Este documento presenta la unidad 6 sobre la solución de triángulos oblicuángulos. Introduce el tema y define un objetivo principal de que los estudiantes puedan resolver triángulos oblicuángulos utilizando los teoremas del seno y del coseno. Explica estos teoremas a través de demostraciones geométricas dividiendo triángulos oblicuángulos en triángulos rectángulos y aplicando el teorema de Pitágoras.

1. UNIDAD 6: SOLUCIONEMOS TRIANGULOS
OBLICUANGULOS.
Triángulos oblicuángulos
Introducción
En esta unidad complementaremos el estudio iniciado en el área anterior en lo que se refiere a la solución
de triángulos. La mayoría de conceptos y teoremas que se manejarán son nuevos, por lo que demanda un
poco más de atención. Trataremos de cubrir estos temas minuciosamente, dada su importancia
No se debe perder de vista que la solución de triángulos es el aspecto medular de la trigonometría, por lo
que su comprensión adecuada es fundamental.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Definir un triángulo oblicuángulo.
2. Enunciar y demostrar los teoremas del seno y del coseno.
3. Escribir la fórmula de proyección.
4. Determinar los casos en que se puede resolver un triángulo oblicuángulo.
5. Señalar un procedimiento a seguir para resolver un triángulo oblicuángulo, a partir de los datos
. Presentados.
6. Resolver un triángulo oblicuángulo, utilizando los teoremas estudiados.
7. Comprobar si un triángulo oblicuángulo está bien resuelto.
8. Aplicar los triángulos oblicuángulos en la solución de situaciones prácticas.
1. Triángulos oblicuángulos.
Objetivos conceptuales. Definir qué es un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Identificar, entre un grupo de triángulos, aquellos que son oblicuángulos.
Al observar los triángulos anteriores, podemos notar que el primero es un triángulo
rectángulo, pues posee un ángulo recto. En cambio los otros NO poseen un ángulo
recto. Estos triángulos son oblicuángulos.

2. Un triángulo que No posee un ángulo recto es oblicuángulo .
En otras palabras: si un triángulo no es rectángulo, entonces es oblicuángulo
Actividad 1. Utiliza un transportador para identificar qué triángulos son
oblicuángulos.
d
b c
e
g
h
e
a
i j
Cuando estudiamos los triángulos rectángulos vimos que resolverlos era encontrar sus
lados o ángulos desconocidos . Lo mismo es resolver un triángulo oblicuángulo.
Como ya vimos, es posible resolver un triángulo oblicuángulo dividiéndolo en triángulos
rectángulos. En la sección siguiente resolveremos un triángulo oblicuángulo
directamente (sin separarlo en rectángulos)
2. Teorema del seno. Demostración y
formulación.
Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del seno para un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del seno.
Observa los lados y los ángulos del triángulo oblicuángulo siguiente (memorízalos):
b
A C
c a
B
¡Fácil de recordar! El lado A es el
opuesto del ángulo a; El lado B es el
opuesto del ángulo b; El lado C es el
opuesto del ángulo c.

3. Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del seno establece lo
siguiente:
A B C
= =
Sen a Sen b Sen c
Es decir que los lados son proporcionales a
los senos de los ángulos opuestos.
La anterior fórmula equivale a: Sen a Sen b Sen c
= =
A B C
En la resolución de triángulos oblicuángulos, se tomará una sola igualdad.
= o = =
A B A C o B C
Sen a Sen b Sen a Sen c Sen b Sen c
Primera igualdad Segunda igualdad Tercera igualdad
O también:
= o = =
Sen a Sen b Sen a Sen c o Sen b Sen c
A B A C B C
 Demostración
Para demostrar el teorema del seno, recordemos lo que es la altura de un triángulo. La
altura es aquella línea que parte de un vértice y cae perpendicularmente en una base
del triángulo. Es decir que toda altura formará, de alguna manera, un triángulo
rectángulo. En el triángulo siguiente aparecen 2 alturas: H y h.
b
h
A C
H
c a
B
Cada altura divide el triángulo en 2 rectángulos. De acuerdo con lo estudiado en la
unidad anterior, para los rectángulos en los que H es el lado opuesto, se tiene que:
Sen c = H/A y Sen a = H/C De estas 2 igualdades se tiene que:
H = A Sen c y H = C Sen a Es decir que: A Sen c = C Sen a Que equivale
a:

4. = ó = =
A C
Sen a Sen c
O también:
 Esta es la segunda igualdad de las anteriores.
= ó = =
Sen a Sen c
A C
Ahora tomemos la altura h, que también divide al oblicuángulo en 2 triángulos
rectángulos. Para dichos triángulos se tiene que:
Sen b = h/A y Sen a = h/B De estas 2 igualdades se tiene que:
h = A Sen b y h = B Sen a Es decir que: A Sen b = B Sen a Que equivale a:
= ó  E s t a e s= l a p r i m e r a i g u a l d a d d =e las anteriores.
A B
Sen a Sen b
O también:
Sen a Sen b
A B
3. Teorema del coseno. Demostración y
formulación .s
Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del coseno para un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del coseno.
b ¡Fácil de recordar! Los lados A y B
A C
c a
B
Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del coseno establece lo
siguiente:
A
2 = B
2 + C
2 –2BC Cos a
B
2 = A
2 + C
2 –2 AC Cos b
C
2 = A
2 + B
2 –2AB Cos c
¡Fácil de recordar! A
c B a
forman el ángulo c; los lados A y C
forman el ángulo b; los lados B y C
forman el ángulo a.
=
cc BB C aa
2 va con - Cos
a; B
2 va con - Cos b; C
2 va con -
Cos c.

5.  Demostración
c a
Al igualar, obtenemos: C2 – x2 = A2 – (B – x) 2
= A2 – (B2 – 2Bx + x2)
C2 – x2 = A2 – B2 + 2Bx - x2
C2 = A2 – B2 + 2Bx
Observemos que: Cos c = (B – x) / A Al despeja x, obtenemos: x = B – A Cos c
Sustituyamos x.
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c)
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c) = A2 – B2 + 2B2 – 2BA Cos c
C2 = A2 + B2 – 2AB Cos c
Actividad 2. Demostrar que: 1. A
2 = B
2 + C
2 –2BC Cos a y 2. B
2 = A
2 + C
2 –2
AC Cos b
(Tracen las alturas correspondientes)
B CC
A este triángulo la altura (h) lo
divide en 2 triángulos rectángulos.
Conforme con Pitágoras, se tiene
que:
.h2 = C2 – x 2 y también h2 = A2 – (B
– x) 2
A C
B
b
h
B-x
x

6.  Demostración
c a
Al igualar, obtenemos: C2 – x2 = A2 – (B – x) 2
= A2 – (B2 – 2Bx + x2)
C2 – x2 = A2 – B2 + 2Bx - x2
C2 = A2 – B2 + 2Bx
Observemos que: Cos c = (B – x) / A Al despeja x, obtenemos: x = B – A Cos c
Sustituyamos x.
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c)
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c) = A2 – B2 + 2B2 – 2BA Cos c
C2 = A2 + B2 – 2AB Cos c
Actividad 2. Demostrar que: 1. A
2 = B
2 + C
2 –2BC Cos a y 2. B
2 = A
2 + C
2 –2
AC Cos b
(Tracen las alturas correspondientes)
B CC
A este triángulo la altura (h) lo
divide en 2 triángulos rectángulos.
Conforme con Pitágoras, se tiene
que:
.h2 = C2 – x 2 y también h2 = A2 – (B
– x) 2
A C
B
b
h
B-x
x