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Microeconomía
Conceptos teóricos
y aplicaciones

MANUEL SALAS VELASCO
PROFESOR DOCTOR DEL DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA.
UNIVERSIDAD DE GRANADA
EDICIONES PIRÁMIDE
Microeconomía
Conceptos teóricos
y aplicaciones

COLECCIÓN «ECONOMÍA Y EMPRESA»
Director:
Miguel Santesmases Mestre
Catedrático de la Universidad de Alcalá
Maquetación: autores
Edición en versión digital
© Manuel Salas Velasco, 2018
© Primera edición electrónica publicada por Ediciones Pirámide (Grupo Anaya, S. A.), 2018
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Juan Ignacio Luca de Tena, 15. 28027 Madrid
Teléfono: 91 393 89 89
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ISBN digital: 978-84-368-3899-2
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© Ediciones Pirámide
Índice
7
Prólogo.................................................................................................................. 13
1. La teoría de la conducta del consumidor.............................................. 15
1.1. Introducción............................................................................................ 17
1.2. Preferencias y utilidad............................................................................. 19
1.2.1. Introducción................................................................................ 19
1.2.2. Preferencias del consumidor........................................................ 19
1.2.3. El espacio de consumo................................................................ 20
1.2.4. Eligiendo entre cestas de consumo.............................................. 20
1.2.5. Función de utilidad..................................................................... 20
1.2.6. Axiomas de elección.................................................................... 21
1.2.7. De las preferencias a la utilidad.................................................. 23
1.2.8. ¿Cómo medimos la utilidad? Dos enfoques de la utilidad.......... 23
1.3. El carácter cardinal de la función de utilidad......................................... 24
1.3.1. Teoría de la utilidad cardinal...................................................... 24
1.3.2. Maximizando la utilidad............................................................. 25
1.3.3. Función de utilidad total para el bien X reflejando saciedad (o
saturación)................................................................................... 25
1.3.4. El concepto de utilidad marginal................................................ 25
1.3.5. Utilidad total y marginal............................................................. 26
1.3.6. Considerando la forma continua de las funciones de utilidad
total y marginal........................................................................... 27
1.3.7. ¿Cómo toma el consumidor sus decisiones de consumo en el
caso de dos bienes?...................................................................... 28
1.3.8. Ley de la igualdad de las utilidades marginales ponderadas....... 29
1.3.9. Utilidad marginal y excedente del consumidor........................... 30
1.4. El carácter ordinal de la función de utilidad........................................... 33
1.4.1. Teoría de la utilidad ordinal........................................................ 33
1.4.2. Mapa de curvas de indiferencia................................................... 36
1.4.3. Funciones de utilidad y curvas de indiferencia........................... 36

Índice
8 © Ediciones Pirámide
1.4.4. Preferencias Cobb-Douglas......................................................... 36
1.4.5. Transformación monótona positiva............................................. 37
1.5. Restricción presupuestaria del consumidor............................................. 37
1.5.1. Representación de las restricciones económicas.......................... 37
1.5.2. Desplazamientos de la recta de balance...................................... 38
1.6. Equilibrio del consumidor....................................................................... 39
1.6.1. El problema de elección del consumidor..................................... 39
1.6.2. Maximización condicionada de la utilidad: tres métodos alter-
nativos......................................................................................... 40
1.6.3. La dualidad en el consumo: minimización del gasto.................. 49
1.7. Soluciones de esquina.............................................................................. 51
2. La teoría de la demanda............................................................................. 55
2.1. Introducción............................................................................................ 57
2.2. Variaciones de los precios y equilibrio del consumidor........................... 57
2.2.1. La curva precio-consumo............................................................ 57
2.2.2. Bienes sustitutivos....................................................................... 57
2.3. Variaciones de la renta y equilibrio del consumidor............................... 58
2.3.1. La curva renta-consumo.............................................................. 58
2.3.2. Derivación de la curva de Engel................................................. 58
2.3.3. Bienes normales e inferiores........................................................ 59
2.4. Funciones de demanda generalizadas...................................................... 59
2.5. Funciones de demanda marshallianas..................................................... 60
2.5.1. El álgebra del análisis marshalliano............................................ 60
2.5.2. Obtención formal de la función de demanda del consumidor.... 61
2.5.3. Derivación de la función de demanda de una única variable para
un individuo y cálculo de elasticidades....................................... 66
2.6. Funciones de demanda hicksianas........................................................... 70
2.7. Efecto-sustitución y efecto-renta............................................................. 74
2.8. La demanda de mercado......................................................................... 80
3. La teoría de la producción......................................................................... 87
3.1. Introducción............................................................................................ 89
3.2. La empresa y la producción.................................................................... 89
3.2.1. Introducción................................................................................ 89
3.2.2. El proceso productivo de la empresa........................................... 90
3.2.3. Simplificación: la producción con dos factores variables............ 91
3.2.4. Combinación de factores productivos: eficiencia técnica............ 92
3.2.5. Combinación óptima de factores................................................ 93
3.2.6. El tiempo y la variabilidad de los factores productivos.............. 93
3.3. La producción con un factor fijo y otro variable. Estudio del corto plazo.. 95
3.3.1. La función de producción a corto plazo..................................... 95
3.3.2. Producción de la empresa con un factor variable (trabajo) y un
factor fijo (capital)....................................................................... 95
3.3.3. La geometría del producto total, medio y marginal................... 96

Índice
9
3.3.4. Reconsideración de la función de producción a corto plazo...... 101
3.3.5. La elasticidad-producto del factor trabajo.................................. 102
3.3.6. La ley de los rendimientos marginales decrecientes.................... 104
3.3.7. Etapas o fases de la producción para el input variable trabajo... 105
3.4. La producción con dos factores variables. Estudio del largo plazo........ 105
3.4.1. La producción a largo plazo....................................................... 105
3.4.2. Procesos eficientes e ineficientes.................................................. 106
3.5. Tecnologías de producción...................................................................... 108
3.5.1. Ejemplos de tecnologías: función de producción Cobb-Douglas.. 108
3.5.2. Ejemplos de tecnologías: función de producción de proporcio-
nes fijas........................................................................................ 109
3.5.3. Ejemplos de tecnologías: función de producción lineal............... 110
3.5.4. La elasticidad de sustitución....................................................... 110
3.6. ¿Qué ocurre con la cantidad producida al variar el trabajo y el capital?.. 113
3.6.1. Funciones de producción homogéneas........................................ 113
3.6.2. Rendimientos a escala a largo plazo........................................... 114
3.6.3. ¿Qué tipo de rendimientos a escala puede experimentar la em-
presa?........................................................................................... 114
3.6.4. Causas de los rendimientos a escala............................................ 116
3.7. La combinación óptima de factores productivos a largo plazo............... 118
3.7.1. Introducción................................................................................ 118
3.7.2. La recta isocoste y el precio de los factores................................ 118
3.7.3. La combinación óptima de factores: el logro de la eficiencia eco-
nómica......................................................................................... 119
3.7.4. Equilibrio de la producción de la empresa ante cambios del pre-
cio de los factores........................................................................ 123
3.7.5. La senda de expansión de la producción a largo plazo.............. 125
3.8. El estudio del muy largo plazo. El efecto de la mejora tecnológica........ 127
3.8.1. Cambios en la tecnología............................................................ 127
3.8.2. Algunas formas de progreso técnico........................................... 128
4. La teoría del coste de producción y la maximización del beneficio.. 129
4.1. Coste económico versus coste contable.................................................... 131
4.1.1. Introducción................................................................................ 131
4.1.2. ¿Qué entendemos por coste?........................................................ 131
4.1.3. Los costes concebidos como costes de oportunidad................... 132
4.1.4. Los costes en la teoría microeconómica...................................... 133
4.2. Análisis de los costes a corto plazo......................................................... 133
4.2.1. Introducción................................................................................ 133
4.2.2. Costes fijos totales, costes variables totales y costes totales........ 134
4.2.3. Análisis de los costes a corto plazo desde el punto de vista de
los costes medios......................................................................... 136
4.2.4. Análisis de los costes a corto plazo desde el punto de vista mar-
ginal............................................................................................. 137
4.2.5. Curvas de costes variables medios, costes totales medios y cos-
tes marginales.............................................................................. 137

Índice
4.2.6. La geometría de las funciones de costes a corto plazo............... 138
4.3. Funciones de costes a largo plazo........................................................... 148
4.3.1. La senda de expansión de largo plazo........................................ 148
4.3.2. Minimización de costes............................................................... 148
4.3.3. Función de costes totales a largo plazo...................................... 149
4.3.4. Estudio del largo plazo: economías y deseconomías de escala... 149
4.3.5. Economías de alcance................................................................. 152
4.4. La maximización del beneficio................................................................ 152
4.4.1. Los objetivos de la empresa........................................................ 152
4.4.2. El objetivo tradicional de la empresa.......................................... 153
4.4.3. La maximización del beneficio: el enfoque del ingreso total-
coste total.................................................................................... 153
5. La teoría de los mercados competitivos............................................... 159
5.1. Clases de mercados.................................................................................. 161
5.1.1. ¿Qué rasgos caracterizan a los mercados de bienes o productos?.. 161
5.2. Las condiciones de la competencia perfecta............................................ 162
5.2.1. Introducción................................................................................ 162
5.2.2. La función de demanda de una empresa perfectamente compe-
titiva............................................................................................. 163
5.2.3. La triple identidad en competencia perfecta............................... 164
5.2.4. La función de ingresos de la empresa competitiva...................... 164
5.3. ¿Cómo toman sus decisiones de producción a corto plazo las empresas
precio-aceptantes?.................................................................................... 164
5.3.1. Buscando el output óptimo.......................................................... 164
5.3.2. Diferentes escenarios................................................................... 165
5.4. La función de oferta y el excedente del productor.................................. 171
5.4.1. La curva de oferta a corto plazo para la empresa competitiva... 171
5.4.2. La curva de oferta de la industria............................................... 171
5.4.3. Excedente del productor.............................................................. 171
5.5. El equilibrio a largo plazo en los mercados competitivos....................... 178
5.6. La eficiencia de un mercado competitivo................................................ 178
5.6.1. El equilibrio competitivo y el excedente total............................. 178
5.6.2. ¿Qué condiciones proporcionan una solución socialmente efi-
ciente?.......................................................................................... 179
5.6.3. ¿Podría el sistema de mercado conducir a resultados incorrectos?.. 179
5.6.4. ¿Cuándo fallan los mercados competitivos?................................ 180
5.7. La incidencia de los impuestos................................................................ 182
6. La teoría del monopolio............................................................................. 185
6.1. Introducción............................................................................................ 187
6.2. Estrategia de precio único para el monopolista...................................... 187
6.2.1. Aspectos formales de la maximización del beneficio.................. 187
6.2.2. Función de demanda y de ingreso marginal en el monopolio.... 189

Índice
11
6.2.3. El ingreso marginal en función del precio y de la elasticidad-pre-
cio de la demanda....................................................................... 189
6.2.4. Relación entre los ingresos totales, la demanda y el ingreso mar-
ginal............................................................................................. 190
6.2.5. Midiendo el poder de mercado del monopolio........................... 190
6.2.6. Midiendo el poder de mercado de una empresa......................... 191
6.3. El monopolista con dos plantas o factorías............................................ 196
6.4. El monopolista discriminador de precios................................................ 197
6.4.1. Introducción................................................................................ 197
6.4.2. Discriminación de primer grado o perfecta................................ 199
6.4.3. Discriminación de precios de segundo grado.............................. 199
6.4.4. Discriminación de precios de tercer grado.................................. 200
6.5. Discriminación de tercer grado............................................................... 201
6.5.1. Aproximación formal.................................................................. 201
6.5.2. ¿Aumentan los beneficios con la discriminación de precios?...... 206
6.6. Opciones de precios para un monopolio natural..................................... 208
6.6.1. La teoría del segundo óptimo..................................................... 208
6.6.2. Opciones para la Administración competente............................. 208
6.6.3. Los servicios relacionados con el agua........................................ 209
6.7. El coste social del poder de mercado del monopolio.............................. 210
6.8. ¿Es deseable la discriminación de precios desde un punto de vista so-
cial?.......................................................................................................... 212
6.9. Las políticas públicas respecto a los monopolios.................................... 212
6.9.1. Introducción................................................................................ 212
6.9.2. El monopolio natural: ¿qué pueden hacer al respecto los respon-
sables de las políticas públicas?................................................... 213
6.9.3. Política de defensa de la competencia......................................... 214
7. La teoría del oligopolio y de la competencia monopolística........... 217
7.1. Midiendo el grado de competencia......................................................... 219
7.1.1. Mercados de bienes o productos................................................. 219
7.1.2. Medidas de concentración........................................................... 220
7.2. El oligopolio: introducción...................................................................... 223
7.2.1. Los supuestos.............................................................................. 223
7.2.2. Modelos de oligopolio................................................................. 233
7.3. Conducta oligopolista cooperadora o colusión....................................... 224
7.3.1. Colusión explícita: cártel............................................................. 224
7.3.2. Colusión implícita: liderazgo de precios...................................... 225
7.4. Conducta oligopolista no cooperadora (soluciones no colusorias)......... 225
7.4.1. El modelo de demanda quebrada................................................ 225
7.4.2. Conducta oligopolista no cooperadora: el modelo de Cournot... 226
7.4.3. Conducta oligopolista no cooperadora: modelo de Stackelberg.. 233
7.4.4. Conducta oligopolista no cooperadora: modelo de Bertrand..... 233
7.5. La teoría de juegos.................................................................................. 234
7.5.1. La teoría de juegos como herramienta para el análisis estraté-
gico de los negocios..................................................................... 234

Índice
7.5.2. El dilema del prisionero.............................................................. 235
7.5.3. Teoría de juegos y competencia estratégica. La teoría de juegos
de estrategias de publicidad......................................................... 235
7.5.4. Equilibrio de Nash...................................................................... 237
7.6. El mercado de competencia monopolística............................................. 239
7.6.1. Diferenciación y competencia. La publicidad como instrumento
fundamental del intercambio....................................................... 240
7.7. La competencia monopolística: equilibrio a corto y largo plazo............ 241
7.7.1. ¿Cómo es la demanda de una empresa que opera en esta estruc-
tura de mercado?......................................................................... 241
7.7.2. Equilibrio a corto y largo plazo.................................................. 241
7.7.3. La competencia monopolística y la eficiencia económica........... 241
8. El análisis de los mercados de factores de producción.................... 243
8.1. Introducción............................................................................................ 245
8.1.1. Los factores de producción......................................................... 245
8.1.2. La decisión de compra de factores por parte de la empresa....... 245
8.2. Mercado de trabajo en competencia perfecta.......................................... 246
8.2.1. La oferta individual de trabajo. Curva de oferta de trabajo que
se dobla hacia atrás..................................................................... 247
8.2.2. La oferta de trabajo del mercado y sus determinantes............... 247
8.2.3. La demanda del factor trabajo.................................................... 248
8.2.4. Determinación del salario y el empleo en un mercado de traba-
jo perfectamente competitivo...................................................... 248
8.3. Las decisiones de contratación de la empresa en un mercado de trabajo
de competencia perfecta.......................................................................... 249
8.3.1. La maximización del beneficio en mercados (ambos) perfecta-
mente competitivos...................................................................... 251
8.3.2. Monopolio en el mercado de productos y competencia perfecta
en el mercado de trabajo............................................................. 253
8.4. Competencia imperfecta en el mercado de trabajo.................................. 253
8.4.1. El monopsonista de un mercado de trabajo que vende su output
en un mercado competitivo......................................................... 254
8.4.2. El monopsonista de un mercado de trabajo que vende su output
en un mercado de monopolio...................................................... 257
8.5. Poder del mercado de trabajo: monopolio bilateral................................ 258
8.6. La demanda de capital............................................................................ 258
Bibliografía............................................................................................................ 259

Prólogo
13
Microeconomía es una asignatura de carácter obligatorio en los planes de es-
tudio de la mayoría de los grados impartidos en las Facultades de Ciencias Eco-
nómicas y Empresariales. En esta obra, fruto de mi dilatada experiencia docente,
se abordan los contenidos temáticos fundamentales de la asignatura: consumidor,
productor y mercados. El objetivo de la misma es conseguir que el/la alumno/a
adquiera y domine los conocimientos básicos del análisis microeconómico desde
el punto de vista teórico y práctico. Con tal finalidad, el libro se ha estructurado
en ocho grandes capítulos. En los capítulos 1 y 2 se analiza el comportamiento
de los consumidores y la teoría económica de la elección, con el objetivo de deri-
var la función de demanda de mercado. A continuación, los capítulos 3 y 4 cen-
tran el análisis en la teoría económica de la producción y de la oferta de bienes,
y se introduce la maximización del beneficio como objetivo último de la empre-
sa. En los capítulos 5, 6 y 7 se estudian las decisiones de la empresa en diferentes
contextos o estructuras de mercado: competencia perfecta, monopolio, oligopo-
lio y competencia monopolística. Finalmente, el capítulo 8 está dedicado al estu-
dio de los mercados de factores de producción, con especial énfasis en el estudio
del mercado de trabajo.
Cada capítulo presenta y desarrolla de forma abreviada los principales con-
ceptos teóricos del tema en cuestión, y a continuación muestra aplicaciones (la
mayoría resueltas) que permiten entender los conceptos teóricos. Cada capítulo
contiene también esquemas-resumen de las principales ideas y desarrollos que
ayudan a asimilar mejor los conceptos de teoría. No obstante, en el texto se ha-
bla en algunas ocasiones de gráficos y tablas, pero que no están en la obra im-
presa, sino que aparecen en las diapositivas que acompañan a este libro y que
están disponibles en Internet. Sin estas diapositivas no pueden entenderse mu-
chos de los conceptos y ejemplos contenidos en este texto. Señalar también que
Ediciones Pirámide publica de forma separada otro libro de ejercicios (la mayo-
ría resueltos) y cuestiones de autoevaluación que ayudan a entender la asigna-
tura. Ambos libros son, pues, complementarios.

Prólogo
La teoría microeconómica tiene, por lo general, un carácter teórico. Los mo-
delos que utiliza son una representación simplificada de la realidad que tienen
como objetivo explicar las decisiones de productores y consumidores, y su inte-
racción con los mercados. En su enseñanza, un docente puede enfocar esta asig-
natura con un carácter más bien gráfico e intuitivo, o darle un enfoque más ma-
temático y técnico. Este último es el enfoque de esta obra. Se trata de un curso
con un nivel de dificultad intermedio que utiliza cálculo matemático. Por tanto,
el estudiante que no esté familiarizado con el cálculo debe acudir a algún libro
de matemáticas para poder entender mejor algunas de las aplicaciones que usan
integrales, derivadas o derivadas parciales. Que el estudiante adquiera la capa-
cidad de análisis microeconómico intermedio ha sido uno de los principales ob-
jetivos perseguidos a la hora de elaborar este curso de Microeconomía.

15
1 La teoría de la conducta
del consumidor
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
El primer capítulo tiene como principal objetivo que los/las estudiantes com-
prendan los aspectos más relevantes del estudio de la conducta del consumi-
dor. Asumimos que el consumidor (él o ella) toma sus decisiones de compra
con vistas a maximizar la utilidad o satisfacción que le reporta el consumo de
dos bienes, dados los precios y la renta. Abordamos en el capítulo los dos
principales enfoques de la microeconomía en el tratamiento de la utilidad. Por
un lado, la teoría de la utilidad cardinal, que parte del concepto de utilidad
como magnitud mensurable. Por otro lado, la teoría de la utilidad ordinal, que
supone que los consumidores pueden ordenar los niveles de satisfacción ob-
tenidos del consumo.

17
1.1. INTRODUCCIÓN
El estudio de la conducta o comportamiento del consumidor se centra en la
forma en la que los individuos toman decisiones para emplear sus recursos es-
casos (como tiempo y dinero) en actividades relacionadas con el consumo. No
obstante, se trata de un campo interdisciplinario: se basa en conceptos y teorías
sobre el ser humano que han sido desarrollados por científicos de disciplinas
como la psicología, la sociología o la economía. Centrándonos en la microeco-
nomía, para esta rama de la economía la hipótesis central de la teoría del con-
sumidor es que esta hace frente a un problema matemático de optimización:
elige la combinación de bienes que prefiere de entre todas las que puede com-
prar, dada su renta y los precios de los bienes, con el objetivo de obtener la
máxima satisfacción o utilidad del consumo de esos bienes (teoría neoclásica del
consumidor). La utilidad es un concepto subjetivo que se refiere a una medida
de la satisfacción que una persona obtiene al consumir un bien o servicio.
Para desarrollar la teoría del consumidor, debemos introducir supuestos
simplificadores del comportamiento del mismo. En primer lugar, la conducta
del consumidor se modeliza asumiendo que sus elecciones están basadas en
unas preferencias sobre posibles alternativas. Sea X el conjunto de alternativas
consideradas por un individuo (o conjunto de elección). El conjunto X puede
ser un conjunto finito de alternativas, o representar el conjunto de cestas de
bienes disponibles. El problema de decisión del individuo es determinar qué
elementos del conjunto de elección prefiere. En el caso de un pequeño número
de alternativas, por ejemplo seis camisas de diferentes colores, describimos una
relación de preferencias como una lista ordenada de mejor a peor: {verde,
amarilla, azul, roja, blanca, negra}. De manera más precisa, podemos cons-
truir un ordenamiento de preferencias completo si se cumplen al menos dos
condiciones:

Microeconomía. Conceptos teóricos y aplicaciones
1.
Una persona siempre puede hacer afirmaciones de preferencias del tipo:
«prefiero la camisa verde a la amarilla» o «me es indiferente» (axioma
de completitud).
2.
Sus afirmaciones de preferencias son consistentes: si la camisa verde se
prefiere a la camisa amarilla, y la camisa amarilla se prefiere a la camisa
azul, entonces la camisa verde se prefiere a la camisa azul (axioma de
transitividad).
Los economistas hemos desarrollado un instrumento matemático para repre-
sentar el ordenamiento de preferencias de un individuo. Si la ordenación de
preferencias es completa y transitiva (también reflexiva y continua), entonces las
preferencias se pueden representar a través de una función de utilidad continua.
La función de utilidad, U, es una función con valores reales, definida sobre el
conjunto X, de tal forma que el orden de las preferencias sobre X se preserva
por la magnitud de U.
No obstante, a fin de lograr que el análisis de preferencias personales sea
sencillo, supondremos que hay solamente dos bienes. Utilizaremos los términos
«bien X» y «bien Y» para representarlos. En ese caso, el consumidor se enfren-
ta a elecciones entre diferentes combinaciones que contienen diversas cantidades
de estos dos bienes. Emplearemos los símbolos x e y para indicar las cantidades
correspondientes a cada bien, respectivamente. En definitiva, una combinación
(cesta, canasta o grupo de consumo) se refiere a una coordenada del plano car-
tesiano (x,y). Por ejemplo: (2,2) es una combinación o cesta, que llamamos A,
que contiene 2 unidades del bien X y 2 unidades del bien Y (piense por ejemplo
en una cesta de Navidad con dos tabletas de turrón y dos botellas de sidra);
(3,1) es una combinación, que llamamos B, que contiene 3 unidades del bien X
y 1 unidad del bien Y (por ejemplo, cesta de Navidad con tres tabletas de turrón
y una botella de sidra); etc. Una ordenación de preferencias es un sistema que
permite al consumidor ordenar las diferentes cestas de bienes en función de sus
preferencias: la función de utilidad es la representación matemática de la rela-
ción de preferencias del consumidor. Una función de utilidad U asigna un nú-
mero real a cada cesta o grupo de consumo en el ordenamiento de preferencias
de una persona, de acuerdo con dos reglas.
Primera, si alguien es indiferente (∼) entre dos cestas A y B, la función de
utilidad asigna el mismo número a ambos grupos de consumo
A ∼ B ⇔ U(A) = U(B)
Segunda, si la persona prefiere (≻) una cesta a otra (por ejemplo, prefiere A
a B), la función de utilidad asigna un número más alto al grupo de consumo
preferido
A ≻ B ⇔ U(A) U(B)

La teoría de la conducta del consumidor
19
Si la cesta A es preferida a la cesta B, se puede asegurar que la utilidad de-
rivada de consumir la cesta A es mayor que la utilidad derivada de consumir la
cesta B.
Si la ordenación de preferencias es completa, transitiva, reflexiva y continua,
entonces las preferencias se pueden representar a través de una función de utili-
dad continua. Pero el equilibrio del consumidor, esto es, las cantidades óptimas
compradas de cada bien, exige hacer compatibles las preferencias del consumi-
dor con su restricción presupuestaria. La razón está en que las posibilidades de
consumo están limitadas por la renta disponible y por los precios de los dos
bienes: el consumidor solamente puede adquirir un número limitado de unida-
des del bien X y del bien Y. La restricción presupuestaria, representada por
medio de una función lineal (recta de balance), indica todas las combinaciones
de los dos bienes para las cuales el gasto en que incurre el consumidor es igual
a la renta disponible.
1.2. PREFERENCIAS Y UTILIDAD
1.2.1. Introducción
La teoría económica de la elección comienza describiendo las preferencias
de las personas. Esto, simplemente, equivale a una catalogación completa de
cómo una persona se siente acerca de todas las cosas que él o ella podría hacer.
Pero las personas no son libres de hacer lo que quieran sino que se ven limitadas
por el tiempo, los ingresos y otros muchos factores en las opciones que se les
ofrecen. Nuestro modelo de elección debe describir también cómo esas limita-
ciones afectan a la forma en que las personas, en realidad, son capaces de tomar
decisiones en función de sus preferencias.
1.2.2. Preferencias del consumidor
¿Cómo podemos describir las preferencias del consumidor de una manera
coherente? Una buena manera de comenzar es pensar en las preferencias como
un acto de comparación de cestas o combinaciones de consumo.
Una cesta de bienes (cesta de consumo o de mercado) es una lista que
especifica las cantidades de uno o más bienes.
Para desarrollar la teoría de la elección, vamos a suponer que solo hay dos
bienes de consumo: bien X; bien Y. De esa manera, podemos representar las op-

ciones del consumidor en un gráfico bidimensional. Cada combinación de consu-
mo (o cada cesta) contiene x unidades del bien X e y unidades del bien Y: (x,y).
1.2.3. El espacio de consumo
Supongamos que tenemos dos posibles cestas de consumo: A y B. La cesta
A contiene: xA unidades del bien X; yA unidades del bien Y. La cesta B contiene:
xB unidades del bien X; yB unidades del bien Y. En general, si consideramos
solamente dos bienes económicos, X e Y, cada cesta de consumo contiene x
unidades del bien X e y unidades del bien Y.
1.2.4. Eligiendo entre cestas de consumo
La cesta de consumo A, por ejemplo, contiene 15 tazas de café y 10 zumos,
la cesta B contiene 30 tazas de café y 20 zumos, etc. Pidiéndole al consumidor
que compare esas diferentes cestas, podemos describir sus preferencias para el
café y el zumo de naranja en sus desayunos.
1.2.5. Función de utilidad
Lo que se pretende es buscar una forma de ponerle un número a cada cesta,
de manera que si una cesta es mejor que otra le corresponda un número mayor.
El instrumento que lo permite es la llamada función de utilidad:
U = U(x,y)
Si, por ejemplo, la función de utilidad de María en el consumo de X e Y
fuese:
U(x,y) = x + 2y
—
La función de utilidad U asigna un número real a cada cesta de bienes.
—
La cesta A, formada por 15 unidades del bien X y 10 unidades del bien
Y, generaría una utilidad de 35: U(15,10) = 35; U(A) = 35.
—
La cesta C, formada por 20 unidades de cada uno de los bienes, aporta-
ría una utilidad mayor; en concreto 60: U(20,20) = 60; U(C) = 60.
— La función U representa a las preferencias del consumidor si, y solo si, a
cada cesta de bienes le asigna un número de manera que:
C ≻ A ⇔ U(C) U(A)
C ∼ D ⇔ U(C) = U(D)

21
Aplicación número 1
Un consumidor, en el consumo de dos bienes (bien 1 y bien 2), con la fun-
ción de utilidad U(x1,x2) = x1 · x2, mostraría indiferencia por las cestas de con-
sumo:
V F (4,3); (12,1); (2,5)
V F (4,3); (12,2); (2,5)
V F (4,3); (12,1); (2,6)
1.2.6. Axiomas de elección
En definitiva, se supone que las preferencias de los individuos están repre-
sentadas por una función de utilidad U de la forma
U = U(x,y)
Donde x e y son las cantidades de cada uno de los dos bienes X e Y que
puede consumir en un período.
Una relación de preferencias puede ser representada mediante una función
de utilidad si, y solo si, es una relación completa, reflexiva, transitiva y continua.
En otras palabras, si las preferencias individuales cumplen una serie de supues-
tos (axiomas), estas preferencias se pueden representar mediante una función de
utilidad.
Podríamos pensar que el consumidor expresa sus preferencias de manera
razonablemente coherente.
Axioma 1. Las preferencias son completas
Para cualquier par de cestas de consumo A y B, un consumidor puede hacer
una de las tres siguientes comparaciones:
— A es preferida a B (denotado por AP
B o A ≻ B).
— B es preferida a A (denotado por BP
A o B ≻ A).
— A es indiferente a B (denotado por AI
B o A ∼ B).

Este axioma garantiza que el consumidor es capaz de ordenar cualquier par
de cestas de consumo.
—
«Preferida» significa que el consumidor es capaz de decidir cuál de dos
opciones prefiere.
—
«Indiferente», que el consumidor estaría dispuesto a lanzar una moneda
al aire para decidir qué cesta prefiere.
Axioma 2. Las preferencias son reflexivas
Todo elemento del conjunto de elección es comparable a sí mismo. Si al
consumidor se le presentan dos idénticas cestas de consumo: A = B, entonces A
es indiferente a B. Esto simplemente significa que si A y B son la misma cesta
de consumo, el consumidor debe hacer un ranking idéntico.
Axioma 3. Las preferencias son transitivas
Además de esperar que los individuos puedan formular sus preferencias cla-
ra y completamente, podríamos también esperar que las preferencias no sean
contradictorias en sí mismas (deseamos descartar incoherencias en nuestro aná-
lisis). En otras palabras, suponemos que las preferencias son transitivas.
Propiedad por la cual si A es preferible a B, y B es preferible a C, A es pre-
ferible a C:
AP
B y BP
C ⇒ AP
C
Lamentablemente, la transitividad difícilmente puede extenderse al compor-
tamiento colectivo. Es fácil encontrar ejemplos de colectivos incluso formados
por tres personas cuyo comportamiento individual es transitivo pero que cuan-
do tienen que tomar decisiones en grupo su comportamiento viola la transitivi-
dad. Esta anomalía está en la base de las dificultades en la toma de decisiones
colectivas que se ponen de manifiesto por ejemplo en el teorema de la imposibi-
lidad de Arrow. Las dificultades de la decisión colectiva es una de las razones
por las que la teoría del consumidor es una teoría exclusivamente del compor-
tamiento individual.
Axioma 4. Las preferencias son continuas
Si AP
B y C → B ⇒ AP
C
El consumidor puede apreciar pequeñas diferencias de un conjunto a otro
(B es el límite de C).

23
Una relación de preferencias es continua en ausencia de ordenación lexico-
gráfica; al consumidor le interesa la compensación. Por ejemplo, si tenemos pan
y rodajas de mortadela en las meriendas, es preferible ceder migajas de pan para
obtener una rodaja más de mortadela. Una regla lexicográfica es aquella en la
cual los individuos tienen un orden de preferencias definido de forma análoga a
cómo se ordenan las palabras, por letras, en un diccionario: A ≻ B y C ≻ B.
—
Sin embargo, el orden de preferencias lexicográficas no es continuo.
—
Para satisfacer la continuidad, C debería también ser preferida a D. Pero
la ordenación de cestas de consumo que haría el consumidor si fuese
lexicográfico estricto: D ≻ C.
1.2.7. De las preferencias a la utilidad
Si se cumplen los axiomas 1 al 4, las preferencias se pueden representar me-
diante una función de utilidad.
Una relación de preferencias que es completa, reflexiva, transitiva y con-
tinua puede ser representada por una función de utilidad continua.
Por ejemplo, la función de utilidad de José en el consumo de los bienes X
(perrito caliente) e Y (hamburguesa) es
U = U(x,y) = x0,5
y0,5
—
U es una función que describe o representa sus preferencias.
—
La función de utilidad U asigna un número real a cada combinación o
cesta de bienes.
1.2.8.
¿Cómo medimos la utilidad? Dos enfoques
de la utilidad
1. Enfoque cardinal: marginalistas (Bentham, Marshall).
La utilidad es medible y comparable cardinalmente: la utilidad trans-
mite información cuantitativa.
2. Enfoque ordinal moderno (Hicks).
La utilidad es medible pero comparable ordinalmente: la utilidad
solamente transmite información cualitativa.

Función de utilidad cardinal versus función de utilidad ordinal
Función de utilidad cardinal
—
De acuerdo con este enfoque, U es un número cardinal (da los «útiles»
de una cesta de consumo).
— U: cesta de consumo → R medido en «útiles».
Función de utilidad ordinal
U proporciona un ranking u orden de preferencias sobre distintas combina-
ciones o cestas:
U: (A, B) →
AP
B
BP
A
AI
B
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1.3. EL CARÁCTER CARDINAL DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD
1.3.1. Teoría de la utilidad cardinal
La utilidad es la cantidad de satisfacción (placer o felicidad) que reporta el
consumo de un bien. Para la teoría de la utilidad cardinal, los consumidores son
capaces de medir la utilidad que le reportan los distintos bienes que consumen.
La utilidad es medible y comparable cardinalmente: la utilidad transmite infor-
mación cuantitativa.
Un «útil» es una unidad arbitraria de medición de la utilidad.
Esto significa que se pueden hacer comparaciones de utilidad del tipo:
—
Un helado de chocolate me proporciona 4 veces más utilidad que un
helado de fresa (8 útiles frente a 2 útiles).
—
Asistir a una clase de economía me proporciona 5 veces más utilidad que
asistir a una clase de derecho.
—
Una taza de café me proporciona el doble de utilidad que una taza de té
(10 útiles frente a 5 útiles).

25
1.3.2. Maximizando la utilidad
Los economistas asumimos que, en su toma de decisiones de consumo, los
individuos buscan la maximización de la utilidad. En el desarrollo de la teoría
de la utilidad cardinal nosotros vamos a considerar solamente dos bienes: X e Y
(té y pastas; cerveza y perritos calientes; etc.). Entonces, la función de utilidad
total puede expresarse como
U = U(x,y)
donde x cuantifica las unidades compradas del bien X, e y representa o cuanti-
fica las unidades compradas del bien Y.
1.3.3.
Función de utilidad total para el bien X reflejando
saciedad (o saturación)
Vamos a considerar el caso de dos bienes: X (refresco); Y (patatas fritas).
Supongamos que el individuo tiene la siguiente función de utilidad
U(x,y) = 4xy – 0,2x2
y
En el desarrollo de nuestra teoría de la conducta del consumidor, comenza-
mos considerando el consumo de un único bien. Estamos interesados en la uti-
lidad total (medida en útiles) resultante del consumo de unidades adicionales de
X cuando el consumo de Y es constante (por ejemplo, una bolsa de patatas)
U = U(x;y
–); U = U(x;1)
1.3.4. El concepto de utilidad marginal
En nuestro análisis debemos distinguir entre la utilidad total del consumidor,
que es la satisfacción completa resultante del consumo, y la utilidad marginal,
que es el cambio o variación en la utilidad total resultante del consumo de una
unidad más del bien. Por ejemplo:
—
La utilidad total U obtenida del consumo de 4 botellines es la satisfac-
ción global que proporcionan esos refrescos (con una bolsa de patatas).
—
La utilidad marginal UMa del cuarto refresco es la satisfacción adicional
que proporciona el consumo de esa cuarta unidad.

