1. CAPÍTULO 2
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE
CULIACÁN Materia: Control digital.
Ingeniería Mecatrónica Profesor: M.C. Víctor Manuel Pérez Pérez
Periodo: Agosto-Diciembre 2010
TRANSFORMADA Z
2.1 Definición de la transformada z.
Se usa la transformada z en el análisis y síntesis de sistemas de control en tiempo
discreto de manera similar a como se usa la transformada de Laplace en sistemas de
tiempo continuo. La dinámica de un sistema de control en tiempo discreto se caracteriza
mediante una ecuación de diferencias lineal y para encontrar la respuesta del sistema
para una entrada dada, se resuelve esa ecuación de diferencias.
Usando la transformada z las soluciones de las ecuaciones de diferencias se vuelven
un problema algebraico: La transformada z transforma las ecuaciones de diferencias
lineales e invariantes en el tiempo en ecuaciones algebraicas en z.
Para obtener la transformada z de una función continua en el tiempo x(t), solo se
toman en cuenta los valores muestreados de x(t), es decir, x(0), x(T), x(2T), … donde T
es el periodo de muestreo.
La transformada z de una función del tiempo x (t) o de la secuencia de valores x (kT) se
define como:
Para una secuencia de números, la transformada z es:
Donde z es una variable compleja:
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2. En forma más general, la transformada z de x(t), donde -∞ < t < ∞ , o de x(k) donde k
toma valores enteros (k 0, ±1, ±2, …) se define como:
Expandiendo la expresión anterior da:
e indica que la transformada z de cualquier función en tiempo continuo, x(t), se puede
escribir, mediante inspección, en la forma de una serie. La en esta serie indica la
posición en el tiempo en la que se presenta la amplitud x(kT). También, si X(z) está dada
en forma de una serie como la que se indicó, la transformada z inversa se puede obtener
por inspección como una secuencia de la función x(kT) que corresponde a los valores de
x(t) en los valores de tiempo respectivos. Cuando la transformada z está dada como el
cociente en dos polinomios en z, su transformada inversa se puede obtener por métodos
como el de división directa, método computacional, expansión de fracciones parciales y
método de la integral de inversión.
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3. 2.2 .Transformada z de algunas funciones.
Se obtiene a continuación la transformada z de algunas funciones elementales.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5 0 5 10
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4. 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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5. 2.2 Propiedades de la transformada Z.
Se presentan las propiedades y teoremas de la transformada z. Se supone que la función
x(t) tiene transformada z y que x(t) = 0 para t < 0.
La multiplicación de X(z) por z tiene el efecto de avanzar la señal x(kT) un paso (un
periodo de muestreo) y la multiplicación X(z) por tiene el efecto de retrasar x(kT)
un paso (un periodo de muestreo).
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6. 6 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

7. 7 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

8. 8 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

9. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Frecuentemente se han empleado métodos de transformación para simplificar el análisis y
síntesis de sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales o en diferencias. La transformada
Z es una regla por la cual una secuencia de números son convertidos a una función de la
variable compleja z . Debido a su estructura básica, la transformada Z posee propiedades que
facilitan la solución de ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones
algebraicas.
PROPIEDADES MÁS IMPORTANTES
a) SUPERPOSICION
Se compone de las características de:
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10. 10 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

11. La multiplicación de X(z) por z tiene el efecto de avanzar la señal x(kT) un paso (un
periodo de muestreo) y la multiplicación X(z) por z-1 tiene el efecto de retrasar x(kT) un
paso (un periodo de muestreo).
Ejercicio:
Escalón (retraso)
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12. Teorema de translación compleja.
Si x(t) tiene la transformada zX(z), entonces la transformada z de ( ) esta dada
por X( ). Esto se conoce como el teorema de translación compleja.
De esta manera se ve que al remplazar z en X(z) por da la transformada z de ( )
Ejemplo: Dada la transformada z de (sen wt y cos wt) obtenga la transformada z de
, respectivamente mediante el uso del teorema de translación
compleja.
Sustituyendo z por , se tiene:
[ ]
1 2
1
[ ]
1 2
Ejemplo: Obtenga la transformada z de t
[ ]
(1 )
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13. 13 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

14. Tablas de equivalencia
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15. Tablas de equivalencia eléctrica
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16. Ejercicio circuito eléctrico
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17. 17 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

18. Transformada z inversa.
La transformada z inversa de X(z), denotada [X(z)], da como resultado la secuencia de
tiempo, x(k), en los instantes de muestreo t = 0, T, 2T, … Como métodos para obtener la
transformada z inversa se tienen los siguientes:
Método de división directa.
En este método X(z) se expande en una serie infinita de potencias en .
Entonces x (kT) es el coeficiente del término , por tanto, los valores de x (KT) para k = 0,
1, 2,… se pueden determinar por inspección.
Si X (z) está en forma racional, se logra la expansión en una serie infinita con potencias
crecientes de dividir numerador entre denominador, estando cada uno en potencias
crecientes de .
Ejemplo. Encontrar x (k) para k = 0, 1, 2, 3 y 4 de X (z) dada por:
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19. Aplicando función impulso tenemos, lo mismo que se obtuvo manualmente:
20
18 X= 8
Y= 18.7499
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k
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20. Aplicando Función escalón
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k
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21. 21 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

22. 0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k
Aplicando rampa unitaria:
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23. 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k
Ejercicio Matlab
Xz=[1 zeros(1,N)]; %corresponde a la entrada delta de Kronecker (impulso unitario),
donde N corresponde al final de la duración del tiempo discreto del proceso considerado.
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24. 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k
Ejercicio 2:
Para la siguiente función G(z)=y(z)/x(z) hallar la transformada inversa Z mediante el
método Matlab(comando filter), hasta k =40, graficar la secuencia.
Utilizar Delta de Kronecker.
Sea:
0 4673 0 3393
( )
1 5237 0 6607
>> num=[0 0.4673 -0.3393];
>> den=[1 -1.5327 0.6607];
>> xz=[1 zeros(1,40)];
>> yz=filter(num,den, xz);
>> n=0:1:40;
>> stem(n,yz)
>> xlabel('k');
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25. 0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
k
Ejercicio 3
El mismo ejercicio, pero ahora respuesta AL ESCALON UNITARIO
>> num=[0 0.4673 -0.3393];
>> den=[1 -1.5327 0.6607];
>>xz=ones(1,41);
>>yz=filter(num,den, xz);
>>n=0:1:40;
>> stem(n,yz)
>>xlabel('k');
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26. 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
k
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27. 27 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

28. 28 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

29. Ejemplo:
Encontrar la ecuación de x(n) los primeros 5 valores de X(nT) por fracciones parciales.
1
( )
( 0 7071)
Entonces:
( ) 1
(0 7071) ( 0 7071) 0 7071
Dónde:
1 1
lim 2
( 0 7071) 05
1 0 2929
lim 0 4142
0 7071
( )
C=lim [ ] lim [ ] 2
Sustituyendo tenemos:
Se despeja X(z)/z:
0 4142 2
( ) 2
( 0 7071) 0 7071
Por tablas:
Para el primer termino:
Para el segundo termino:
( 0 7071)
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30. ( (2)0 7071 0 7071 )
Si se divide todo entre
1
0 7071
( (2)0 7071 )
Factorizando tenemos:
(1 0 7071)
Para este caso aplica la fórmula:
0 4142n(0 7071)
Para el tercer término tenemos:
2
0 7071
2(0 7071)
( ) 2 (n) 0 4142n(0 7071) 2(0 7071)
Para los primeros 5 valores:
(0) 2 (0) 0 4142(0)(0 7071)( )
2(0 7071) 2 2=0
(1) 2 (1) 0 4142(1)(0 7071)( )
2(0 7071) 0 4142 1 4142 1
(2) 2 (2) 0 4142(2)(0 7071)( )
2(0 7071) 0 5857 0 999 0 4142
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31. (3) 2 (3) 0 4142(3)(0 7071)( )
2(0 7071) 0 6212 0 7070 0 08588
(4) 2 (4) 0 4142(4)(0 7071)( )
2(0 7071) 0 5857 0 4999 0 0857
Ejemplo:
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32. ECUACIONES DE DIFERENCIAS
Las ecuaciones de diferencias lineales con coeficientes constantes permiten modelar
sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo, en forma similar a las ecuaciones
diferenciales y los sistemas continuos en el tiempo.
FORMA GENERAL DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS
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33. 33 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

34. 34 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

35. 35 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

36. Si consideramos que la entrada es una función escalón, tenemos:
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37. Programando en Simulink
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38. 38 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP