Este documento presenta una serie de ejercicios de geometría y cálculo de áreas. El primer ejercicio calcula el área total de una región compuesta por figuras geométricas. El segundo ejercicio calcula el área de una región formada por dos trapecios idénticos. Los ejercicios restantes contienen preguntas sobre conceptos geométricos como ejes de simetría, ángulos y volúmenes.

1. Capitulo I
Matemática I (175)
Objetivo 10. Efectuar problemas en los que se interpreten algunos
contenidos geométricos relevantes en la enseñanza de la matemática, o se
utilicen conceptos geométricos para realizar analogías con otras disciplinas o
en que se apliquen conceptos geométricos.
Ejercicio 1
Calcula el área de la región sombreada:
Solución
Justificación: Primero identificamos cada una de las figuras conocidas, en este
caso:

2. Tenemos 5 figuras a saber:
Figura Color
Cuadrado Rojo
Azul Rectángulo
Verde Rectángulo
Marrón Triángulo
Gris Triángulo
Por lo tanto para calcular el área total, debemos calcular cada una de
estas áreas, por lo tanto debemos saber la fórmula que nos permite calcular el
área de cada una de estas figuras:
Figura Fórmula de área Detalle de la figura
Cuadrado 2
l l =lado del cuadrado
Rectángulo b h×
b =base del
rectángulo y h es su
altura
Rectángulo b h×
b =base del
rectángulo y h es su
altura
Triángulo
2
b h× b =base del triángulo
y h es su altura
Triángulo
2
b h× b =base del triángulo
y h es su altura
Ahora haremos los cálculos de área para cada figura.
Cuadrado rojo

3. En este caso tenemos un cuadrado de lado 1, la medida vertical es 1, y
la medida horizontal es: 2 1 1− = , por lo tanto su área es:
( )
22
1 1cuadrado rojoA l= = =
Rectángulo azul
En este caso tenemos un rectángulo de base 2, y altura 3, la medida
vertical es obviamente 3, la medida horizontal es: 4 2 2− = , por lo tanto su área
es:
tan 2 3 6rec gulo azulA b h= × = × =
Rectángulo verde
En este caso tenemos un rectángulo de base 3, y altura 2, la medida
vertical es obviamente 2, la medida horizontal es: 7 4 3− = , por lo tanto su área
es:
tan 3 2 6rec gulo verdeA b h= × = × =
Triángulo marrón

4. En este caso tenemos un triángulo de base 3, y altura 4, la medida
vertical es 6 2 4− = , la medida horizontal es: 7 4 3− = , por lo tanto su área es:
an
3 4 12
6
2 2 2
tri gulo marron
b h
A
× ×
= = = =
Triángulo gris
En este caso tenemos un triángulo de base 2, y altura 2, la medida
vertical es obviamente 2, la medida horizontal es: 9 7 2− = , por lo tanto su área
es:

5. an
2 2 4
2
2 2 2
tri gulo gris
b h
A
× ×
= = = =
Respuesta: Área total:
an anta t nn a
21
21 6 6 6
tri gulo marrTOTAL
TOTAL
TOT
ronrec gul trcuadrado i gulec ogul gro verdeoroj
AL
sao izulA
A
A
A A AAA= + + + + =
= + + + + =
=
Ejercicio 2
Calcule el área de la siguiente región:
Solución
Justificación: En este caso observamos que podemos resolver este problema si
caemos en la cuenta que tenemos 2 trapecios idénticos, los destacaré con 2
colores a continuación:
Para calcular el área de un trapecio, se utiliza la siguiente ecuación:
( )
2
B b
A h
+
= i
Donde B = Base mayor, b = Base menor, h = altura
Un trapecio es como el de la figura:

6. En nuestro caso tenemos 2 trapecios idénticos, por lo que podemos
calcular el área de uno y luego multiplicarla por 2 para tener el área total.
Observa uno de los trapecios:
Si comparas este trapecio con el de la fórmula general para calcular el
área se tiene: 5B = , 4b = , 3h = , por lo tanto el área de este trapecio es:
( ) (5 4) (9) 27
3 3 13,5
2 2 2 2
B b
A h
+ +
= = = = =i i i
Y el área total será:
2 2(13,5) 27TOTALA A= = =
Respuesta: El área de la región es: 27TOTALA = .
Ejercicio 3
Señala con una V si las siguientes afirmaciones son falsas o con una F si son
falsas:
a. La medida de las poligonales y las curvas es el área ______
b. Los planos que cortan la superficie terrestre en circunferencias pasando por
el polo Sur, el polo Norte y el centro de la esfera se llaman paralelos ______
c. La superficie de los sólidos de revolución se obtienen por la rotación o giro
de una curva C en torno a un eje L ______

7. Solución
Justificación:
a) Esta afirmación es falsa, porque la medida de las poligonales o
curvas son medidas de longitud, mientras que el área es una medida
de superficie encerrada por una poligonal cerrada o curva cerrada.
b) Esto es totalmente falso, porque los meridianos son circunferencias
que pasan por el polo Sur, el polo Norte y el centro de la esfera.
Observa la siguiente figura:
c) Esta afirmación es verdadera, porque al rotar una curva alrededor de
un eje o recta fija L se genera un sólido de revolución, observa la siguiente
figura:
Respuesta:
a) F
b) F
c) V

8. Ejercicio 4
Al cortar la superficie de un cono mediante un plano inclinado un ángulo α
distinto de 90º con respecto a su eje y que corta a todas las generatrices del
cono se obtiene:
a. Una circunferencia b. Una elipse
c. Una hipérbola d. Una parábola
Solución
Justificación: Primero debemos conocer cuales son las generatrices del cono,
observa la siguiente figura:
Las generatrices son las líneas azules, ojo, no hay solo 2 generatrices,
hay infinitas generatrices, que son todas las rectas que van desde el vértice
del cono hasta la línea base, en este caso la circunferencia verde, es decir, si
tomas un gorro de fiesta de niños, que son conos, y encima de él trazas líneas
desde la punta superior (vértice) hasta la base donde se coloca la cabeza del
niño, obtendrás las generatrices del cono, observa las líneas verdes en el
siguiente gorro de fiestas:

9. Ahora que ya sabemos cuales son las generatrices de un cono nos
indican que un plano corta a todas las generatrices, pero ¿Qué es un plano?,
un plano es una figura plana, parecida a una hoja de papel pero de longitudes
infinitas, es decir:
Ahora bien, si el plano forma un ángulo 90ºα ≠ con el eje del cono y
corta todas las generatrices, obtendríamos lo siguiente:

10. Y si el ángulo hubiese sido exactamente 90ºα = con el eje del cono y
corta todas las generatrices, obtendríamos lo siguiente:

11. Por lo explicado y pedido en este ejercicio, se tiene la siguiente
respuesta:
Respuesta: Opción correcta b.
Ejercicio 5
Determine el valor de H en el siguiente triángulo:
Solución
Justificación: En este caso, estamos en presencia de un ejercicio relativo
a triángulos semejantes, ¿Cómo identifique esto? Porque observo que hay dos
triángulos rectángulos con un ángulo común, observa la siguiente figura:

12. En esta figura se observa el triángulo rectángulo amarillo grande y el
triángulo rectángulo azul pequeño, ambos con un ángulo α común, cuando
esto sucede, se dice que éstos 2 triángulos (amarillo y azul) son semejantes.
Ahora bien, observa la siguiente relación:
Lado opuesto a en triangulo amarillo Lado opuesto a en triangulo azul
Lado adyacente a en triangulo amarillo Lado adyacente a en triangulo azul
α α
α α
=
Estos lados se señalan en la siguiente figura:

13. Sustituyendo los valores correspondientes a estos lados, tenemos:
4 4 25 100
: 10
25 10 10 10
1
Lado opuesto a en triangulo amarillo Lado opuesto a en triangulo azul
Lado adyacente a en triangulo amarillo Lado adyacente a en triangulo azul
H
Despejando H se tiene H
H
α α
α α
=
×
= = =
=
=
0
Recuerda que una fracción se refiere a una división, es decir:
100
100 10 100 10
10
= → ÷
Respuesta: El valor de H es: 10.
Ejercicio 6
Indica los ejes de simetría de la siguiente figura:
Solución

14. Justificación: Primero debes saber que un eje de simetría es una línea
imaginaria que al dividir una figura cualquiera, lo hace en dos partes, cuyos
puntos simétricos son equidistantes a dicho eje. En este caso si colocamos un
eje de simetría así:
Obtenemos 2 mitades simétricas, por ende el segmento rojo es un eje de
simetría.
Si ahora lo colocamos así:
Obtenemos de nuevo 2 mitades simétricas, por ende este también es
otro eje de simetría.
También podríamos colocar un eje así:

15. Obteniendo así 2 partes simétricas de la figura, por ende este sería un
tercer eje de simetría.
Respuesta:
Eje de simetría 1
Eje de simetría 2

16. Eje de simetría 3
Ejercicio 7
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F
si son falsos:
a. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales ____.
b. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales _____.
c. Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos ___.
Solución
Justificación:

17. a) un triángulo isósceles es aquel que tiene 2 lados iguales y uno
diferente, es decir:
Los lados azules son de la misma longitud, y el lado rojo es de diferente
longitud, por ende, los ángulos en la base α (alfa) son idénticos, por lo tanto
esta afirmación es VERDADERA.
b) observa la siguiente figura:

18. Acá se observa claramente que ángulos opuestos por el vértice (ángulos
α (alfa) verdes) son iguales, por lo tanto esta afirmación también es
VERDADERA.
c) Observa la siguiente figura:
Por definición sabemos que todo ángulo inscrito en una
semicircunferencia es recto, es decir, mide 90º. Por lo tanto esta afirmación es
VERDADERA.
Respuesta:
a) V
b) V
c) V
Ejercicio 8
Calcule el volumen del paralelepípedo rectangular cuyas aristas miden
respectivamente: 12cm, 14cm y 16cm.
Solución
Justificación: Un paralelepípedo es así:

19. A diario vemos un paralelepípedo, cuando tomas en tus manos una caja
de pastillas o de zapato.
Para calcular el volumen de un paralelepípedo, se multiplica el largo, por
el ancho, por el alto, es decir:
( )( )( )argV l o ancho alto=
En este caso:
14
arg
12
16
ancho c
al
l o cm
m
to cm=
=
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Por lo tanto:
( )( )( ) ( )( )( ) 3
arg 16 12 24 6881altoanV l o cmcho= = =
La unidad de volumen es 3
cm .
Respuesta: 3
2688V cm=
Ejercicio 9
En el cuadro que se le da al final de los siguientes enunciados, están las
posibles respuestas que corresponden a los espacios en blanco de cada uno
de ellos, para que sean enunciados verdaderos. A continuación se le presentan
tres enunciados, los cuales debe completar con alguna (s) palabra (s) dada (s)
en la tabla:

20. a. Un ______________ es un prisma de seis caras, cada una de las cuales es
un paralelogramo.
b. Las _______________ son un tipo de transformaciones rígidas de un
plano.
c. Las transformaciones geométricas que preservan las distancias se
denominan ______________.
Cuadro de posibles respuestas:
Polígono Cilindro
Movimientos rígidos Longitud
Cono Isometrías
Latitud Paralelepípedo
Rombo Proyección
Cubo Rotaciones o giros
Simetrías axiales o reflexiones Trapecio
Solución
Justificación: Para responder esta pregunta, se hace necesario manejar la
definición de las palabras contenidas en el cuadro. Vamos a ir respondiendo
cada uno de los enunciados:
a) Un Paralelepípedo es un prisma de seis caras, cada una de las
cuales es un paralelogramo, observa la siguiente figura:

21. Como puedes observar este prisma o paralelepípedo tiene 6 caras que
son paralelogramos, en este caso, estos paralelogramos son rectángulos.
Señalare las Caras:
1
2
3
4
5
6
Cara ADBC
Cara EFHG
Cara DFCG
Cara AEBH
Cara BHCG
Cara AEDF
=⎧
⎪ =⎪
⎪ =⎪
⎨
=⎪
⎪ =
⎪
=⎪⎩
Para que esto quede bien claro, a continuación te sombrearé cada cara:
1Cara ADBC=
2Cara EFHG=

22. 3Cara DFCG=
4Cara AEBH=
5Cara BHCG=

23. 6Cara AEDF=
b) Las _______________ son un tipo de transformaciones rígidas de
un plano.
Para que este enunciado tenga sentido, podemos seleccionar cualquiera
de las siguientes expresiones:
Simetrías axiales o reflexiones Rotaciones o giros
Es decir, las opciones correctas son:
b.1) Las Simetrías axiales o reflexiones son un tipo de
transformaciones rígidas de un plano.
b.2) Las Rotaciones o giros son un tipo de transformaciones rígidas de
un plano.

24. La justificación de esta respuesta resulta de conocer que es una
transformación rígida y no rígida, a saber:
Las transformaciones en el plano se clasifican en transformaciones
rígidas y no rígidas:
1) Transformaciones rígidas: Son las que preservan la distancia entre dos
puntos, son las traslaciones, rotaciones ó giros y reflexiones ó simetrías
axiales.
Ejemplo de traslación:
Ejemplo de rotación ó giro:
Ejemplo de reflexión ó simetría axial:
2) Transformaciones no rígidas: Son en las que se modifica la distancia entre
dos puntos, como los estiramientos y contracciones o deformaciones.

25. c) Las transformaciones geométricas que preservan las distancias se
denominan ______________.
Para que este enunciado tenga sentido, podemos seleccionar cualquiera
de las siguientes expresiones:
Movimientos rígidos Isometrías
Es decir, las opciones correctas son:
c.1) Las transformaciones geométricas que preservan las distancias
se denominan Movimientos rígidos.
c.2) Las transformaciones geométricas que preservan las distancias
se denominan Isometrías.
La justificación de esta respuesta resulta de conocer que es un
movimiento geométrico rígido y que es una transformación isométrica.
Un movimiento geométrico rígido es una transformación que conserva la
distancia y una transformación isométrica es una transformación de figuras en
el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la
figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.
Respuesta:
a) Un Paralelepípedo es un prisma de seis caras, cada una de las
cuales es un paralelogramo.
b.1) Las Simetrías axiales o reflexiones son un tipo de
transformaciones rígidas de un plano.
b.2) Las Rotaciones o giros son un tipo de transformaciones rígidas de
un plano.
c.1) Las transformaciones geométricas que preservan las distancias
se denominan Movimientos rígidos.
c.2) Las transformaciones geométricas que preservan las distancias
se denominan Isometrías.
Ejercicio 10
Calcule el área de las seis caras de un paralelepípedo cuyas aristas miden
respectivamente 2 cm, 4 cm y 6 cm.
Solución
Justificación:

26. Ya sabemos de ejercicios resueltos anteriores que es un paralelepípedo,
en este caso tenemos las dimensiones:
Cálculo del área de la Cara 1
En la siguiente figura se visualiza claramente la Cara 1:
El área de un rectángulo es la multiplicación de la base por su altura, es
decir:

27. A b h= ×
Por lo tanto en este caso tenemos el siguiente rectángulo:
Por lo tanto su área es:
2
1 4 2 8cara b cmA h mcm c= × = × =
Cálculo del área de la Cara 2
En la siguiente figura se visualiza claramente la Cara 2:
En este caso también se presenta un rectángulo, y como ya sabemos de
la Cara 1 como calcular el área de un rectángulo, se tiene:

28. Por lo tanto su área es:
2
2 4 2 8cara b cmA h mcm c= × = × =
Era de esperarse porque estas caras son idénticas geométricamente,
por lo tanto tienen la misma área.
Cálculo del área de la Cara 3
En la siguiente figura se visualiza claramente la Cara 3:
En este caso también se presenta un rectángulo, y como ya sabemos de
la Cara 1 como calcular el área de un rectángulo, se tiene:
Por lo tanto su área es:

29. 2
3 26 12caraA b cm ch cm m= × = × =
Cálculo del área de la Cara 4
En la siguiente figura se visualiza claramente la Cara 4:
En este caso también se presenta un rectángulo, y como ya sabemos de
la Cara 1 como calcular el área de un rectángulo, se tiene:
Por lo tanto su área es:
2
4 26 12caraA b cm ch cm m= × = × =
Era de esperarse porque estas caras son idénticas geométricamente,
por lo tanto tienen la misma área.
Cálculo del área de la Cara 5
En la siguiente figura se visualiza claramente la Cara 5:

30. En este caso también se presenta un rectángulo, y como ya sabemos de
la Cara 1 como calcular el área de un rectángulo, se tiene:
Por lo tanto su área es:
2
5 46 24caraA b cm ch cm m= × = × =
Cálculo del área de la Cara 6
En la siguiente figura se visualiza claramente la Cara 6:

31. En este caso también se presenta un rectángulo, y como ya sabemos de
la Cara 1 como calcular el área de un rectángulo, se tiene:
Por lo tanto su área es:
2
6 46 24caraA b cm ch cm m= × = × =
Era de esperarse porque estas caras son idénticas geométricamente,
por lo tanto tienen la misma área.
Respuesta:
( )
( )
1 2 3 4 5 6
2
2
2
8 8 12 12 24 24
16 24 48
88
total cara cara cara cara cara cara
total
total
total
A A A A A A A
A cm
A cm
A cm
= + + + + +
= + + + + +
= + +
=
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

32. Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Calcule el volumen del paralelepípedo rectangular cuyas aristas miden
respectivamente 2 cm, 4 cm y 6 cm.
Ejercicio 2
Consideremos una curva cerrada plana F y un punto O no perteneciente al
plano de esa curva. Entonces,
A. ¿Qué se obtiene al proyectar F desde el punto O ?
B. ¿Qué se obtiene al cortar la figura obtenida en (A) con un plano paralelo
al plano de la curva F que no pase por O ?
C. ¿Qué superficie se obtiene si F es una circunferencia?
Ejercicio 3
Supongamos que el punto C divide el segmento AB en media y extrema razón
de tal forma que la parte mayor es AC . Entonces:
a) ¿Cuánto mide el segmento AC si tomamos como unidad de medida CB ?
b) ¿Cuánto mide el segmento AB si tomamos como unidad de medida AC ?
Ejercicio 4
En relación a la lectura “Enseñanza de la Matemática” de Miguel de Guzmán,
en el capítulo 4: Cambios en los principios metodológicos aconsejables, de su
trabajo “Enseñanza de las Ciencias y la Matemática. Tendencias e

33. Innovaciones”, exponga al menos dos limitaciones del método de enseñanza
por resolución de problemas
Ejercicio 5
Una taza de té de forma cilíndrica tiene una diámetro de 8,2 cm en su
circunferencia máxima, un diámetro de 5,5 cm en su circunferencia mínima y
una altura de 7,5 cm. Determina aproximadamente su capacidad.
Ejercicio 6
Dado un cilindro de radio de la base 2 cm y altura 20 cm, calcule el área total
de su superficie (área de las dos tapas más el área de la superficie lateral)
NOTA: Tome 3,14π =
Ejercicio 7
Calcula el área del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio
10R cm= .
Ejercicio 8
Si a un cono de volumen V , altura h y radio r le aumentamos su altura en
40% y el radio se le disminuye en 10%, entonces el volumen del nuevo cono
es:
a. 0,81V b. 1,26V c. 1,134V d. 0,9V
Ejercicio 9
Si un cono de altura 30h cm= y radio 20r cm= , le aumentamos la altura en
40% y el radio se le disminuye en 10%, entonces el volumen del nuevo cono
es:
a. 3
4000 cmπ b. 3
1020,6 cmπ c. 3
1,134 cmπ d. 3
4536 cmπ
Ejercicio 10
Demuestra que el perímetro del hexágono regular inscrito en una circunferencia
de radio R , es igual a 6R .