ) ∈ U , t ∈ R y m ∈ N, tal que para λ ∈ [0, 1] se tenga
(λt1 + (1 − λ)t, t2 , . . . , tn ) ∈ Km ,
entonces
t t
Da fk (x, t2 , . . . , tn )dx → ga (x, t2 , . . . , tn )dx.
t1 t1
Ahora bien
t
Da fk (x, t2 , . . . , tn )dx = Db fk (t, t2 , . . . , tn ) − Db fk (t1 , . . . , tn ),
t1
por tanto haciendo k → ∞, tendremos que
t
ga (x, t2 , . . . , tn )dx = gb (t, t2 , . . . , tn ) − gb (t1 , . . . , tn ),
t1
lo cual implica que ∂gb /∂x1 = ga .
Tenemos entonces que para cada a ∈ Nn ,
Da fk → Da f,
uniformemente en cada compacto Km , para m ≥| a |. De aqu´ se sigue
ı
que
pm (fk − f ) → 0,
y f = lim fk . Pero adem´s pm (Da fk − Da f ) → 0 por tanto
a
Da f = lim(Da fk ).
Veamos ahora que los polinomios son densos.
Dada f ∈ C ∞ (U ) y N ∈ N tendremos, por el Teorema de Weierstrass,
que para a = (N, . . . , N ) ∈ Nn existe una sucesi´n de polinomios que
o
convergen uniformemente a Da f en KN . Integrando —y aplicando de
nuevo Weierstrass para elegir convenientemente la primitiva— tendremos
que existe una sucesi´n de polinomios rN,n tales que para toda b = (bi ) ∈
o
Nn , con bi ≤ N , las sucesiones Db rN,n convergen uniformemente en KN
a Db f . Ahora elegimos gN como cualquier polinomio rN,n , tal que para
toda b, con bi ≤ N
1
| Db rN,n − Db f |≤ ,
N

27. 1.2. El haz de funciones diferenciables 11
en KN . Esta sucesi´n de polinomios gN satisface lim gN = f , pues para
o
j ≤ N , Kj ⊂ KN y como bi ≤ Σbi =| b |, se tiene
(1.2) pj (gN − f ) ≤ sup{| Db gN − Db f |: x ∈ Kj , | b |≤ j}
1
≤ sup{| Db gN − Db f |: x ∈ KN , bi ≤ N } ≤ .
N
Ejercicio 1.2.1 Demostrar que con esta topolog´ la suma y el producto de
ıa
C k (U ) son operaciones continuas.
El teorema anterior se expresa diciendo:
Teorema 1.11 Las pm definen en C k (U ) una topolog´ localmente con-
ıa
vexa, respecto de la que dicho espacio es completo y los polinomios son
densos.
Teorema 1.12 Para cada abierto U de E y para k = 0, 1, . . . , ∞, se tiene
que
g
C k (U ) = { : g, h ∈ C k (E), h = 0 en U }.
h |U
Demostraci´n. Sea {Bn : n ∈ N} un recubrimiento de U formado
o
por bolas abiertas cuyas adherencias est´n en U . Y consideremos para
e
cada n ∈ N una funci´n gn ∈ C ∞ (E) —como la definida en (1.8)—,
o
positiva en Bn y nula en su complementario.
Sea f ∈ C k (U ) y definamos las funciones de E en R
f gn gn
g= 2−n , h= 2−n ,
1 + rn + sn 1 + rn + sn
donde rn = pn (f gn ) y sn = pn (gn ). Basta demostrar entonces que
g, h ∈ C k (E), lo cual es evidente por el teorema anterior, dado que ambas
series son de Cauchy para toda pm . Por ultimo es obvio que h = 0 en U
´
y que para cada x ∈ U , g(x) = h(x)f (x), es decir que g = hf .
Nota 1.13 Observemos que en el resultado anterior hemos probado que
todo cerrado de E es de la forma
{x ∈ E : h(x) = 0},
para una h ∈ C ∞ (E).