La utilidad marginal es el cambio en la utilidad total resultante de un cam-
bio en el consumo del bien, manteniendo constante el consumo de los otros
bienes
UMax =
ΔU
Δx
Si los cambios en el consumo son infinitesimalmente pequeños, entonces
UMax =
∂U
∂x
La función de utilidad marginal
U(x, y) = 4xy – 0,2x2
y
UMax =
∂U
∂x
;UMax = 4y – 0,4yx
Por ejemplo, si x = 3 unidades (con y = 1 unidad), podemos evaluar la utili-
dad marginal para esta cesta o combinación de consumo como
UMax = 4y – 0,4xy = 4(1) – 0,4(1)(3) = 2,8 útiles
El resultado indica que, para la combinación (3,1), un incremento infinitesi-
malmente pequeño en la cantidad consumida del bien X, manteniendo constan-
te el consumo del bien Y en una unidad, resulta en un incremento en la utilidad
del consumidor en 2,8 útiles.
1.3.5. Utilidad total y marginal
La utilidad total aumenta cuando aumenta el consumo del bien; sin embar-
go, la utilidad marginal disminuye. El consumidor obtiene cada vez mayor satis-
facción o utilidad siempre que consume mayor cantidad de un bien (hasta llegar
a un máximo conocido como punto de saturación). Pero la utilidad obtenida de
cada unidad adicional, esto es, la utilidad marginal, disminuye conforme au-
menta el consumo (llega a ser negativa para cantidades que van más allá del
punto de saturación).

27
1.3.6.
Considerando la forma continua de las funciones
de utilidad total y marginal
Consideremos una función de utilidad total continua y de una sola variable
U = f(x)
—
La función de utilidad total U es positiva y cóncava con respecto al ori-
gen de coordenadas.
—
La pendiente de la curva de utilidad total coincide con la utilidad mar-
ginal:
UMax =
ΔU
Δx
; si Δ → 0 ⇒ UMax =
dU
dx
— La función U es creciente hasta un valor máximo llamado punto de sa-
turación.
— Condición de máximo:
dU
dx
= 0;
d2
U
dx2
0
— Cuando la utilidad total es máxima, la utilidad marginal es nula.
Si la función de utilidad total de un consumidor es:
U = 15x –
x2
5
¿para qué cantidad se alcanza el punto de saturación (o saciedad) en el con-
sumo?
Solución
Punto de saturación: máximo de la función de utilidad total.

Condición de primer orden:
dU
dx
= 15 –
2
5
x = 0; 15 =
2
5
x ⇒ x = 37,5 u.c.
Condición de segundo orden
d2
U
dx2
= –
2
5
0
1.3.7.
¿Cómo toma el consumidor sus decisiones
de consumo en el caso de dos bienes?
Algunos supuestos:
—
Asumimos, por simplicidad, que hay un único período temporal.
—
El consumidor es incapaz de influir en los precios de los bienes (agente
precio-aceptante), donde:
px = Precio del bien X; py = Precio del bien Y
—
El consumidor dispone de una renta monetaria dada, M, pero no puede
pedir prestado más dinero:
M = Renta del consumidor.
—
Dados los precios, la renta y los gustos individuales, el objetivo del con-
sumidor es maximizar su utilidad
max U = U(x,y)
El equilibrio del consumidor individual en la teoría de la utilidad cardinal
¿Cuándo maximiza su utilidad el consumidor?: cuando haya asignado toda
su renta entre los diferentes bienes de modo que maximice su utilidad total.
¿Y cuándo ocurre esto?: cuando el consumidor asigna el gasto de manera
que las utilidades marginales obtenidas del último euro gastado en cada bien
sean iguales.

29
UMax
px
=
UMay
py
;
UMax
UMay
=
px
py
;
∂U
∂x
∂U
∂y
=
px
py
1.3.8.
Ley de la igualdad de las utilidades marginales
ponderadas
El argumento anterior puede extenderse a cualquier número de bienes. Cada
bien se demanda hasta que la UMa de la última unidad monetaria gastada en
él es exactamente igual a la UMa de la última unidad monetaria gastada en
cualquier otro (LIUMP):
UMax
px
=
UMay
py
= ! =
UMaz
pz
La utilidad total es máxima cuando toda la renta del consumidor se ha gas-
tado y cuando la utilidad marginal por unidad monetaria gastada es igual para
todos los bienes.

La ley de utilidades marginales ponderadas y la pendiente negativa
de la curva de demanda
Si aumenta el precio del bien X, el cociente UMax/px será inferior al de los
demás bienes. Para maximizar la utilidad, el consumidor tendrá que reducir el
consumo del bien X, aumentando la utilidad marginal de ese bien hasta que el
cociente UMax/px sea igual al de los demás bienes. Por tanto, cuando el precio
de un bien aumenta, la cantidad óptima demandada por el consumidor se redu-
cirá y, en consecuencia, la curva de demanda del consumidor tendrá pendiente
negativa.
José es muy aficionado al cine. Cada miércoles acude a ver una película de
las recomendadas por los críticos de cine. Sin embargo, él disfruta plenamente
viendo la película bebiendo refresco de cola (bien X) y comiendo palomitas de
maíz (bien Y). Si, pagada su entrada, tiene 9 € para el bien X (cuyo precio es
de 2 € la unidad) y para el bien Y (cuyo precio es de 1,50 € la unidad), ¿cuán-

tas unidades de cada bien compraría para maximizar su utilidad, esto es, cuál
es la cesta óptima (x*,y*)? Use, para el razonamiento, la información de la tabla
adjunta donde los datos de la primera columna vienen dados en unidades de
cantidad, y los datos de la segunda y tercera columnas vienen dados en unida-
des de utilidad (útiles).
Unidades
Utilidad
total
refresco
Utilidad
total
palomitas
UMa
refresco
UMa
palomitas
UMa refresco/
precio
UMa
palomitas/precio
1 10 4
2 16 7
3 20 9
4 22 10
5 22 10
La tabla adjunta muestra la utilidad marginal que obtiene un consumidor
del consumo de dos bienes (bien X y bien Y), representando la cantidad en
unidades físicas. Si el consumidor dispone de una renta de 8 u.m. por unidad de
tiempo y los precios de los bienes son:
px = py = 1 u.m.
¿qué cantidades debe adquirir si quiere maximizar su utilidad total?
Cantidad 1 2 3 4 5 6 7 8
UMax 11 10 9 8 7 6 5 4
UMay 19 17 15 13 12 10 8 6
1.3.9. Utilidad marginal y excedente del consumidor
La utilidad marginal es el concepto básico que sustenta la demanda
Función UMa ≡ Función demanda

31
¿Qué cantidad comprar de un bien? El consumidor racional debería incre-
mentar la compra de un bien hasta que el valor que le otorga a la última unidad
comprada coincida con el precio de mercado
UMax = px
Excedente del consumidor. Aspectos formales
El excedente del consumidor (EC) es una medida de bienestar. Se define
como la diferencia entre lo que un consumidor estaría dispuesto a pagar por un
bien (la utilidad total) y lo que realmente paga (el gasto total).
— EC = Diferencia entre la utilidad total de un bien y su valor de mercado.
— EC =
0
x*
# f (x) dx – pxx*
donde f(x) es la función de demanda en su forma inversa y x* es la can-
tidad de consumo óptima.
La función de utilidad total de un consumidor viene dada por
U = 5x –
x2
4
Halle el excedente del consumidor si el precio del bien X es de 2 u.m.
Solución
Hallamos primero la función de demanda, que es la función de utilidad
marginal (la derivada de la función de utilidad con respecto a la cantidad):
Demanda ≡ UMax = 5 –
1
2
x

Hallamos ahora la cantidad de equilibrio:
px = UMax
2 = 5 –
x
2
;
x
2
= 3 ⇒ x* = 6 u.c.
Obtenemos entonces la utilidad total como:
0
x*
# f (x) dx =
0
6
# 15 –
x
2 2dx = 315x –
x2
4 240
6
= 5(6) –
62
4
= 30 – 9 = 21
Finalmente hallamos el excedente:
EC = Utilidad total – Gasto total = 21 – (2 · 6) = 21 – 12 = 9 u.m.
Juan es un estudiante que acude cada viernes por la noche a un pub del
campus. La demanda individual de cerveza viene dada por la ecuación:
p = 4,5 –
1
2
x
Si el precio de la caña es de 2 €, ¿cuál es el excedente de este consumidor?
Solución
6,25 €.
¿Cuánto vale el excedente del consumidor si la función de demanda indivi-
dual es igual a p = 120 – q, y el precio de mercado es de 60 u.m.?
Solución
1.800 u.m.

33
La demanda individual de helado viene dada por la función: x = 60 – 5p. Si
esta persona consume 50 unidades al año al precio de 2 €, ¿cuánto vale el ex-
cedente del consumidor?
Solución
250 €.
Halle el excedente de un consumidor de videojuegos, en euros, si la cantidad
demandada es igual a 5 unidades y la función de demanda viene dada por:
p = 30 – 4q
Solución
50 €.
1.4. EL CARÁCTER ORDINAL DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD
1.4.1. Teoría de la utilidad ordinal
En la teoría de la utilidad ordinal partimos de funciones de utilidad que per-
miten ordenar las cestas de consumo de la más a la menos preferida, pero no
podemos saber cuánto se prefiere una cesta a otra. Este enfoque no requiere
medir la utilidad; solo exige que los individuos sean capaces de ordenar varias
combinaciones de bienes según las preferencias. En definitiva, la utilidad es un
concepto ordinal (se refiere a un ranking) y no cardinal (no conlleva informa-
ción sobre la intensidad de las preferencias). Para el desarrollo adecuado de este
segundo enfoque debemos añadir dos axiomas adicionales.
Axioma 5. Las preferencias exhiben monotonicidad o no saciabilidad
«Cuanto más, mejor». Los consumidores siempre prefieren una cantidad
mayor de cualquier bien a una menor. Además, nunca están saciados; cuanto

más mejor, aunque solo sea algo mejor. El supuesto de no saciedad («cuanto
más mejor») es satisfecho si ambas utilidades marginales son siempre positivas.
Curvas de indiferencia (o curvas isoutilidad):
—
Una curva de indiferencia es el lugar geométrico de todas las cestas de
bienes que proporcionan la misma utilidad (satisfacción) a un consumidor.
U = U(x,y) = U
—
—
Todas las cestas situadas en una misma curva de indiferencia tienen el
mismo nivel de utilidad U
—
.
—
Las curvas de indiferencia no pueden cortarse.
Axioma 6.
Las curvas de indiferencia exhiben tasas marginales de sustitución
decrecientes (convexidad estricta)
Las curvas de indiferencia son convexas porque, a medida que se consume
una mayor cantidad de un bien X, es de esperar que el consumidor prefiera
renunciar a una cantidad cada vez menor de otro bien Y para obtener unidades
adicionales del primero:
RMS =
Δy
Δx
La relación marginal de sustitución (RMS) cuantifica la cantidad de un bien
a la que un consumidor está dispuesto a renunciar para obtener más de otro,
manteniendo el nivel de utilidad constante.
Si la curva de indiferencia es estrictamente convexa, la relación marginal
de sustitución es decreciente (tomando la RMS en valores absolutos).
La relación marginal de sustitución es la pendiente de la curva de indiferen-
cia y coincide con el cociente de utilidades marginales. Prescindiendo del signo
negativo
RMS =
Δy
Δx
=
Δy
ΔU
⋅
ΔU
Δx
=
ΔU
Δx
ΔU
Δy
=
UMax
UMay

