1.4 Series trigonométricas de Fourier As séries trigonométricas de Fourier de uma função são indispensáveis na análise e modelação de fenómenos periódicos como as vibrações, movimentos ondulatórios, etc. Muitas das equações diferenciais em derivadas parciais que se apresentam na prática em conexão com estes fenómenos, são resolvidos mediante o uso de séries trigonométricas de Fourier. Função periódica:

1. 1
1.4 Series trigonométricas de Fourier
Las series trigonométricas de Fourier de una función ) ( x f son indispensables en el
análisis y modelación de fenómenos periódicos como las vibraciones, movimientos
ondulatorios, etc. Muchas de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que se
presentan en la práctica en conexión con estos fenómenos, son resueltos mediante el
uso de las series trigonométricas de Fourier.
Función periódica:
Una función ) ( x f se dice que es periódica con período 0  T si se cumple que:
) ( ) ( x f Tx f  para todos los valores de ).(x f Domx
Ejemplos:
(1)
(a) La función ; ) ( Kx f  donde K es un número real es periódica, cuyo período es
cualquier número real 0T pues ; ) ( ) ( K x f T x f    para todos los valores de
x  Dom f (x).
(b) Las funciones x sen x f  ) ( y x x g cos ) (  son periódicas de período , 2T ya
que ) ( ) 2 ( ) 2 ( x f x Sen x sen x f        para todo . x
(2) Representemos gráficamente la
función f (x) que es periódica de
período 2  T definida por:
para x
1 0



 
   

2 0
( )
para x
f x


Función seccionalmente continua.
Se dice que la función f (x) es seccionalmente continua en el intervalo a; b, si
f (x) es continua en todos los puntos del intervalo con la excepción, quizás, de un

2. número finito de puntos en los cuales tiene discontinuidades finitas, es decir, en dichos
puntos existen los limites laterales.
Series Trigonométricas
Una serie trigonométrica es una serie de la forma:
2

0  
( an cos nx 
bnsen nx
);
2 n

1
a
donde n n b y a a ; 0 para ;...., 3; 2; 1n son números
reales, llamados coeficientes de Fourier de la serie trigonométrica.
Supongamos que dada la función ) ( x f es seccionalmente continua en el intervalo
 , ; y periódica con período , 2T es la suma de la serie trigonométrica:

0  
( cos 
);
2 n

1
an nx bnsen nx
a
en el intervalo  , ; es decir:

0 ( cos );
2
  


1
( )
n
an nx bnsen nx
a
f x entonces resulta que:




 
( ) ;
1
1
a0 f x dx 
an f (x)cos nxdx



 
y 



 
( ) .
1
an f x sen nxdx
¿Qué condiciones debe cumplir la función f (x) para poder asegurar que su serie
de Fourier es convergente y que su suma es precisamente dicha función?
Condiciones de Dirichlet:
Supongamos que la función ) (x f es periódica con período 2T . Además ) (x f es
seccionalmente continua, al igual que su derivada f (x) en el intervalo
 ; , entonces:
La serie trigonométrica de Fourier de f (x) converge hacia:
a) ) ( 0 x f si 0x es un punto de continuidad de ) (x f .
b)
  f x  f x
( 0 ) ( 0 )
2
si 0x es un punto de discontinuidad finita de ), (x f donde
f x Lim f x y
( 0 ) ( )
 
 
0
x x
f x Lim f x
( 0 ) ( )
 
 
0
x x
Ejemplo:

3.  O lo
3
Sea la función ) ( x f que es periódica de
período T  2 definida por:



x para x
 
   

0
0
( )
para x
f x
 

Esta función es seccionalmente continua en el intervalo  , ; ya que solo presenta
discontinuidades finitas en los puntos . y 0 ;       x x x Además )(xf es periódica
con período 2  T .
Determinemos los coeficientes de Fourier.
.
2
)
1 0 2
2 0
0
( .
1
 
( )
1
( )
 

0
0
 




 
 
  

      

x
a f x dx dx xdx x

an f (x)cos nxdx
  
 

1
.
n
cos 1
.
1
nxdx x nxdx
( .cos .cos )
1
2
0
0 n

   





 

Como
( 1) 1
.
1

cos n  (  1) n , se concluye que ( )cos
,
1
2 n
a f x nxdx
n
n
 
  
  

para
n 1;2;3;...
De forma similar:

bn f (x)sen nxdx
  
 

1
  sen nxdx  x sen nxdx  

 
.(1 2cos ).
1
1 0
( . . )
0
 

n
n
que es lo mismo:
.1 2( 1) ,

1 1
n
b   f ( x )
sen nxdx   
n
n
 

n 1;2;3;....
Además, su derivada

4. 4
para x
1 0



 
  
 
0 0
( )
para x
f x


también es seccionalmente continua en el intervalo
 ; , pues también presenta solo discontinuidades finitas en los puntos
x   ; x  0 y x  .
Del análisis anterior se concluye que la función analizada cumple las condiciones de
Dirichlet, por tanto en todos los puntos de continuidad de ) ( x f se tendrá que.

0 ( cos )
2
  
 

1
( )
n
an nx bnsen nx
a
f x





  




(  1) 
1
 
 
1
2
1 2( 1)
cos
.
4 n
n n
sen nx
n
nx
 n

En los puntos de discontinuidad x0   ; x0  0 y x0  la serie de Fourier converge
  f x  f x
( 0 ) ( 0 )
hacia: ;
2
por ejemplo para x0  0
.
( 0 ) ( 0 )  
2 2
0
2
 


   f x f x
Desarrollo Trigonométrico de Fourier para funciones pares e impares
Sea la función f (x) periódica con período T  2 y seccionalmente continua, en el
intervalo  , ; entonces:
(a) Si f (x) es una función par en ese intervalo, es decir f (x)  f (x) para todo
x ; ,
0

f (x) ~ 
cos ;
2 
1

n
an nx
a
2

 0


a f x dx ( )cos .
con  
0 ( ) ;
2
an  
f x nxdx n 1;2;3;....
0
(b) Si f (x) es una función impar en ese intervalo, es decir f (x)   f (x) para todo
x ; ,

5. 5



nxdx sen x f bn ;....3; 2; 1n
nnxsenb donde . ) (
f ( x ) ~ 
;
 n
1
2
 
0
Ejemplo:
Sea la función , ) ( x x f  para      x y periódica con período . 2  T
Notemos que
f (x)   x  x  f (x) para
todo x , ; luego la función
es par.





x x
   
 
0 
0
x
 


x x
f x
0
,
( )
0

f (x) ~ 
cos ;
2 
1

n
an nx
a
  
2 2
2
a f x dx xdx xdx
  ( )
    
0 
.
 0  0  0
( 1) 1.
2
  
        
.
.cos
2
cos
2
( )cos
2
2
0 0 0
n
n
n
a f x nxdx x nxdx x nxdx
   
Por lo tanto:

2
x ~ 
  0    (  1) 
1.cos




1
2
1
.
2
cos
2 n
n
n
n nx
n
a nx
a


Desarrollo de Fourier para series de cualquier período
Muchas aplicaciones de las series trigonométricas de Fourier en la ciencia y la técnica,
requieren determinar el desarrollo de una función periódica con período T  0, siendo
T  2 .
El desarrollo en serie de Fourier de una función periódica con período T  0 y
seccionalmente continua en cualquier intervalo de la forma c; c  T  se expresa de la
forma siguiente.

6. 6

0  
( cos 
);
2

1
( ) ~
n
an n x bnsen n x
a

x f   donde 
T

2
frecuencia.