28. 12 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Definici´n. Podemos decir en base a estos resultados que la estructura
o
C k –diferenciable de E, que est´ definida por todas las R–´lgebras C k (U ),
a a
cuando U recorre los abiertos de E, queda determinada exclusivamente
por C k (E) y los abiertos de E. Y podemos entender la variedad C k –
diferenciable E, como el par formado por el espacio topol´gico E y por
o
C k (E).
1.3 Espacio Tangente. Fibrado Tangente
A lo largo de la lecci´n E ´ E1 ser´n espacios vectoriales reales de dimen-
o o a
si´n n y E2 de dimensi´n m.
o o
En la lecci´n 1 hemos visto que cada vector v ∈ E define en cada
o
punto p ∈ E una derivada direccional vp de la forma siguiente
f (p + tv) − f (p)
vp : C ∞ (E) −−→ R, vp (f ) = lim ,
t→0 t
Es f´cil demostrar que vp es lineal, se anula en las constantes y satis-
a
face la regla de Leibnitz del producto. Esto nos induce a dar la siguiente
definici´n.
o
Definici´n. Llamaremos vector tangente en un punto p ∈ E, a toda
o
derivaci´n
o
Dp : C ∞ (E) −−→ R,
es decir a toda funci´n que verifique las siguientes propiedades:
o
a) Linealidad.- Dp (tf + sg) = tDp f + sDp g.
b) Anulaci´n constantes.- Dp t = 0.
o
c) Regla de Leibnitz en p.- Dp (f g) = f (p)Dp g + g(p)Dp f ,
para cualesquiera t, s ∈ R y f, g ∈ C ∞ (E).
Este concepto nos permite definir, en cada punto p ∈ E, un espacio
vectorial real, utilizando para ello exclusivamente la estructura diferen-
ciable de E.

29. 1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 13
Definici´n. Llamaremos espacio tangente a E en p, al espacio vectorial
o
real Tp (E) de las derivaciones en p, con las operaciones
(Dp + Ep )f = Dp f + Ep f
(tDp )f = t(Dp f ),
para Dp , Ep ∈ Tp (E), f ∈ C ∞ (E) y t ∈ R.
Definici´n. Dado un sistema de coordenadas lineales xi , correspondiente
o
a una base {ei } en E, consideramos para cada p ∈ E e i = 1, . . . , n, los
elementos de Tp (E)
∂ ∂ f (p + tei ) − f (p)
: C ∞ (E) −−→ R, f = lim .
∂xi p ∂xi p
t→0 t
Si no hay confusi´n usaremos la notaci´n ∂ip = (∂/∂xi )p .
o o
F´rmula de Taylor 1.14 Sea U ⊂ E un abierto convexo, a ∈ U y xi ∈
o
C ∞ (U ) un sistema de coordenadas lineales. Entonces:
a) ma = {f ∈ C ∞ (U ) : f (a) = 0} es un ideal maximal real generado
por x1 − a1 , . . . , xn − an , donde ai = xi (a).
b) Dada f ∈ C ∞ (U ), existen h1 , . . . , hn ∈ C ∞ (U ) tales que
n
f = f (a) + hi (xi − ai ).
i=1
Demostraci´n. (a) Consideremos el morfismo de R–´lgebras
o a
H : C ∞ (U ) −−→ R , H(f ) = f (a),
para el que ker H = ma e Im H = R, por tanto C ∞ (U )/ma R.
Dadas f1 , . . . , fn ∈ C ∞ (U ) es obvio que fi (xi −ai ) ∈ ma y tenemos
una inclusi´n, veamos la otra, que ma ⊂ (x1 − a1 , . . . , xn − an ). Para
o
ello sea f (x1 , . . . , xn ) ∈ ma , x ∈ U y definamos la funci´n diferenciable
o
g : [0, 1] −−→ R , g(t) = f [tx + (1 − t)a].

30. 14 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Ahora por la regla de la cadena
1
f (x) = g(1) − g(0) = g (t)dt
0
1 n
∂f
= [tx + (1 − t)a] (xi − ai ) dt
0 i=1
∂xi
n
= hi (x)(xi − ai ),
i=1
donde
1
∂f
hi (x) = [tx + (1 − t)a] dt ∈ C ∞ (U ).
0 ∂xi
Proposici´n 1.15 Las derivaciones (∂/∂xi )a definidas anteriormente son
o
base de Ta (E).
Demostraci´n. Que son independientes es una simple consecuencia
o
de que ∂xi /∂xj = δij . Veamos que son generadores, para ello sea Da ∈
Ta (E) y f ∈ C ∞ (E), entonces f − f (a) ∈ ma y por (1.14)
n
f = f (a) + hi (xi − ai ),
i=1
donde a = (ai ). Se sigue que
n
∂ ∂xi
f = hi (a) (a) = hj (a),
∂xj a
i=1
∂xj
n n
Da f = hi (a)Da xi = [Da xi ]∂ia f,
i=1 i=1
es decir Da = [Da xi ]∂ia .
Nota 1.16 Observemos que al ser E un espacio vectorial tenemos una
identificaci´n can´nica entre todos los espacios tangentes, pues todos son
o o
isomorfos a E de la siguiente forma, para cada a ∈ E
E −−→ Ta (E) , v va ,
siendo va f la derivada direccional de f relativa a v en a.

31. 1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 15
Adem´s si elegimos un sistema de coordenadas lineales xi en E,
a
correspondientes a la base ei , tendremos que en t´rminos de las bases ei
e
y ∂ia la aplicaci´n anterior se representa por la matriz identidad, pues
o
para cada i,
E −−→ Ta (E) , ei ∂ia .
Nota 1.17 El espacio vectorial Ta (E) pod´
ıamos haberlo definido como
el espacio vectorial de las derivaciones
(1.3) Da : C ∞ (U ) −−→ R,
con la regla de Leibnitz en a, siendo U un abierto entorno de a. Pues
dada una derivaci´n del tipo (1.3), tendremos por restricci´n a U una
o o
derivaci´n de Ta (E). Y rec´
o ıprocamente dada una derivaci´n de Ta (E),
o
como es de la forma ti ∂ia —fijado un sistema de coordenadas lineales
xi —, define una unica derivaci´n del tipo (1.3).
´ o
Es f´cil probar que ambas transformaciones son lineales e inversas,
a
es decir que es un isomorfismo. Para verlo basta usar (1.9) y que Da f
no cambia si cambiamos F fuera de un entorno de a.
Por otra parte, para r ≥ 1, toda derivaci´n con la regla de Leibnitz
o
en a
(1.4) Da : C r (U ) −−→ R,
define una derivaci´n de Ta (E), pues C ∞ (U ) ⊂ C r (U ). Y rec´
o ıprocamente,
toda derivaci´n (1.3) puede extenderse a una (1.4), y esto puede hacerse
o
pues seg´n vimos antes, toda derivaci´n (1.3) es de la forma
u o ti ∂ia que
est´ definido en las funciones de clase 1.
a
Sin embargo estas dos transformaciones no son inversas, pues en el se-
gundo caso no extendemos de modo unico. Es decir que las derivaciones
´
de C r (U ) en el punto a forman un espacio vectorial con demasiados ele-
mentos. Pero si s´lo consideramos las continuas respecto de la topolog´
o ıa
definida en (1.10), tendremos un espacio isomorfo a Ta (E).
Para r = ∞ tenemos la suerte de que toda derivaci´n es autom´ti-
o a
camente continua respecto de la topolog´ de (1.10), pues es de la forma
ıa
ti ∂ia y estas se extienden a una derivaci´n Da en C r (E) de forma
o
continua de un unico modo, a saber
´ ti ∂ia , pues los polinomios son
densos y sobre ellos Da = ti ∂ia .
Finalicemos analizando si existir´n derivaciones en a ∈ E sobre las
a
funciones continuas
Da : C(E) −−→ R.