35
Como ya hemos adelantado, las curvas de indiferencia son convexas porque
a medida que se consume una cantidad mayor de un bien es de esperar que el
consumidor prefiera renunciar a una cantidad cada vez menor de otro para
obtener unidades adicionales del primero. Generalmente, la sensación de satis-
facción que una persona obtiene respecto a un bien se hace más pequeña a
medida que el consumo de ese bien aumenta.
Halle la relación marginal de sustitución de la función de utilidad
U = x4
y4
Solución
RMS =
UMax
UMay
=
∂U
∂x
∂U
∂y
=
4x3
y4
4x4
y3
=
y
x
Sea la función de utilidad:
U(x,y) = xy2
halle la relación marginal de sustitución (en valor absoluto) para (6,3).
Solución
RMS =
UMax
UMay
=
∂U
∂x
∂U
∂y
=
y2
2xy
=
1
2
y
x
RMS(6,3) =
1
2 1
3
62=
3
12
= 0,25

1.4.2. Mapa de curvas de indiferencia
Un mapa de curvas de indiferencia es un conjunto de curvas de indiferencia
que muestran distintos niveles de utilidad que proporcionan diferentes cestas de
bienes. El consumidor desea maximizar su utilidad; desea alcanzar pues la curva
de indiferencia más alta posible.
1.4.3. Funciones de utilidad y curvas de indiferencia
Una función de utilidad puede representarse por medio de un conjunto de
curvas de indiferencia, cada una de las cuales lleva un indicador numérico. Con-
sideremos tres curvas de indiferencia cuyos niveles de utilidad son 25, 50 y 100,
respectivamente, relacionadas con la función de utilidad:
U(x,y) = x · y
Pero el hecho de que, por ejemplo, U3 tenga un nivel de utilidad de 100 y U2
tenga un nivel de 50 no significa que las cestas de consumo de U3 generen el
doble de satisfacción que las de U2. Solo sabemos que U3 es mejor que U2, y que
U2 es mejor que U1.
1.4.4. Preferencias Cobb-Douglas
La función U(x,y) = xy es una función de utilidad del tipo Cobb-Douglas,
cuya expresión general sería:
U(x,y) = Axa
yb
donde A, a, b 0 y las preferencias que representa se denominan preferencias
regulares. Esto significa que las preferencias del consumidor, además de cumplir
los axiomas habituales de completitud, reflexividad, transitividad, continuidad
y no saciedad o monotonía, son estrictamente convexas respecto del origen. El
significado económico de la estricta convexidad de las preferencias radica en que
los consumidores con ese tipo de preferencias prefieren los medios a los extre-
mos, esto es, las combinaciones que contengan cantidades intermedias de ambos
bienes serán preferidas a aquellas que impliquen la especialización en el consu-
mo de uno de los bienes.

37
1.4.5. Transformación monótona positiva
Unas mismas preferencias pueden ser representadas por varias (de hecho
infinitas) funciones de utilidad diferentes
U(x, y) = xy
V (x, y) = xy
W (x, y) = Ln x + Ln y
Ejemplo. Consideremos dos cestas: A (9,3); B (5,7)
— U: B ≻ A U(9,3) = 27; U(5,7) = 35
— V: B ≻ A
V(9,3) = 5,20; V(5,7) = 5,92
— W: B ≻ A W(9,3) = 3,30; W(5,7) = 3,56
Tenemos tres funciones de utilidad distintas, pero que representan las mis-
mas preferencias.
1.5. RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA DEL CONSUMIDOR
1.5.1. Representación de las restricciones económicas
¿Qué es lo que le impide al consumidor individual obtener un nivel de satis-
facción de sus necesidades tan alto como desee, es decir, un valor de U tan ele-
vado como quiera?:
— Los bienes X e Y son escasos.
— Tienen un precio: px, py.
—
La renta monetaria M de que dispone el consumidor para adquirirlos es
limitada. Es decir, el consumidor ha de someterse al cumplimiento de la
siguiente restricción:
pxx + pyy ⩽ M; (Gasto en X + Gasto en Y) ⩽ (Renta monetaria)

donde el primer miembro es la suma del desembolso que es preciso hacer
para adquirir las cantidades x e y de los bienes X e Y, respectivamente;
y el segundo miembro es su renta disponible para gastar.
Como el consumidor desea maximizar la utilidad que le reporta el consumo,
gastará toda su renta, de modo que:
pxx + pyy = M

La recta presupuestaria o recta de balance
Se entiende por recta presupuestaria (o recta de balance) al conjunto de
distintas combinaciones de dos bienes que pueden ser consumidas por un indi-
viduo, partiendo de una determinada renta o presupuesto y unos determinados
precios de los bienes:
y =
M
py
–
px
py
x
1.5.2. Desplazamientos de la recta de balance
Analizamos dos situaciones que alteran el espacio presupuestario y, por tan-
to, las posibilidades de gasto del consumidor:
1. Cambios en los precios relativos de los bienes.
2. Cambios en la renta monetaria.
La variación del precio de un solo bien hace que la recta de balance gire en
torno a su origen en el eje del otro bien. Un aumento (o disminución) de la
renta desplaza paralelamente la recta de balance.
La recta de balance ante una variación en el precio del bien X
Una reducción del precio del bien X reduce la pendiente de la recta de balan-
ce (aumenta el espacio presupuestario). Un aumento del precio del bien X au-
menta la pendiente de la recta de balance (se reduce el espacio presupuestario).
La recta de balance ante una variación de la renta
Un aumento de la renta monetaria desplaza paralelamente hacia la derecha
la recta de balance (aumenta el espacio presupuestario). Una reducción de la
renta monetaria la desplaza paralelamente hacia la izquierda (se reduce el espa-
cio presupuestario).

Otros efectos de una variación en los precios permaneciendo invariable
la renta
Variación igualmente proporcional en los precios:
—
Una disminución igualmente proporcional en el precio del bien X y del
bien Y desplaza paralelamente hacia la derecha la recta de balance.

39
—
Un aumento igualmente proporcional en el precio del bien X y del bien
Y desplaza paralelamente hacia la izquierda la recta de balance.
Aumento del precio px y simultáneamente una reducción del precio py:
— La recta de balance rota.
María dispone inicialmente de 1.000 u.m. que destina al consumo del bien
X (abscisas) y del bien Y (ordenadas), cuyos precios son de 4 u.m. y de 8 u.m.,
respectivamente. ¿Qué ocurriría si se duplicase su renta y el precio del bien X?
V F La ordenada en el origen de la recta de balance no cambiaría.
V F La nueva pendiente de la recta de balance sería igual a –1.
V F
La nueva recta de balance cortaría al eje de abscisas en una
cantidad igual a 250 unidades del bien Y.
Un consumidor dispone de 100 € anuales para gastar en el bien X y en el
bien Y: ópera (abscisas) y teatro (ordenadas), cuyos precios son 50 € y 20 €,
respectivamente. Halle la recta de balance final si el consumidor tuviese el doble
de renta y no cambian los precios.
Solución
y = 10 –
5
2
x
1.6. EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR
1.6.1. El problema de elección del consumidor
Dados los precios de dos bienes X e Y, el problema de elección del consumidor
consiste en elegir su cesta de consumo (cantidades de cada bien) de modo que:

—
Maximice su utilidad sujeta a una restricción presupuestaria. La suma de
gastos en el conjunto de bienes de la cesta de consumo no puede sobre-
pasar la renta dada. Planteamos el problema como:
maxU = U(x, y)
s.a. M = pxx + py y
La solución a este problema, conocido como PRIMAL, es la cesta
óptima de consumo (x*,y*) y la utilidad máxima U*.
—
Minimice el gasto realizado sujeto a un nivel de utilidad dado (la forma
menos costosa de alcanzar un determinado nivel de satisfacción). Plan-
teamos el problema como:
min M = pxx + py y
s.a. U = U(x, y)
La solución a este problema, conocido como DUAL, es la cesta óp-
tima de consumo (x*,y*) y el desembolso mínimo M*.
Esto es, dados los precios, hay valores de U* y M* para los cuales la solu-
ción sería la misma: cantidades (no negativas) que comprará de cada bien el
consumidor, que llamamos x* e y*, y que conforman la cesta óptima de consu-
mo (x*,y*). Con preferencias regulares, el consumidor decide comprar algo de
cada bien; esto se conoce como solución interior. La cesta óptima contiene uni-
dades de cada bien que maximizan la utilidad o satisfacción del consumidor. El
consumidor está en equilibrio.
1.6.2.
Maximización condicionada de la utilidad:
tres métodos alternativos
Para hallar la elección óptima de dos bienes, dados los precios y la renta, así
como el nivel de utilidad máximo, contamos con tres métodos de resolución.

Optimización condicionada usando el método de los multiplicadores
de Lagrange
maxU = U(x, y)
s.a. pxx + py y = M

41
Maximización condicionada
de la utilidad
Resolución del problema
del consumidor por el
método de los multiplicadores
de Lagrange
U(x, y) = Axa
yb
Equilibrio
del consumidor
a partir de funciones
de utilidad del tipo
Cobb-Douglas
x* =
M
( + ) px
y* =
M
( + ) py
Tercer método
Equilibrio
del consumidor
a partir de la condición
de tangencia
Segundo método
UMax
UMay
=
px
py
U
x
U
y
=
px
py
Primer método
max U = U(x, y)
s.a. pxx + pyy = M
F(x, y, l) = U(x, y) + l[M – (pxx + pyy)]
Esquema 1.1. Resolución del problema del consumidor.
Igualamos la restricción a cero:
0 = M – pxx – pyy
Multiplicamos por lambda:
l(M – pxx – pyy)
Se lo sumamos a la función objetivo para formar la función lagrangiana:
F(x, y, λ)
F = U(x, y) + λ(M – pxx – py y)

Obtenemos los puntos críticos: primera derivada parcial = 0 (condiciones de
primer orden):
F = U(x, y) + λ(M – pxx – py y)
∂F
∂x
=
∂U
∂x
– λ px = 0 ⇒ λ =
∂U
∂x
px
∂F
∂y
=
∂U
∂y
– λ py = 0 ⇒ λ =
∂U
∂y
py
∂F
∂λ
= M – pxx – py y = 0
Igualamos lambdas:
∂U
∂x
px
=
∂U
∂y
py
Condición para maximización de la utilidad:
UMax
UMay
=
px
py
La función de utilidad de un consumidor viene dada por:
U(x,y) = x1/2
y1/2
donde x e y denotan el número de unidades de dos bienes X e Y que son
adquiridas en el mercado. Cada unidad del bien X cuesta 4 € y cada unidad
del bien Y 1 €. La renta del consumidor es de 800 €. Halle el equilibrio del
consumidor (número de unidades que consumirá de cada bien y valor máximo
de U).

43
Solución
Planteamos el problema del consumidor
maxU = x1/2
y1/2
s.a. 4x + y = 800
Hallemos ahora la cesta óptima de consumo (x*,y*) y la utilidad máxima U*.
Primer método.
La resolución del problema del consumidor por el método
de los multiplicadores de Lagrange
0 = 800 – 4x – y
Multiplicamos por lambda:
l(800 – 4x – y)
Se lo sumamos a la función objetivo para formar la función lagrangiana F:
F(x, y, λ) = x1/2
y1/2
+ λ(800 – 4x – y)
Obtenemos los puntos críticos (primera derivada parcial = 0):
∂F
∂x
= y1/2 1
2
x–1/2
– 4λ = 0 ⇒ λ =
1
2
x–1/2
y1/2
4
∂F
∂y
= x1/2 1
2
y–1/2
– λ = 0 ⇒ λ =
1
2
x1/2
y–1/2
∂F
∂λ
= 800 – 4x – y = 0 ⇒ y = 800 – 4x
Igualando lambdas:
1
2
x–1/2
y1/2
4
=
1
2
x1/2
y–1/2
;
1
2
x–1/2
y1/2
1
2
x1/2
y–1/2
= 4; x–1
y = 4 ⇒ y = 4x
si y = 800 – 4x ⇒ 4x = 800 – 4x ⇒ x* = 100 u.c.; y* = 400 u.c.

