Ejercicios resueltos del Capítulo Integrales Complejas del Libro Variable Compleja - Murray Spiegel. Trabajo hecho por los Alumnos: Concha Sandoval Marvin Thomas Cahuana Gomez Gustavo Antonio Panta Vasquez Luis Miguel Quintana Peña Emerson Pocco Taype Alberto Ing. Electrónica - V ciclo UNTECS

1. VARIABLE COMPLEJA
FORMA POLAR DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
81. Expresar cada uno de los siguientes números complejos en forma polar:
√
√
√ √
√
√
315° 120°
√ √
√ √ √ √
45°
270°

2. √
√ √ √
180°
210°
√ √
√ √
√(√ ) ( )
√
√ √
√
90°
300°

3. 82. Demostrar que: √
( )
√
( )
√
( )
√
83. Expresar en forma polar:
√ √
√
[ ] [ ]
( [ ]) ( [ ])
√
π 3π /2
arctan(4/3)
α

4. 84. Graficar:
135° 90°
√ √
315° 225°
√ √ √ √
210° 240°
√ √

5. 85. Un aeroplano viaja a 150 km en dirección sudeste, 100 km en dirección directa al
oeste, 225 km 30| hacia el noreste y después 200 km hacia el noreste.
48 .
48 °
347
=
R
45°
30°

6. 86. Tres fuerzas como se muestra actúan en un plano sobre un objeto colocado en O.
Determinar: a) Gráficamente la fuerza equilibrante, b) analíticamente.
R = (-13.75 ; 79.6)
E = (13.75 ; -79.6)

7. 87. Probar que sobre el circulo | |
| |
| | | |
88. Probar que: , donde:
√
[ ]
√
[ ]

8. [ ]
( ) ( )
( )
[ ]
[ ]
[ ]
TEOREMA DE MOIVRE
89. Hallar el valor numérico de:
( )

9. ( )
√
√
√
√
√
( )
d)

10. √ √
( ) ( )
√ √
( )
√
e)( )
√
( ) √
( ) √
√
90. Probar que:
Sea:

11. 91. Probar que las soluciones de: estan dadas por:
z = 2cos36°, 2cos72, 2cos216, 2cos252.
√ √
;
√ √ √ √
√
=72° = -72°
√
=144° = 216°
√
( )
√
( )

12. 92. Demostrar que:
√
En el ejercicio anterior vimos que:
√ √
( )
√
En el ejercicio anterior vimos que:
√ √
( )

13. 93) Probar que:
a)

Obs:
b)

14. RAÍCES DE NUMEROS COMPLEJOS
95. Hallar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente:
√
√( √ )
{
√
√ ( √ )
√
{ √
√
√
√
√
√
√
√
√
{ √

15. {
√
{
√
{

16. 96. Hallar todas las raíces indicadas y localizarlas en el plano complejo:
{
{
√
√
√
√
√
√
{ √
√
√
√
{ √
√

17. 97. Resolver las ecuaciones:
√
√
√ √ √ √ √ √
98. Hallar cada una de las raíces cuadradas:
√
√ √
√

18. √
√ √
√ √ √ √
99. Hallar las raíces cúbicas:
√
√
√ √ √
√ √ √ √
ECUACIONES POLINOMIALES
100. Resolver las siguientes ecuaciones, obteniendo todas las raíces:
101.

19. 102. Hallar todas las raíces de:
√ √ √ √
Localizándolos en el plano complejo:
(-½ ; √ 3/2) (½ ; √ 3/2)
√
(-½ ; - 3/2) √
(½ ; - 3/2)
103. Probar que la suma de las raíces de:
Donde tomada r a la vez es , donde 0 < r < n.
Sea su factorización:
[
]
Por la forma podemos decir que se
vincula al subíndice de ‘a’ para denotar el
número de productos de la suma de
raíces. Para un caso particular de raíces
tomadas de r en r:

20. 104. Hallar 2 números cuya suma es 4 y su producto es 8.
LAS RAÍCES n-ésimas DE LA UNIDAD
105. a) Raíces cuartas de 1:
{
105. b) Raíces séptimas de 1:
{

21. 106. Probar que 1 + cos 72 + cos 144 + cos 216 + cos 288 = 0:
107. Probar que cos 36 + cos 72 + cos 108 + cos 144 = 0: