19 Ejercicios resueltos de Series de Fourier - Matematica Aplicada II - UNTECS

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
TECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMA
INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
IV INFORME
DE MATEMATICA APLICADA II
-SERIES DE FOURIER-
Alumnos: CAHUANA GOMEZ GUSTAVO ANTONIO
CONCHA SANDOVAL MARVIN THOMAS
QUINTANA PENA EMERSON
PANTA VASQUEZ LUIS MIGUEL
POCCO TAYPE, JUAN ALBERTO
2011 – II

2. SERIES DE FOURIER
1) Hallar la serie de Fourier de las siguientes funciones:
( ) 2
Sol.
( ) ∑ ( ( ) ( ))
∫ ( ) ∫ ∫
∫ ( ) ∫ ( )
∫ ( ) ( ) ( ( ))|
∫ ( ) ∫ ( )
∫ ( ) ( )
( ( ))|
( ( ) ) ( ( ))

3. * +
{
* +
( ) ( )
2) Hallar la serie de Fourier de la siguiente función:
1--
𝜋
𝜋
-1--
Sol.
a)
∫ ( ) (∫ ∫ ∫ )
. /
b)
∫ ( ) (∫ ∫ ∫ )

4. ( 0 1 0 1 ) ( *
( *
{
c)
∫ ( ) (∫ ∫ ∫ )
(0 1 0 1 )
( * {( )
( ) ∑( )
( ) ( )
3) Sea la función :

5. Hallar la serie de Fourier:
Sol.
Calculamos:
∫ ( ) ∫ ( | )
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ( )| ) ( . /)
∫ ( ) ∫ ( ) ( ( )| )
. . / / ( . /)
Luego:
* +
* +
{ * +
* +
* +
{ * +
:
( ) ( )

6. 4) Sea la función :
1
π π
Sol.
Calculo de a0
a0 = ∫ ( ) = (∫ ∫ ∫ )
a0 = ( . / )=
= ∫ ( ) ( )
= (∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) )
( )
= ( ) = ( . / ( ))
Para n un número par: a n = 0
Para n sean los números impares se tiene:
= ; n = 1, 5, 9, 13
= ; n = 3, 7, 11, 15
Calculo de

7. = ∫ ( ) ( )
= (∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) )
( )
= ( ) =0
Reemplazando en la serie de Fourier los valores:
( ) ∑( ( ) ( ))
Rpta:
( ) ( )
5) Sea la función :
Sol.
∫ ( ) (∫ ∫ + . /
∫ ( ) ( ) (∫ ( ) ∫ ( ) +

8. ( . / . /)
∫ ( ) ( ) (∫ ( ) ∫ ( ) +
( ( ) ( ))
( ) ( ( ) ( ) ( ) *
6) Sea la función :
1
𝜋 𝜋
-1
Sol.
a)
∫ ( ) (∫ ∫ )
(, - , - )
b)
∫ ( )
(∫ ∫ ) ( 0 1 0 1 *

9. . 0 1 /
c)
∫ ( )
(∫ ∫ ) (0 1 0 1 *
( * { ( )
( ) ∑
( ) ( )
7) Sea la función:
f(x) = π π
Sabemos que:
F(x) = , -π π
Donde:
* +
{
* +
Luego:
f(x) = ( )
Hallamos:
π π
∫ ( )
π π π

10. π
∫ ( ) ( ( ) ( ) ( )
π π π π
( π)) cos(n π)
π
∫ ( ) ( ( ) ( ) ( ))
π π π
Luego:
Rpta: 0
8) Sea la función:
( ) 2
Calculo de a0
a0 = ∫ ( ) = a0 = (∫ ∫ )=
a0 =
Calculo
= ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) )
( ) ( )
= (∫ ( ) )= ( )
= ( ( ))
Si n es par: =0
Si n es impar: =
Calculo de

11. = ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) ) (I)
( ) ( ) ( )
∫ ( ) =( ) =( )
( )
∫ ( ) = (II)
( ) ( )
∫ ( ) =( ) =( ) ) (III)
(III) y (II) en (I):
( ) ( )
= ( )
Si n es par:
= ( )=
Si n es impar:
= ( )=
Reemplazando en la serie de Fourier los valores:
( ) ∑( ( ) ( ))
( ) ( *
( *( * (
)

12. 9) Encontrar la Serie de Fourier:
π
( ) {
π
Sol.
Hallamos:
∫ ∫
π π
= -
(∫ ( ) ∫ ( ) )
π
π
( ( ) ( ) ( )
π π
( ( ) *
π
Donde:
* +
{
* +
Luego:
Rpta: F(x) = - + (Cosx + )
10) Sea la función :
-x
𝜋 𝜋
𝜋

13. Sol.
a)
∫ ( ) (∫ ∫ )
( , - *
b)
∫ ( )
(∫ ) ( ([ ] )+
( ) {
c)
∫ ( )
∫ ([ ] )
{
( ) ∑ )
( ) ( * ( *

14. 11) Sea la función :
( ) ( ) 2
Sol.
Calculemos:
a0= ∫ ∫
=
∫ ( ) ∫ ( )
=
∫ ( ) ∫ ( )
bn = , ( ) -
Donde:
*
{
*
Luego:
( ) ( *
12) Sea la función:
( ) 2
Sol.
Calculo de
= ∫ ( ) = (∫ ( ) ∫ )
= ∫ =0

15. Calculo de
= ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) )
= ∫ ( )
= (∫ ( ) ∫ ( ) )
( ) ( )
= . ( )
/
= ( ( ) )+ ( ( ) )
( ) ( )
Si n es un número par: = 0
Si n es un número impar:
= =
( ) ( ) ( )( )
Calculo de
= ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) )
= ∫ ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) )
=0
Reemplazando en la serie de Fourier los valores:
( ) ∑( ( ) ( ))
( ) ( )

16. 13) Sea la función:
( ) 2
Sol.
a0 = ∫ ( )
(( ) ) (( ) )
an = ∫ ( ) [ . ( ) ( )
/]
(( ) ) (( ) )
an = . ( ) ( ) ( ) ( )
/
( )π ( )π
( *
( ) ( )
Para
a1 = ( )
Hacemos lo mismo en bn:
( )π ( )π
( *
( ) ( )
Para n=1:
. /
Luego:
( ) ( *

17. 14) Sea la función :
1
𝜋 𝜋
-1
Sol.
a)
∫ [ ]
b)
∫ ( )
(∫ )
( [ ]
( *
c)
∫ ( )
∫ ( [ ]
( *
0 ( )1 ,( )-
( ) ( )
{ ( )

18. ( ) ∑
( ) ( *
15) Sea la función:
( )
Sol.
∫
( ) ( )
∫ ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
∫ ( ) ( )
( ) ( )
Por ORTOGONALIDAD, sabemos que si ‘n’ es diferente a ‘m’ entonces saldrá 0.
Pero no será así cuando n = m = 2. Donde al final sale 1.
Entonces al reemplazar en Fourier, sale: 1 · cos(2x) = cos2x
( ) ∑( ) ( )

19. 16) Sea la función:
( ) π
Sol.
Se observa que no se toma:
El recorrido total π π
Por lo que vamos a duplicar los coeficientes de Fourier:
( ) ∑ ( ( ) ( )) (I)
Calculo de
= ∫ ( )
= ∫ =0
= ∫ ( ) ( )
Calculo de
= ∫ ( ) ∫ ( ) ( )
Calculo de
= ∫ ( ) ( )
= ∫ ( ) (∫ ( ) ∫ ( ) )
(II)
( )
∫ ( ) = (III)
( )
∫ ( ) = (IV)

20. (III) y (IV) en (II):
( ) ( )
= (∫ ( ))
Si n es un número par:
= (∫ ( ))
Si n es número impar:
= (∫ ( )) (( )
)( )
Reemplazando los valores en la serie de Fourier en (I):
( ) ( ) ∑( ( ) ( ) ( ) ( )*
( )( )
Luego:
( ) ( )
17) Sea la función:
( )
Sol.
∫
∫
( ⁄ ) ( ⁄ )
( +
( ⁄ ) ( ⁄ )

21. ( ) ( )
( )
∫ ( )
( ) ( )
⌊ ⌋
( ) ( )
( ) ( *
18) Sea la función:
( )
Sol:
a)
∫ ∫ ( *
(∫ ∫ ) (, - [ ]
b)
∫ ∫ ( *
(∫ ∫ *
(0 1 [ ( ] ,
( *
(( ) ( ))
( )

22. c)
∫ ∫ ( *
(∫ ∫ *
(0 1 [ ( ] ,
( *
Luego:
( )
19) Sea la función :
( ) 2
Sol.
(∫ ∫ )
∫ ( ) ∫ ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( )
( ( ) )
Luego:
( ) ( *