U = x1/2
y1/2
= 1000,5
4000,5
= 200; U* = 200
λ =
1
2
x1/2
y–1/2
= 0,5 ⋅1000,5
400–0,5
= 0,25
Lambda, conocido como multiplicador lagrangiano, mide el cambio en la
utilidad debido a un cambio en una unidad monetaria en la renta:
∂U
∂M
(utilidad marginal de la renta)
Segundo método.
Equilibrio del consumidor a partir de la condición de
tangencia
En el punto óptimo de consumo E, la curva de indiferencia es tangente a la
recta de balance. En E, pues, la RMS coincide con el cociente de precios:
–
UMax
UMay
= –
px
py
;
UMax
UMay
=
px
py
;
∂U
∂x
∂U
∂y
=
px
py
Planteamos de nuevo el problema del consumidor:
maxU = x1/2
y1/2
s.a. 4x + y = 800
∂U
∂x
∂U
∂y
=
px
py
y1/2 1
2
x–1/2
x1/2 1
2
y–1/2
=
4
1
;
y
x
= 4 ⇒ y = 4x
si y = 800 – 4x ⇒ 4x = 800 – 4x ⇒ x* = 100 u.c.; y* = 400 u.c.; U* = 200

45
Tercer método.
Equilibrio del consumidor a partir de funciones de utilidad
del tipo Cobb-Douglas
Si las preferencias del consumidor son regulares, y la función de utilidad que
las representa es del tipo Cobb-Douglas
U(x,y) = Axa
yb
donde A, a, b 0, se demuestra que el equilibrio se alcanza para:
x* =
αM
(α + β) px
; y* =
βM
(α + β) py
Luego
px = 4 €; py = 1€; M = 800 €
x* =
0,5 ⋅ 800
(0,5 + 0,5)4
= 100 u.c.; y* =
0,5 ⋅ 800
(0,5 + 0,5)1
= 400 u.c.; U* = 200
Halle el equilibrio del consumidor (cesta óptima solamente) a partir de:
U(x, y) = 5xy2
px = 10 u.m.; py = 5 u.m.; M = 900 u.m.
Solución
x* =
1⋅ 900
(1 + 2)10
= 30 u.c.; y* =
2 ⋅ 900
(1 + 2)5
= 120 u.c.
La función de utilidad de José en el consumo de manzanas y plátanos es:
U(x1, x2 ) = x1
2
x2

donde x1 es el número de manzanas y x2 el número de plátanos (consumo sema-
nal). Cada manzana cuesta 50 céntimos, y cada plátano 1 euro. Si dispone de
una renta de 6 €, ¿cuál será la composición de la cesta óptima (x1
*,x2
*)?
Solución
Preferencias del consumidor regulares y función de utilidad Cobb-Douglas:
x1
* =
2 ⋅ 6
(2 + 1) ⋅ 0,5
=
12
3
2
= 8 manzanas
x2
* =
1⋅ 6
(2 + 1) ⋅1
=
6
3
= 2 plátanos
Alternativamente:
∂U
∂x1
∂U
∂x2
=
p1
p2
2x1x2
x1
2
=
0,50
1
;
2x2
x1
=
1
2
; 4x2 = x1
De la restricción presupuestaria sabemos:
p1x1 + p2x2 = M
Luego:
0,5 ⋅ 4x2 + 1⋅ x2 = 6; 3x2 = 6 ⇒ x2
* = 2 u.c.
x1
* = 4(2) = 8 u.c.
Las preferencias de María por el cine y el teatro en el campus vienen dadas por:
U = U(C,T) = C0,5
T0,5

47
donde C y T representan las sesiones de cine y de teatro, respectivamente. Si
dispone de 8 € al mes para ocio, la entrada al cine cuesta 2 € y una sesión de
teatro cuesta 4 €, ¿qué cantidad consumiría para obtener la máxima utilidad de
su tiempo de ocio en el campus?
Solución
Preferencias del consumidor regulares y función de utilidad Cobb-Douglas:
C* =
0,5 ⋅ 8
(0,5 + 0,5) ⋅ 2
=
4
2
= 2 entradas
T* =
0,5 ⋅ 8
(0,5 + 0,5) ⋅ 4
=
4
4
= 1entrada
Dada la función de utilidad U = x1x2, si los precios de los bienes 1 y 2 son
p1 = 5 u.m. y p2 = 10 u.m., y la renta del consumidor es de 100 u.m., halle la
cesta óptima.
Solución
Diez unidades del bien 1, cinco unidades del bien 2.
Las preferencias de Francisco en sus desayunos por el café con leche y el
zumo de naranja natural vienen determinadas por la función de utilidad
U = (C,Z) = 4CZ
donde C y Z representan las cantidades de café (tazas) y de zumo (vasos), res-
pectivamente, consumidas durante un cuatrimestre en la cafetería de la facultad.
Si dispone de 80 €, el precio del café es de 1 € y el del zumo de 2 €, ¿qué can-
tidad consumiría para obtener la máxima utilidad de sus desayunos?
Solución
C = 40 u.c.; Z = 20 u.c.

Las preferencias de Carlos por los caramelos (X) y los chupa-chups (Y)
vienen dadas por la función de utilidad Cobb-Douglas:
U = U(x,y) = x0,5
y0,5
donde asumimos que X se vende por 0,25 € y que Y se vende por 1 €. Si
tiene 2 € de renta, ¿cuál será el valor de la utilidad máxima obtenida en el
consumo?
Solución
x* =
0,5 ⋅ 2
(0,5 + 0,5) ⋅ 0,25
= 4 caramelos
y* =
0,5 ⋅ 2
(0,5 + 0,5) ⋅1
= 1 chupa-chup
U* = (4)1/2
⋅ (1)1/2
= 2 ⋅1 = 2
Un consumidor compra cantidades de dos bienes. La función de utilidad es:
U = U(x,y) = xa
y1 – a
Se sabe que cuando su renta para gastar en estos bienes es de 1 €, y los
precios de ambos bienes son iguales, el consumidor adquiere una unidad del
bien X y dos unidades del bien Y. Entonces, ¿cuál es el valor de alfa?
Solución
x* =
αM
(α + 1 – α ) px
; 1 =
α
px
⇒ px = α
y* =
(1 – α )M
(α + 1 – α ) py
; 2 =
1 – α
px
⇒ 2 px = 1 – α; 2α = 1 − α; 3α = 1 ⇒ α =
1
3

49
1.6.3. La dualidad en el consumo: minimización del gasto
El dual al problema del consumidor consiste en minimizar el gasto necesario
para alcanzar un cierto nivel de bienestar
min M = pxx + py y
s.a. U = U(x, y)
La función de utilidad de un individuo es:
U = x1/2
y1/2
Si los precios unitarios de X y de Y son de 4 € y 1 €, respectivamente, in-
dique cuál sería la composición de la cesta óptima y el desembolso monetario
mínimo que necesita realizar este consumidor para alcanzar un nivel de utilidad
de 200.
Solución
Planteamos el problema del consumidor:
min M = 4x + y
s.a. x1/2
y1/2
= 200
0 = 200 – x1/2
y1/2
Multiplicamos por mu:
µ(200 – x1/2
y1/2
)
Se lo sumamos a la función objetivo para formar la función lagrangiana H:
H(x, y, µ) = (4x + y) + µ(200 – x1/2
y1/2
)

Obtenemos los puntos críticos (primera derivada parcial = 0):
∂H
∂x
= 4 – µy1/2 1
2
x–1/2
= 0 ⇒ µ =
4
1
2
x–1/2
y1/2
∂H
∂y
= 1 – µx1/2 1
2
y–1/2
= 0 ⇒ µ =
1
1
2
x1/2
y–1/2
∂H
∂µ
= 200 – x1/2
y1/2
= 0 ⇒ 200 = x1/2
y1/2
⇒ y1/2
= 200x–1/2
Igualando mu:
4
1
2
x–1/2
y1/2
=
1
1
2
x1/2
y–1/2
4
1
=
1
2
x–1/2
y1/2
1
2
x1/2
y–1/2
4 = x–1
y ⇒ y = 4x
si y1/2
= 200x–1/2
⇒ (4x)1/2
= 200x–1/2
⇒ 2x1/2
= 200x–1/2
x1/2
x1/2
=
200
2
⇒ x* = 100 u.c.; y* = 400 u.c.
M = 4x + y = 4(100) + 400 ⇒ M* = 800 u.m.
µ =
1
1
2
(100)1/2
(400)–1/2
= 4 1µ =
1
λ 2
Forma alternativa de resolución
U = x1/2
y1/2

51
Partimos de la condición de tangencia:
∂U
∂x
∂U
∂y
=
px
py
;
y1/2 1
2
x–1/2
x1/2 1
2
y–1/2
=
4
1
;
y
x
= 4 ⇒ y = 4x
Sustituimos en la función de utilidad:
U = x1/2
y1/2
; 200 = x1/2
(4x)1/2
; 200 = 2x; x* = 100 u.c.
Siendo 200 el nivel de utilidad a alcanzar.
y = 4x ⇒ y* = 400 u.c.
M = 4x + y; M* = 4(100) + 400 = 800 u.m.
siendo 800 u.m. el desembolso mínimo.
1.7. SOLUCIONES DE ESQUINA
Una solución de esquina es aquella en la cual la cantidad de un bien es
positiva y la cantidad del otro bien es cero. Una solución de esquina se produ-
ce cuando, en el óptimo, alguno de los bienes no se consume. La cesta óptima
se encuentra en el eje de abscisas o en el eje de ordenadas. Son casos particu-
lares que surgen cuando la RMS del consumidor no es necesariamente igual a
la relación de precios (puede no darse la solución de tangencia). Veamos dos
ejemplos.
Primer ejemplo
U(x, y) = xy + 10x
M = 10 €; px = 1 €; py = 2 €
Si la cesta óptima fuese C(10,0) tendríamos:
UMax = y + 10 = 0 + 10 = 10; UMay = x = 10
Por tanto, la pendiente de la curva de indiferencia en C, el cociente de utili-
dades marginales, es igual a –1 (1 en valor absoluto). La pendiente de la recta
de balance es: –1/2 (0,5 en valor absoluto). Por tanto, en el óptimo, la relación

marginal de sustitución es mayor que el cociente de precios: 1 0,5. La desi
gualdad indica que si el consumidor pudiera renunciar a una mayor cantidad del
bien Y, lo intercambiaría por más cantidad del bien X. ¿Por qué? En C, la uti-
lidad marginal por euro gastado en X es igual a 10 (UMax /px = 10/1 = 10),
mientras que la utilidad marginal por euro gastado en Y es igual a 5 (UMay/py =
= 10/2 = 5). En C, al consumidor le gustaría comprar más del bien X y menos
del bien Y, pero no puede porque la cesta C es una solución de esquina en el eje
de abscisas.
En general, si la RMS ratio precios (comparándolas en valor absoluto),
sabemos que es una solución de esquina: (M/px,0).
Segundo ejemplo
Un consumidor tiene unas preferencias sobre los bienes X e Y caracterizadas
porque siempre sustituye dos unidades del bien Y para consumir una unidad más
del bien X. Una función de utilidad que puede representar estas preferencias sería:
U = 2x + y
La relación marginal de sustitución es, como sabemos, el cociente de utilida-
des marginales:
RMS = –
UMax
UMay
= –
2
1
= –2
Los bienes X e Y son sustitutivos perfectos para este consumidor, que está
dispuesto a intercambiarlos a una tasa constante igual a –2: está dispuesto a
renunciar siempre a dos unidades del bien Y a cambio de una unidad adicional
del bien X.
Si suponemos ahora que los precios de los bienes son: px = 3py, veamos
cómo toda la renta la gasta óptimamente en el bien Y.
Efectivamente, la pendiente de la recta de balance del consumidor es:
–
px
py
= –3
py
py
= –3
Entonces se verifica que (en valor absoluto):
RMS Ratio precios
La solución del problema de maximización condicionada (el óptimo) será en
este caso también una solución de esquina (al no cumplirse la condición de
tangencia —curva de indiferencia más alejada del origen compatible con la res-

53
tricción presupuestaria del consumidor—). Pero, a pesar de no cumplirse la con-
dición de tangencia, el óptimo está definido. Sabemos que ahora es una solución
de esquina: (0,M/py). El consumidor se especializaría en el consumo del bien Y:
solo consume cantidades del bien Y —la utilidad marginal por euro gastado en
Y es mayor que la obtenida en X en todos los niveles de consumo de Y—. Grá-
ficamente, sería un punto sobre el eje de ordenadas. Este resultado es coherente
para un consumidor racional, pues si el bien X es tres veces más caro que el bien
Y, y ambos son sustitutivos perfectos, el consumidor comprará el más barato.
Unidades bien X
Unidades bien Y
Curvas de indiferencia
Recta de balance
0
B
M
—
py
Un consumidor se enfrenta al consumo de dos bienes X e Y cuyos precios
son, respectivamente: px = 10 €; py = 40 €. Su renta monetaria es M = 600 €, y
su función de utilidad: U(x,y) = xy + 30x. Halle la utilidad en el equilibrio.
Solución
1.800

55
2 La teoría de la demanda
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
En el análisis de las curvas de indiferencia, el consumo óptimo para el
consumidor —que actúa racionalmente intentando maximizar la utilidad— se
conseguirá cuando sea posible alcanzar la curva de indiferencia más alta po-
sible compatible con su restricción presupuestaria. El principal objetivo del se-
gundo capítulo es que el estudiante comprenda la forma en la que los indivi-
duos modifican sus elecciones ante cambios en la renta y en los precios de
los bienes.

57
2.1. INTRODUCCIÓN
El segundo capítulo estudia la forma en la que los individuos modifican sus
elecciones cuando las condiciones cambian. En particular, estudiaremos la ma-
nera en la que los cambios en la renta y en los precios de los bienes afectan a la
cantidad óptima que el consumidor decide consumir.
Vamos a comparar las nuevas elecciones (composición óptima de la cesta)
con aquellas que se hacían antes de que las condiciones cambiaran.
Este tipo de análisis se denomina análisis estático comparativo, por cuanto
compara dos (o más) elecciones que maximizan la utilidad.
2.2.
VARIACIONES DE LOS PRECIOS Y EQUILIBRIO
DEL CONSUMIDOR
2.2.1. La curva precio-consumo
Situaciones que afectan al equilibrio del consumidor → respuesta a los
cambios en los precios relativos:
—
La curva precio-consumo nos muestra cómo el consumo de un bien cam-
bia a la vez que lo hace su precio, permaneciendo constantes el precio del
otro bien y la renta monetaria del consumidor.
2.2.2. Bienes sustitutivos
Dos bienes son sustitutivos cuando:
—
La bajada del precio de un bien lleva a una caída de la demanda de su
bien sustitutivo. Ejemplo: la demanda de melón disminuye si el precio de
la sandía baja.

—
La subida del precio de un bien lleva a un aumento de la demanda de su
bien sustitutivo. Ejemplo: la demanda de melón aumenta si aumenta el
precio de la sandía.
2.3.
VARIACIONES DE LA RENTA Y EQUILIBRIO
DEL CONSUMIDOR
2.3.1. La curva renta-consumo
Situaciones que afectan a la posición de equilibrio del consumidor → res-
puesta a cambios en la renta:
—
El aumento en la renta monetaria provoca un desplazamiento hacia afue-
ra y en paralelo de la recta de presupuesto. El equilibrio maximizador de
la utilidad se desplaza de E1 a E2 a E3.
—
Uniendo todos los puntos maximizadores de la utilidad podemos dibujar
una curva de renta-consumo o trayectoria de expansión de la renta.
Considere la función de utilidad U = xy2
. ¿Cuál será la expresión matemáti-
ca de la curva renta-consumo si px = 2 € y py = 3 €?
Solución
y =
4
3
x
2.3.2. Derivación de la curva de Engel
La unión de todos los puntos de equilibrio del consumidor que se han gene-
rado como consecuencia de una alteración de la renta se denomina función de
renta-consumo, y reflejaría la senda de expansión del consumo ante variaciones
del nivel de renta (cuando todos los precios no cambian).

La teoría de la demanda
59
Cuando trasladamos la información sobre el nivel de renta y el consumo de
un bien al plano cartesiano podemos derivar la curva de Engel que, en el caso
de mostrar una trayectoria creciente, nos diría que estamos ante la presencia de
un bien normal.
Una curva de Engel muestra la relación existente entre la cantidad de-
mandada de un bien y la renta del consumidor (dados los precios); es decir,
cómo varía la cantidad demandada al cambiar su renta, ceteris paribus. Re-
cibe su nombre en honor del estadístico alemán Ernst Engel (1821-1896).
La curva de Engel se representa en el primer cuadrante del plano carte-
siano porque ni la cantidad demandada ni la renta pueden ser negativas. Por
lo general, la renta se muestra en el eje OX y la cantidad demandada del bien
o servicio seleccionado se representa en el eje OY.
2.3.3. Bienes normales e inferiores
Para los bienes normales, la curva de Engel tiene pendiente positiva; es decir,
a medida que la renta aumenta, la cantidad demandada también aumenta. Para
los bienes inferiores, la curva de Engel tiene pendiente negativa; esto quiere de-
cir que cuando los consumidores disponen de más renta, reducirán su consumo
de los bienes inferiores (incluso dejando de comprarlos totalmente), porque se
pueden permitir adquirir bienes mejores.
2.4. FUNCIONES DE DEMANDA GENERALIZADAS
Las funciones de demanda generalizadas expresan la cantidad demandada
(variable dependiente) en función de varias variables independientes. Son de dos
tipos: marshallianas (o no compensadas) y hicksianas (o compensadas). Ambas
funciones se derivan de dos formas de ver el mismo problema: cómo obtener la
utilidad que deseamos con el presupuesto que tenemos. La dualidad en el con-
sumo formula este problema como dos caras de una misma moneda:
—
Mantener nuestro presupuesto fijo y maximizar la utilidad (problema
primal), lo que nos lleva a las funciones de demanda generalizadas no
compensadas o marshallianas.
—
O el establecimiento de un nivel objetivo de utilidad y minimizar el gasto
asociado con ella (problema dual), lo que nos da las funciones de deman-
da generalizadas compensadas o hicksianas.

2.5. FUNCIONES DE DEMANDA MARSHALLIANAS
La función de demanda generalizada no compensada de un individuo (tam-
bién llamada demanda marshalliana) es una expresión matemática que relaciona
la cantidad demandada del bien en cuestión con sus determinantes, como resul-
tado del proceso de optimización descrito con dos bienes de consumo.
2.5.1. El álgebra del análisis marshalliano
Consideremos una función de utilidad que depende de n bienes:
U = U(x1,x2,...,xn)
Se quiere maximizar el nivel de utilidad sujeto a la restricción:
p1x1 + p2x2 + … + pnxn ⩽ M
Dada una renta, y asumiendo que se gasta toda ella (ley de Walras), la res-
tricción presupuestaria quedaría entonces como:
pixi
i =1
n
∑ = M
La función lagrangiana para este problema de optimización sería:
L = U(x1,..., xn ) + λ1M – pixi
i =1
n
∑ 2
Tendremos como condiciones de primer orden:
∂L
∂xi
=
∂U
∂xi
– λ pi = 0
∂L
∂λ
= M – pixi
i =1
n
∑ = 0
Si los precios y la renta están dados, dichas condiciones forman un sistema
de n + 1 ecuaciones con n + 1 incógnitas: l; xi; siendo xi la cantidad consumida
del bien i-ésimo (i = 1,2,...,n).

61
xi
* = xi
*(p1,p2,...,pn,M)
Funciones de demanda marshallianas
2.5.2.
Obtención formal de la función de demanda
del consumidor
En este curso, nosotros vamos a estar interesados en obtener la función de
demanda individual para dos bienes solamente: bien X y bien Y. La función
de demanda generalizada no compensada, o función de demanda marshalliana,
para el bien X será una expresión matemática de la cantidad demandada del
bien X en función de:
1. Su propio precio.
2. Del precio del resto de bienes.
3. De la renta monetaria.
x* = x*(px,py,M)
La función de demanda generalizada no compensada, o función de deman-
da marshalliana, para el bien Y:
y* = y*(px,py,M)
Función
de demanda
individual
y* = y*(px, py, M)
Función de demanda
generalizada no
compensada
(o marshalliana)
Función de utilidad indirecta
U* = U*(px, py, M)
x* = x*(px, py, M) y
x
Debemos resolver
un problema de
maximización
de la utilidad sujeta
a una restricción
presupuestaria
(PRIMAL)
¿Cómo
se obtienen?
s.a. pxx + pyy = M
Expresión general
de la restricción
presupuestaria
(sin poner datos
de precios y renta)
max U(x, y)
Función de
utilidad concreta
que nos den en
el enunciado
del ejercicio
ó d tili
Esquema 2.1. Demandas generalizadas no compensadas o marshallianas.

En este análisis, también estaremos interesados en hallar la función de utili-
dad indirecta, que consiste en poner el nivel de utilidad óptimo en función de
los precios de los bienes y de la renta:
U* = U*(px,py,M)
Usando los multiplicadores de Lagrange, halle la función de demanda ge-
neralizada no compensada para el bien X y para el bien Y si la función de
utilidad es:
U = xy + x + y
y la restricción presupuestaria responde a:
pxx + pyy = M
Obtenga también la cesta óptima y la utilidad máxima si la renta es
de 100 €, el precio del bien X es igual a 5 € y el precio del bien Y es igual a
10 €.
Solución
Debemos resolver el siguiente problema del consumidor:
maxU = xy + x + y
s.a. pxx + py y = M
F = (xy + x + y) + λ(M – pxx – py y)
∂F
∂x
= (y + 1) – λ px = 0 ⇒ λ =
y + 1
px
∂F
∂y
= (x + 1) – λ py = 0 ⇒ λ =
x + 1
py
∂F
∂λ
= M – pxx – py y = 0 ⇒ pxx + py y = M

63
y + 1
px
=
x + 1
py
;
y
px
+
1
px
=
x + 1
py
y
px
=
x + 1
py
–
1
px
; y = (x + 1)
px
py
– 1
pxx + py (x + 1)
px
py
– 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = M
pxx + (x + 1) px – py = M
pxx + pxx + px – py = M
2 pxx = M – px + py ; x* =
M – px + py
2 px
y = (x + 1)
px
py
– 1 =
(x + 1) px
py
–
py
py
=
(x + 1) px – py
py
y =
(x + 1) px – py
py
=
xpx + px – py
py
=
M – px + py
2 px
px + px – py
py
y =
M – px + py
2
+ px – py
py
=
M – px + py + 2 px
2
– py
py
y =
M – px + py + 2 px – 2 py
2
py
=
M + px – py
2 py
y* =
M – py + px
2 py
Función de demanda generalizada no compensada para el bien X:
x* = x* ( px , py ,M )
x* =
M – px + py
2 px

Función de demanda generalizada no compensada para el bien Y:
y* = y* ( px , py ,M )
y* =
M – py + px
2 py
Equilibrio:
x* =
100 – 5 + 10
2(5)
= 10,50 u.c.
y* =
100 – 10 + 5
2(10)
= 4,75 u.c.
U* = (x*y* + x* + y*) = 10,50(4,75) + 10,50 + 4,75 = 65,13
Las preferencias del consumidor vienen dadas por:
U = xy
Obtenga:
—
Las funciones de demanda individuales generalizadas no compensadas
para los bienes X e Y usando los multiplicadores de Lagrange.
—
La función de utilidad indirecta.
—
El equilibrio del consumidor (cesta óptima y utilidad máxima) si:
M = 100 €; px = 4 €; py = 5 €
—
¿Qué le ocurre al equilibrio si el precio del bien X sube hasta 5 €/uni-
dad?
Solución
maximizarU = xy
s.a. pxx + py y = M
F = (xy) + λ(M – pxx – py y)
∂F
∂x
= y – λ px = 0 ⇒ λ =
y
px
∂F
∂y
= x – λ py = 0 ⇒ λ =
x
py
∂F
∂λ
= M – pxx – py y = 0 ⇒ pxx + py y = M
y x

65
F = (xy) + λ(M – pxx – py y)
∂F
∂x
= y – λ px = 0 ⇒ λ =
y
px
∂F
∂y
= x – λ py = 0 ⇒ λ =
x
py
∂F
∂λ
= M – pxx – py y = 0 ⇒ pxx + py y = M
y
px
=
x
py
y =
px
py
x
pxx + py
px
py
x = M ⇒ 2 pxx = M ⇒ x =
M
2 px
y =
px
py
x =
px
py
M
2 px
=
M
2 py
Funciones de demanda individuales generalizadas no compensadas para X
e Y, respectivamente:
x* =
M
2 px
; y* =
M
2 py
Función de utilidad indirecta:
U* = x*y*
Función de utilidad indirecta ≡ U* =
M2
4 px py
Equilibrio inicial:
x* =
100
2(4)
= 12,5; y* =
100
2(5)
= 10; U* =
1002
4 ⋅ 4 ⋅ 5
= 125
x* = 12,5 u.c.; y* = 10 u.c.; U* = 125
Nuevo equilibrio tras la subida del precio del bien X:
x* =
100
2(5)
= 10; y* =
100
2(5)
= 10; U* =
1002
4 ⋅ 5 ⋅ 5
= 100
Al subir el precio de X, la cesta óptima es (10,10) y la utilidad es menor.