32. 16 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
La contestaci´n es que no, pues si f ∈ C(E) y f (a) = 0 —en ca-
o
ıamos f − f (a)—, tendremos que existen funciones
so contrario pondr´
continuas
g= max(f, 0), h= max(−f, 0) ∈ C(E),
tales que f = g 2 − h2 y g(a) = h(a) = 0. Por tanto
Da f = 2[g(a)Da g − h(a)Da h] = 0.
Definici´n. Sean U ⊂ E1 , V ⊂ E2 abiertos y F : U −→ V de clase 1.
o
Llamaremos aplicaci´n lineal tangente de F en x ∈ U a la aplicaci´n
o o
F∗ : Tx (E1 ) −−→ TF (x) (E2 ),
tal que para cada Dx ∈ Tx (E1 ), F∗ (Dx ) = Dx ◦ F ∗ , es decir que para
cada f ∈ C ∞ (V ) se satisface
[F∗ Dx ]f = Dx (f ◦ F ).
Ejercicio 1.3.1 Demostrar las siguientes propiedades de la aplicaci´n lineal
o
tangente:
a) Si V = U y F = id, entonces para cada x ∈ E, F∗ = id.
b) Regla de la cadena.- Si F : U −→ V y G : V −→ W son diferenciables,
siendoU ⊂ E1 , V ⊂ E2 y W ⊂ E3 abiertos, entonces
(G ◦ F )∗ = G∗ ◦ F∗ .
c) Elegir sistemas de coordenadas lineales en cada espacio vectorial Ei y
escribir la igualdad anterior en la forma matricial asociada.
Teorema de la funci´n inversa 1.18 Una aplicaci´n F : U ⊂ E1 −→ E2 ,
o o
de clase k es un difeomorfismo local de clase k en un punto x ∈ U si y
s´lo si F∗ : Tx (E1 ) −→ TF (x) (E2 ) es un isomorfismo en x.
o
Demostraci´n. Es consecuencia de (1.6) y de la expresi´n matricial
o o
de F∗ .
Definici´n. Llamaremos fibrado tangente del abierto U de E, a la uni´n
o o
T (U ) de todos los espacios Ta (E), para a ∈ U , con la estructura to-
pol´gica y diferenciable definida por la siguiente biyecci´n can´nica
o o o
T (U ) −−→ U × E, va (a, v),

33. 1.4. Campos tangentes 17
donde va ∈ Ta (E) es la derivada direccional en a relativa al vector v ∈ E.
Llamaremos aplicaci´n proyecci´n can´nica en U a la aplicaci´n
o o o o
π : T (U ) −−→ U , π(vp ) = p,
si vp ∈ Tp (E).
1.4 Campos tangentes
1.4.1 Campos tangentes
Definici´n. Por un campo de vectores en un abierto U de un espacio
o
vectorial E entenderemos una aplicaci´n
o
F : U −−→ E.
Diremos que el campo es de clase k si F es de clase k.
La interpretaci´n de una aplica-
o
ci´n F como un campo de vecto-
o
res queda patente en la figura (1.2),
donde hemos representado en cada
punto (x, y) del plano real el vector
F (x, y) = (cos xy, sen (x − y)). Aun-
que esta definici´n es muy visual y
o
sugerente, tiene el problema de no
ser muy manejable y la desventaja de
Figura 1.2. Campo de vectores
necesitar la estructura vectorial de E
para que tenga sentido. Por ello recordando que un vector v = F (p) ∈ E
en un punto p ∈ U define una derivaci´n vp ∈ Tp (E), damos la siguiente
o
definici´n equivalente, aunque s´lo como justificaci´n para una posterior
o o o
definici´n mejor.
o
Definici´n. Llamaremos campo de vectores tangentes , de clase k, en
o
U , a un conjunto de vectores
{Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U },

34. 18 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
que satisfacen la siguiente condici´n:
o
Para cada f ∈ C ∞ (U ), la funci´n
o
p ∈ U −−→ Dp f ∈ R,
est´ en C k (U ).
a
Observemos que dar un campo de vectores tangentes {Dp }p∈U es
equivalente a dar una secci´n de π : T (U ) −→ U
o
σ : U −−→ T (U ), σ(p) = Dp .
Ejercicio 1.4.1 a) Demostrar que existe una biyecci´n entre campos de vec-
o
tores F : U −→ E de clase k y campos de vectores tangentes {Dp ∈ Tp (E) :
p ∈ U } de clase k, que verifica:
i) Si a F le corresponde {Dp } y a G {Ep }, entonces a F + G le corresponde
{Dp + Ep }.
ii) Si a F le corresponde {Dp } y f ∈ C k (U ), entonces a f F le corresponde
{f (p)Dp }.
b) Demostrar que {Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U } es un campo de vectores tangentes
de clase k si y s´lo si la aplicaci´n σ : U −→ T (U ), σ(p) = Dp es una secci´n
o o o
de π, de clase k.
Definici´n. Llamaremos campo tangente de clase k en el abierto U de
o
E a toda derivaci´n
o
D : C ∞ (U ) −−→ C k (U ),
es decir toda aplicaci´n que verifique las siguientes condiciones:
o
1.- D(tf + rg) = tDf + rDg,
2.- Dt = 0,
3.- Regla de Leibnitz: D(f g) = f (Dg) + g(Df ),
para f, g ∈ C ∞ (U ) y t, r ∈ R.
Definici´n. Dado un campo tangente D de clase k, llamaremos integral
o
primera de D a toda funci´n f ∈ C k+1 (U ) tal que
o
Df = 0.
Nota 1.19 Denotaremos con Dk (U ) el conjunto de los campos tangentes
a U de clase k, y por comodidad para k = ∞ escribiremos D(U ) =
D∞ (U ). Observemos que tenemos las inclusiones
D(U ) ⊂ Dk (U ) ⊂ D0 (U ),

35. 1.4. Campos tangentes 19
por lo que a menudo hablaremos de los campos continuos, por ser los mas
generales. No obstante en el siguiente tema introduciremos los campos
localmente lipchicianos, que denotaremos con DL (U ) y que est´n entre
a
los de clase 1 y los continuos y que ser´n los que consideremos para
a
estudiar el problema de unicidad de soluci´n de una ecuaci´n diferencial.
o o
En Dk (U ) definimos la suma de dos campos D, E ∈ Dk (U ) y el
producto de una funci´n g ∈ C k (U ) por un campo D, de la forma,
o
(D + E)f = Df + Ef,
(gD)f = g(Df ),
para toda f ∈ C ∞ (U ). Tales operaciones dotan a Dk (U ) de una estruc-
tura de m´dulo y sobre la R–´lgebra C k (U ), pues se tienen las siguientes
o a
propiedades,
f (D + E) = f D + f E,
(f + g)D = f D + gD,
(f g)D = f (gD),
1D = D.
y para cada k, Dk (U ) forman un haz de m´dulos.
o
A continuaci´n veremos que dar un campo tangente de clase k en U
o
consiste en elegir de forma diferenciable (de clase k), un vector tangente
en cada punto de U .
Proposici´n 1.20 Existe una biyecci´n entre campos tangentes de clase
o o
k y campos de vectores tangentes de clase k, para la que se tiene:
a) Si D, E ∈ Dk (U ) y p ∈ U , entonces (D + E)p = Dp + Ep .
b) Si f ∈ C k (U ), entonces (f D)p = f (p)Dp .
Demostraci´n. Dada la D definimos los Dp de la forma.
o
Dp f = Df (p).
Rec´ ıprocamente dado un vector Dp ∈ Tp (E), en cada p ∈ U , defini-
mos el campo tangente D ∈ Dk (U ) de la forma
Df (p) = Dp f.

36. 20 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E, es f´cil demostrar
a
que los operadores diferenciales
∂
: C ∞ (U ) −−→ C ∞ (U ),
∂xi
∂f f (p + tei ) − f (p)
(p) = lim ,
∂xi t→0 t
para cada p ∈ U y cada f ∈ C ∞ (U ), son derivaciones ∂/∂xi ∈ D(U ).
Si no hay confusi´n usaremos la notaci´n ∂i = ∂/∂xi .
o o
A continuaci´n veremos que Dk (U ) es un m´dulo libre sobre C k (U )
o o
con base las ∂i .
Teorema 1.21 Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E y D ∈
Dk (U ), existen unicas funciones fi ∈ C k (U ) tales que
´
n
∂
D= fi ,
i=1
∂xi
Demostraci´n.- Que la expresi´n es unica es inmediato aplic´n-
o o ´ a
dosela a las xi . Para ver que existe basta demostrar que D = (Dxi )∂i ,
pues Dxi ∈ C k (U ). Lo cual es una consecuencia inmediata de (1.15) y
(1.20).
Definici´n. Dados U ⊂ W abiertos de E y D ∈ Dk (W ), definimos la
o
restricci´n del campo D a U como el campo de D(U ), correspondiente
o
por (1.20) a
{Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U },
o equivalentemente por el ejercicio (1.2.1), a la restricci´n a U de la
o
aplicaci´n de clase k, F : W → E, correspondiente a D.
o
Es f´cil demostrar que si xi es un sistema de coordenadas lineales en
a
E, entonces la restricci´n del campo
o
n
∂
D= Dxi ,
i=1
∂xi
a U es la derivaci´n
o
n
∂
fi ,
i=1
∂xi
para fi = Dxi|U , la restricci´n a U de Dxi .
o

37. 1.4. Campos tangentes 21
Nota 1.22 Obs´rvese que toda derivaci´n de Dk (U ) es autom´ticamente
e o a
continua, por (1.21), respecto de la topolog´ definida en (1.10).
ıa
Obs´rvese tambi´n que toda derivaci´n
e e o
D : C k+1 (U ) −−→ C k (U ),
define una derivaci´n de Dk (U ), pues C ∞ (U ) ⊂ C k+1 (U ), es decir del
o
tipo fi ∂i —dado un sistema de coordenadas lineales xi —, con las fi
de clase k. Rec´ ıprocamente toda derivaci´no fi ∂i ∈ Dk (U ), con las
fi ∈ C ∞ (U ), se extiende —no de un unico modo—, a una derivaci´n
´ o
del tipo (1.22). Ahora bien si exigimos que la extensi´n sea continua —
o
respecto de la topolog´ definida en (1.10)—, tendremos que s´ es unica
ıa ı ´
y es fi ∂i . Demu´strese eso como ejercicio.
e
Definici´n. Dada F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1 de clase k + 1, y dos campos
o
tangentes D ∈ Dk (V ) y E ∈ Dk (U ) diremos que F lleva D a E, si para
cada x ∈ V
F∗ Dx = EF (x) .
Figura 1.3. F lleva el campo D al campo E
Si E1 = E2 , U ∪ V ⊂ W abierto y D ∈ Dk (W ) diremos que F deja
invariante a D si F lleva D en D, es decir si para cada x ∈ V
F∗ Dx = DF (x) .
Proposici´n 1.23 Sea F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 , de clase k + 1, D ∈ Dk (U )
o
y E ∈ Dk (V ). Entonces son equivalentes:
i) F lleva D en E.
ii) F∗ D = F ∗ E.
iii) D ◦ F ∗ = F ∗ ◦ E.
Demostraci´n. H´gase como ejercicio.
o a

38. 22 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
1.4.2 Campo tangente a soporte.
Consideremos una aplicaci´n de clase infinito
o
F : V ⊂ E2 −−→ U ⊂ E1 .
Definici´n. Llamaremos campo tangente a U con soporte en V relativo
o
a F , de clase k, a las derivaciones
DF : C ∞ (U ) −−→ C k (V ),
con la regla de Leibnitz
DF (f g) = DF f · F ∗ g + F ∗ f · DF g.
Denotaremos con Dk (U ) el C k (V )–m´dulo de estos campos con las
F
o
operaciones
(DF + E F )f = DF f + E F f, (g · DF )f = g · DF f.
Nota 1.24 Si F es de clase r, podemos definir los campos a soporte de
clase k ≤ r como las derivaciones
DF : C ∞ (U ) → C k (V ).
Definici´n. Dada la aplicaci´n F de clase ∞, definimos los morfismos
o o
de m´dulos
o
F∗ : D(V ) −−→ DF (U ) , (F∗ D)f = D(F ∗ f ),
F ∗ : D(U ) −−→ DF (U ) , (F ∗ D)f = F ∗ (Df ),
Nota 1.25 Lo mismo si F es de clase k+1 considerando todos los campos
de clase r ≤ k.
Ejercicio 1.4.2 Demostrar que entre los conjuntos de vectores
F
{Dp ∈ TF (p) (E1 ) : p ∈ V },
con la propiedad de que para cada f ∈ C ∞ (U ), la funci´n
o
F
p ∈ V −−→ Dp f ∈ R,
est´ en C ∞ (V ) y el espacio DF (U ), existe una biyecci´n verificando las siguien-
a o
tes condiciones:

39. 1.4. Campos tangentes 23
i) Si DF , E F ∈ DF (U ), entonces para cada p ∈ V
(DF + E F )p = Dp + Ep .
F F
ii) Si f ∈ C ∞ (V ), entonces para cada p ∈ V
(f · DF )p = f (p) · Dp .
F
Ejercicio 1.4.3 Sea F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1 , diferenciable. Demostrar que
i) Para cada D ∈ D(V ) y p ∈ V
(F∗ D)p = F∗ Dp .
ii) Para cada campo D ∈ D(U ) y p ∈ V
[F ∗ D]p = DF (p) ,
y que DF (U ) es un m´dulo libre con base
o
∂
F∗ ,
∂xi
para cada sistema de coordenadas lineales xi en U .
F
iii) Que {Dp ∈ TF (p) (E1 ) : p ∈ V }, satisface las condiciones de (a) —y
por tanto define un campo a soporte DF ∈ DF (U )— si y s´lo si
o
F
σ : V −−→ T (U ) , σ(p) = Dp ,
es una aplicaci´n de clase ∞, tal que π ◦ σ = F .
o
1.4.3 Campo a soporte universal.
Consideremos en E un sistema de coordenadas lineales xi y en U × E las
coordenadas (xi , zi ) naturales, es decir
xi (p, v) = xi (p) , zi (p, v) = xi (v),
ahora pas´moslas a T (U ) por la biyecci´n
e o
T (U ) → U × E, xi (vp ) = xi (p),
vp → (p, v), zi (vp ) = xi (v) = vp xi ,
Es decir que vp ∈ T (U ) tiene coordenadas (p1 , . . . , pn , v1 , . . . , vn ) si
y s´lo si p = π(vp ) tiene coordenadas (p1 , . . . , pn ) y
o
n
∂
vp = vi
i=1
∂xi p

40. 24 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Definici´n. Llamaremos campo a soporte universal en U al campo tan-
o
gente a U con soporte en T (U ), E ∈ Dπ (U ), que por el ejercicio (1.4.3)
queda determinado por la aplicaci´n identidad
o
σ : T (U ) −−→ T (U ) , σ(Dp ) = Dp ,
es decir que para cada v ∈ T (U ) verifica
Ev = v.
Adem´s en las coordenadas (xi , zi ) de T (U ), vemos por el ejercicio
a
(1.4.3), que
n
∂
E= zi · π ∗ ,
i=1
∂xi
pues para cada Dp ∈ T (U )
Exi (Dp ) = Dp (xi ) = zi (Dp ).
1.5 Espacio cotangente. La diferencial
∗
Definici´n. Para cada x ∈ E denotaremos con Tx (E) el espacio vectorial
o
dual de Tx (E), es decir el espacio vectorial real de las formas R–lineales
(´ 1–formas)
o
ωx : Tx (E) −−→ R,
al que llamaremos espacio cotangente de E en x y vectores cotangentes a
sus elementos.
Definici´n. Dada F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 de clase 1 y dados x ∈ U e
o
y = F (x), llamaremos aplicaci´n lineal cotangente de F en x a
o
F ∗ : Ty (E2 ) −−→ Tx (E1 ),
la aplicaci´n dual de F∗ : Tx (E1 ) → Ty (E2 ). Es decir tal que
o
F ∗ (ωy ) = ωy ◦ F∗ .

41. 1.5. Espacio cotangente. La diferencial 25
Definici´n. Dado un punto x ∈ E, llamaremos diferencial en x, a la
o
aplicaci´n
o
∗
dx : C 1 (E) −−→ Tx (E),
tal que para cada f ∈ C 1 (E) y para cada Dx ∈ Tx (E)
dx f : Tx (E) −−→ R, dx f (Dx ) = Dx f.
A la 1–forma dx f la llamamos diferencial de f en x.
Ejercicio 1.5.1 Dada F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 , de clase 1, demostrar las siguien-
tes propiedades de F ∗ :
(a) Si U = V y F = id, entonces F ∗ = id.
(b) Si F : U → V y G : V → W , son de clase 1, con U ⊂ E1 , V ⊂ E2 y
W ⊂ E3 abiertos, entonces
(G ◦ F )∗ = F ∗ ◦ G∗ .
(c) Si F es un difeomorfismo, entonces F ∗ es un isomorfismo.
(d) Para x ∈ U e y = F (x), F ∗ ◦ dy = dx ◦ F ∗ .
Ejercicio 1.5.2 Demostrar que dx es una derivaci´n en x.
o
Hemos visto en (1.15), que para cada sistema de coordenadas li-
neales xi de E, las derivaciones (∂ix ) son base de Tx (E). Se sigue por
tanto de la definici´n de diferencial, que las dx x1 , . . . , dx xn son la base
o
∗
dual en Tx (E), puesto que
∂
dx xi = δij ,
∂xj x
adem´s el isomorfismo can´nico E −→ Tx (E), induce otro que es la
a o
restricci´n de dx a E ∗
o
E ∗ −−→ Tx (E) ,
∗
xi dx xi .
1.5.1 Interpretaci´n geom´trica de la diferencial.
o e
Veamos ahora el significado geom´trico de dx f , para cada x ∈ E y cada
e
f ∈ C 1 (E). Se tiene que
n
∂f
(1.5) dx f = (x) dx xi .
i=1
∂xi

42. 26 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
la cual corresponde por el isomorfismo anterior a la funci´n lineal
o
n
∂f
(x) xi ,
i=1
∂xi
cuya gr´fica es el hiperplano tangente a la gr´fica de f en el punto x.
a a
En particular en R tenemos que para f : R → R, dx f : Tx (R) → R
Figura 1.4. Gr´ficas de f y dx f en R
a
y en R2 , f : R2 → R, dx f : Tx (R2 ) → R,
Figura 1.5. Gr´ficas de f y dx f en R2
a
Ejercicio 1.5.3 Demostrar que para p ∈ U y dp f = 0, el hiperplano (ver
Fig.1.6)
H = {Dp ∈ Tp (E) : dp f (Dp ) = 0},
es tangente a la hipersuperficie S = {x : f (x) = f (p)}, en el sentido de que
coincide con el conjunto de vectores Dp ∈ Tp (E), para los que existe una curva
X : I → U tal que
∂
X(0) = p, X(t) ∈ S, X∗ = Dp .
∂t 0

43. 1.5. Espacio cotangente. La diferencial 27
Ejercicio 1.5.4 Dar la ecuaci´n del plano tangente al elipsoide
o
4x2 + y 2 + 5z 2 = 10,
en el punto (1, 1, 1).
Figura 1.6. Plano tangente a una superficie
1.5.2 Fibrado cotangente.
Igual que todos los espacios tangentes eran can´nicamente isomorfos al
o
espacio vectorial inicial E, tambi´n todos los espacios cotangentes son
e
can´nicamente isomorfos al dual E ∗ de E. Esto nos permite definir una
o
biyecci´n can´nica
o o
T ∗ (U ) −−→ U × E ∗ , ωp (p, w),
donde T ∗ (U ) es la uni´n disjunta de los espacios cotangentes de puntos
o
de U .
Definici´n. Sea U un abierto de E. Llamaremos fibrado cotangente de
o
U , al conjunto T ∗ (U ) uni´n de todos los espacios cotangentes Tx (E), para
o ∗
x ∈ U , dotado de la estructura diferenciable natural, correspondiente
por la biyecci´n anterior, a la de U × E ∗ , que es un abierto del espacio
o
vectorial de dimensi´n 2n, E × E ∗ .
o
Para cada ω ∈ T ∗ (U ) existir´ un unico x ∈ U tal que ω ∈ Tx (E),
a ´ ∗
podemos as´ definir la aplicaci´n proyecci´n
ı o o
π : T ∗ (U ) −−→ U,
tal que π(ω) = x. De tal modo que las fibras de cada x ∈ U son
π −1 (x) = Tx (E).
∗