2
a ( ) ;
2
a ( )cos 
n f x n xdx
0 


c T
c
f x dx
T


c T
c
T
c 
T
2
b ( ) 
n 
f x sen n xdx
y 
c
T
-Si )(xf es una función par en el intervalo   Tc c ; entonces,
0

f (x) ~ 
cos ,
2 
1

n
an n x
a
2
T

 donde; ;
2
   
0 ( ) ;
0
4
T
dxx f
T
a
a  ;.... 3; 2; 1  n
n f x n xdx
( )cos ;
T
4 2
 
0
T
-Si f (x) es una función impar en el intervalo c; c  T  entonces

b  .
bnsen nx en este caso  
f (x) ~ 
;
n
1
2
0
( )
4
T
n f x sen n xdx
T
Ejemplo:
Sea la función x x f  ) ( en el intervalo   1; 1 y periódica con período . 2T
Esta función es seccionalmente continua en el intervalo   1 ; 1  ya que es continua en
todos los puntos de este intervalo excepto en los puntos 1  x y 1  x donde tiene
discontinuidades finitas. Además, como ) ( ) ( x f x f   para todo valor de x de dicho
intervalo, la función es impar.

2 2
T
bnsen n x donde: 
Entonces f (x) ~ 
;
n
1
 
   
2

.cos 1
0
senn 
x
     
( )
. 2
4
2
( )
4
2
1
0
2





x n x
0 




 
n
n
f x sen n xdx x sen xdx
T
b
T
n






sen n cos
( )
 






n
n
n
2
2

7. 7
Teniendo en cuenta que 0  n sen y
n n ) 1 ( cos  para ;.... 3; 2; 1  n
) 1 ( 2 1
Concluimos que ,
n
b
n
n
 
 para ;.... 3; 2; 1  n , luego
. .
2( 1)
~
1

n 1
sen n x
n
x
n






Como además la derivada de la función f (x) 1 es seccionalmente continua en el
intervalo   1 ; 1  se cumplen las condiciones de Dirichlet por lo que podemos escribir.
sen n x
n
x
n


.
2 
( 
1) 
1

n 
1
 para todo punto de continuidad de x x f ) (
Desarrollo Trigonométrico de Fourier para funciones no periódicas
En la práctica también aparece la necesidad de representar en series de Fourier
funciones que no so periódicas.
Sea ) (x f una función seccionalmente continua en el intervalo  . ; ba Llamaremos
extensión periódica de ) (x f con período a b T   a la función ),(x f p definida por:
) ( ) ( x f x f p  para bx a y tal que ) ( ) ( x f KT x f p   para todo ,x donde
. * K
Para determinar el desarrollo trigonométrico de Fourier de una función seccionalmente
continua en el intervalo  . ; ba pero de forma tal que el período del desarrollo sea
T  b  a; debemos realizar sobre f (x) una prolongación de tal manera que la función
prolongada F(x) coincida con f (x) en el intervalo a; b. y que además su intervalo
de definición tenga una amplitud igual al período que se desea. La función construida
debe satisfacer las condiciones de Dirichlet en su intervalo de definición para garantizar
la convergencia de su serie de Fourier.
Ejemplo:
Dada la función f (x)  x para 1 x  2; obtener su desarrollo trigonométrico de
Fourier con período T  2.

8. Solución.
La prolongación de la función se puede realizar de muchas maneras, escogeremos la
más sencilla:
8
x
1 para 1 2
 

 
 

0 para 2 3
( )
x
F x
Considerando la extensión periódica ) (x Fp de )(xF con período 2T tendremos que

0 ( cos ).
2
p  an n x 
bnsen n x
) (x Fp engendra una serie de Fourier 

1
( ) ~
n
a
F x  
,
2 2
2

 
   
T
c 
T
3
2 2
2
a .
 
     
c
Fp x dx Fp x dx xdx dx
T
4
( ) 0.
2
( )
1
3
2
3
1
0

a p
n       

3
( )cos ( )cos .cos 0.cos
   
2
2
1
3
1
2
f x n xdx F x n xdx x n xdx n xdx
T
c T
c
  n

. 2
x sen n x
  



n n

cos
 
n
n x
1 ( 1)
1
( )
1
( )
2 2




 