2.5.3.
Derivación de la función de demanda
de una única variable para un individuo
y cálculo de elasticidades
Función de demanda generalizada
no compensada para el bien X
Curva de demanda
ordinaria para X
x* = x*(px, py, M)
x* = x*(px; p
–
y, M
—
)
Elasticidad-
precio de
la demanda
d = –
dx
dpx
px
x
0 ed 1
demanda
inelástica
1 ed ∞
demanda
elástica
Curva de Engel
para X
x* = x*(M; p
–
x, p
–
y)
Elasticidad-
renta de
la demanda
eM 0
bien
inferior
0 eM 1
bien normal
necesario
M =
dx
dM
M
x
eM 1
bien normal
de lujo
Curva de demanda
precio-cruzada para X
x* = x*(py; p
–
x, M
—
)
Elasticidad-
cruzada de
la demanda
eXY 0
bienes com-
plementarios
eXY 0
bienes
sustitutivos
XY =
dx
dpy
py
x
Esquema 2.2. Demanda individual de una única variable y cálculo de elasticidades.
La función de demanda generalizada no compensada para un individuo
para un bien X viene dada por:

67
x* =
M – px + py
2 px
Supongamos que: M = 100 €; py = 10 €. Obtenga:
—
La función o curva de demanda ordinaria (o directa) para el bien X.
—
La función de demanda inversa para el bien X.
—
La elasticidad-precio de la demanda cuando el precio del bien X es de
5 €. Diga cómo es la demanda de este bien.
Solución
Función de demanda ordinaria o directa:
x = f ( px ), ceteris paribus
x* =
100 – px + 10
2 px
x* =
110 – px
2 px
Función de demanda inversa:
px = f (x)
px =
55
0,5 + x*
Cálculo de la elasticidad-precio de la demanda:
εd = –
dx
dpx
px
x
; x =
110 – px
2 px
dx
dpx
=
–2 px – 2(110 – px )
4 px
2
=
–2 px – 220 + 2 px
4 px
2
= –
55
px
2
εd = –1–
55
252
5
10,5
=
275
262,5
= 1,05 (elástica)
x =
110 – 5
2(5)
= 10,5

Halle la elasticidad-precio de la demanda cuando el precio del bien X es de
3 euros. La función de demanda individual es:
x* =
50 – 10 px
5 + px
Solución
1,875
La función de demanda para un individuo para un bien X es:
x* =
M – px + py
2 px
Supongamos que: px = 5 €; py = 10 €. ¿Cuál será la curva de Engel del bien
X? Si la renta del consumidor es de 100 €, ¿cómo es el bien X?
Solución
Curva de Engel:
x* = x* (M; px , py )
x* =
M + 5
10
La elasticidad-renta se calcularía como:
εM =
dx
dM
M
x
εM =
1
10
100
1
105
10 2
= 0,95 (X es un bien normal necesario)

69
Suponga que la curva de Engel de un consumidor viene dada por la expresión:
x* = M2
Halle la elasticidad-renta e indique de qué tipo de bien estamos hablando.
Solución
∈M =
dx
dM
M
x
= (2M )
M
M2
= 2 (bien normal de lujo)
La función de demanda para un individuo para un bien X es:
x* =
M – px + py
2 px
Supongamos que: px = 5 €; M = 100 €. ¿Cuál es la curva de demanda pre-
cio-cruzada para X? ¿Cómo son los bienes X e Y si py = 25 €?
Solución
Curva de demanda precio-cruzada para X:
x* = x* ( py ; px ,M )
x* =
100 – 5 + py
2(5)
; x* =
95 + py
10
Cálculo de la elasticidad-cruzada para X:
∈XY =
dx
dpy
py
x
∈XY =
1
10
py
x
=
1
10
25
12
= 0,21
X e Y son bienes sustitutivos.

2.6. FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS
Obtenemos otras funciones de demanda como resultado de minimizar el
gasto:
M = p1x1 + p2x2 + … + pnxn
Sujeto a la restricción:
U(x1,x2,...,xn) ⩾ U
Si se desea conseguir un nivel de utilidad determinado, la restricción que-
daría:
U(x1,x2,...,xn) = U
La función lagrangiana sería ahora:
V = pixi
i =1
n
∑ + µ[U – U(x1, x2 ,..., xn )]
Tendremos como condiciones de primer orden:
∂V
∂xi
= pi – µ
∂U
∂xi
= 0;
∂V
∂µ
= U – U(x1,..., xn ) = 0
Si los precios y el nivel de utilidad están dados, dichas condiciones forman
un sistema de n + 1 ecuaciones con n + 1 incógnitas:
m; xi
siendo xi la cantidad consumida del bien i-ésimo (i = 1,2,...,n).
xi
* = xi
*(p1,p2,...,pn,U)
Funciones de demanda hicksianas o funciones de demanda generalizadas
compensadas.
En este análisis, obtenemos la función de gasto:
M* = M*(p1,p2,...,pn,U)

71
Función
de demanda
individual
yc
* = yc
*(px, py, U)
Función de demanda
generalizada
compensada
(o hicksiana)
Función de gasto
M* = M*(px, py, U)
xc
* = xc
*(px, py, U) y
x
Debemos resolver
un problema de
minimización
del gasto sujeto a un
nivel dado de utilidad
(DUAL)
¿Cómo
se obtienen?
s.a. U(x, y) = U
Función de utilidad
concreta que nos den
en el enunciado
del ejercicio (se deja
U sin datos)
min. pxx + pyy
Expresión
general
del gasto (sin
poner datos
de precios)
n
ió d
Esquema 2.3. Demandas generalizadas compensadas o hicksianas.
Las preferencias del consumidor vienen dadas por la función:
U = xy
Se pide:
—
La función de demanda generalizada compensada (o hicksiana) para am-
bos bienes usando los multiplicadores de Lagrange.
—
La función de gasto.
—
Las cantidades demandadas de ambos bienes, y el nivel mínimo de gas-
to, si:
U
—
= 125; px = 4 €; py = 5 €
—
¿Qué debe cumplirse si el consumidor no quiere perder bienestar pero el
precio del bien X sube hasta 6 €/unidad y el precio del bien Y sube has-
ta 7,5 €/unidad? Halle el nuevo equilibrio.

Solución
minimizar M = pxx + py y
s.a. xy = U
H = ( pxx + py y) + µ(U – xy)
∂H
∂x
= px – µy = 0 ⇒ µ =
px
y
∂H
∂y
= py – µx = 0 ⇒ µ =
py
x
∂H
∂µ
= U – xy = 0 ⇒ U = xy
px
y
=
py
x
⇒ y =
px
py
x
U = x1
px
py
x2 ⇒ x2
=
py
px
U ⇒ x = 1
py
px
U 2
1/2
y =
px
py
x =
px
py
1
py
px
U 2
1/2
= 1
px
py
21
py
px
2
1/2
U1/2
= 1
px
py
21
px
py
2
–1/2
U1/2
=
= 1
px
py
2
1/2
U1/2
⇒ y = 1
px
py
U 2
1/2
Las funciones de demanda individuales generalizadas compensadas o hick-
sianas para los bienes X e Y son, respectivamente, las siguientes:
xc
* = 1
py
px
U 2
1/2
; yc
* = 1
px
py
U 2
1/2
Para hallar la solución del problema dual, sustituimos las elecciones óptimas,
definidas por las funciones de demanda compensadas, en la función objetivo:

73
M* = pxxc
* + py yc
* = px 1
py
px
U 2
1/2
+ py 1
px
py
U 2
1/2
= 2( px pyU )1/2
Luego, la función de gasto del consumidor vendría dada por:
M* = 2(pxpyU)1/2
Cantidades demandadas de ambos bienes y nivel mínimo de gasto:
xc
* = 1
5
4
1252
1/2
= 1
5
42
0,5
(125)0,5
= 12,5
yc
* = 1
4
5
1252
1/2
= 1
4
5 2
0,5
(125)0,5
= 10
M* = 2(4 ⋅ 5 ⋅125)1/2
= 2(2.500)0,5
= 100
xc
* = 12,5 u.c.; yc
* = 10 u.c.; M* = 100 € (nivel mínimo de gasto)
Nuevo equilibrio tras la subida de los precios:
xc
* = 1
7,5
6
1252
1/2
= 1
7,5
6 2
0,5
(125)0,5
= 12,5
yc
* = 1
6
7,5
1252
1/2
= 1
6
7,52
0,5
(125)0,5
= 10
M* = 2(6 ⋅ 7,5 ⋅125)1/2
= 2(5.625)0,5
= 150
El consumidor seguirá comprando la cesta inicial (12,5;10) y disfrutando del
nivel de utilidad inicial (125), pero debe desembolsar 50 € más.

2.7. EFECTO-SUSTITUCIÓN Y EFECTO-RENTA
El cambio total en la cantidad
de equilibrio para el bien X
Se conoce como
efecto-precio
o efecto-total (ET)
Nuestro objetivo es
descomponer este efecto
en dos componentes
Es el cambio
en la cantidad
demandada de un
bien debido a la
variación de los
precios relativos
de los dos bienes
Efecto-sustitución:
dos definiciones
en la literatura
versión Slutsky
versión Hicks
i) Efecto-sustitución
(ES)
ii) Efecto-renta o
efecto-ingreso
(ER)
Es el cambio
en la cantidad
demandada
debido a una
variación en el
poder adquisitivo
Al reducirse el
precio del bien X
aumenta el poder
de compra
o renta real
del consumidor
Efecto en la
elección del
consumidor del
cambio en la ratio
de precios, sin que
cambie su nivel de
utilidad inicial
Efecto en la elección
del consumidor
del cambio de la
ratio de precios,
permitiendo que
el consumidor
pueda adquirir
la cesta inicial
Al reducirse el
precio del bien X,
este bien se
abarata
relativamente,
y la tendencia del
consumidor será
sustituir el consumo
de Y por el de X
Esquema 2.4. Efecto-total y descomposición en efecto-sustitución y efecto-renta.
Calcule el efecto-sustitución y el efecto-renta (versiones de Slutsky y de
Hicks) que produce un cambio del precio del bien X de px = 32 u.m. a p′
x = 2 u.m.

75
en un consumidor con la función de utilidad: U(x,y) = xy. Sabemos que la ren-
ta es de 384 u.m. y que el precio del bien Y es de 6 u.m.
Solución
El primer paso es obtener las demandas generalizadas (no compensadas):
maximizar U = xy
s.a. pxx + py y = M
F(x, y, λ) = (xy) + λ(M – pxx – py y)
∂F
∂x
= y – pxλ = 0 ⇒ λ =
y
px
∂F
∂y
= x – pyλ = 0 ⇒ λ =
x
py
∂F
∂λ
= M – pxx – py y = 0 ⇒ y =
M
py
–
px
py
x
y
px
=
x
py
⇒ y =
px
py
x
M
py
–
px
py
x =
px
py
x
M
py
=
2 px
py
x
x* =
M
2 px
; y* =
M
2 py
x* =
M
2 px
=
384
2(32)
= 6; x1
* = 6 u.c.
y1
* =
M
2 py
=
384
2(6)
= 32; y1
* = 32 u.c.

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