De forma similar:
( 1) 2
1
( )
2
c 
T
n
    
c
n
n
b f x sen n xdx



,
Entonces:

    







1
F x      

 1

2
( 1) 2 .
1
1 ( 1) cos
( )
3
4
( ) ~
n
n n
p sen n x
n
n x
n



Como la función Fp (x) cumple las condiciones de Dirichlet en el intervalo 1; 3; la
serie determinada, converge en todo punto del intervalo 1; 2 hacia la función
Fp (x)  f (x) ya que en dichos puntos f (x) es continua. Fuera de ese intervalo, la
serie converge hacia la extensión periódica de F(x) con período T  2; es decir hacia
Fp (x) . En los puntos de discontinuidad de Fp (x) ; o sea, en los puntos x0  0 ±2K y

9. 1 0  x ± K2 la serie converge hacia la semisuma de los límites laterales de ) (x Fp en
9
esos puntos.
Desarrollo Trigonométrico de Fourier para funciones de medio recorrido
Sea )(xf una función seccionalmente continua en el intervalo  . ; 0a Para esta
función podemos determinar diferentes desarrollos trigonométricos en series de Fourier.
(a) Desarrollo de Fourier en serie de senos solamente:
En este caso debemos hacer una prolongación de manera impar a la función ) ( x f .
Denotemos por ) ( x F a la prolongación de ) ( x f



f ( x ) para 0
 x 
a
    

( ) para 0
( )
f x a x
F x
(b) Desarrollo de Fourier en serie de cosenos solamente:
En este caso debemos hacer una prolongación de manera par a la función f (x) .
Denotemos por ) (x F a la prolongación de ) (x f



f ( x ) para 0
 x 
a
   

( ) para 0
( )
f x a x
F x
(c) Desarrollo en serie de Fourier de senos y cosenos
Denotemos por ) (x F a la prolongación de ) (x f



f ( x ) para 0
 x 
a
  

0 para 0
( )
a x
F x
Ejercicios.
(1) Dada la función periódica de período 2  T definida por:
para x
1 0



 
  

0 0
( )
para x
f x


(a) Dibuje su gráfico.
(b) Analice si es seccionalmente continua en el intervalo  ;  .
(c) Determine su desarrollo trigonométrico de Fourier.
(d) Verifique que cumple las condiciones de Dirichlet y analice la convergencia del
desarrollo obtenido.

10. 10
(e) ¿ Hacia qué valor converge el desarrollo para . ? 3x
(2) Si




( ) y f (x  2 )  f (x) para todo x.



x x
,   
0
x x
 



2 0



x
f x
2
(a) Determine su desarrollo trigonométrico de Fourier.
1 2

(b) Demuestre que .
(2 1) 8
1
2




n n
(3) Para la función
2 ) ( x x f  en el intervalo  , 1; 1 periódica con período . 2T
Determine su desarrollo trigonométrico de Fourier.
(4) Determine el desarrollo trigonométrico de Fourier con período 4  T para la función
definida por:
-1 si 2 1





   
x x
si  1  
1
 

1 si 1 2
( )
x
x
f x
(5) Para la función
2 f (x)  x en el intervalo 1 x  2.Dibuje el gráfico de la función
hacia la cual converge el desarrollo de Fourier de f (x) en cada uno de los siguientes
casos.
(a) En seno y cosenos con período . 4  T
(b) En seno y cosenos con período , 4  T pero de forma tal que la serie converja hacia
cero en x 10.
(6) Dada la función f (x)  x para 0  x 1. Dibuje el gráfico de los desarrollos
trigonométricos de Fourier que sean posibles de obtener. Determine analíticamente los
mismos.
(a) En senos y cosenos con período T  2.
(b) En cosenos solamente con período T 1,5.
(c) En senos solamente con período T  4.